Struktur Bilangan ReaL

Bilangan kompleks

Bilangan imajiner Bilangan real

Bilangan Irrasional Bilangan Rasional

Bilangan pecahan Bilangan Bulat

Bilangan bulat negative Bilangan cacah

Nol Bilangan asli

Bilangan prima bilangan komposit

Bilangan Kompleks yaitu bilangan yang ada pada dua dimensi, yaitu bilangan real dan bilangan

imajiner. Bentuk umum Z = a+bi ; dimana a = bilangan real

b = koefisien imajiner

i = imajiner

Bilangan real yaitu bilangan yang digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun kehidupan

sehari-hari.

Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam perbandingan dua buah bilangan

bulat atau jika dalam bentuk desimal merupakan desimal yang berakhir atau jika tidak berakhir

merupakan bentuk desimal berulang secara teratur.

Contoh: a. 1,23 =

b. 1,256256256…

c. 2,4444444…

Interval Bilangan Real

Beberapa cara menyatakan interval bilangan real

1. Menggunakan notasi himpunan2. Menggunakan garis3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum(batas min)

Contoh:

1. A = {1, 2, 3, 4}

Secara Notasi: A = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x ∊ R}Grafik garis: A =Suprimum dan infrimum : A = [1,4]Secara Notasi: A = {x | 1 ≤ x < 5, x ∊ R}Grafik garis: A = Suprimum dan infrimum: A = [1,5)

Secara Notasi: A = {x | 0 < x ≤ 4, x ∊ R}Grafik garis: A = Suprimum dan infrimum: A = (0,4]

2. B = {1,2,3,. . .}

Secara Notasi: B = {x | x ≥ 1, x ∊ R}

Grafik garis: B =

Suprimum dan infrimum: A = [1, )3. C = {…, 8, 9, 10}Secara notasi: c = {x| x ≤ 10, x ∊ R}

Grafik garis: C = Suprimum dan infrimum: C = (-~, 10]

Sifat-sifat urutan bilangan real

• Trikotomi yaitu ∀ a, b ∊ R maka satu diantara berikut benar: a = b

a > b

a < b

• Transitif (silogisme)

Menyatakan ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila a < b dan b < c maka a < c

• Sifat Additif menyatakan ∀ a,b,c ∊ R berlaku bila a < b maka (a+c) < (b+c)

• Multiplikatif menyatakan ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila a < b maka (a x c) < (b x c) {untuk c > 0}

(a x c) > (b x c) {untuk c < 0}

Sifat Kealjabaran Bilangan Real

• Tertutup dalam penjumlahan dan perkalian

karena ∀ a,b ∊ R maka a+b=c ∊ R

juga a x b = q ∊ R

• Komutatif dalam penjumlahan dan perkalian

karena ∀ a,b ∊ R maka a+b = b+a

juga a x b = b x a

• Assosiatif

karena ∀ a,b,c ∊ R maka a+(b+c) = (a+b)+c

juga a x (b x c) = (a x b) x c

• Unsur Identitas

pada + yaitu 0, karena ∀ a ∊ R berlaku a + 0 = 0 + a = a

pada x yaitu 1, karena ∀ a ∊ R berlaku a x 1 = 1 x a = a

• Memenuhi syarat invers

Karena ∀a ∊ R, ∃a-1∊ R a + a-1 = a-1 +a = 0

Karena ∀b ∊ R, ∃b-1∊ R b x b-1 = b-1 x b = 1

• Distributif

Karena ∀ a,b,c ∊ R berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

PERTAKSAMAAN

Kesamaan : suatu persamaan yang tidak memiliki variabel.

Misal: 2+3 = 5

Persamaan: suatu persamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus

untuk mencari nilai variabel tsb.

Misal: 2x -5 = 9

Ketidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang tidak memiliki variabel.

Misal: 2+5 < 10

Pertidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian

khusus untuk mencari nilai variabel tsb.

Misal: 3x+6 >5

1. Pertaksamaan Linier

Contoh: 2x + 5 > 3

3x + 8 < x +10

-2 < 2x + 3 < 8

2x < 5x - 7 < 8x + 3

Dalam penyelesaian pertaksamaan linier gunakan kaidah additif dan multiplikatif dalam urutan

bilangan real, yaitu:

1. Pada tiap pertaksamaan dapat menambahkan bilangan real yang sama pada masing-masing ruas

tanpa mengubah tanda pertaksamaan

2. Pada setiap pertaksamaan dapat dikalikan bilangan yang sama untuk masing-masing ruas,

dengan catatan:

a. jika bilangan pengali ≥ 0, tanda pertaksamaan tetap

b. jika bilangan pengali < 0, tanda pertaksamaan dibalik

Contoh:

a. -3 < 2x + 5 < 9

Jawab: -3 -5 < 2x < 9 - 5

-8 < 2x < 4

-4 < x < 2

HP (-4, 2)

b. 2x < 5x - 7 < 8x + 3

2x < 5x – 7 dan 5x – 7 < 8x + 3

-3x < -7 -3x < 10

x > x >

| x | √

Jadi {x > 7/3} maka hp =

Pertidaksamaan Non Linier

Contoh: x2 +5x -6 > 0

untuk menyelesaikan pertaksamaan non linier perlu dilakukan langkah sebagai berikut:

1. Gunakan kaidah additif dan multiplikatif seperti pada pertaksamaan linier

2. Buat ruas kanan = 0

3. Buat ruas kiri menjadi faktor-faktor linier

4. Jika ruas kiri merupakan benttuk fungsi rasional buatlah masing-masing penyebut dan

pembilang menjadi faktor linier tersendiri

5. Tentukan nilai nol fungsi dari faktor linier pada ruas kiri

6. Dengan menggunakan garis bilangan real, tentukan ruas interval dengan pembagi di titik nol

fungsi yang diperoleh

7. Dengan menggunakan sample bilangan pada masing-masing ruas interval, yaitu:

a. jika positif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan > atau ≥

b. jika negatif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan < atau ≤

Contoh:

a. x2 – x – 6 > 0

(x-2) (x-3) > 0

x > 2 atau x > 3

Hp (2, ~) U (3,~)

b.

Persamaannya: -x + 7 = 0 maka x =7

2x – 1 = 0 maka x =1/2

Ujikan setiap interval ke pertidaksamaan awal

x √ x

½ 7

Karena penyebut 2x – 1 maka x ≠ 1/2

Jadi {½ < x ≤ 7} maka hp = (1/2, 7]

Nilai Mutlak

Nilai mutlak dituliskan dengan |x| didefinisikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan

=-x jika x < 0

Misal: |5| = 5; |-5|=5; |0|=0

Sifat-sifat nilai mutlak:

1. |ab|=|a| |b|

2. |a/b|=|a|/|b|

3. |a+b|=|a|+|b|

4. |a-b|=||a|-|b||

Penyelesaian nilai mutlak dapat menggunakan pengkuadratan atau dengan teorema:

1. |x|< a maka –a < x < a

2. |x|> a maka x > -a atau x > a

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut:

a. |3x-5|≥ 1

Karena persamaan lebih besar menggunakan teorema 2

Jawab: 3x-5 ≥ -1 atau 3x-5 ≥ 1

3x ≥ 4 3x ≥ 6

{x ≥4/3} {x ≥ 2}

hp [4/3,~] U [2,~]

b.

Karena pertidaksamaan lebih kecil menggunakan teorema 1

dan

Persamaannya: -9x +1 4 = 0 maka x = 14/9 Persamaannya: -3x+6 = 0 maka x = 2

2x – 5 = 0 maka x = 5/2 2x – 5 = 0 maka x = 5/2

Uji setiap intervalnya Uji setiap intervalnya

- + - + - +14/9 5/2 2 5/2

Karena penyebut 2x – 5 maka x ≠ 5/2

Yang memenuhi x ≤ 14/9 atau x > 5/2 Yang memenuhi x ≤ 2 atau x > 5/2

Jadi {x ≤ 14/9} ⋃ {x ≤ 2} ⋃ {x > 5/2}

Hp (- , 14/9] ⋃ (- ,2] ⋃ (5/2, )

c.

Mutlak di kedua ruas digunakan metode pengkuadratan.

Persamaannya: -x – 5 = 0 maka x =-5

x + 5 = 0 maka x = -5

ujikan tiap interval ke persamaan awal√ √ - 5

Jadi {x < -5} dan {x > -5} maka hp (-5, )⋃ (- ,-5)d.

Karena tanda lebih besar digunakan teorema 2

dan

Persamaan: 2x+3 = 0 maka x = -3/2 Persamaan: x-2 = 0 maka x = 2

x-2 = 0 maka x = 2

Ujikan tiap interval

- + - - + -3/2 2 2

Karena penyebut x – 2 maka x ≠ 2Jadi {-3/2 < x < 2} ⋃ {x > 2}

Hp (-3/2, 2) ⋃ (2, )

FUNGSI

Fungsi yaitu aturan yang memasang setiap elemen suatu himpunan dengan tepat pada suatu elemen

himpunan kedua.

A f(x) B

a 3

b 4

c 5

d 10

Keterangan:

A = {a,b,c,d} → domain / daerah asal

B = {3,4,5,10} → kodomaim / daerah kawan

C = {3,4,10} → range / daerah hasil

Aturan hubungan antara A dengan B → aturan fungsi f(x).

Contoh:

Diketahui A ={1,2,3} dan f(x) = 2x - 5. Tentukan range dari himpunan A tersebut. Dan gambarkan sketsa

grafiknya!

Jawab:

f (x) = 2x – 5 2

f(1) = 2(1) - 5 = -3 1

f(2) = 2(2) – 5 = -1 -3 -2 -1 1 2 3

f(3) = 2(3) – 5 = 1 -1

Jadi range adalah {-3, -1, 1} - 2

-3

Operasi Fungsi

Asal g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

(fog) (x) = f(g(x))

(hofog) (x) = h(fog(x))

Contoh:

Diketahui

a. (f.g)(2)

b. (f/g) (3)

c. (fog)(2)

d.

e.

f.

g.

Fungsi Invers

Contoh:

Diketahui f(t)= g(t)= h(t)=

a.

b. f-1(3)=

c.

d. g-1(1)

e.

f. h-1(2) =

g.

LIMIT

Limit bermakna “mendekati”. Misal bada bentuk .

Dalam hal ini, fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x =1 karena di titik ini f(x)= yang tanpa arti.

Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada x mendekai 1.

x

1,1 1,01 1,001 1

0,999 0,99 0,9

3,3103,0303,003

?

2,9972,9702,710

Definisi limit secara intuisi:

“Untuk menyatakan bahwa berarti bahwa jika x dekat tetapi berlainan dengan c, maka f(x)

dekat ke L”.

Contoh:

LIMIT SEPIHAK

Definisi:

“Suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada x = a, jika dan hanya jika ”

Contoh:

Jadi dapat disimpulkan bahwa = -1

Terdapat beberapa fungsi yang memungkinkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan,yaitu:

1. Fungsi bersyarat / tangga

2. Fungsi mutlak

3. Fungsi bilangan bulat terbesar

Contoh:

Karena maka

Karena maka tidak ada.

Ketentuan Penyelesaian Soal Limit

1. Jika f(x) bukan bentuk tak tentu

Maka

Contoh:

2. Jika f(x) merupakan bentuk tak tentu ( )

Lakukan alternative:

a. Menggunakan trik manipulasi aljabar dengan memperhatikan dalil-dalil limit dan atau rumus dasar limit

b. Menggunakan dalil l’hopital

Contoh:

3. Jika fungsi yang dicari limitnya merupakan fungsi khusus (f.bilangan bulat terbesar, f.mutlak, atau f.bersyarat) maka perlu meneliti limit kiri dan limit kanan.

Contoh:

Karena maka tidak ada.

Dalil-dalil Limit

Contoh soal:

Jika

Rumus dasar limit

Dalil L’hopital

Jika merupakan bentuk atau , maka:

= . . . dst s/d atau

Contoh:

KONTINUITAS

Yaitu untuk memerikan proses tanpa perubahan yang mendadak.Syarat kontinu :

Pada semua fungsi kecuali fungsi khusus, akan kontinu jika :

Teorema:1. Nilai mutlak suatu fungsi akan kontinu di setiap bilangan real.2. Jika f(x) dan g(x) kontinu di c, maka:

K f(x), (f +g) (x), (f - g)(x), (f . g)(x) , f(x)n juga akan kontinu di c.

kontinu di c f(c) > 0 jika n genap

kontinu di c jika g(c) ≠ 0

3. Jika dan f(x) kontinu di L maka

Jika g(x) kontinu di c dan f(x) kontinu di g(c) maka fungsi komposit (fog) kontinu di c4. f(x) kontinu pada selang terbukla (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f(x) kontinu pada selang

tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu di kanan a dan kontinu di kiri b.

Contoh Soal

1. Tentukan apakan f(x) kontinu di titik x = 2 a. f(x) = 2x3 – 6

Jawab:

Karena maka f(x) kontinu di x = 2

b. f(x) 2x + 5, untuk x ≠ 2

x2 + 5, untuk x = 2 Jawab:

Karena maka f(x) kontinu di x = 2

c. f(x) 3X – 2, untuk x ≤ 2

8 , untuk x > 2

Jawab:

Karena tidak ada maka f(x) tidak kontinu di x = 2

2. f(t) =| | Pada f(t) =| | selalu kontinu dibilangan manapun karena f(t) =| | =

3. g(t)=

∴ g(t) = diskontinu pada x = 2, karena g(2) tidak ada

4.

F(x) tidak kontinu jika

∴f(x) tidak kontinu pada titik x = -2 dan x =3

5. Tentukan nilai a & b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana.

f(x)

Jawab:Kemungkinan f(x) diskontinu, yaitu pada x=1 dan x=2. Agar f(x) kontinu pada semua x maka harus terpenuhi.1. 2.

Syarat 1 Syarat 2

Persamaan 1 dan 2

∴ a = 4 dan b = -2 agar f(x) dapat kontinu dimanapun

TURUNAN (DERIVATIF)

merupakan Turunan fungsi y = f(x) terhadap perubahan x

Contoh soal :

Buktikan turunan dari :

a. f(x) = x2

b. f(x) = sin x

c. f(x) = 3x2 – 5x + 6

Dalil turunan

Y = c (konstanta real)

Rumus-rumus dasar turunan:

Contoh Soal:

1. Tentukan turunan dari:

a. y = cos23x

y’ = D(cos 3x)2

y’ = 2 (cos 3x)2-1 .-sin 3x. 3

y’ = -6 sin 3x cos 3x

b.

D (sin2x) = 2 sin x cos x

D ( )

Y’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)

c.

D (3x2 – 4x)= 6x -4

D (x2 + 5x)= 2x + 5

H’(x) =

=

TURUNAN FUNGSI BERANTAI

Missal :

Sehingga : memiliki 2 cara penyelesaiaan.

1. dengan cara tak langsung → menggunakan pemisah-pemisah2. dengan cara langsung → filosofi mengupas kulit bawang

CONTOH :1. Dengan cara tak langsung tentukan Y’ dari : Y = Ln (cos (x2+3)) Jawaban :

Misal →

Maka →

Jadi turunan dari y = ln cos (x2+3) adalah -2x tan(x2 + 3)

2. y = (cos3(x2 - 6))4

Jawaban: y = (cos3(x2 - 6))4 = cos12(x2 - 6)

Misal

Maka

Jadi turunan dari y = (cos3(x2 - 6))4 adalah

Turunan fungsi implisit1. fungsi eksplisit

Yaitu fungsi yang variable terikatnya dapat dibuat dalam ruas terpisah dari variable terpisah.

Y = f(x) y = variable terikatf(x) = variable bebas

missal:

2. fungsi imlisitYaitu fungsi dimana variable terikatnya bercampur dalam satu rumus dengan variable bebas.

F(x,y)=0 misal:

Fungsi implisit dibagi 2, yaitu :1. fungsi implisit yang dapat di eksplisitkan

Contoh:

2. fungsi implisit yang tidak dapat di eksplisitkan

Contoh :

Kaidah-kaidah penurunan fungsi implisit:

Prinsip sama seperti menurunkan fungsi eksplisit, hanya saja setiap menurunkan variable

terikat (y) harus dikalikan dengan atau yI.

Contoh :

1. Dengan cara eksplisit

2. Dengan cara implisit

Maka derivatifnya / turunannya:

Contoh 2: y2+exy-3x = 0 Maka derivative atau turunannya: 2y.y’ + xy’exy + yexy – 3 = 0 2 y y’ + xy’exy = - yexy + 3 y’ (2y + x exy) = - yexy + 3

Contoh 3: x3 + 3y2 +4x2y +5 = 0 Maka derivative/ turunannya: 3x2+ 6yy’ + 8xy + 4x2y’ = 0

6yy’ + 4x2y’ = - 3x2 – 8xy y’ (6y +4x2) = - 3x2 – 8xy

APLIKASI TURUNAN

1. analisis bagian-bagian istimewa fungsi2. masalah optimasi (maks/min)3. garis singgung

C

A E B

D

Titik:A dan B : batas definitive fungsi

FI(x)=0 C : titik ekstrem maks FII(x)<0D : titik ekstrem min FI(x)=0

FII(x)>0E : titik belok → FII(x)=0Titik Stasioner f’(c) = 0Interval:

dan = interval monoton → FI(x) > 0CE dan ED = interval monoton → FI(x) < 0

= interval cabang ke bawah → FII(x) < 0EDB = interval cabang ke atas → FII(x) > 0

Contoh:

Diketahui

Ditanya : a. titik ekstrem maks, min , dan belok?b. interval fungsi monoton naik/turun?c. interval fungsi cekung ke bawah/atas?d. sketsa grafik fungsi tersebut?

Jawab :

a. Syarat ekstrem :

Untuk x = 1→ y = f(1) = 12 – 3.1 + 1 = 1 →(1,1) Untuk x = -1→ y = f(-1)= (-1)2 + 3.1 + 1= 3 → (-1,3)

FII(x) = 6xEkstrem minimum f’’(x) > 0

Untuk x = 1 maka f’’(1) = 6(1) = 6 { 6 > 0, titik minimum} Untuk x = -1 maka f’’(-1) = 6 (-1) = -6 { -6 < 0, titik maksimum}Titik belok f’’(x) = 0

6x = 0x = 0x = 0 maka y = f (0) = 02 – 3. 0 + 1 = 1 (0,1)

Jadi titik maksimum (-1, 3); Titik minimum (1,1)

Titik belok (0,1)b. interval monoton naik/turun

Dari FI(x)=3x2-3=0Diperoleh titik nol fungsi turuna 1 yaiti X=-1 dan X=1yI + - +

-1 1∴ interval fungsi monoton naik yaitu pada (-∼,-1)⋃(1,∼)∴interval fungsi monoton turun yaitu pada (-1,1)c. interval cekung ke bawah atau ke atas

dari f’’(x) = 6x = 0x = 0

- + y’’

0

∴ interval fungsi monoton cekung ke atas yaitu pada (0, ∼)∴interval fungsi monoton cekung ke bawah yaitu pada (-∼,0)

d. Titik stasioner f’(c) = 0 F’ (x) = 2x – 3 = 0

2x = 3

X =

F(x) = y = x2 - 3x + 1

Jd titik stasionernya adalah

d. Sketsa grafik

3

2

1

-3 -2 -1 1 2 3-1-2

Contoh: 1. tentukan 2 buah bilangan positif yang jumlahnya 10 dan memiliki hasil kali maximal.

Jawab :1. missal bilangan I = x dan bilangan II = 10-xKarena bilangan I dan II = x + (10 - x) = 10Hasil kali → H = x (10 - x)

= 10x-x2

Syarat ekstreem : H’ = 0 maka 10 -2x = 0 2x = 10 x = 5∴Bilangan I = 5 maka bilangan II = 10 -5 = 5

2. Akan dibuat tempat air dari plat kaleng yang sangat tipis yang alsnya berbentuk lingkaran dan dapat menampung air sebanyak 100 liter. Tentukan ikuran tempat air (jari-jari dan tinggi) agar bahan yang dipakai sehemat mungkin.catatan : tempat air tersebut tidak memakai tutup.Jawab:volume silinder

Luas Bahan

Syarat Ekstreem

Maka

Jadi panjang r cm dan h cm

Latihan Soal

1. Buatlah notasi interval daria. A = {…,3, 4, 5}b. B = {11,12,…,19,20}c. C = {1, 2, 3, …}

2. Selesaikan pertidaksamaan berikut!a. 3x+4 < 4x-5 < 7x+3b. -3 < 4x < 9

c.

d.

e.

f.

g.

3. Untuk cari dan sederhanakan

4. Untuk cari dan sederhanakan

5. Diketahui:

Tentukan : a. b. c. d.

6. Diketahui :

Ditanya: a. b. c. d.

7. limit dari

8. Tentukan nilai limit dari:

a. b.

9. Selidiki apakah fungsi berikut kontinu di x=1 dan x=-2 jika diketahui:

10. Nyatakan fungsi dibawah ini kontinu atau diskontinu. Berilah penjelasan!

11. tentukan kontinuitas fungsi

12. Tentukan Limit dari:

a.

b. 22.

c. 23.

d. 24.

e. 25.

13. Tentukan limit dari:

a.

b.

14. Tentukan turunan pertama (y’) daria. y = 2ln3(sin(tan(x2+1))b. y = xsinx + x lnx +x ex

c. y = cos2x (ln 2x)

d.

15. Tentukan dari

a. x3 + 3y2 + 4x2y + 5 = 0b. sin(xy2) – x3y + ey – 2x = 0

c.

16. Diketahui . Tentukan:

a. titik stasionernya b. fungsi naik dan fungsi turun c. titik balik maximum dan minimum d. gambar kurva dari pers tersebut!

17. Akan dibuat tempat air dari kaleng dengan bidang alas berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran-ukurannya supaya dapat memuat air sebanyak-banyaknya. Luas bahan yang digunakan 432 dm2 dan tebal bahan diabaikan.

18. Buktikan dengan

a. f(x) = 2x3 - 5x+3 maka f’(x) = 6x2 – 5b. f (x) = 5x2 - 6x + 5 maka f’(x) = 10x - 6