BAGIAN KETIGA

Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral

101

102 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real 103

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12.1 Luas Daerah di Bawah Kurva

Masalah menentukan luas daerah (dan volume ruang) telah dipelajari sejakera Pythagoras dan Zeno, pada tahun 500-an SM. Konsep integral (yang terkait eratdengan luas daerah) berpijak pada metode exhaustion, yang telah dipakai oleh Platodan Eudoxus, dan kemudian oleh Euclid dan Archimedes, untuk menghitung luasdaerah lingkaran.

Pada 1630-an, Pierre de Fermat tertarik untuk menghitung luas daerah di bawahkurva. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahasluas daerah di bawah kurva y = f(x)? Jika ya, bagaimanakah kita menghitungnya?

Gambar 12.1 Daerah di bawah kurva y = f(x)

Jika memang masuk akal untuk membahas luas daerah di bawah kurva y = f(x),maka luas daerah ini setidaknya mestilah lebih besar daripada L, yang menyatakanluas daerah yang diarsir pada Gambar 12.2 .

104 Hendra Gunawan

Gambar 12.2 Luas daerah L

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperolehsebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2.Maka luas daerah di bawah kurva y = f(x) mestilah lebih besar daripada setiapanggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan luas daerah di bawahkurva y = f(x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L,yakni supL.

Contoh 1. Misalkan f(x) = x2, x [0, 1]. Maka, dengan membagi interval [0, 1]atas n interval bagian yang sama panjang dan menghitung jumlah luas daerah persegi-panjang yang terbentuk, luas daerah di bawah kurva y = f(x) mestilah lebih besardaripada

1n

[0 +

12

n2+

22

n2+ + (n 1)

2

n2

].

Jumlah deret ini sama dengan

(n 1)n(2n 1)6n3

.

Mengingat (n1)n(2n1)6n3 13 untuk tiap n N dan

(n 1)n(2n 1)6n3

13

untuk n , maka bilangan terkecil yang lebih besar daripada (n1)n(2n1)6n3 untuktiap n N adalah 13 . Jadi, luas daerah di bawah kurva y = f(x) adalah

13 .

Pengantar Analisis Real 105

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa (n1)n(2n1)6n3 13 untuk tiap n N, dan simpulkan bahwa

supnN

(n1)n(2n1)6n3 =

13 .

2. Tentukan luas daerah di bawah kurva y = 1 + x, x [0, 1], dengan cara sepertipada Contoh 1. Apakah hasil yang diperoleh sesuai dengan pengetahuan ge-ometri kita?

12.2 Integral

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Definisikan partisi dari [a, b] sebagaihimpunan P := {x0, x1, . . . , xn} dengan

a = x0 < x1 < < xn1 < xn = b.

Karena f kontinu pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b]. Jadi, diberikansembarang partisi P := {x0, x1, . . . , xn} dari [a, b], kita dapat mendefinisikan

mk := infxk1xxk

f(x),

untuk k = 1, 2, . . . , n. Dengan demikian, untuk tiap partisi P , kita dapat membentukderet

L(P, f) :=n

k=1

mk(xk xk1).

(Buatlah suatu ilustrasi yang menyatakan nilai L(P, f).)

Misalkan f terbatas di atas pada [a, b], katakanlah

f(x) M, x [a, b].

Maka

L(P, f) Mn

k=1

(xk xk1) = M(b a).

Jadi himpunan bilangan {L(P, f) : P partisi dari [a, b]} terbatas di atas oleh M(ba),dan karena itu ia mempunyai supremum.

106 Hendra Gunawan

Sekarang kita sampai pada definisi integral. Jika f kontinu pada interval [a, b],maka kita definisikan integral dari f pada [a, b] sebagai b

a

f(x) dx := supP

L(P, f),

dengan nilai supremum diambil atas semua partisi P dari [a, b].

Dalam hal f(x) 0 untuk setiap x [a, b], maka b

af(x) dx dapat diinterpre-

tasikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x).

Sebagai tambahan, jika a < b, maka kita definisikan ab

f(x) dx := b

a

f(x) dx.

Selain itu, untuk sembarang a R, kita definisikan aa

f(x) dx := 0.

Proposisi 2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan m f(x) M untuk tiap x [a, b].Maka

m(b a) b

a

f(x) dx M(b a).

Proposisi 3. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan a c b. Maka ba

f(x) dx = c

a

f(x) dx + b

c

f(x) dx.

Catatan. Bukti Proposisi 3 agak panjang; lihat [2].

Soal Latihan

1. Buktikan Proposisi 2.

2. Buktikan bahwa b

ac dx = c(b a).

3. Diketahui f(x) = x, x [a, b]. Buktikan bahwa

L(P, f) 12(b2 a2)

Pengantar Analisis Real 107

untuk sebarang partisi P dari [a, b]. Selanjutnya, dengan menggunakan definisiintegral, buktikan bahwa b

a

f(x) dx =12(b2 a2).

12.3 Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f terdefinisi pada (a, b). Misalkan F kontinu pada [a, b] dan mempu-nyai turunan pada (a, b) dengan

F (x) = f(x)

untuk tiap x (a, b). Maka F disebut sebagai anti turunan dari f pada [a, b].

Contoh 4. Jika f(x) = x3, maka fungsi F yang didefinisikan sebagai

F (x) =14x4 + 5

merupakan suatu anti turunan dari f . Secara umum, fungsi G yang didefinisikansebagai

G(x) =14x4 + C,

dengan C konstanta, merupakan anti turunan dari f .

Pembaca mungkin bertanya: apa urusannya anti turunan dengan integral? Un-tuk menjawab pertanyaan ini, misalkan f kontinu pada [a, b]. Definisikan F pada[a, b] sebagai

F (x) := x

a

f(t) dt, x [a, b].

Dalam teorema berikut, kita akan menunjukkan bahwa F merupakan suatu anti tu-runan dari f pada [a, b].

Teorema 5 (Teorema Dasar Kalkulus I). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan Fdidefinisikan pada [a, b] sebagai

F (x) := x

a

f(t) dt, x [a, b].

108 Hendra Gunawan

Maka, F merupakan suatu anti turunan dari f pada [a, b]; yakni, F kontinu pada[a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan F (x) = f(x) untuk tiap x (a, b).

Bukti. Karena f kontinu pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b], katakanlah

|f(t)|

untuk tiap t [a, b]. Selanjutnya, untuk x, c [a, b], kita mempunyai

F (x) F (c) = x

c

f(t) dt,

sehingga|F (x) F (c)| |x c|.

Jadi F kontinu pada [a, b].

Selanjutnya perhatikan bahwa untuk x 6= c kita mempunyai

F (x) F (c)x c

f(c) = 1x c

xc

[f(t) f(c)] dt.

Karena f kontinu di c, kita dapat memilih > 0 sedemikian sehinggaF (x) F (c)x c

f(c) < ,

untuk 0 < |x c| < . Ini menunjukkan bahwa F (c) = f(c), dan ini berlaku untuksetiap c [a, b].

Teorema 6 (Teorema Dasar Kalkulus II). Setiap fungsi f yang kontinu pada[a, b] mempunyai anti turunan pada [a, b]. Jika G adalah anti turunan dari f pada[a, b], maka b

a

f(t) dt = G(b)G(a).

Bukti. Definisikan fungsi F pada [a, b] sebagai

F (x) := x

a

f(t) dt, x [a, b].

Maka, F merupakan suatu anti turunan dari f pada [a, b], dan ba

f(t) dt = F (b) = F (b) F (a).

Pengantar Analisis Real 109

Sekarang, jika G adalah anti turunan dari f pada [a, b], maka

G(x) = F (x) + C, x [a, b],

suatu konstanta C. Karena itu, ba

f(t) dt = [F (b) + C] [F (a) + C] = G(b)G(a),

sebagaimana yang kita harapkan.

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa 10

x2dx = 13 .

2. Misalkan r Q, r 6= 1. Buktikan bahwa 10

xrdx = 1r+1 .

3. Misalkan f dan g kontinu pada [a, b]. Buktikan, dengan menggunakan TeoremaDasar Kalkulus II, bahwa untuk setiap , R, berlaku b

a

[f(x) + g(x)] dx = b

a

f(x) dx + b

a

g(x) dx.

4. Misalkan f dan g kontinu pada [a, b]. Buktikan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz:[ ba

f(x)g(x) dx]2

ba

[f(x)]2dx b

a

[g(x)]2dx.

110 Hendra Gunawan

13. INTEGRAL RIEMANN

13.1 Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah

Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefini-sikan integral

ba

f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerahpersegi-panjang kecil di bawah kurva y = f(x). Sesungguhnya, kita dapat pulamendefinisikan integral

ba

f(x) dx sebagai infimum dari himpunan semua jumlah luasdaerah persegi-panjang kecil di atas kurva y = f(x). Dalam hal f kontinu pada [a, b],kedua definisi tersebut akan menghasilkan nilai yang sama.

Pada bab ini, kita akan memperluas definisi integral untuk fungsi f : [a, b] Ryang terbatas, sebagaimana yang dilakukan oleh Bernhard Riemann pada 1850-an.

Seperti pada Sub-bab 12.2, diberikan sembarang partisi P := {x0, x1, . . . , xn}dari [a, b], kita dapat mendefinisikan

L(P, f) :=n

k=1

mk(xk xk1).

dengan mk := infxk1xxk

f(x), k = 1, 2, . . . , n. Pada saat yang sama, kita juga dapat

mendefinisikan

U(P, f) :=n

k=1

Mk(xk xk1).

dengan Mk := supxk1xxk

f(x), k = 1, 2, . . . , n.

L(P, f) dan U(P, f) disebut sebagai jumlah Riemann bawah dan jumlah Rie-mann atas dari f yang berkaitan dengan partisi P . Perhatikan bahwa

L(P, f) U(P, f)

untuk sembarang partisi P .

Pengantar Analisis Real 111

Selanjutnya, jika P := {x0, x1, . . . , xn} dan Q := {y0, y1, . . . , ym} adalah partisidari [a, b], maka Q disebut sebagai suatu perhalusan dari P apabila setiap titik partisixk P merupakan titik partisi di Q, yakni P Q. Dalam hal ini, setiap sub-intervalyang terkait dengan partisi P dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa sub-interval yang terkait dengan partisi Q, yakni

[xk1, xk] = [yi1, yi] [yi, yi+1] [yj1, yj ].

Catat bahwa kita dapat memperoleh suatu perhalusan dari sembarang partisi P de-ngan menambahkan sejumlah titik ke P .

Proposisi 1. Jika Q merupakan perhalusan dari P , maka L(P, f) L(Q, f) danU(Q, f) U(P, f).

Akibat 2. Jika P1 dan P2 adalah dua