Latihan Ujian XXIII

NAMA KELOMPOK 2

1. WAN NOVRI SAPUTRA

2. M. CAHYADI3. HERDIAWAN Y.4. HERI5. RIADY AMARTHA 6. YUDHY W

UNIVERSITAS LAMPUNG FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK ELEKTRO

TAHUN AJARAN 2008/2009

Penjumlahan ke dua arahTinjaulah sebuah persegi panjang yang dibatasi oleh empat garis lurus , x = r, x = s, y = k, y = m, seperti ditunjukan dalam gambar.

Luas bagian yang diarsir adalah

Jika semua elemen luas seperti kita dapat jumlahkan sehingga membentuk pita vertikal PQ, maka luas pita, , dapat dinyatakan sebagai . Apakah anda ingat menyertakan batasnya?Perhatikan bahwa selama penjumlahan ke arah y ini, konstan. Jika sekarang kita jumlahkan semua pita semacam ini sepanjang gambar, dari x = r sampai x =s, maka akan kita peroleh luas total persegi panjang tersebut, yaitu A.

(semua pita vertikal semacam PQ) bila kurung nya kita hilangkan menjadi

Sekarang jika dan , jumlah hingga tersebut menjadi integral, sehingga hubungan itu menjadi

Untuk menghitung pernyataan ini, kita mulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.

Dan karena m dan k konstan, integral ini menghasilkan

Yang kita ketahui memang demikian, karena luas persegi panjang tidak lain dari pada A = panjang X lebar.

Cara ini nampaknya menjemukan dalam mencari luas persegi panjang, tetapi kita kemukakan ini untuk memperkenalkan cara yang kita pakai nanti. Pertama-tama kita definisikan sebuah elemen luas kemudian kita jumlahkan kea rah y untuk memperoleh luas. Akhirnya, kita jumlahkan hasil ini ke arah x untuk memperoleh luas.

Pita vertikal; seluruh bidang

Kita dapat juga bekerja sedikit lain:Seperti sebelumnya, . Jika kali ini kita jumlahkan ke arah x dahulu, maka kita dapat luas pita horizontal CD, yaitu

Sekarang jumlahkanlah pita ini ke arah vertikal dan sekali lagi kita peroleh luas seluruh persegi panjang tersebut.

(jumlah semua pita horizontal semacam CD)

Seperti sebelumnya , sekarang kita hilangkan kurungnya dan kita tinjau hasilnya bila dan , maka kita dapatkan.

untuk menghitung ini, kta mulai lagi dari tengah

Karena

sama seperti sebelumnya.

Jadi urutan pelaksanaan kedua penjumlahan itu nampaknya tidak merupakan masalah.

Ingatlah

(i) Kita bekerja mulai dari integral yang di dalam

(ii) Kita mengintegrasikan terhadap x bila batasnya adalah harga-harga x.(iii) Kita mengintegrasikan terhadap y bila batasnya adalah harga-harga y.Integral lipat dua:

Pernyataan disebut integral lipat dua (double integral) alasanya jelas. Dan menunjukan bahwa

(i) pertama-tama diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan) dengan batas dan .(ii) Hsilnya kemudian diintegrasikan terhadap y degan batas dan .Contoh 1

Hitunglah

Jadi, pertama-tama diintegrasikan dahulu terhadap x di antara x = 2 dan x =4, dengan y untuk sementara dianggap konstan.

Kerjakan soal sendiri ya, kerena mudah-mudah seperti contoh di atas.Contoh 2

Sekarang kerjakan juga yang di bawah ini dengan cara yang sama OKE!

Contoh 3

Integral lipat tiga. Kadang-kadang kita harus berhadapan dengan pernyataan sebagai berikut.

Tetapi aturan tetap sama, mulailah dengan integral yang paling dalam dan berturut-turut makin luar.

Semua symbol untuk sementara dianggap konstan, kecuali satu variable yang sedang digunakan pada tahap integrasi tersebut. Cobalah langsung cotoh berikut ini sendiri.Contoh I

Penyelesaiannya

Contoh 2hitunglah

Semuanya mudah asalkan anda menanganinya dengan teliti, selagkah demi selangkah. Yang berikut dua soal sederhana sebagai ulanagan:

Hitunglah (i)

(ii)

Penyelesaiannya(i)

(ii)

Dan hitunglah integral yang sangat mudah ini. I

1

Sekarang marilah kita lihat beberapa penerapan integral lipat.Penerapan

Contoh 1.tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-x, dan ordinat pada x = 5.

Luas elemen

Luas pita

Jumlah semua pita semcam itu sepanjang gambar memeberikan

Sekarang , jika dan , maka A

Tetapi

Sehingga

Baik. Sekarang bagaimana dengan yang satu ini ?Contoh 2. Tentukanlah luas dibawah kurva di antara dan , dengan cara integral lipat dua.

Langkahnya seperti yang sebelumnya luas elemen .

Luas pita vertical

Jika dan maka A

Contoh 3. Tentukanlah luas daerah yang dilingkupi oleh kurva

dan

Pertama-tama kita harus mencari dahulu titik potongnya. Untuk itu

Jadi kita peroleh diagram seperti ini:

Seperti biasa, luas elemen .

Luas pita PQ

Penjumlahan semua pita di antara x = 0 dan x = 9 memberikan

EMBED Equation.3 Jika dan maka A

Sekarang selesaikanlah, dengan mengingat bahwa dan

A

Integral lipat dua dapat jua digunakan untuk mencari harga-harga lain selain luas. Contoh 4. tentukanlah momen kedua dari luas suatu peregi-panjang berukuran 6 cm X 4 cm mengelilingi sumbu yang melalui salah satu titik sudutnya dan tegak lurus kepada bidang persegi panjang tersebut.

Momen kedua elemen P terhadap QZ

Momen kedua total terhadap QZ

I

Jika dan maka

Yang berikut ini anda kerjakan sendiri.Contoh 5. Tentukanlah momen-kedua dari luas dari persegi-panjang yang berukuran 5 cm x 3 cm terhadap 5 cm sebagai sumbu.Inilah penyelesaiannya: periksalah pekerjaan anda.

Luas elemen .Momen-kedua luas luas elemen . Terhadap

OX .

Momen-kedua untuk pita

Momen kedua untuk seluruh bidang

Jika dan

Berikut ini adalah salah satu ulanan singkat. Selesaikanlah kedua integralnya sebelum anda beralih ke bingkai berikut. Inilah soalnya.

Ulangan

Hitunglah integral yang berikut:

(i).

(ii)

Inilah penyelesaiannya.

(i).

(ii)

Bentuk tulisan lainKadang-kadang integral lipat dua dituliskan dengan cara yang sedikit berbeda.

Misalnya, integral lipat dua yang terakhir tadi, I. Dapat juga diuliskan sebagai

Sekarang kuncinya adalah kita mulai dari integral yang paling kanan dan kemudian berturut-turut ke kiri. Tentu saja hasilnya akan sama dan cara pengerjaanya juga sama.

Marilah kita lihat satu atau dua contoh, agar kita terbiasa dengan cara penulisan ini.

Contoh 1.

Sekali anda telah menangkap maksudnya, semuannya akan sangat mudah dikerjakan,. Cobalah anda kerjakan yang ini dahulu.Contoh 2. Hitunglah I

Sekarang kerjakanlah yang dua ini.Contoh 3.

Contoh 4.

Sebagai ulangan dan mengasah kemampuan, cobalah hitung soal-soal di bawah ini.

(i).

(ii)

Jadi ini hanyalah sekedar soal kemampuan mengenal dan mengartikan kedua cara penulisan itu saja.

Sekarang marilah kita liat satu atau dua contoh lebih lanjut mengenai penggunaan integral lipat ini.

Contoh

Menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva kutub r dan jari-jari vektor pada dan

Selanjutnya kita teruskan seperti sebelumnya.

Luas elemen

Luas sector sempit

Luas total (semua vector sempit semacam itu)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Jika dan ,

A

Yang tidak lain dari pada hasil yang pernah kita jumpai sebeumnya, marilah kita lihat contoh hitungan yang sesungguhnya, Contoh. Dengan menggunakan integral rangkap dua, tentukanlah luas daerah yang dilingkupi oleh kurva kutub dan jari-jari vector pada dan

A

EMBED Equation.3

A

tetapi

)

Sekarang marilah kita kerjakan volume dengan cara yang sama.Penentuan volume dengan integral lipat

Elemen volume

Penjumlahan elemen tersebut kea rah kolom menghasilkan

Jika sekarang kita jumlahkan kolom-kolom di antara dan , kita peroleh volume irisan

Kemudian penjumlahan terhadap semua irisan di antara dan memberikan volume total

Selanjutnya seperti biasa, Jika , dan

V

Kali ini hasilnya berupa integral lipat tiga, tetapi pengembangannya sangat mirip dengan contoh-contoh sebelum ini.

Marilah kita lihat pengoprasiannya dalam cotoh-contoh berikut.

Contoh 1. sebuah benda di lingkupi oleh bidang , bidang x = 1, x = 4, y = 2, y = 5 dan permukaan z = x + y. tentukanlah volume benda tersebut.Pertama-tama, seperti apakah bentuk bendanya?

Bidang z =0 adalah bidang x-y dan bidang x =1 mempunyai posisi sebagai berikut:

Dengan cara yang sama, ganbarkanlah bidang-bidang sisi vertikalnya.

Sampai disini gambarnya nampak seperti ini:

Jika sekarang kita tandai ketinggan yang kita hitung pada masing-masig perpotongannya (z = x + y), kita dapat

Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu bagaimana menangani integralnya.

Dengan ini kita hampir tiba pada akhir program ini.

Dalam pembahasan kita mengenai integral lipat, kita telah mengembangkan suatu cara penanganan, bukan penyusunan datar rumus-rumus. Karena itu tidak banyak yang dapat kita rangkumkan di sini, kecuali barangkali suatu hal untuk mengingatkan anda, yaitu mengenai dua bentuk ara penulisan.Ingatlah :

(i) Untuk integral yang dituliskan dalam bentuk

Pengerjaannya mulai dari dalam ke luar.

(ii) untuk integral yang dituliskan dalam bentuk

pengerjaannya dari kanan ke kiri.Setelah ini masih ada latihan ujian. Sebelum anda mulai mengerjakannya. Lihatlah kembali program ini dan pelajarilah bagian-bagian yang belum anda kuasai benar. Jika anda telah mengikuti semua penghargaannya, tentu anda tidak akan kesulitan dengan ujian ini.

Latihan Ujian XXIIIJawablah semua soal ini. Semuanya mudah, jadi jangan khawatir kalau ga bisa!

1. Hitunglah (i)

(ii) , dengan

2. Tentukanlah (i)

(ii)

(iii)

3. Garis dan parabola berpotongan di . Tentukanlah luas daerah yang dilingkupi oleh , dan ordinat pada denga menggunakan integral lipat dua.4. Sebuah segitiga dbatasi oleh sumbu x, garis dan ordinat pada Bentuklah integral lipat dua yang menyatakan momen-kedua luas untuk segitiga ini terhadap sumbu x dan hitunglah integral tersebut.

5. Bentuk integral lipat dua yang menyatakan luas bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva kutub dan jari-jari vektor pada dan , dan kemudian hitunglah integral tersebut.6. sebuah benda dilingkupi olh bidang bidang dan permukaan hitunglah volume benda tersebut. Soal soal lanjutan XXIII

1. Hitunglah

2. Hitunglah

3. Hitunglah

4. Hitunglah

5. Hitunglah

6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva Hitunglah dan garis

7. Tentukanlah luas bidang kutub yang dilingkupi oleh lingkaran dan cardioid

8. Hitunglah

9. Hitunglah

10. Hitunglah

11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan

12. Nyatakanlah luas daerah yang dilingkupi sebuah simpai kurva dalam bentuk integral lipat dua, dan kemudian hitunglah integral tersebut.

13. Hitunglah

14. Hitunglah

15. sebuah bentuk bidang dibatasi oleh kurva kutub di antara dan , dan garis awal OA. Nyatakanlah momen kedua luas bidang tersebut terhadap OA dalam bentuk integral lipat dua dan hitunglah integral tersebut. Jika diketahui bahwa luas bidang tersebut adalah satuan2. tentukanlah jarak (h) sentroid bidang tersebut ke garis OA.

16. Dengan menggunakan integral lipat dua, tentukanlah (i) luas dan (ii) momen kedua terhadap OX dari suatu bentuk bidang yang dibatasi oleh sumbu x dan bagian elips yang terletak di atas OX. Tentukan juga posisi sentroidnya.17. Alas suatu benda adalah bagian bidang-xy yang dibatasi oleh x = 0, x = 2,

y = x, dan . Sisinya semua vertikal, dan tutup atasnya adalah permukaan . Hitunglah volume benda ini.18 Sebuah benda dibentuk oleh bidang-bidang vertikal yang didirikan di atas bentuk bidang yang dilingkupi oleh x = 0, x = b, y = a, dan y = c. tutup atasnya adalah permukaan z = xy. Tentukanlah volume benda tersebut.19 Tunjukanlah bahwa luas daerah diluar lingkaran r = a dan di dalam lingkaran diberikan oleh . Hitunglah integral ini.20 Sebuah balok tegak dibatasi oleh bidang-bidang kerangka koordinat acuan dan budang-bidang x = 3, y = 4, z = 2. kerapatannya disetiap titik dalam balok secara numerik sama dengan kuadrat jaraknya dari titik asal. Tentukanlah massa total balok tersebut.Jawaban Latihan Ujian XXIII

1. (i)

(ii)

2.(i)

(ii)

(iii)

3.

6.

Lanjutan Latihan XXIII

1.

2.

3.

4.

5.

6.

,

,

7.

,

8.

9.

10.

11.

,

,

12.

13.

19

,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Busur kecil bagaian dari lingkaran yang berjari-jari r membentangkan sudut EMBED Equation.3 di pusatnya

EMBED Equation.3

Permukaan z=f(x,y)

_1310049205.unknown

_1310144494.unknown

_1310273679.unknown

_1310349604.unknown

_1310355804.unknown

_1313125298.unknown

_1313383610.unknown

_1313384777.unknown

_1313385784.unknown

_1313387398.unknown

_1313387869.unknown

_1313390980.unknown

_1313391076.unknown

_1313391156.unknown

_1313391283.unknown

_1313391282.unknown

_1313391091.unknown

_1313391005.unknown

_1313391018.unknown

_1313390993.unknown

_1313390458.unknown

_1313390483.unknown

_1313390967.unknown

_1313387882.unknown

_1313387465.unknown

_1313387800.unknown

_1313387858.unknown

_1313387543.unknown

_1313387458.unknown

_1313386881.unknown

_1313387377.unknown

_1313387390.unknown

_1313386994.unknown

_1313386020.unknown

_1313386063.unknown

_1313385836.unknown

_1313385506.unknown

_1313385657.unknown

_1313385664.unknown

_1313385526.unknown

_1313384854.unknown

_1313384898.unknown

_1313384840.unknown

_1313384361.unknown

_1313384515.unknown

_1313384665.unknown

_1313384753.unknown

_1313384608.unknown

_1313384425.unknown

_1313384489.unknown

_1313384393.unknown

_1313384125.unknown

_1313384220.unknown

_1313384328.unknown

_1313384141.unknown

_1313383741.unknown

_1313383947.unknown

_1313383650.unknown

_1313301113.unknown

_1313302308.unknown

_1313383188.unknown

_1313383301.unknown

_1313383597.unknown

_1313383259.unknown

_1313302379.unknown

_1313383070.unknown

_1313302350.unknown

_1313301300.unknown

_1313301643.unknown

_1313302107.unknown

_1313301623.unknown

_1313301223.unknown

_1313301249.unknown

_1313301177.unknown

_1313125900.unknown

_1313126281.unknown

_1313126964.unknown

_1313300198.unknown

_1313301088.unknown

_1313299681.unknown

_1313126823.unknown

_1313126037.unknown

_1313126084.unknown

_1313125934.unknown

_1313125685.unknown

_1313125751.unknown

_1313125877.unknown

_1313125713.unknown

_1313125520.unknown

_1313125609.unknown

_1313125394.unknown

_1310357134.unknown

_1310358093.unknown

_1313124413.unknown

_1313124653.unknown

_1313124773.unknown

_1313124902.unknown

_1313125264.unknown

_1313124723.unknown

_1313124519.unknown

_1313124535.unknown

_1313124446.unknown

_1310909704.unknown

_1313124336.unknown

_1313124367.unknown

_1313124279.unknown

_1310361151.unknown

_1310361204.unknown

_1310358129.unknown

_1310357580.unknown

_1310357676.unknown

_1310357905.unknown

_1310358072.unknown

_1310357765.unknown

_1310357859.unknown

_1310357633.unknown

_1310357484.unknown

_1310357522.unknown

_1310357447.unknown

_1310356471.unknown

_1310356899.unknown

_1310357045.unknown

_1310357097.unknown

_1310356977.unknown

_1310356637.unknown

_1310356758.unknown

_1310356600.unknown

_1310356086.unknown

_1310356214.unknown

_1310356390.unknown

_1310356177.unknown

_1310355939.unknown

_1310355992.unknown

_1310355880.unknown

_1310350850.unknown

_1310351941.unknown

_1310352549.unknown

_1310355699.unknown

_1310355752.unknown

_1310355691.unknown

_1310352228.unknown

_1310352284.unknown

_1310352133.unknown

_1310351128.unknown

_1310351416.unknown

_1310351886.unknown

_1310351252.unknown

_1310350983.unknown

_1310351049.unknown

_1310350915.unknown

_1310349888.unknown

_1310350732.unknown

_1310350738.unknown

_1310350751.unknown

_1310350016.unknown

_1310350155.unknown

_1310350232.unknown

_1310349971.unknown

_1310349727.unknown

_1310349872.unknown

_1310349678.unknown

_1310275330.unknown

_1310308562.unknown

_1310309785.unknown

_1310349490.unknown

_1310349544.unknown

_1310309882.unknown

_1310309627.unknown

_1310309675.unknown

_1310309438.unknown

_1310275749.unknown

_1310276051.unknown

_1310276102.unknown

_1310275817.unknown

_1310275665.unknown

_1310275683.unknown

_1310275525.unknown

_1310275588.unknown

_1310275380.unknown

_1310274506.unknown

_1310274895.unknown

_1310275226.unknown

_1310275305.unknown

_1310274940.unknown

_1310274743.unknown

_1310274515.unknown

_1310274728.unknown

_1310274261.unknown

_1310274333.unknown

_1310274374.unknown

_1310274279.unknown

_1310273734.unknown

_1310273910.unknown

_1310274033.unknown

_1310273793.unknown

_1310273697.unknown

_1310146041.unknown

_1310147110.unknown

_1310273321.unknown

_1310273451.unknown

_1310273521.unknown

_1310273394.unknown

_1310147182.unknown

_1310147317.unknown

_1310148250.unknown

_1310147156.unknown

_1310146755.unknown

_1310146872.unknown

_1310147021.unknown

_1310146794.unknown

_1310146268.unknown

_1310146394.unknown

_1310146230.unknown

_1310145390.unknown

_1310145591.unknown

_1310146012.unknown

_1310146020.unknown

_1310145770.unknown

_1310145412.unknown

_1310145419.unknown

_1310145404.unknown

_1310144879.unknown

_1310145014.unknown

_1310145049.unknown

_1310145227.unknown

_1310144930.unknown

_1310144655.unknown

_1310144750.unknown

_1310144561.unknown

_1310067935.unknown

_1310069699.unknown

_1310076766.unknown

_1310077400.unknown

_1310077486.unknown

_1310077575.unknown

_1310077468.unknown

_1310076951.unknown

_1310077198.unknown

_1310076815.unknown

_1310076826.unknown

_1310076322.unknown

_1310076427.unknown

_1310076551.unknown

_1310076752.unknown

_1310076342.unknown

_1310076162.unknown

_1310076185.unknown

_1310076035.unknown

_1310068899.unknown

_1310069394.unknown

_1310069590.unknown

_1310069600.unknown

_1310069460.unknown

_1310069152.unknown

_1310069197.unknown

_1310068994.unknown

_1310068633.unknown

_1310068774.unknown

_1310068887.unknown

_1310068671.unknown

_1310068542.unknown

_1310068611.unknown

_1310068501.unknown

_1310050565.unknown

_1310067155.unknown

_1310067441.unknown

_1310067544.unknown

_1310067923.unknown

_1310067493.unknown

_1310067295.unknown

_1310067367.unknown

_1310067238.unknown

_1310066907.unknown

_1310067026.unknown

_1310067074.unknown

_1310066920.unknown

_1310051102.unknown

_1310051141.unknown

_1310050837.unknown

_1310049869.unknown

_1310050322.unknown

_1310050439.unknown

_1310050532.unknown

_1310050356.unknown

_1310049962.unknown

_1310050256.unknown

_1310050037.unknown

_1310049928.unknown

_1310049356.unknown

_1310049720.unknown

_1310049765.unknown

_1310049508.unknown

_1310049254.unknown

_1310049309.unknown

_1310012981.unknown

_1310016802.unknown

_1310020373.unknown

_1310047120.unknown

_1310047642.unknown

_1310048522.unknown

_1310048639.unknown

_1310048684.unknown

_1310048723.unknown

_1310048592.unknown

_1310048092.unknown

_1310048415.unknown

_1310048473.unknown

_1310048274.unknown

_1310048115.unknown

_1310047867.unknown

_1310047957.unknown

_1310047732.unknown

_1310047454.unknown

_1310047526.unknown

_1310047580.unknown

_1310047478.unknown

_1310047300.unknown

_1310047387.unknown

_1310047177.unknown

_1310046053.unknown

_1310046669.unknown

_1310046942.unknown

_1310047104.unknown

_1310046880.unknown

_1310046245.unknown

_1310046298.unknown

_1310046119.unknown

_1310045790.unknown

_1310045922.unknown

_1310046017.unknown

_1310045907.unknown

_1310045674.unknown

_1310045736.unknown

_1310045613.unknown

_1310018999.unknown

_1310019610.unknown

_1310020103.unknown

_1310020260.unknown

_1310020335.unknown

_1310020145.unknown

_1310019978.unknown

_1310020056.unknown

_1310019673.unknown

_1310019288.unknown

_1310019388.unknown

_1310019593.unknown

_1310019346.unknown

_1310019162.unknown

_1310019218.unknown

_1310019123.unknown

_1310017568.unknown

_1310018605.unknown

_1310018732.unknown

_1310018877.unknown

_1310018662.unknown

_1310017688.unknown

_1310017719.unknown

_1310017656.unknown

_1310017255.unknown

_1310017309.unknown

_1310017453.unknown

_1310017281.unknown

_1310016941.unknown

_1310017008.unknown

_1310016873.unknown

_1310015290.unknown

_1310016139.unknown

_1310016449.unknown

_1310016585.unknown

_1310016737.unknown

_1310016524.unknown

_1310016323.unknown

_1310016395.unknown

_1310016285.unknown

_1310015811.unknown

_1310015916.unknown

_1310016090.unknown

_1310015897.unknown

_1310015550.unknown

_1310015707.unknown

_1310015370.unknown

_1310014112.unknown

_1310014365.unknown

_1310014504.unknown

_1310015223.unknown

_1310014491.unknown

_1310014210.unknown

_1310014258.unknown

_1310014153.unknown

_1310013254.unknown

_1310013565.unknown

_1310013614.unknown

_1310013361.unknown

_1310013106.unknown

_1310013186.unknown

_1310013061.unknown

_1309995842.unknown

_1309999846.unknown

_1310011798.unknown

_1310012656.unknown

_1310012791.unknown

_1310012971.unknown

_1310012735.unknown

_1310012281.unknown

_1310012447.unknown

_1310011882.unknown

_1310011024.unknown

_1310011386.unknown

_1310011655.unknown

_1310011219.unknown

_1310010792.unknown

_1310010818.unknown

_1309999898.unknown

_1309997214.unknown

_1309999452.unknown

_1309999695.unknown

_1309999790.unknown

_1309999499.unknown

_1309999322.unknown

_1309999338.unknown

_1309998534.unknown

_1309996213.unknown

_1309996768.unknown

_1309996944.unknown

_1309996444.unknown

_1309996045.unknown

_1309996079.unknown

_1309995995.unknown

_1309994888.unknown

_1309995237.unknown

_1309995545.unknown

_1309995640.unknown

_1309995706.unknown

_1309995570.unknown

_1309995363.unknown

_1309995434.unknown

_1309995276.unknown

_1309995132.unknown

_1309995199.unknown

_1309995101.unknown

_1309972226.unknown

_1309972712.unknown

_1309972847.unknown

_1309973345.unknown

_1309973661.unknown

_1309994785.unknown

_1309973436.unknown

_1309972906.unknown

_1309972751.unknown

_1309972420.unknown

_1309972656.unknown

_1309972358.unknown

_1309969693.unknown

_1309972052.unknown

_1309972145.unknown

_1309972101.unknown

_1309972107.unknown

_1309971797.unknown

_1309971938.unknown

_1309969205.unknown

_1309969310.unknown

_1309969133.unknown