Struktur Bilangan ReaLBilangan kompleksBilangan imajiner Bilangan realBilangan Irrasional Bilangan RasionalBilangan pecahan Bilangan BulatBilangan bulat negative Bilangan cacahNol Bilangan asliBilangan prima bilangan kompositBilanganKompleksyaitubilanganyangadapadaduadimensi, yaitubilangan real dan bilangan imajiner. Bentuk umum Z = a+bi ;dimana a = bilangan real b = koefisien imajineri = imajinerBilangan real yaitu bilangan yang digunakan dalamilmu pengetahuan maupun kehidupan sehari-hari.Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam perbandingan dua buah bilangan bulat atau jika dalam bentuk desimal merupakan desimal yang berakhir atau jika tidak berakhir merupakan bentuk desimal berulang secara teratur.Contoh:a. 1,23 =123100b.1,256256256

2561000111100025610001999100025619991255999 + + +c.2,4444444

410211104102910429229 + + +Interval Bilangan RealBeberapa cara menyatakan interval bilangan real1. Menggunakan notasi himpunan2. Menggunakan garis3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum(batas min)Contoh:1. A = {1, 2, 3, 4}Secara Notasi:A = {x | 1 x 4, x R}Grafik garis: A =Suprimum dan infrimum : A = [1,4]Secara Notasi: A = {x |1 x < 5, x R}Grafik garis: A = Suprimum dan infrimum:A = [1,5)Secara Notasi: A = {x | 0 < x 4, x R}Grafik garis:A = Suprimum dan infrimum:A = (0,4]2. B = {1,2,3,. . .}Secara Notasi:B = {x | x 1, x R}Grafik garis:B =Suprimum dan infrimum:A = [1,)3. C = {, 8, 9, 10}Secara notasi:c = {x| x 10, x R}Grafik garis: C = Suprimum dan infrimum:C = (-~, 10]Sifat-sifat urutan bilangan real Trikotomi yaitu a, b Rmaka satu diantara berikut benar:a = ba > ba < b Transitif (silogisme)Menyatakan a, b, c R berlaku bilaa < b dan b < cmakaa < c Sifat Additif menyatakan a,b,c R berlaku bila a < b maka (a+c) < (b+c) Multiplikatif menyatakan a, b, c R berlaku bila a < b maka (a x c) < (b x c){untuk c > 0}(a x c) > (b x c){untuk c < 0}Sifat Kealjabaran Bilangan Real Tertutup dalam penjumlahan dan perkalian karena a,b Rmakaa+b=c R juga a x b = qR Komutatifdalam penjumlahan dan perkalian karena a,b Rmakaa+b = b+a jugaa x b = b x a Assosiatif karena a,b,c Rmaka a+(b+c) = (a+b)+cjugaa x (b x c) = (a x b) x c UnsurIdentitas pada+yaitu0, karena a R berlaku a + 0 = 0 + a = apadaxyaitu 1, karena a R berlakua x 1 = 1 x a = a Memenuhi syarat invers Karena a R,a-1 R a + a-1 = a-1 +a = 0Karena b R, b-1 Rb x b-1 = b-1 x b = 1 Distributif Karena a,b,c Rberlakua x (b + c) = (a x b) + (a x c)(a + b) x c = (a x c) + (b x c) PERTAKSAMAAN Kesamaan : suatu persamaan yang tidak memiliki variabel. Misal: 2+3 = 5 Persamaan: suatu persamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus untuk mencari nilai variabel tsb.Misal:2x -5 = 9 Ketidaksamaan: suatu pertidaksamaan yangtidak memiliki variabel.Misal: 2+5 < 10 Pertidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus untuk mencari nilai variabel tsb.Misal:3x+6 >51. Pertaksamaan LinierContoh: 2x + 5 > 33x + 8 < x +10-2 < 2x + 3 < 82x < 5x - 7 < 8x + 3Dalam penyelesaian pertaksamaan linier gunakan kaidah additif dan multiplikatif dalam urutan bilangan real, yaitu:1. Pada tiap pertaksamaan dapat menambahkan bilangan real yang sama pada masing-masing ruas tanpa mengubah tanda pertaksamaan 2. Pada setiap pertaksamaan dapat dikalikan bilangan yang sama untuk masing-masing ruas, dengan catatan:a. jika bilangan pengali 0, tanda pertaksamaan tetap b. jika bilangan pengali < 0, tanda pertaksamaan dibalik Contoh: a.-3 < 2x + 5 < 9Jawab: -3 -5 < 2x < 9 - 5-8 < 2x < 4-4 < x < 2HP (-4, 2)b. 2x < 5x - 7 < 8x + 32x < 5x 7 dan5x 7 < 8x + 3-3x < -7 -3x < 10x > 73x > 103| x | 103 73Jadi{x > 7/3}maka hp= 7,3 _

,Pertidaksamaan Non LinierContoh: x2 +5x -6 > 0 3 522 1xx+>untuk menyelesaikan pertaksamaan non linier perlu dilakukan langkah sebagai berikut:1. Gunakan kaidah additif dan multiplikatif seperti pada pertaksamaan linier2. Buat ruas kanan = 03. Buat ruas kiri menjadi faktor-faktor linier4. Jika ruas kiri merupakan benttuk fungsi rasional buatlah masing-masing penyebut dan pembilang menjadi faktor linier tersendiri 5. Tentukan nilai nol fungsi dari faktor linier pada ruas kiri 6. Denganmenggunakangarisbilanganreal, tentukanruasinterval dengan pembagi di titik nol fungsi yang diperoleh 7. Denganmenggunakansamplebilanganpadamasing-masingruasinterval, yaitu:a. jika positif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan > atau b. jika negatif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan < atau Contoh:a. x2 x 6 > 0(x-2) (x-3) > 0x > 2ataux > 3Hp (2, ~) U (3,~)b.3 522 1xx+3 52 02 13 5 2(2 1)02 1 2 13 5 4 202 1702 1xxx xx xx xxxx+ + + + +Persamaannya: -x + 7 = 0 maka x =72x 1 = 0 maka x =1/2Ujikan setiapinterval ke pertidaksamaan awal x x 7Karena penyebut 2x 1 maka x 1/2Jadi{ < x 7} maka hp = (1/2, 7]Nilai MutlakNilai mutlak dituliskan dengan |x| didefinisikan dengan |x| = xjika x 0 dan =-x jika x < 0Misal:|5| = 5; |-5|=5; |0|=0Sifat-sifat nilai mutlak:1. |ab|=|a| |b|2. |a/b|=|a|/|b|3. |a+b|=|a|+|b|4. |a-b|=||a|-|b||Penyelesaian nilai mutlak dapat menggunakan pengkuadratan atau dengan teorema:1. |x|< amaka a < x < a2. |x|> a maka x > -a atau x > aContoh:1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut:a. |3x-5| 1Karena persamaan lebih besar menggunakan teorema 2Jawab: 3x-5 -1 atau 3x-5 13x 4 3x 6{x 4/3}{x 2}hp[4/3,~] U [2,~]b.3 132 5xx +Karena pertidaksamaan lebih kecil menggunakan teorema 13 132 53 13 02 53(2 5) 3 102 5 2 56 15 3 102 59 1402 5xxxxx xx xx xxxx+ + + + +dan3 132 53 13 02 53 1 3(2 5)02 5 2 53 1 6 1502 53 1602 5xxxxx xx xx xxxx++ + + + +Persamaannya: -9x +1 4 = 0maka x = 14/9 Persamaannya:-3x+16 =0 maka x = 16/32x 5 = 0maka x = 5/22x 5=0 maka x = 5/2Uji setiap intervalnya Uji setiap intervalnyavx x vxv14/9 5/2 5/2 16/3 v v 14/9 5/2 16/3Karenapenyebut 2x 5 maka x 5/2Yang memenuhi x 14/9 U x 16/3 c. 5 2 5 x x + < +Mutlak di kedua ruas digunakan metode pengkuadratan.( )( )2 2222 22( 5) 2( 5)10 25 2 1010 25 4 40 1003 30 75 0( 3 15)( 5) 0x xx x xx x x xx xx x+ < ++ + < ++ + < + + < + -5}maka hp (-5,) (- ,-5)d.512xx+>Karena tanda lebih besar digunakan teorema 251251 025 202 25 2022 302xxxxx xx xx xxxx+< ++ + +>>Persamaan: 2x+3 = 0 maka x = -3/2 Persamaan: x-2=0 maka x = 2x-2 = 0 maka x = 2Ujikan tiap interval x vvv v-3/2 2 2 v-3/2 2Karena penyebut x 2maka x 2 maka Hp { x > 2}FUNGSIFungsi yaitu aturan yang memasang setiap elemen suatu himpunan dengan tepat pada suatu elemen himpunan kedua.A f(x) B a 3b 4c5d10Keterangan:A = {a,b,c,d} domain / daerah asal B = {3,4,5,10} kodomaim / daerah kawan C = {3,4,10} range / daerah hasil Aturan hubungan antara A dengan B aturan fungsi f(x).Contoh:Diketahui A ={1,2,3} dan f(x) = 2x - 5. Tentukan range dari himpunan A tersebut. Dan gambarkan sketsa grafiknya!Jawab:f (x) = 2x 52f(1) = 2(1) - 5 = -31f(2) = 2(2) 5 = -1 -3-2 -1 1 2 3f(3) = 2(3) 5 = 1-1Jadi range adalah {-3, -1, 1}- 2-3Operasi FungsiAsal g(x) 0Komposisi fungsi(fog) (x) = f(g(x))(hofog) (x) = h(fog(x))Contoh:Diketahui2( ) 1 fx x 22( )( ) 4g xxh x x x +a. (f.g)(2) 222( . )( ) 1.2 1f g x xxxx 22 (2) 1( . )(2)23f gb. (f/g) (3)( )2 21 122f x x xxgx _ ,( )23 (3) 1 33 82 2fg _ ,c. (fog)(2)( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( . )( ) ( ). ( )( )( / )( )( )f g x fx g xf g x fx g xf g x fx g xfxf g xg x+ + 2( )( ) ( ( ))2( )21412fog x fg xfxxx _ , _ ,4( )(2) 1(1)3fog _ ,d. 2( )() ( (()) ( ( 4)) gofoh x g f h x g f x + 2 22 2( ( 4) 12( 4) 1g x xx x + + e. 2 22( )(1)((1) 4(1)) 1gofoh +

2 2 212 5 1 4 f. 22(2) (3) 3 1 1 82g f + + + g.( )2 2(1). (2) (1 4). 2 1 5 3 h f + Fungsi Invers( ) ( )( ) ( )11 111 1fog x g o fgof x f o g Contoh:Diketahuif(t)= 2 57t +g(t)= 2295 6tt t +h(t)= 26 t t + a. 12 5( ) ( )7tf t f t+12 577 2 52 7 57 527 5( )2tyy tt yyttf t+ + +b. f-1(3)= 7.3 5 26132 2+ c. 2129( ) ( )5 6tg t g tt +22195 6( 3)( 3)( 3)( 2)( 3)( 2)2 33 2( 1) 3 23 213 2( )1tytt tyt ttytyt y tyt t yt y yytytg tt + + +++ + + ++++d. g-1(1) 3 2.1 51 1 2+ +e. 1 2( ) ( ) 6 h t h t t t + 22216( 1) 7( 1) 71 77 1( ) 7 1y t ty tt yt yt yh t t + + + ++ + + + f. h-1(2) = 2 7 1 9 1 3 1 2 + g. 1( ) ( ) foh t( )( ) ( ( )) foh t f h t 222( 6)2( 6) 572 17f t tt tt t + + ++ 222212 177 2 12 187 24 1618 27 216 418 27 216 418 22 716 418 2716 4218 2716 4( ) ( )2t tyy t ty ty ty tt yyttfoh t+ + _ + + , _ + , + h. (hog)-1 (x)( )( )( )-1 -1 -1-1 -1-1 (hog)(x) = go h= g (h (x)) = g t+7 13 2 t+7 1 t+7 1 11 2 7 7 2tt+ + ++ i. (f+h) (5) = f(5) + h(5)22(5) 5(5 5 6)71524715 1687 71837+ + + + +LIMITLimit bermakna mendekati. Misal bada bentuk ( )311xf xx .Dalam halini, fungsitersebut tidak terdefinisi pada x =1 karena dititik ini f(x)=00 yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada x mendekai 1.x311xxy1,11,011,001

10,9990,990,93,3103,0303,003?2,9972,9702,710Definisi limit secara intuisi:Untuk menyatakan bahwa lim ( )x c fx Lberarti bahwa jika x dekat tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L. Contoh:311lim 31xxx;LIMIT SEPIHAKDefinisi: Suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada x = a, jika dan hanya jika lim ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x cfx fx fx + Contoh: 235 6lim3xx xx+ ++( ) ( )( )23 335 6 ( 3)( 2)lim lim3 ( 3)lim( 2)3 21x xxx x x xx xx + + + ++ + + + ( ) ( )( )23 335 6 ( 3)( 2)lim lim3 ( 3)lim( 2)3 21x xxx x x xx xx+ ++ + + + ++ + + + Jadi dapat disimpulkan bahwa 235 6lim3xx xx+ ++= -1Terdapat beberapa fungsiyang memungkinkan limit kiritidak sama dengan limit kanan,yaitu:1. Fungsi bersyarat / tangga2. Fungsi mutlak3. Fungsi bilangan bulat terbesarContoh:11lim1xxx++( ) ( )1 11 ( 1)lim lim 11 1x xx xx x + + + +( ) ( )1 11 ( 1)lim lim 11 1x xx xx x+ + + + + +Karena ( ) ( )1 11 1lim lim1 1x xx xx x + + ++ +maka 11lim 11xxx++11lim1xxx++( )( ) ( )1 11 1lim lim 11 1x xx xx x + + + +( )( ) ( )1 11 1lim lim 11 1x xx xx x+ + + + + +Karena ( ) ( )1 11 1lim lim1 1x xx xx x + + ++ +maka 11lim1xxx++tidak ada.Ketentuan Penyelesaian Soal Limit1. Jika f(x) bukan bentuk tak tentuMaka lim ( ) ( )x a fx f aContoh:( )2 22lim2 2 2(2) 2 6xx 2. Jika f(x) merupakan bentuk tak tentu (0 000, , 0. , ,1, , 0 )Lakukan alternative:a. Menggunakan trik manipulasi aljabar dengan memperhatikan dalil-dalil limit dan atau rumus dasar limitb. Menggunakan dalil lhopitalContoh:( )3 21 12121 ( 1) ( 1)lim lim1 ( 1)lim 11 1 13x xxx x x xx xx x + + + + + +9 99 ( 3)( 3)lim lim3 39 36x xx x xx x + +3. Jika fungsi yang dicari limitnya merupakan fungsi khusus (f.bilangan bulat terbesar, f.mutlak, atau f.bersyarat) maka perlu meneliti limit kiri dan limit kanan.Contoh: 1lim2 1xx+ ( )1lim 2 1 2.0 1 1xx+ + ( )1lim 2 1 2.1 1 3xx++ + Karena ( ) ( )1 1lim 2 1 lim 2 1x xx x + + +maka 1lim2 1xx+tidak ada.Dalil-dalil Limit[ ][ ] [ ] [ ]( )limlim. ( ) lim ( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )lim ( ). ( ) lim ( ) .lim ( )lim ( )( )lim( ) lim ( )lim( ( )) lim ( )limln ( ) ln limx ax a x ax a x a x ax a x a x ax ax ax annx a x ax a x ac ck fx k fxfx g x fx g xfx g x fx g xfxfxg x g xfx fxfx 11t t ] ] 1 ]lim ( )( )( )lim ( ) lim ( )lim( ( )) lim ( )x annx a x ag xg xx a x afxfx fxfx fx 1 ] 1 ]Contoh soal:( ) ( )( )( )22121 1 1882 23 3828lim 12 1 21 12 1 12lim lim lim1 12lim2 5 2 lim2 5 22.3 5.3 2(5)390625lim( 5 1) lim( 5 1)(1 5.1 1)(5)25xx x xx xxxx xx x x xx x x xx x x x ++ ++ + + 1 + + ] ++ + + Jikalim ( ) 2 lim ( ) 8. :x a x afx dan g x Tentukan ( ) ( )( )( )3 333. lim ( ) ( ) 3 lim ( ).lim ( ) 3lim ( ). lim ( ) lim38. 2 32.(5)102lim ( ) 3lim ( )2 ( ) 3 ( ). lim( ) ( ) lim ( ) lim ( )2.2 3( 8)2 ( 8)4 246286143x a x a x ax a x a x ax a x ax ax a x aa g x fx g x fxg x fxfx g xfx g xbfx g x fx g x + + + + + + ++ Rumus dasar limit0 00 0lim 0 ; ....lim 0...1lim 0sinlim lim 1sintanlim lim 1tanxnmxxxx xx xaa Brealxauntuk n mbaxuntuk n mbxuntuk n muntuk a ba aketentuan untuk a bb buntuk a bx xx xx xx x + 3 23 24 4 44 44 42 342 345 7 55 7 5lim lim8 5 8 55 7 5lim585 7 5580 0 08 0080x xxx x xx x xx x xx xx xx x xx + + +++ ++ ++ +0 02sin4 sin4 4 7lim 2lim . .tan7 tan7 4 7x xx x x xx x x x 000sin4 7 42lim . .4 tan7 742lim.1.1.742.1.1.lim742.787xxxx x xx x xxxxx//121 52 5 2lim lim1 5 25 1 25xx xxx xxx _+ + ,+ _+ ,11 522lim511 2511 522511 25(1 0)0.(1 0)10. 01xxxx _ _+ , _ , _ , _+ , , _ _+ , _ , _ , _+ , ,++ Dalil LhopitalJika ( )( )( )g xfxh xmerupakan bentuk 00atau , maka:( ) '( )lim lim( ) '( )"( )lim"( )x a x ax ag x gxh x h xg xh x = . . .dsts/d00atau Contoh:3 20 000sin 1 coslim lim3sinlim6coslim6cos 0616x xxxx x xx xxxx KONTINUITASYaitu untuk memerikan proses tanpa perubahan yang mendadak.Syarat kontinu :( ) lim ( )x af a fxPada semua fungsi kecuali fungsi khusus, akan kontinu jika :lim ( ) lim ( ) ( )x a x afx fx f a + Teorema:1. Nilai mutlak suatu fungsi akan kontinu di setiap bilangan real.2. Jika f(x) dan g(x) kontinu di c, maka: K f(x), (f +g) (x), (f - g)(x), (f . g)(x) , f(x)n juga akan kontinu di c. ( )n fx kontinu di c f(c) > 0 jika n genap( )( )fxg x kontinu di c jika g(c) 03. Jika lim ( )x c g x L dan f(x) kontinu di L maka lim ( ) lim ( ( )) ( )x c x cfog x fg x fL Jika g(x) kontinu di c dan f(x) kontinu di g(c) maka fungsi komposit (fog) kontinu di c4.f(x) kontinu pada selang terbukla (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f(x) kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu di kanan a dan kontinu di kiri b.Contoh Soal1. Tentukan apakan f(x) kontinu di titik x = 2 a. f(x) = 2x3 6 Jawab: 3 32lim2 6 2.2 6 10xx

3(2) 2.2 6 10 f Karena 32lim2 6 (2) 10xx f maka f(x) kontinu di x = 2 b. f(x) 2x + 5, untuk x 2 x2 + 5, untuk x = 2Jawab:

2222lim 2 5 2.2 5 9lim 2 5 2.2 5 9lim ( ) 9(2) 2 5 9xxxxxfxf++ + + + + Karena 2lim ( ) (2) 9xfx f maka f(x) kontinu di x = 2 c. f(x) 3X 2, untuk x 2 8, untuk x > 2Jawab:222lim 3 2 3.2 2 4lim 8 8lim ( )(2) 3.2 2 4xxxxfx tidak adaf+ Karena 2lim ( )xfxtidak ada maka f(x) tidak kontinu di x = 22.f(t) =|22 5 t t + | Pada f(t) =|22 5 t t + | selalu kontinu dibilangan manapun karena f(t) =|22 5 t t + | = 22 5 t t +3. g(t)= 382tt

3 22 22228 ( 2)( 2 4)lim lim2 ( 2)lim 2 42 2.2 412t ttt t t tt tt t + + + + + +32 8(2)2 200g: g(t) =382ttdiskontinu pada t = 2, karena g(2) tidak ada4. 22 3( )6xfxx x+ F(x) tidak kontinu jika 26 x x 26 0( 3)( 2) 03 2x xx xx dan x + f(x) tidak kontinu pada titik x = -2 dan x =35. Tentukan nilai a & b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana.f(x)1 11 23 2x jika xax b jika xx jika x+ 0Untuk x = 1 maka f(1) = 6(1) = 6 { 6 > 0, titik minimum} Untuk x = -1 maka f(-1) = 6 (-1) = -6 { -6 < 0, titik maksimum}Titik belok f(x) = 06x = 0x = 0x = 0 maka y = f (0) = 03 3. 0 + 1 = 1 (0,1)Jadititik maksimum (-1, 3);Titik minimum (1,1) Titik belok (0,1)b. interval monoton naik/turunDari FI(x)=3x2-3=0Diperoleh titik nol fungsi turunan 1 yaitu X=-1 dan X=1yI+ - +-1 1 interval fungsi monoton naik yaitu pada (-,-1)(1,)interval fungsi monoton turun yaitu pada (-1,1)c. interval cekung ke bawah atau ke atasdari f(x) = 6x = 0x = 0 - + y 0 interval fungsi monoton cekung ke atasyaitu pada (0, )interval fungsi monoton cekung ke bawahyaitu pada (-,0)d. Titik stasioner pada f(x) = 0Jadi titik stasioner pada x = 1 atau x = -1e. Sketsa grafik321-3-2 -1123-1-2Contoh: 1. tentukan 2 buah bilangan positif yang jumlahnya 10 dan memiliki hasil kali maximal.Jawab :1. missal bilangan I = x dan bilangan II = 10-xKarena bilangan I dan II = x + (10 - x) = 10Hasil kali H = x (10 - x)= 10x-x2Syarat ekstreem : H = 0 maka10 -2x = 02x = 10 x = 5Bilangan I = 5 maka bilangan II = 10 -5 = 52. Akan dibuat tempat air dari plat kaleng yang sangat tipis yang alasnya berbentuk lingkaran dan dapat menampung air sebanyak 1000 liter. Tentukan ukuran tempat air (jari-jari dan tinggi) agar bahan yang dipakai sehemat mungkin.catatan : tempat air tersebut tidak memakai tutup.Jawab:volume silinder223 22100010000001000000v r hl r hcm r hhrLuas Bahan22222 1210000002 .10000002.2000000L r rhr rrrrr r + + + +Syarat Ekstreem 0dLdr22333132 2000000 02 2000000100000010000001000000100dLr rdrr rrrrr Maka 221/ 32/ 31/ 310000001000000100100000010000100hr _ ,Jadi panjang r 1/ 3100 cm dan h 1/ 3100 cmLatihan Soal1. Buatlah notasi interval daria. A = {,3, 4, 5}b. B = {11,12,,19,20}c. C = {1, 2, 3, }2. Selesaikan pertidaksamaan berikut!a. 3x+4 < 4x-5 < 7x+3b. -3 < 4x < 9c.3 815 6xx+d.2 527xx+e.4 522 8xx+> +f.712 3xx+