analitik real

34
1.2 NILAI MUTLAK DAN GARIS BILANGAN REAL Dari sifat Trikotomi dapat ditarik kesimpulan bahwa jika a є R dan a ≠ 0, maka a atau –a merupakan bilangan real positif. Nilai mutlak dari a ≠ 0 didefinisikan sebagai nilai positif dari dua bilangan tersebut. Definisi 1.2.1 Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan │a│ dan didefisikan sebagai berikut : Berikut teorema-teorema yang berkaitan dengan nilai mutlak Teorema 1.2.2 (a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R (b). │a│ 2 = a 2 untuk semua a є R (c). Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c (d). -│a│≤ a ≤ │a│ untuk semua a є R (e). │-a│ = │a│ = a untuk semua a є R Bukti Teorema 1.2.2 (a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R Diketahui a,b є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan nilai a dan b, yaitu : a > 0 atau a = 0 atau a < 0 b > 0 atau b = 0 atau b < 0 Jika a = 0 dan b = 0, berdasarkan teorema 1.1.3 (c) maka ab = 0 │ab│= │0│ …….………..subtitusi ab = 0 = 0 ………………….definisi 1.2.1 (nilai mutlak)

Upload: galang-setiawan

Post on 29-Dec-2015

95 views

Category:

Documents


7 download

DESCRIPTION

analitik real

TRANSCRIPT

1.2         NILAI MUTLAK DAN GARIS BILANGAN REAL

Dari sifat Trikotomi dapat ditarik kesimpulan bahwa jika a є R dan a ≠ 0, maka a

atau –a merupakan bilangan real positif. Nilai mutlak dari a ≠ 0 didefinisikan

sebagai nilai positif dari dua bilangan tersebut.

Definisi 1.2.1 Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan │a│ dan didefisikan sebagai berikut :

                                              

Berikut teorema-teorema yang berkaitan dengan nilai mutlak

Teorema 1.2.2

(a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R

(b). │a│2 = a 2 untuk semua a є R

(c). Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c

(d). -│a│≤ a ≤ │a│ untuk semua a є R

(e). │-a│ = │a│ = a  untuk semua  a є R

Bukti  Teorema 1.2.2

(a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R

Diketahui  a,b є R, maka  berdasarkan  sifat  trikotomi terdapat  3  kemungkinan 

nilai  a dan b, yaitu :

a > 0  atau  a = 0  atau  a < 0

b > 0  atau  b = 0  atau  b < 0

        Jika a = 0 dan b = 0, berdasarkan teorema 1.1.3 (c) maka ab = 0

      │ab│= │0│  …….………..subtitusi ab = 0

              = 0  ………………….definisi 1.2.1 (nilai mutlak)

              = a . 0 ……….……..teorema 1.1.1 bagian (c)

             = 0 . 0  .…………….subtitusi a = 0

              =│a││b│...…….definisi 1.2.1(nilai mutlak), karena a = 0  dan b = 0

        Jika a > 0 dan b > 0, berdasarkan teorema 1.1.11 (a) maka ab >0

      │ab│= ab ………….definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab > 0

             =│a││b│……….definisi 1.2.1 (nilai mutlak) karena a > 0  dan b > 0

           Jika a < 0  dan b > 0, berdasarkan teorema 1.1.12 (b) maka  ab < 0

      │ab│= - (ab)….…....definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab < 0

             = -1(ab) …….…..teorema 1.1.1 bagian (a)

             = (-1. a) b…….…sifat asosiatif pada perkalian

             = (-a) b  ………….teorema 1.1.1 bagian (a)

              =│a││b│………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0 dan b < 0

           Jika a > 0 dan b < 0, berdasarkan teorema 1.1.12 (b)  maka  ab < 0

      │ab│= - (ab)…..……………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab < 0

             = (-1) ab ……….….......teorema 1.1.1 bagian (a)

             = a (-1) b ………….…sifat komutatif pada perkalian

           = a (-b) …………………teorema 1.1.1 bagian (a)

           =│a││b│………...definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0 dan b < 0

           Jika a < 0 dan b < 0, berdasarkan teorema 1.1.11 (a)  maka  ab >0

     │ab│= ab ……………….........definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab > 0

              = 1.ab ……...……………sifat identitas pada perkalian

              = (-1) (-1) ab ……………teorema 1.1.1 bagian (c)

              = (-1) a (-1) b……………sifat komutatif pada perkalian

              = (-a) (-b)  ………………teorema 1.1.1 bagian (a)

               =│a││b│…....definisi 1.2.1 (nilai mutlak),  karena a < 0  dan b < 0

(b). │a│2 = a 2 untuk semua a є R

Diketahui a є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan nilai

a ,yaitu : 

a > 0  atau  a = 0  atau  a < 0

           Jika a = 0

      │a│2 = │0│2  …………………. subtitusi a = 0

             = │0│ │0│……………….definisi perpangkatan

             = 0 . 0 …………………..definisi 1.2.1 (nilai mutlak)

             = a . a. ………………… .karena 0 = a

           = a 2 ……………………..definisi perpangkatan

              Jika a > 0

     │a│2  = │a│ │a│  …………………definisi perpangkatan

              = a . a. …………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0

              = a 2 ………………………...definisi perpangkatan

           Jika a < 0

     │a│2  = │a│ │a│  ………………….definisi perpangkatan

              = -a . -a. ………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0

              = (-1) a . (-1) a …………….teorema 1.1.1 bagian (a)

              = (-1) (-1) a . a.  …..............sifat komutatif pada perkalian

              = 1 . a. a …………………….teorema 1.1.1 bagian (c)

              = a . a. ………………………sifat identitas pada perkalian

              = a 2 ………………………....definisi perpangkatan

(c). Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c

Pembuktian teorema ini diadaptasi dari sifat ketidaksamaan yang menyangkut

nilai mutlak yang telah dipelajari sebelumnya pada mata kuliah kalkulus I (buku

kalkulus dan geometri analitis jilid 1, pengarang Edwin J. Purcell, halaman 17)

Sifat itu berbunyi : │x│< a ↔ -a < x < a. Untuk x є R dan a bukan bilangan real

negatif

Karena 0 juga bukan bilangan real negatif, Jadi secara langsung memang

berlaku Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c

(d). -│a│≤ a ≤ │a│ untuk semua a є R

Pembuktian teorema ini mempunyai langkah yang sama seperti bagian (c)

dengan mengambil c = │a│

Pada Teorema 1.2.2 (c)  berlaku :

Jika c ≥ 0 maka  a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c

Jadi terbukti  -│a│≤ a ≤ │a│untuk semua a є R

(e). │-a│ = │a│ = a  untuk semua  a є R

Diketahui a є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan  nilai a

,yaitu:

a > 0  atau  a = 0  atau  a < 0

        Jika a = 0

    │-a│ = │0│  ………………… subtitusi a = 0

            = │a│ ………………….subtitusi 0 = a

            = 0  ……....................definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a = 0

            = a . …………………...subtitusi 0 = a      

        Jika a > 0

     │-a│  = │(-1) a│ ..………….…teorema 1.1.1 bagian (a) dan karena a > 0

              = │(-1)││a│………….…teorema 1.2.2 (a)

              = 1│a│ ……………….….definisi 1.2.1 (nilai mutlak)

              = │a│ ….........................sifat identitas pada perkalian

              =  a ………………………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0

     Jika a < 0

     │-a│  = │(-1) (-a)│ ..…………..…..…..teorema 1.1.2 (a) dan karena a < 0

              = │(-1) (-1) a│…………………..teorema 1.1.1 bagian (a)

              = │1 . a│ ………………………..teorema 1.1.1 bagian (c)

              = │a│ …....................................sifat identitas pada perkalian

              = -a ……………………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0

              = a  ………………………………karena a < 0

Teorema 1.2.3  Ketaksamaan Segitiga

Jika a, b є R , maka │a + b │≤ │a│ + │b│

Bukti  Teorema 1.2.3  Ketaksamaan Segitiga  

Jika a, b є R , maka │a + b │≤ │a│ + │b│

Diketahui a є R maka berdasarkan teorema 1.2.2 (d) diperoleh :

-│a│≤ a ≤ │a│  …………..(*)

Diketahui b є R maka berdasarkan teorema 1.2.2 (d) diperoleh :

-│b│≤ b ≤ │b│  …………..(**)

Jumlahkan kedua ruas dari (*) dan (**)

(-│a│) + ( -│b│ ) ≤  a + b  ≤ │a│ + │b│

- (│a│ + │b│)  ≤  a + b  ≤ │a│ + │b│

……..terbukti menggunakan teorema 1.2.2 (c)

Teorema 1.2.4.  Jika a,b є R, maka  

(a). ││a│-│b││ ≤ │a - b │

(b). │a - b │ ≤  │a│+│b│

Bukti  Teorema 1.2.4   

(a) Jika a, b є R , maka ││a│ - │b││≤ │a - b │

Diketahui a є R maka a dapat ditulis :

a = a + 0………………….sifat identitas pada penjumlahan

   = a + (-b) + b …………sifat invers pada penjumlahan

   = a – b + b ……………distributif perkalian

Sehingga diperoleh :

│a│ = │a – b + b│…………….subtitusi a = a – b  + b

       ≤ │a - b│ + │b│…………..ketaksamaan segitiga

│a│ - │b│ ≤ │a - b│…………pindah ruas │b│ dari ruas kanan ke ruas kiri dan beri nama persamaan (*)

Diketahui b є R maka a dapat ditulis :

b = b + 0…………………….sifat identitas pada penjumlahan

   = b + (-a) + a …………….sifat .invers pada penjumlahan

   = b – a + a………………..distributif perkalian

Sehingga diperoleh :

│b│ = │b – a + a│……………….….subtitusi b = b – a  + a

       = │- (a – b) + a│ ………………sifat distributif perkalian

       ≤ │- (a – b)│ + │a│ ……………ketaksamaan segitiga

       = │a - b│ + │a│ ……………….teorema 1.2.2 (e)

-│a - b│ ≤ │a│ - │b│…………….. pindah ruas │b│ dari ruas kiri ke ruas kanan, serta pindah ruas │a - b│dari ruas

kanan ke ruas kiri. Kemudian beri nama persamaan (**)

Penggabungan (*) dan (**) diperoleh :

│a│ - │b│ ≤ │a - b│……………..tuliskan persamaan (*)

-│a - b│ ≤ │a│ - │b│…………....tuliskan persamaan (**)

Sehingga:

-│a - b│ ≤ │a│ - │b│ ≤ │a - b│

││a│ - │b││≤ │a - b │…………terbukti menggunakan teorema 1.2.2 (c)

(b). Jika a, b є R, maka │a - b │ ≤  │a│+│b│

Gantilah b pada ketaksamaan segitiga (teorema 1.2.3) dengan –b, sehingga

diperoleh :

     │a + (-b)│= │a - b │ ……………sifat distributif pada perkalian

               ≤ │a│ + │-b│ ……………ketaksamaan segitiga

               = │a│ + │b│……………..teorema 1.2.2 (e)

Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang

bilangan real yang banyaknya berhingga

Akibat 1.2.5    Jika a1, a2, a3, ……, an  adalah sebarang bilangan real, maka

│ a1 + a2  + a3 + …… + an  │ ≤ │ a1  │ + │ a2s  │ + │ a3  │ + …… + │ an  │

 Soal Latihan

1.    Butikan jika x ≤ 3, maka │ 2x2 – 3x + 1 │ ≤ 28

2.    Buktikan  jika │ x – 2 │ ≤  3, maka │2x -5 │ ≤  9

3.    Buktikan │ a + b │ = │a│ + │b│ jika dan hanya jika ab ≥ 0

4.    Buktikan jika │ x – 2 │ ≤ 1, maka │ x2 – 4 │ ≤ 6

5.    Carilah hubungan a dan b supaya berlaku jika │ x – 1 │ ≤ a, maka │ 2x – 2 │ ≤ b

6.    Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka │x – y │ < b – a

7.    Misalkan x, y, z є R dan x ≤ z. Buktikan bahwa x < y < z jika dan hanya jika │ x –

y │ + │ y – z │ = │ x – z │

8.    Buktikan bahwa │ x – a │ < ε jika dan hanya jika –ε < x < ε

9.    Buktikan jika a є R , maka │ a │ =

10. Buktikan jika a, b є R dan b ≠ 0, maka

11. Carilah semua nilai x є R sedemikian sehingga  │ x + 1 │ + │ x + 2 │ = 7

12. Buatlah sketsa grafik y = │ x │ - │ x – 1 │

1.3         SIFAT LENGKAP BILANGAN REAL

Pada bagian ini akan diberikan salah satu sifat dari R yang sering disebut Sifat

Lengkap (completeness property). Tetapi sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih

dahulu konsep suprimum dan infimum.

SUPRIMUM dan INFIMUM

Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu

himpunan bilangan real, serta jenis-jenis himpunan yang terdiri dari himpunan

terbatas ke atas, terbatas ke bawah, terbatas dan tidak terbatas

Definisi 1.3.1   Diberikan S subset tak kosong dari R ( S  R )

(a)      Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu

bilangan u є R sedemikian sehingga s ≤ u, untuk semua s є S. Setiap bilangan u

seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari himpunan S

(b)   Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat suatu

bilangan  w є R sedemikian sehingga w ≤ s, untuk semua s є S. Setiap bilangan

w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari himpunan S

(c)   Himpunan S dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke

bawah

 

(d)   Himpunan S dikatakan tidak terbatas (unbounded) jika tidak terbatas ke atas

atau tidak terbatas ke bawah

Definisi 1.3.2   Diberikan S subset tak kosong dari R ( S  R )

(a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut suprimum (batas atas

terkecil) dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut :

  u merupakan batas atas S

  Jika v adalah sebarang batas atas S, maka u ≤ v

 

(b)  Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan w disebut infimum (batas bawah

terbesar) dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut :

  w merupakan batas bawah S

  Jika t adalah sebarang batas bawah S, maka t ≤ w

TENTANG 4 KEMUNGKINAN

Jika S himpunan tak kosong dan subset dari R ( S  R  dan  S ≠ Ø)  maka

terdapat empat kemungkinan, yaitu :

  S mempunyai suprimum dan infimum (S himpunan terbatas)

  S hanya mempunyai suprimum (S himpunan terbatas ke atas)

  S hanya mempunyai infimum (S himpunan terbatas ke bawah)

  S tidak mempunyai suprimum dan infimum (S himpunan tidak terbatas)

Teorema 1.3.3    Diberikan sebarang S subset tak kosong dari R ( S  R )

(a)    u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian

sehingga u – ε < s

(b)    w = inf S jika dab hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian

sehingga w – ε < s

Bukti

(a)    Pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk biimplikasi (jika dan hanya

jika) atau sering disebut pernyataan dua arah. Sehingga kita harus membuktikan

dua arah juga

  ( → ) Diketahui u = sup S dan akan dibuktikan untuk setiap ε > 0 terdapat s є S

sedemikian sehingga u – ε < s. Untuk setiap ε > 0 berlaku karena u – ε < u, maka

u – ε bukan batas atas S. oleh karena itu, terdapat s є S yang lebih besar dari u

– ε sedemikian sehingga u – ε < s

  ( ← ) Diketahui untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian sehingga u – ε < s,

sehingga akan dibuktikan u = sup S

(b)    Pembuktian selanjutnya diserahkan kepada mahasiswa

(c)    Pembuktian selanjutnya diserahkan kepada mahasiswa

 Soal-soal berikut harus dikerjakan mahasiswa sebagai latihan

Jelaskan setiap himpunan S di atas berkaitan dengan definisi 1.3.1 dan definisi

1.3.2

Diberikan S subset tak kosong dari R, sebagai berikut :

(1)  S = { x ≤ a , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda

(2) S = { x > b , x є R }, dengan b = ⅓ x digit terakhir NIM anda

(3) S = { -a < x ≤  b , x є R }, dengan a = kuadrat digit terakhir NIM anda   dan  b = ⅝

x digit terakhir NIM anda

(4) S = { x ≤ a , x є R } ∩ { x > b , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda dan b =

⅓ x digit terakhir NIM anda

(5) S = { x ≥ a , x є R } U { x ≥ b , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda dan b =

⅔ x digit terakhir NIM anda

(6) S = { x ≤ a atau x ≥ b, x є R}, dengan a = akar pangkat dua digit terakhir NIM anda

dan b = ¾ x digit terakhir NIM anda

(7) S = N, N = himpunan bilangan asli

(8) S = R, R = himpunan bilangan real

(9) S = { 1 }

(10) S = Ø

(11) S = { x2  - 3x + 2 ≤ 0, x є R }

(12) S = { │ x │ ≤ 2, x є R }

Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong R yang terbatas ke atas pasti

mempunyai batas atas terkecil. Sifat ini disebut Sifat Lengkap R atau sering

disebut juga Aksioma Suprimum R

Definisi 1.3.4  Sifat Lengkap R

Jika S subset tak kosong dari R terbatas ke atas, maka suprimumnya ada, yaitu

terdapat u є R sedemikian sehingga u = sup S

Akibat 1.3.5 ( Akibat Sifat Lengkap R )

Jika S subset tak kosong dari R terbatas ke bawah, maka infimumnya ada, yaitu

terdapat w є R sedemikian sehingga w = inf S

1. 4  Penggunaan Sifat Lengkap R (Aksioma Suprimum R)

Pada subbab ini akan dibahas beberapa akibat dari Sifat Lengkap R atau

Aksioma Suprimum R

Teorema 1.4.1   Diberikan S subset tak kosong R yang terbatas ke atas dan

sebarang a є R. Didefinisikan himpunan  a + S = { a + s, s є S } maka berlaku

sup (a + S) = a + sup (S)

Bukti Teorema 1.4.1

Jika diberikan u = sup S, maka x ≤ u untuk semua x є S, sehingga a + x ≤ a

+ u. Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S. Akibatnya

sup (a+S) ≤ a + u. selanjuynya, misalkan v adalah sebarang batas atas a+S,

maka a + x ≤ v untuk semua x є S. Akibatnya x ≤ v – a untuk semua x є S,

sehingga v – a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S ≤ v – a.

Karena v adalah sebarang batas atas a

+S, maka dengan mengganti v dengan u = sup S, diperoleh a + u ≤ sup (a+S). Di

lain pihak diketahui sup (a+S) ≤ a + u. Akibatnya terbukti bahwa sup (a+S) = a +

u = a + sup S

Teorema 1.4.2   Diberikan S subset tak kosong R yang terbatas dan sebarang

bilangan real a > 0. Didefinisikan himpunan aS = { as, s є S } maka berlaku inf

(aS) = a inf (S)

Bukti Teorema 1.4.2  (bukti langsung)

  Tulis w = inf aS dan t = inf S.

  Akan dibuktikan bahwa w = at.

  Berdasarkan teorema 1.1.8 bagian (g) maka Jika w ≤ at dan at ≤ w, maka w = at

  Karena w = inf S, maka w ≤ as untuk setiap s є S.

  Begitu pula karena t = inf S, maka t ≤ s untuk semua s є S. Karena diketahui a > 0

sebarang bilangan real, akibatnya at ≤ as untuk setiap s є S. Berarti at

merupakan batas bawah aS

  Karena w = inf aS, maka at ≤ w

  Karena w ≤ as untuk setiap s є S, maka diperoleh

Teorema 1.4.3    Jika  A dan B subset tak kosong R dan memenuhi a ≤ b untuk

semua a є A dan b є B, maka berlaku  sup A ≤ inf B

 Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan

1.    Buktikanlah teorema 1.4.1, teorema 1.4.2 dan teorema 1.4.3

2.    Jelaskan melalui contoh soal maksud dari teorema 1.4.1,  teorema 1.4.2 dan

teorema 1.4.3

3.    Jika S himpunan terbatas di R dan T  S tidak kosong. Buktikan bahwa

Inf S ≤ inf T ≤ sup T ≤ sup S

Teorema 1.4.4  Sifat Archimedes

Jika x є R, maka terdapat n є N sedemikian sehingga x < n

Sifat Archimedes ini merupakan salah satu sifat yang mengaitkan hubungan

antara bilangan real dan bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila

diberikan sebarang bilangan real x, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan

asli n yang lebih besar dari x.     

Pembuktian Sifat Archimedes   ( Bukti Tidak Langsung )

Diketahui x є R.  Andaikan tidak ada n є N  sedemikian sehingga  x < n, maka  x

≥ n  atau  n ≤ x, untuk setiap n є N. Dengan kata lain, x merupakan batas atas N

.

Jelas bahwa N  R,  N ≠ Ø  dan N terbatas ke atas, maka menurut Aksioma

Suprimum (Sifat Lengkap R) sup N ada. Tulis x = sup N.

Berdasarkan Lemma 1.3.3, karena x = sup N maka dengan mengambil ε = 1 > 0,

terdapat m є N sedemikian sehingga x – ε < m  atau  x – 1 < m.  Akibatnya x < m

+ 1, dengan m + 1 є N. Timbul kontradiksi dengan x = sup N. Jadi pengandaian

salah, yang benar adalah ada  n є N sedemikian sehingga  x < n

Beberapa Akibat Sifat Archimedes

Akibat 1.4.5 

Jika S = {1/n : n є N }, maka inf S = 0

Akibat 1.4.6 

Jika t > 0, maka terdapat n є N sedemikian sehingga 0 < 1/n < t

Akibat 1.4.7 

Jika y > 0, maka terdapat n є N sedemikian sehingga n -1 < y < n

Salah satu penggunaan Sifat Lengkap R (Aksioma Suprimum) adalah dapat

digunakan untuk memberikan jaminan eksistensi bilangan-bilangan real. Berikut

ini akan ditunjukkan bahwa ada bilangan real x positif  sedemikian sehingga x2 =

2

Teorema 1.4.8  Eksistensi Bilangan Real

Ada bilangan real positif x sedemikian sehingga x2 = 2

Bukti  Tidak Langsung

Bukti  LangsungTeorema 1.4.8

Ada Bilangan Real Positif  Sedemikian Sehingga  x2 = 2Alur

PembuktianProses (1) :Tunjukkan  Ada  x є R

Proses (2) : Tunjukkan  x2 = 2

                                                                                                                                 

                          

Pembuktian Teorema 1.4.8. Eksistensi Bilangan Real  

Proses (1) : Tunjukkan ada x є R

  Dibentuk himpunan S = {s є R :  s ≥ 0 dan s2 < 2}

  Jelas S  R

  S ≠ Ø, karena 0 є S dan 1 є S

  S terbatas ke atas dengan batas atasnya adalah 2

  Karena S  R, S ≠ Ø dan S himpunan terbatas ke atas, berdasarkan Sifat Lengkap

R (Aksioma Suprimum) maka S mempunyai suprimum. Namakan x = sup S,

dengan  x є R

Proses (2) : Tunjukkan  x2 = 2

Andaikan x2 ≠ 2, berdasarkan Sifat Trikotomi maka x2 < 2  atau  x2 >2 

   Kemungkinan I :    Untuk x2 < 2

 Karena x2 < 2, maka  2 - x2 > 0

     Perhatikan :            

       ………………pengkuadratan suku dua

                     …………………….karena  

                   

                    …………  

                   

Berdasarkan hasil di atas diperoleh bahwa (x + 1/n)2 < 2 ,  yang berarti (x + 1/n) є

S.

Hal ini kontradiksi dengan x = sup S.

Oleh karena itu tidak mungkin x2 < 2

  Kemungkinan II : Untuk x2 > 2

         Karena x2 > 2, maka   x2 – 2 > 0

         Perhatikan :

          ………………pengkuadratan suku dua

                       …………………….karena 

                        ……

                    

Berdasarkan hasil di atas diperoleh bahwa (x - 1/n)2 > 2,  yang berarti (x - 1/n)  S.

Hal ini kontradiksi dengan x = sup S

Oleh karena itu tidak mungkin x2 > 2

    

Proses (1) :  Ada bilangan real x positif

Proses (2) : Pada Kemungkinan I diperoleh hasil tidak mungkin x2 < 2 dan pada

kemungkinan II diperoleh hasil tidak mungkin x2 > 2, sehingga pengandaian  x2 ≠

2 salah seharusnya x2  = 2   

Kesimpulan : Terbukti bahwa ada bilangan real x positif  sedemikian sehingga x2

= 2

Teorema 1.4.9  Teorema Densitas (The Density Theorem)

Jika x, y є R dengan x < y, maka ada bilangan rasional q  ( q є Q ) sedemikian

sehingga x < q < y

Pembuktian Teorema 1.4.9  Densitas

Diketahui x, y є R dengan x < y, berarti diambil x > 0 dan y > 0

Diketahui  x < y berarti y – x > 0   (berdasarkan definisi 1.1.6)

Karena  y – x > 0 maka berdasarkan Akibat Sifat Archimedes, terdapat n є N

sedemikian sehingga : 1/n < y – x   ↔  1 < n ( y – x )

                  ↔ 1 < ny – nx

                  ↔ nx + 1 < ny   ………….(i)

Karena x > 0 dan n є N, maka n > 0. Sehingga nx > 0

Karena nx > 0 maka berdasarkan Akibat Sifat Archimedes, terdapat m є N

sedemikian sehingga :

    m – 1 < nx < m

↔ m – 1 < nx ……..(ii)   dan   nx < m ……..(iii)

↔ m < nx + 1 < ny  (berdasarkan persamaan (i))

↔ m < ny ……….(iv)

Gabungkan persamaan (iii) dan (iv) akan diperoleh :

           nx < m < ny 

       ↔  x < m/n < y

………..(terbukti),  dengan bilangan rasional q = m/n, m dan n є B

Akibat 1.4.10  Jika x, y є R dengan x < y, maka ada bilangan irrasional r

sedemikian sehingga x < r < y

Bukti akibat 1.4.10

Menggunakan teorema densitas, ada bilangan real   dan   dengan sifat ada

bilangan rasional q sedemikian sehingga   < q <  . Akibatnya x < q  < y

atau                 x < r < y, dengan r =  q   adalah bilangan irrasional

 Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan

1. Jika y > 0, tunjukkan bahwa terdapat n є N sedemikian sehingga 1/2n < y

2. Jika u > 0 adalah sebarang bilangan real dan x < y, tunjukkan bahwa terdapat

bilangan rasional r sedemikian sehingga x < ru < y

1.5 Interval Dalam R

Interval didefinisikan sebagai himpunan  dalam . Interval terbagi menjadi 2

bagian yaitu interval terbatas dan interval tidak terbatas. Interval terbatas adalah

himpunan terbatas di R berupa himpunan terbatas (bounded), himpunan terbatas

ke atas (bounded above) dan himpunan terbatas ke bawah (bounded below).

Interval tidak terbatas adalah himpunan tidak terbatas di R (unbounded)

Jenis Interval Terbatas Dalam R

1.    Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval terbuka yang ditentukan oleh 

a dan b adalah himpunan :

     (a,b) = {x є R : a < x < b }

Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval tidak

termuat dalam interval terbuka

2.    Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval tertutup yang ditentukan oleh 

a dan b adalah himpunan :

[a,b] = {x є R : a ≤ x ≤ b }

Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval  termuat

dalam interval tertutup

3.    Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval setengah terbuka  atau

setengah tertutup yang merupakan gabungan interval terbuka dengan titik ujung

a adalah himpunan :

[a,b) = {x є R : a ≤ x < b }  atau    (a,b] = {x є R : a < x ≤ b }

Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Hanya salah satu titik ujung

interval yang termuat dalam interval tertutup

Jenis Interval  Tidak Terbatas Dalam R

Pada interval tidak terbatas simbol +∞ atau -∞ digunakan sebagai simbol titik

ujung yang tidak berhingga.

1.      Interval terbuka tidak terbatas atau sinar terbuka adalah himpunan yang

didefinisikan sebagai berikut :

       (a,∞) = {x є R : x > a}     atau     (-∞,b) = {x є R : x < b}

Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval tidak

termuat dalam interval terbuka tidak terbatas

2.      Interval tertutup tidak terbatas atau sinar tertutup adalah himpunan yang

didefinisikan sebagai berikut :

 [a,∞) = {x є R : x ≥ a}     atau     (-∞,b] = {x є R : x ≤ b}

Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval  termuat

dalam interval tertutup tidak terbatas

3.      Himpunan R dapat dituliskan sebagai (-∞,∞). Perhatikan  -∞ dan ∞ bukan

elemen   dari R

Teorema  1.5.1 Teorema Karakteristik Interval

Jika S adalah subset tak kosong dari R yang memuat paling sedikit dua titik dan

mempunyai sifat :

Jika x,y є S dan x < y, maka [x,y]  S, maka S merupakan suatu interval

Interval susut (Nested Intervals)

Telah diketahui bahwa barisan adalah fungsi f : N → A ≠ Ø. Jika A adalah

himpunan interval – interval, maka terbentuk barisan interval {In}n≥1 . Untuk

mempersingkat penulisan, barisan {In}n≥1 cukup ditulis In

Definisi 1.5.2 (Interval Susut)

Barisan In, n є N dikatakan interval susut (Nested Intervals) jika

I1   I2   I3  I4………..  In  In+1   ……

Sifat 1.5.3  Sifat Interval Susut (Nested Intervals Property)

Jika In = [an, bn], n є N interval tertutup terbatas dan In  In+1, untuk setiap n є N

(interval susut), maka

Yaitu terdapat  x є R sedemikian sehingga x є In, untuk setiap n є N.

Selanjutnya, jika panjang In = bn – an memenuhi inf {bn – an ; n є N} = 0, maka

elemen berserikat  x  tersebut tunggal

Contoh :

(1)    Diberikan . Yaitu  

Maka :    I1   I2   I3  I4………..  In  In+1   ……

Sehingga In adalah interval susut (nested intervals) dan

 

Jadi In mempunyai elemen berserikat yang tunggal yaitu 0 є R, karena

(2)    Diberikan . Yaitu

Maka :    I1   I2   I3  I4………..  In  In+1   ……

Sehingga In adalah interval susut (nested intervals), tetapi

 

Yang berarti In tidak mempunyai elemen berserikat. Jadi interval susut belum

tentu mempunyai elemen berserikat.

Sebab, andaikan

Akan terdapat

Maka x є In, untuk setiap n є N. Atau dapat dituliskan 0 < x < . Berdasarkan

akibat sifat Archimedes (akibat 1.4.6), karena x > 0 maka terdapat n є N

sedemikian sehingga  < x. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi

pengandaian salah, seharusnya

(3)    Diberikan , maka

Maka : I1   I2   I3  I4………..  In  In+1   ……

Sehingga In adalah interval susut (nested intervals) dan

 

Jadi In mempunyai elemen berserikat tetapi tidak tunggal, yaitu ada tak

berhingga banyaknya x є [0,1], x є R . Hal ini dikarenakan

Definisi 1.5.4   Persekitaran-ε ( ε-Neighborhood )

Diberikan a є R dan ε > 0. Persekitaran-ε (ε-neighborhood) dari a didefinisikan

sebagai himpunan Nε(a) = { x є R : │ x – a │ < ε } = ( a – ε , a + ε )

Jadi  x є Nε(a) jika dan hanya jika  a – ε < x < a + ε

Nε(a)aa - εa + ε

Contoh :

(1)    Tentukan persekitaran-ε dari 2, dengan mengambil ε = ½

(2)    Apakah N¼(2)  N½(2) ?

(3)    Apakah N¼(2) dapat dikatakan juga sebagai persekitaran-ε dari 2 ?

Jawab :

(1)    Nε(a) = { x є R : │ x – a │ < ε } = ( a – ε , a + ε )

N½(2) = { x є R : │ x – 2 │ < ½ }

           = ( 2 – ½ , 2 + ½ )

           = ( 1½ , 2½ )

           = 1½ < x < 2½

N½(2)21½

Ilustrasi :      

(2)    Karena ε = ¼ < ε = ½, maka dapat dikatakan bahwa N¼(2)  N½(2)

N½(2)21½2½Ilustrasi : 1¼2¼N¼(2)

(3)    N¼(2) dapat dikatakan juga persekitaran-ε dari 2, karena N¼(2)  N½(2)

Teorema 1.5.5

Diberikan a є R. Jika x berada dalam persekitaran Nε(a) untuk setiap ε > 0, maka

x = a

Definisi 1.5.6    Titik Cluster (titik kumpul / titik akumulasi / titik limit)

Diberikan S subset tak kosong dari R ( S  R ). Titik a є R disebut titik cluster, jika

setiap persekitaran-ε dari a yaitu Nε(a) = ( a – ε , a + ε ) memuat paling sedikit

satu titik anggota S yang tidak sama dengan a

Dengan kata lain, a titik cluster S jika untuk setiap ε > 0 berlaku (Nε(a) ∩ S) - {a}

≠ Ø atau (Nε(a) ∩ {a}) - S ≠ Ø

Ekuivalen dengan mengatakan bahwa a titik cluster S jika untuk setiap n є N,

terdapat   s є S sedemikian sehingga 0 < │ s – a │ <

Contoh :

(1)    Diberikan S = ( 0,2). Apakah 0 merupakan titik cluster dari S ?

Jawab :

Diketahui S = ( 0,2 ) = { x є R : 0 < x < 2 }

Kemudian untuk setiap persekitaran-ε dari 0, yaitu :

Nε(0) = { x є R : │ x – 0 │ < ε }

           = ( 0 – ε , 0 + ε )

           = ( -ε , ε )

           = -ε < x < ε

Memuat paling sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Hal ini

dikarenakan anggota S adalah elemen bilangan real, yaitu x є R. Menggunakan

konsep densitas bilangan real, akan selalu dapat ditemukan sebuah bilangan

real di antara dua bilangan real berbeda. Aibatnya selalu dapat ditemukan paling

sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Jadi dapat dikatakan

bahwa 0 merupakan titik cluster dari S.

Ilustrasi :

20

(2)    Diberikan S = [ 1,2 ] U { 4 }. Apakah 4 merupakan titik cluster dari S ?

Jawab :

Diketahui S = [ 1,2 ] U { 4 } = { x є R : 1 ≤ x ≤ 2 } U { 4 }

4 bukan titik cluster dari S, karena untuk ε = ½ maka persekitaran-ε dari 4 yaitu :

N½(4) = { x є R : │ x – 4 │ < ½ }

           = ( 4 – ½ , 4 + ½ )

           = ( 3½ , 4½ )

           = 3½ < x < 4½

Sehingga  :

(Nε(a) ∩ S) - {x}  = [ ( 3½ , 4½ ) ∩ { x є R : 1 ≤ x ≤ 2 } U { 4 } ] - { 4 } = Ø

Jadi tidak setiap persekitaran-ε dari 4 memuat paling sedikit satu titik anggota S

yang tidak sama dengan 4.

Ilustrasi :

3●4○4½  ○3½●1●2                                                                                                    

                                                

(3)    Diberikan S = {  : n є N } = . Apakah 0 merupakan titik cluster dari S ?

Jawab :

Diketahui S = {  : n є N } =

Kemudian untuk setiap persekitaran-ε dari 0, yaitu :

Nε(0) = { x є R : │ x – 0 │ < ε }

           = ( 0 – ε , 0 + ε )

           = ( -ε , ε )

           = -ε < x < ε

Memuat paling sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Hal ini

dikarenakan N terbatas ke bawah, sehingga jika n → ~ maka  → 0. Akibatnya

terdapat tak berhingga banyaknya bilangan real yang mendekati 0, sehingga

selalu dapat ditemukan paling sedikit satu anggota S yang tidak sama dengan 0.

Jadi dapat dikatakan bahwa 0 merupakan titik cluster dari S.

Teorema 1.5.7  Teorema Bolzano – Weierstrass

Setiap subset R yang tak berhingga (infinite) dan terbatas, mempunyai paling

sedikit satu titik cluster

Bukti Teorema Bolzano – Weiertrass :

Diberikan sebarang subset S  R tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas

maka terdapat interval I1 = [ a,b ] dengan panjang interval I1 = b – a. Kemudian

bagilah I1 menjadi dua bagian, yaitu  dan  Karena S tak berhingga, maka salah

satu interval tersebut memuat tak berhingga banyak titik anggota S. Namakan

bagian yang memuat tak berhingga banyak titik anggota S dengan I2.

Panjangnya                     I2 = . Selanjutnya, I2 dibagi menjadi dua bagian seperti

langkah di atas, maka salah satu bagian yang memuat tak berhingga titik

anggotas S. Namakan bagian tersebut dengan I3, panjangnya I3 = . Apabila

proses diteruskan, maka akan diperoleh barisan interval susut (Nested Intervals),

yang memenuhi I1   I 2   I 3  I 4….  I n  I n+1   ….

Menurut sifat interval susut, maka

Atau terdapat 

Akan ditunjukkan bahwa x titik cluster S. Diambil sebarang ε > 0, maka terdapat

n є N sedemikian sehingga  < ε dan persekitaran-ε dari x yaitu Nε(x) =  ( x – ε , x

+ ε ). Karena x є In dan  < ε, maka In  Nε(x). Karena In memuat tak berhingga titik

anggota S, maka Nε(x) juga memuat tak berhingga titik anggota S yang tidak

sama dengan x. Jadi x adalah titik cluster S.

Countabilitas

Masalah countabilitas sebenarnya masih membicarakan tentang himpunan,

khususnya tentang hubungan antar himpunan dan banyaknya anggota himpunan

yang dikaji melalui konsep fungsi.

Definisi 1.5.8

Sebuah himpunan A dikatakan berhingga (finite) jika A himpunan kosong atau A

berkoresondensi satu-satu (fungsi bijektif) dengan In = {1,2,3,…n}, n є N. Jika

tidak demikian maka A dikatakan tak berhingga (infinite).

Contoh :

(1)    Himpunan A = { a,b,c,d } adalah berhingga, karena dapat dibuat korespondensi

satu-satu dengan In = { 1,2,3,…n}, n є N

(2)    Himpunan N = { 1,2,3,…n,… } adalah tak berhingga, karena tidak dapat dibuat

korespondensi satu-satu dengan In = { 1,2,3,…n}, n є N

Definisi 1.5.9

Diberikan N = himpunan bilangan asli dan A himpunan tak kosong. Jika A

berkorespondensi satu-satu (fungsi bijektif ) dengan N, maka A dikatakan

denumerable. Jika tidak demikian maka A dikatakan non denumerable.

Definisi 1.5.10

Himpunan yang berhingga (finite) atau denumerable disebut himpunan countable

(terhitung). Sebaliknya himpunan yang tak berhingga (infinite) dan non

denumerable disebut himpunan uncountable (tak terhitung)

Jadi dapat dikatakan pula bahwa himpunan denumerable dapat diukur dari

himpunan bilangan asli. Akibatnya himpunan denumerable unsur-unsurnya dapat

dinomori.

Contoh :

(1)      Diberikan A = { 0,2,4,6,8,…}. Apakah A countable ?

(2)      Diberikan B = { 1,3,5,7,9,…}. Apakah B countable ?

(3)      Diberikan C = { x є N : 2 < x < 10 }. Apakah C countable ?

(4)      Diberikan Z = himpunan bilangan bulat. Apakah Z countable ?

(5)      Diberikan R = himpunan bilangan real. Apakah R countable ?

Jawab :

(1)      Himpunan A = { 0,2,4,6,8,…} adalah himpunan tak kosong dan berkorespondensi

satu-satu dengan N = himpunan bilangan asli. Sehingga himpunan A 

denumerable. Karena A denumerable, berdasarkan definisi maka himpunan A

adalah himpunan countable

(2)      Himpunan B = { 1,3,5,7,9,…} adalah himpunan tak kosong dan berkorespondensi

satu-satu dengan N = himpunan bilangan asli. Sehingga himpunan B

denumerable. Karena B denumerable, berdasarkan definisi maka  himpunan B

adalah himpunan countable

(3)      Himpunan C = { x є N : 2 < x < 10 } adalah himpunan tak kosong dan

berkoresondensi satu-satu (fungsi bijektif) dengan In = {1,2,3,…n}, n є N.

Sehingga  himpunan C berhingga (finite). Karena C berhingga, berdasarkan

definisi maka himpunan C adalah himpunan countable

(4)      Himpunan Z = himpunan bilangan bulat, dapat dikontruksi melalui suatu fungsi   .

Sehingga dapat dibuat korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari Z ke N =

himpunan bilangan asli. Jadi himpunan Z denumerable. Karena Z denumerable,

berdasarkan definisi maka Z adalah himpunan countable

(5)      Himpunan R = himpunan bilangan real = (-∞,∞), tidak dapat dibuat

korespondensi satu-satu (funagsi bijektif) dari R ke In = { 1,2,3,…n}, n є N.

Sehingga himpunan R tak berhingga (infinite). Selanjutnya, tidak dapat dibuat

pula korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari R ke N = himpunan bilangan

asli. Sehingga himpunan R non denumerable. Karena R tak berhingga (infinite)

dan non denumerable, berdasarkan definisi maka R adalah himpunan

uncountable

Teorema 1.5.11

Setiap himpunan tak berhingga memiliki himpunan bagian denumerable

Teorema 1.5.12

Setiap himpunan tak berhingga ekuivalen dengan salah satu himpunan bagian

sejatinya (proper subset)

Teorema 1.5.13

Diberikan A1, A2, A3,… adalah himpunan-himpunan countable, maka :

Teorema 1.5.14

Himpunan bilangan rasional adalah countable

Teorema 1.5.15

Diberikan A dan B dua himpunan tak kosong. Jika A  B dan B countable, maka A

countable

Teorema 1.5.16

Himpunan [ 0,1 ] = {  0 ≤ x ≤ 1  ;  x є R } uncountable

Himpunan Terbuka dan Tertutup

Definisi 1.5.17

(a)      Himpunan G  R dikatakan terbuka dalam R jika untuk setiap x є G terdapat

persekitaran-ε dari x sedemikian sehingga Nε(x)  G

(b)      Himpunan F  R dikatakan tertutup dalam R jika FC = R – F terbuka dalam R

Sifat 1.5.18   Sifat Himpunan Terbuka

(a)      Jika  A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan terbuka dalam R, maka

(b)      Jika  A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan terbuka dalam R, maka

Sifat 1.5.19   Sifat Himpunan Tertutup

(a)      Jika  A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan tertutup dalam R, maka

(b)      Jika  A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan tertutup dalam R, maka

Teorema 1.5.20

Diberikan S  R. S dikatakan tertutup jika memuat semua titik clusternya

 Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan

1.      Diberikan Kn = (n, ), n є N. Buktikan bahwa

2.      Buktikan A = { 1,2,3 } tertutup dalam R

3.      Buktikan B = [ 0,1 ] tertutup dalam R

4.      Buktikan C = { x < 1 ; x є R } terbuka dalam R

5.      Buktikan D = { x > 0 ; x є R } terbuka dalam R

6.      Jika S  R tak kosong dan terbatas, dan Is = [ inf S, sup S ]. Tunjukkan bahwa       

S  Is