pembelajaran m a t e m a t i k a “ dia yang menjadikan ... · pdf filedengan menggunakan...
TRANSCRIPT
“ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya,
serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu
mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”
(QS Yunus:5 )
M a t e m a t i k a ....
Pembelajaran
Pendahuluan Luas
Sifat :
- Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif
- Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama)
- Daerah kongruen mempunyai luas yang sama
- Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis = Luas kedua daerah
- Jk daerah 1 ada di daerah 2 maka Luas daerah daerah = Luas d2 kurang/samadg Luas d1
Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkandalam penghitungan Luas
30
)196)(1(321
2
)1(321
6
)12)(1(321
2
)1(321
234444
1
4
23333
1
3
2222
1
2
1
nnnnnni
nnni
nnnni
nnni
n
i
n
i
n
i
n
i
Pendahuluan
Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan
pijakan dalam menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
Luas sebagai limit
X
Y
xy sin
Menentukan luas daerah dengan
limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping.
Langkah :
1) Partisi
2) Aproksimasi,
3) Jumlahkan dan
4) Hitung limitnya.
Langkah menghitung luas daerah
dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
2. Partisilah daerah tersebut.
3. Masing-masing partisi buatlah
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang pada
interval [xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit jumlahnya
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x
Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ )
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3
dengan menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.
Langkah penyelesaian:
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0
x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
23i 1
27L i
n
nn
i
nix3
2)1(3321iL
Jawab
4. Jumlahkan luas semua partisi
1
0
2
31
27L
n
ii
n
222
3...21
27L n
n
)12)(1(6
127L
3 nnn
n
)2)(1(2
9L 11
nn
5. Tentukan limitnya
)2)(1(2
9L 11
limnn
n
9)02)(01(2
9L
Jadi luas daerah = 9 satuan
6
)12)(1(
1
2
nnn
n
k
k
0
x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2
x3
y
Perhatikan gambar di
bawahMisalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian
(lebar tidak harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi]
diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann
dituliskan sebagai :
k
n
kk xxf Δ )(
1
y
a
x
0 b
xi-1 xixk
xi
Integral Tentu
Selanjutnya didefinisikan bahwa:k
n
kk
nxxfdxxf Δ )( lim )(
1
b
a
Bentuk b
a
)( dxxf
disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 2.
Jawab
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F
adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxf
b
a
bax)(F
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a bx
y
a
x
0 b
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas
Partisi
Berubah
Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
i
n
ii
n
b
a
xxfdxxfL 1
)()( lim
Kegiatan pokok dalam menghitung
luas daerah dengan integral tentu
adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
a
dxxf0
)(L
Menghitung Luas dengan Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
Menghitung Luas dengan Integral
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0x54
24)( xxxf dxxx 4
0
2)4(L dxxx 5
4
2)4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 5
Contoh 4.
Jawab
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx 5
4
2)4(A
y
0x54
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
54
33122A xx
33123
312 )4()4(2)5()5(2A
364
3125 3250A
18A361
1832 daerah Luas361
364
13 daerah Luas
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada
selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi,
aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat
ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
dxxgxfb
a )()(L
)(xfy
)(xgy
0
xLi
x
x
)()( xgxf
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Contoh 5.
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
Jawab
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1
23
3
22L
xxx
3
3)2(
2
2)2(
3
312
21 )2(2)1(2L
38
31
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
Untuk kasus tertentu
pemartisian secara vertikal
menyebabkan ada dua bentuk
integral. Akibatnya diperlukan
waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy
y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
a
dxxgxf )()(
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah
tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari
sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0
x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
c
dyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
Contoh 6.
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y –
2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
5. Tentukan limitnya
L = lim (6 - y - y2)y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Liy
y
2)6( yy
Jawab
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Li yy
2)6( yy
Luas daerah =
2
03
3
26
yy
y
Luas daerah = 03
3222)2(6
Luas daerah =
38112
Luas daerah = 325