ma3231 analisis real - · pdf filema3231 analisis real hendra gunawan* ... demikian pula kita...

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 29 March 2017 1 / 24

BAB 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN

1 14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann

2 14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann

3 14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral


14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann

Pada bab ini kita akan mempelajari sifat-sifat dasar integral Riemann.

Sifat pertama adalah sifat kelinearan, yang dinyatakan dalamProposisi 1.

Sepanjang bab ini, I menyatakan interval [a, b], kecuali bila kitanyatakan lain.

Proposisi 1. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada I, dan λ ∈ Rsuatu konstanta. Maka λf dan f + g terintegralkan pada I dan∫ b

a

λf(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx, (1)

∫ b

a

(f + g)(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx. (2)



Bukti. (1) Jika λ = 0, maka pernyataan tentang λf jelas benar.Sekarang tinjau kasus λ > 0. (Kasus λ < 0 serupa dan diserahkansebagai latihan). Misalkan P := {x0, x1, . . . , xn} partisi sembarangdari I. Karena λ > 0, kita mempunyai

inf{λf(x) : x ∈ [xk−1, xk]} = λ inf{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}

untuk k = 1, 2, . . . , n. Kalikan tiap suku ini dengan xk − xk−1 danjumlahkan, kita dapatkan L(P, λf) = λL(P, f). Jadi, karena λ > 0,kita peroleh

L(λf) = sup{λL(P, f) : P partisi dari I}= λ sup{L(P, f) : P partisi dari I} = λL(f).



Dengan cara yang serupa kita peroleh pula U(P, λf) = λU(P, f) dan

U(λf) = inf{λU(P, f) : P partisi dari I}= λ inf{U(P, f) : P partisi dari I} = λU(f).

Karena f terintegralkan, U(f) = L(f) dan akibatnya

L(λf) = λL(f) = λU(f) = U(λf).

Jadi λf terintegralkan dan∫ b

a

λf(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx.



(2) Untuk sembarang interval Ik := [xk−1, xk], kita mempunyai

inf{f(x) : x ∈ Ik}+inf{g(x) : x ∈ Ik} ≤ inf{(f+g)(x) : x ∈ Ik},

sup{(f+g)(x) : x ∈ Ik} ≤ sup{f(x) : x ∈ Ik}+sup{g(x) : x ∈ Ik}.Dari sini kita peroleh

L(P, f) + L(P, g) ≤ L(P, f + g)

U(P, f + g) ≤ U(P, f) + U(P, g)

untuk sembarang partisi P dari I. Sekarang, jika ε > 0 diberikan,maka terdapat partisi Pf,ε dan Pg,ε sedemikian sehingga

U(Pf,ε, f) ≤ L(Pf,ε, f) + (ε/2)

U(Pg,ε, g) ≤ L(Pg,ε, g) + (ε/2).

Akibatnya, untuk Pε := Pf,ε ∪ Pg,ε, kita peroleh

U(Pε, f+g) ≤ U(Pε, f)+U(Pε, g) ≤ L(Pε, f)+L(Pε, g)+ε ≤ L(Pε, f+g)+ε.

Menurut Kriteria Keterintegralan Riemann, f + g terintegralkan.HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 29 March 2017 6 / 24


Selanjutnya perhatikan bahwa dari ketaksamaan di atas, kita peroleh∫ b

a

(f + g)(x) dx ≤ U(Pε, f + g) ≤ L(Pε, f) + L(Pε, g) + ε

≤∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx+ ε.

Sementara itu,∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx ≤ U(Pε, f) + U(Pε, g) ≤ L(Pε, f + g) + ε

≤∫ b

a

(f + g)(x) dx+ ε.

Dari kedua ketaksamaan ini, kita peroleh∣∣∣∫ b

a

(f + g)(x) dx−(∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx)∣∣∣ < ε.



Karena ini berlaku untuk ε > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa∫ b

a

(f + g)(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx,

dan bukti pun selesai.



Proposisi berikut dikenal sebagai sifat kepositifan integral Riemann.(Buktinya diserahkan sebagai latihan.)

Proposisi 2. Misalkan f : I → R terintegralkan pada I. Jikaf(x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I, maka

∫ baf(x) dx ≥ 0.

Akibat 3. Misalkan f, g : I → R terintegralkan pada I. Jikaf(x) ≤ g(x) untuk tiap x ∈ I, maka

∫ baf(x) dx ≤

∫ bag(x) dx.

Akibat 4. Misalkan f : I → R terintegralkan pada I. Jikam ≤ f(x) ≤M untuk tiap x ∈ [a, b], maka

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a).



Proposisi 5. Misalkan f : [a, b]→ R terbatas dan a < c < b. Maka,f terintegralkan pada [a, b] jika dan hanya jika f terintegralkan pada[a, c] dan pada [c, b]. Dalam hal ini,∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

Catatan. Bukti Proposisi 4 tidak dibahas di sini; lihat [1] bila inginmempelajarinya.



SOAL

1 Buktikan Proposisi 1 bagian (1) untuk kasus λ < 0.

2 Buktikan Proposisi 2.

3 Buktikan Akibat 3 dan Akibat 4.

4 Buktikan jika f terintegralkan pada I dan |f(x)| ≤ K untuk

tiap x ∈ I, maka∣∣∫ baf(x) dx

∣∣ ≤ K|b− a|.


14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann

Analog dengan Teorema Dasar Kalkulus I (Teorema 5 pada Sub-bab12.3) untuk integral dari fungsi kontinu, kita mempunyai hasil berikutuntuk integral Riemann dari fungsi terbatas. (Buktinya serupadengan bukti Teorema 5 pada Sub-bab 12.3.)

Teorema 6 (Teorema Dasar Kalkulus I). Misalkan f terbataspada I = [a, b] dan F didefinisikan pada I sebagai

F (x) :=

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ I.

Maka, F kontinu pada I. Selanjutnya, jika f kontinu di c ∈ (a, b),maka F mempunyai turunan di c dan F ′(c) = f(c).



Demikian pula kita mempunyai Teorema Dasar Kalkulus II untukintegral Riemann, yang dapat dibuktikan tanpa menggunakanTeorema Dasar Kalkulus I melainkan dengan menggunakan KriteriaKeterintegralan Riemann.

Teorema 7 (Teorema Dasar Kalkulus II). Misalkan fterintegralkan pada I = [a, b]. Jika F : I → R adalah anti-turunandari f pada I, maka ∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a).



Bukti. Diberikan ε > 0 sembarang, pilih partisi P := {x0, x1, . . . , xn}dari I sedemikian sehingga

U(P, f)− L(P, f) < ε.

Menurut Teorema Nilai Rata-rata (yang kita terapkan pada F ), padatiap interval [xk−1, xk] terdapat titik tk ∈ (xk−1, xk) sedemikiansehingga

F (xk)− F (xk−1) = (xk − xk−1)f(tk).Misalkan mk dan Mk adalah infimum dan supremum dari f pada[xk−1, xk]. Maka

mk(xk − xk−1) ≤ F (xk)− F (xk−1) ≤Mk(xk − xk−1)

untuk tiap k = 1, 2, . . . , n. Perhatikan bahwa bila kita jumlahkansuku-suku di tengah, maka kita peroleh suatu deret teleskopis yangjumlahnya sama dengan F (b)− F (a). Karena itu, kita peroleh

L(P, f) ≤ F (b)− F (a) ≤ U(P, f).



Namun, kita juga mempunyai

L(P, f) ≤∫ b

a

f(t) dt ≤ U(P, f).

Akibatnya, kita peroleh∣∣∣∫ b

a

f(t) dt− [F (b)− F (a)]∣∣∣ < ε.

Karena ini berlaku untuk ε > 0 sembarang, kita simpulkan bahwa∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a),

sebagaimana yang kita kehendaki.



SOAL

1 Misalkan f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. Terkait dengan f , definisikan

F (x) :=

∫ x

−1f(t) dt, x ∈ [−1, 1].

1 Peroleh rumus untuk F (x), x ∈ [−1, 1].2 Periksa bahwa F ′(x) = f(x) untuk x ∈ [−1, 1].3 Periksa bahwa

∫ 1−1 f(t) dt = F (1)− F (−1).

2 Misalkan f : [−1, 1]→ R didefinisikan sebagai

f(x) =

−1, −1 ≤ x < 0;0, x = 0;1, 0 < x ≤ 1,



1 Terkait dengan f , definisikan

F (x) :=

∫ x

1

f(t) dt, x ∈ [−1, 1].

1 Peroleh rumus untuk F (x). Apakah F kontinu pada [−1, 1]?2 Tunjukkan bahwa F ′(x) = f(x) untuk x ∈ [−1, 1], x 6= 0.3 Periksa apakah

∫ 1−1 f(t) dt = F (1)− F (−1). Berikan argumen

yang mendukung fakta tersebut.

2 Misalkan f dan g terintegralkan dan mempunyai anti-turunan Fdan G pada I = [a, b]. Buktikan bahwa∫ b

a

F (x)g(x) dx = [F (b)G(b)− F (a)G(a)]−∫ b

a

f(x)G(x) dx.

(Catatan. Hasil ini dikenal sebagai teknik pengintegralanparsial.)


14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral

Jika f kontinu pada I = [a, b], maka (menurut Teorema 12 pada Bab8) f akan mencapai nilai maksimum M dan minimum m pada [a, b].

Menurut Proposisi 4, kita mempunyai

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a)

atau

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M.



Nilai 1b−a

∫ baf(x) dx disebut sebagai nilai rata-rata integral f pada

interval I.

(Dalam versi diskrit, nilai rata-rata aritmetik dari sejumlah bilanganadalah jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dibagi denganbanyaknya bilangan itu.

Dalam versi ‘kontinum’, integral menggantikan jumlah dan panjanginterval menggantikan banyaknya bilangan.

Secara fisis, bila f menyatakan kecepatan dari suatu partikel yangbergerak pada interval waktu I = [a, b], maka nilai rata-rata integralmenyatakan ‘kecepatan rata-rata’ partikel tersebut pada I.)

Mengingat m dan M ada di daerah nilai f dan 1b−a

∫ baf(x) dx ada di

antara kedua nilai tersebut, maka menurut Teorema Nilai Antaramestilah terdapat suatu titik c ∈ I sedemikian sehingga

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.



Fakta ini dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata untuk integral,yang dinyatakan di bawah ini. (Ingat bahwa sebelumnya kita jugamempunyai Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan. Dalam konteksturunan, f menyatakan posisi partikel yang bergerak pada intervalwaktu I = [a, b] sehingga nilai rata-rata turunan sama dengankecepatan rata-rata partikel tersebut pada I.)

Teorema 8 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral). Jika fkontinu pada I = [a, b], maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.



Pada Bab 10, kita telah membahas Teorema Taylor untuk turunan.Sekarang kita akan membahas teorema yang serupa untuk integral.

Teorema 9 (Teorema Taylor untuk Integral). Misalkanf, f ′, . . . , f (n) kontinu pada I = [a, b]. Maka

f(b) = f(a) + (b− a)f ′(a) + · · ·+ (b− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a) + En

dengan En := 1(n−1)!

∫ ba(b− t)n−1f (n)(t) dt.



Bukti. Untuk n = 1, berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus I, kitamempunyai f(b) = f(a) + E1, dengan E1 :=

∫ baf ′(t) dt.

Selanjutnya, untuk n ≥ 2, teknik pengintegralan parsial akanmemberikan

En =1

(n− 1)!

[(b− t)n−1f (n−1)(t)|ba

+ (n− 1)

∫ b

a

(b− t)n−2f (n−1)(t) dt]

= −(b− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a) +

1

(n− 2)!

∫ b

a

(b− t)n−2f (n−1)(t) dt.

Ulangi teknik pengintegralan parsial hingga n kali, dan kita pun akansampai pada hasil yang diinginkan.



SOAL

1 Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f(x) ≥ 0 untuk tiapx ∈ I, maka terdapat c ∈ I sedemikian sehingga

f(c) =[ 1

b− a

∫ b

a

f 2(x) dx]1/2

.

2 Buktikan jika f kontinu pada I = [a, b] dan f(x) ≥ 0 untuk tiapx ∈ I, maka untuk sembarang k ∈ N terdapat c = ck ∈ Isedemikian sehingga

f(c) =[ 1

b− a

∫ b

a

fk(x) dx]1/k

.



1 Misalkan f dan g adalah fungsi yang kontinu pada I = [a, b]sedemikian sehingga∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx.

Buktikan bahwa terdapat c ∈ I sedemikian sehinggaf(c) = g(c).


ma3231 analisis real - · pdf filema3231 analisis real hendra gunawan* ... demikian pula kita...

Documents