analitik real
DESCRIPTION
analitik realTRANSCRIPT
1.2 NILAI MUTLAK DAN GARIS BILANGAN REAL
Dari sifat Trikotomi dapat ditarik kesimpulan bahwa jika a є R dan a ≠ 0, maka a
atau –a merupakan bilangan real positif. Nilai mutlak dari a ≠ 0 didefinisikan
sebagai nilai positif dari dua bilangan tersebut.
Definisi 1.2.1 Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan │a│ dan didefisikan sebagai berikut :
Berikut teorema-teorema yang berkaitan dengan nilai mutlak
Teorema 1.2.2
(a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R
(b). │a│2 = a 2 untuk semua a є R
(c). Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c
(d). -│a│≤ a ≤ │a│ untuk semua a є R
(e). │-a│ = │a│ = a untuk semua a є R
Bukti Teorema 1.2.2
(a). │ab│= │a││b│ untuk semua a,b є R
Diketahui a,b є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan
nilai a dan b, yaitu :
a > 0 atau a = 0 atau a < 0
b > 0 atau b = 0 atau b < 0
Jika a = 0 dan b = 0, berdasarkan teorema 1.1.3 (c) maka ab = 0
│ab│= │0│ …….………..subtitusi ab = 0
= 0 ………………….definisi 1.2.1 (nilai mutlak)
= a . 0 ……….……..teorema 1.1.1 bagian (c)
= 0 . 0 .…………….subtitusi a = 0
=│a││b│...…….definisi 1.2.1(nilai mutlak), karena a = 0 dan b = 0
Jika a > 0 dan b > 0, berdasarkan teorema 1.1.11 (a) maka ab >0
│ab│= ab ………….definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab > 0
=│a││b│……….definisi 1.2.1 (nilai mutlak) karena a > 0 dan b > 0
Jika a < 0 dan b > 0, berdasarkan teorema 1.1.12 (b) maka ab < 0
│ab│= - (ab)….…....definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab < 0
= -1(ab) …….…..teorema 1.1.1 bagian (a)
= (-1. a) b…….…sifat asosiatif pada perkalian
= (-a) b ………….teorema 1.1.1 bagian (a)
=│a││b│………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0 dan b < 0
Jika a > 0 dan b < 0, berdasarkan teorema 1.1.12 (b) maka ab < 0
│ab│= - (ab)…..……………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab < 0
= (-1) ab ……….….......teorema 1.1.1 bagian (a)
= a (-1) b ………….…sifat komutatif pada perkalian
= a (-b) …………………teorema 1.1.1 bagian (a)
=│a││b│………...definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0 dan b < 0
Jika a < 0 dan b < 0, berdasarkan teorema 1.1.11 (a) maka ab >0
│ab│= ab ……………….........definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena ab > 0
= 1.ab ……...……………sifat identitas pada perkalian
= (-1) (-1) ab ……………teorema 1.1.1 bagian (c)
= (-1) a (-1) b……………sifat komutatif pada perkalian
= (-a) (-b) ………………teorema 1.1.1 bagian (a)
=│a││b│…....definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0 dan b < 0
(b). │a│2 = a 2 untuk semua a є R
Diketahui a є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan nilai
a ,yaitu :
a > 0 atau a = 0 atau a < 0
Jika a = 0
│a│2 = │0│2 …………………. subtitusi a = 0
= │0│ │0│……………….definisi perpangkatan
= 0 . 0 …………………..definisi 1.2.1 (nilai mutlak)
= a . a. ………………… .karena 0 = a
= a 2 ……………………..definisi perpangkatan
Jika a > 0
│a│2 = │a│ │a│ …………………definisi perpangkatan
= a . a. …………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0
= a 2 ………………………...definisi perpangkatan
Jika a < 0
│a│2 = │a│ │a│ ………………….definisi perpangkatan
= -a . -a. ………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0
= (-1) a . (-1) a …………….teorema 1.1.1 bagian (a)
= (-1) (-1) a . a. …..............sifat komutatif pada perkalian
= 1 . a. a …………………….teorema 1.1.1 bagian (c)
= a . a. ………………………sifat identitas pada perkalian
= a 2 ………………………....definisi perpangkatan
(c). Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c
Pembuktian teorema ini diadaptasi dari sifat ketidaksamaan yang menyangkut
nilai mutlak yang telah dipelajari sebelumnya pada mata kuliah kalkulus I (buku
kalkulus dan geometri analitis jilid 1, pengarang Edwin J. Purcell, halaman 17)
Sifat itu berbunyi : │x│< a ↔ -a < x < a. Untuk x є R dan a bukan bilangan real
negatif
Karena 0 juga bukan bilangan real negatif, Jadi secara langsung memang
berlaku Jika c ≥ 0 maka │a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c
(d). -│a│≤ a ≤ │a│ untuk semua a є R
Pembuktian teorema ini mempunyai langkah yang sama seperti bagian (c)
dengan mengambil c = │a│
Pada Teorema 1.2.2 (c) berlaku :
Jika c ≥ 0 maka a│≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c
Jadi terbukti -│a│≤ a ≤ │a│untuk semua a є R
(e). │-a│ = │a│ = a untuk semua a є R
Diketahui a є R, maka berdasarkan sifat trikotomi terdapat 3 kemungkinan nilai a
,yaitu:
a > 0 atau a = 0 atau a < 0
Jika a = 0
│-a│ = │0│ ………………… subtitusi a = 0
= │a│ ………………….subtitusi 0 = a
= 0 ……....................definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a = 0
= a . …………………...subtitusi 0 = a
Jika a > 0
│-a│ = │(-1) a│ ..………….…teorema 1.1.1 bagian (a) dan karena a > 0
= │(-1)││a│………….…teorema 1.2.2 (a)
= 1│a│ ……………….….definisi 1.2.1 (nilai mutlak)
= │a│ ….........................sifat identitas pada perkalian
= a ………………………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a > 0
Jika a < 0
│-a│ = │(-1) (-a)│ ..…………..…..…..teorema 1.1.2 (a) dan karena a < 0
= │(-1) (-1) a│…………………..teorema 1.1.1 bagian (a)
= │1 . a│ ………………………..teorema 1.1.1 bagian (c)
= │a│ …....................................sifat identitas pada perkalian
= -a ……………………definisi 1.2.1 (nilai mutlak), karena a < 0
= a ………………………………karena a < 0
Teorema 1.2.3 Ketaksamaan Segitiga
Jika a, b є R , maka │a + b │≤ │a│ + │b│
Bukti Teorema 1.2.3 Ketaksamaan Segitiga
Jika a, b є R , maka │a + b │≤ │a│ + │b│
Diketahui a є R maka berdasarkan teorema 1.2.2 (d) diperoleh :
-│a│≤ a ≤ │a│ …………..(*)
Diketahui b є R maka berdasarkan teorema 1.2.2 (d) diperoleh :
-│b│≤ b ≤ │b│ …………..(**)
Jumlahkan kedua ruas dari (*) dan (**)
(-│a│) + ( -│b│ ) ≤ a + b ≤ │a│ + │b│
- (│a│ + │b│) ≤ a + b ≤ │a│ + │b│
……..terbukti menggunakan teorema 1.2.2 (c)
Teorema 1.2.4. Jika a,b є R, maka
(a). ││a│-│b││ ≤ │a - b │
(b). │a - b │ ≤ │a│+│b│
Bukti Teorema 1.2.4
(a) Jika a, b є R , maka ││a│ - │b││≤ │a - b │
Diketahui a є R maka a dapat ditulis :
a = a + 0………………….sifat identitas pada penjumlahan
= a + (-b) + b …………sifat invers pada penjumlahan
= a – b + b ……………distributif perkalian
Sehingga diperoleh :
│a│ = │a – b + b│…………….subtitusi a = a – b + b
≤ │a - b│ + │b│…………..ketaksamaan segitiga
│a│ - │b│ ≤ │a - b│…………pindah ruas │b│ dari ruas kanan ke ruas kiri dan beri nama persamaan (*)
Diketahui b є R maka a dapat ditulis :
b = b + 0…………………….sifat identitas pada penjumlahan
= b + (-a) + a …………….sifat .invers pada penjumlahan
= b – a + a………………..distributif perkalian
Sehingga diperoleh :
│b│ = │b – a + a│……………….….subtitusi b = b – a + a
= │- (a – b) + a│ ………………sifat distributif perkalian
≤ │- (a – b)│ + │a│ ……………ketaksamaan segitiga
= │a - b│ + │a│ ……………….teorema 1.2.2 (e)
-│a - b│ ≤ │a│ - │b│…………….. pindah ruas │b│ dari ruas kiri ke ruas kanan, serta pindah ruas │a - b│dari ruas
kanan ke ruas kiri. Kemudian beri nama persamaan (**)
Penggabungan (*) dan (**) diperoleh :
│a│ - │b│ ≤ │a - b│……………..tuliskan persamaan (*)
-│a - b│ ≤ │a│ - │b│…………....tuliskan persamaan (**)
Sehingga:
-│a - b│ ≤ │a│ - │b│ ≤ │a - b│
││a│ - │b││≤ │a - b │…………terbukti menggunakan teorema 1.2.2 (c)
(b). Jika a, b є R, maka │a - b │ ≤ │a│+│b│
Gantilah b pada ketaksamaan segitiga (teorema 1.2.3) dengan –b, sehingga
diperoleh :
│a + (-b)│= │a - b │ ……………sifat distributif pada perkalian
≤ │a│ + │-b│ ……………ketaksamaan segitiga
= │a│ + │b│……………..teorema 1.2.2 (e)
Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang
bilangan real yang banyaknya berhingga
Akibat 1.2.5 Jika a1, a2, a3, ……, an adalah sebarang bilangan real, maka
│ a1 + a2 + a3 + …… + an │ ≤ │ a1 │ + │ a2s │ + │ a3 │ + …… + │ an │
Soal Latihan
1. Butikan jika x ≤ 3, maka │ 2x2 – 3x + 1 │ ≤ 28
2. Buktikan jika │ x – 2 │ ≤ 3, maka │2x -5 │ ≤ 9
3. Buktikan │ a + b │ = │a│ + │b│ jika dan hanya jika ab ≥ 0
4. Buktikan jika │ x – 2 │ ≤ 1, maka │ x2 – 4 │ ≤ 6
5. Carilah hubungan a dan b supaya berlaku jika │ x – 1 │ ≤ a, maka │ 2x – 2 │ ≤ b
6. Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka │x – y │ < b – a
7. Misalkan x, y, z є R dan x ≤ z. Buktikan bahwa x < y < z jika dan hanya jika │ x –
y │ + │ y – z │ = │ x – z │
8. Buktikan bahwa │ x – a │ < ε jika dan hanya jika –ε < x < ε
9. Buktikan jika a є R , maka │ a │ =
10. Buktikan jika a, b є R dan b ≠ 0, maka
11. Carilah semua nilai x є R sedemikian sehingga │ x + 1 │ + │ x + 2 │ = 7
12. Buatlah sketsa grafik y = │ x │ - │ x – 1 │
1.3 SIFAT LENGKAP BILANGAN REAL
Pada bagian ini akan diberikan salah satu sifat dari R yang sering disebut Sifat
Lengkap (completeness property). Tetapi sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih
dahulu konsep suprimum dan infimum.
SUPRIMUM dan INFIMUM
Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu
himpunan bilangan real, serta jenis-jenis himpunan yang terdiri dari himpunan
terbatas ke atas, terbatas ke bawah, terbatas dan tidak terbatas
Definisi 1.3.1 Diberikan S subset tak kosong dari R ( S R )
(a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu
bilangan u є R sedemikian sehingga s ≤ u, untuk semua s є S. Setiap bilangan u
seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari himpunan S
(b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat suatu
bilangan w є R sedemikian sehingga w ≤ s, untuk semua s є S. Setiap bilangan
w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari himpunan S
(c) Himpunan S dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke
bawah
(d) Himpunan S dikatakan tidak terbatas (unbounded) jika tidak terbatas ke atas
atau tidak terbatas ke bawah
Definisi 1.3.2 Diberikan S subset tak kosong dari R ( S R )
(a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut suprimum (batas atas
terkecil) dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut :
u merupakan batas atas S
Jika v adalah sebarang batas atas S, maka u ≤ v
(b) Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan w disebut infimum (batas bawah
terbesar) dari S jika memenuhi kondisi sebagai berikut :
w merupakan batas bawah S
Jika t adalah sebarang batas bawah S, maka t ≤ w
TENTANG 4 KEMUNGKINAN
Jika S himpunan tak kosong dan subset dari R ( S R dan S ≠ Ø) maka
terdapat empat kemungkinan, yaitu :
S mempunyai suprimum dan infimum (S himpunan terbatas)
S hanya mempunyai suprimum (S himpunan terbatas ke atas)
S hanya mempunyai infimum (S himpunan terbatas ke bawah)
S tidak mempunyai suprimum dan infimum (S himpunan tidak terbatas)
Teorema 1.3.3 Diberikan sebarang S subset tak kosong dari R ( S R )
(a) u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian
sehingga u – ε < s
(b) w = inf S jika dab hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian
sehingga w – ε < s
Bukti
(a) Pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk biimplikasi (jika dan hanya
jika) atau sering disebut pernyataan dua arah. Sehingga kita harus membuktikan
dua arah juga
( → ) Diketahui u = sup S dan akan dibuktikan untuk setiap ε > 0 terdapat s є S
sedemikian sehingga u – ε < s. Untuk setiap ε > 0 berlaku karena u – ε < u, maka
u – ε bukan batas atas S. oleh karena itu, terdapat s є S yang lebih besar dari u
– ε sedemikian sehingga u – ε < s
( ← ) Diketahui untuk setiap ε > 0 terdapat s є S sedemikian sehingga u – ε < s,
sehingga akan dibuktikan u = sup S
(b) Pembuktian selanjutnya diserahkan kepada mahasiswa
(c) Pembuktian selanjutnya diserahkan kepada mahasiswa
Soal-soal berikut harus dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Jelaskan setiap himpunan S di atas berkaitan dengan definisi 1.3.1 dan definisi
1.3.2
Diberikan S subset tak kosong dari R, sebagai berikut :
(1) S = { x ≤ a , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda
(2) S = { x > b , x є R }, dengan b = ⅓ x digit terakhir NIM anda
(3) S = { -a < x ≤ b , x є R }, dengan a = kuadrat digit terakhir NIM anda dan b = ⅝
x digit terakhir NIM anda
(4) S = { x ≤ a , x є R } ∩ { x > b , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda dan b =
⅓ x digit terakhir NIM anda
(5) S = { x ≥ a , x є R } U { x ≥ b , x є R }, dengan a = digit terakhir NIM anda dan b =
⅔ x digit terakhir NIM anda
(6) S = { x ≤ a atau x ≥ b, x є R}, dengan a = akar pangkat dua digit terakhir NIM anda
dan b = ¾ x digit terakhir NIM anda
(7) S = N, N = himpunan bilangan asli
(8) S = R, R = himpunan bilangan real
(9) S = { 1 }
(10) S = Ø
(11) S = { x2 - 3x + 2 ≤ 0, x є R }
(12) S = { │ x │ ≤ 2, x є R }
Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong R yang terbatas ke atas pasti
mempunyai batas atas terkecil. Sifat ini disebut Sifat Lengkap R atau sering
disebut juga Aksioma Suprimum R
Definisi 1.3.4 Sifat Lengkap R
Jika S subset tak kosong dari R terbatas ke atas, maka suprimumnya ada, yaitu
terdapat u є R sedemikian sehingga u = sup S
Akibat 1.3.5 ( Akibat Sifat Lengkap R )
Jika S subset tak kosong dari R terbatas ke bawah, maka infimumnya ada, yaitu
terdapat w є R sedemikian sehingga w = inf S
1. 4 Penggunaan Sifat Lengkap R (Aksioma Suprimum R)
Pada subbab ini akan dibahas beberapa akibat dari Sifat Lengkap R atau
Aksioma Suprimum R
Teorema 1.4.1 Diberikan S subset tak kosong R yang terbatas ke atas dan
sebarang a є R. Didefinisikan himpunan a + S = { a + s, s є S } maka berlaku
sup (a + S) = a + sup (S)
Bukti Teorema 1.4.1
Jika diberikan u = sup S, maka x ≤ u untuk semua x є S, sehingga a + x ≤ a
+ u. Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S. Akibatnya
sup (a+S) ≤ a + u. selanjuynya, misalkan v adalah sebarang batas atas a+S,
maka a + x ≤ v untuk semua x є S. Akibatnya x ≤ v – a untuk semua x є S,
sehingga v – a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S ≤ v – a.
Karena v adalah sebarang batas atas a
+S, maka dengan mengganti v dengan u = sup S, diperoleh a + u ≤ sup (a+S). Di
lain pihak diketahui sup (a+S) ≤ a + u. Akibatnya terbukti bahwa sup (a+S) = a +
u = a + sup S
Teorema 1.4.2 Diberikan S subset tak kosong R yang terbatas dan sebarang
bilangan real a > 0. Didefinisikan himpunan aS = { as, s є S } maka berlaku inf
(aS) = a inf (S)
Bukti Teorema 1.4.2 (bukti langsung)
Tulis w = inf aS dan t = inf S.
Akan dibuktikan bahwa w = at.
Berdasarkan teorema 1.1.8 bagian (g) maka Jika w ≤ at dan at ≤ w, maka w = at
Karena w = inf S, maka w ≤ as untuk setiap s є S.
Begitu pula karena t = inf S, maka t ≤ s untuk semua s є S. Karena diketahui a > 0
sebarang bilangan real, akibatnya at ≤ as untuk setiap s є S. Berarti at
merupakan batas bawah aS
Karena w = inf aS, maka at ≤ w
Karena w ≤ as untuk setiap s є S, maka diperoleh
Teorema 1.4.3 Jika A dan B subset tak kosong R dan memenuhi a ≤ b untuk
semua a є A dan b є B, maka berlaku sup A ≤ inf B
Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan
1. Buktikanlah teorema 1.4.1, teorema 1.4.2 dan teorema 1.4.3
2. Jelaskan melalui contoh soal maksud dari teorema 1.4.1, teorema 1.4.2 dan
teorema 1.4.3
3. Jika S himpunan terbatas di R dan T S tidak kosong. Buktikan bahwa
Inf S ≤ inf T ≤ sup T ≤ sup S
Teorema 1.4.4 Sifat Archimedes
Jika x є R, maka terdapat n є N sedemikian sehingga x < n
Sifat Archimedes ini merupakan salah satu sifat yang mengaitkan hubungan
antara bilangan real dan bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila
diberikan sebarang bilangan real x, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan
asli n yang lebih besar dari x.
Pembuktian Sifat Archimedes ( Bukti Tidak Langsung )
Diketahui x є R. Andaikan tidak ada n є N sedemikian sehingga x < n, maka x
≥ n atau n ≤ x, untuk setiap n є N. Dengan kata lain, x merupakan batas atas N
.
Jelas bahwa N R, N ≠ Ø dan N terbatas ke atas, maka menurut Aksioma
Suprimum (Sifat Lengkap R) sup N ada. Tulis x = sup N.
Berdasarkan Lemma 1.3.3, karena x = sup N maka dengan mengambil ε = 1 > 0,
terdapat m є N sedemikian sehingga x – ε < m atau x – 1 < m. Akibatnya x < m
+ 1, dengan m + 1 є N. Timbul kontradiksi dengan x = sup N. Jadi pengandaian
salah, yang benar adalah ada n є N sedemikian sehingga x < n
Beberapa Akibat Sifat Archimedes
Akibat 1.4.5
Jika S = {1/n : n є N }, maka inf S = 0
Akibat 1.4.6
Jika t > 0, maka terdapat n є N sedemikian sehingga 0 < 1/n < t
Akibat 1.4.7
Jika y > 0, maka terdapat n є N sedemikian sehingga n -1 < y < n
Salah satu penggunaan Sifat Lengkap R (Aksioma Suprimum) adalah dapat
digunakan untuk memberikan jaminan eksistensi bilangan-bilangan real. Berikut
ini akan ditunjukkan bahwa ada bilangan real x positif sedemikian sehingga x2 =
2
Teorema 1.4.8 Eksistensi Bilangan Real
Ada bilangan real positif x sedemikian sehingga x2 = 2
Bukti Tidak Langsung
Bukti LangsungTeorema 1.4.8
Ada Bilangan Real Positif Sedemikian Sehingga x2 = 2Alur
PembuktianProses (1) :Tunjukkan Ada x є R
Proses (2) : Tunjukkan x2 = 2
Pembuktian Teorema 1.4.8. Eksistensi Bilangan Real
Proses (1) : Tunjukkan ada x є R
Dibentuk himpunan S = {s є R : s ≥ 0 dan s2 < 2}
Jelas S R
S ≠ Ø, karena 0 є S dan 1 є S
S terbatas ke atas dengan batas atasnya adalah 2
Karena S R, S ≠ Ø dan S himpunan terbatas ke atas, berdasarkan Sifat Lengkap
R (Aksioma Suprimum) maka S mempunyai suprimum. Namakan x = sup S,
dengan x є R
Proses (2) : Tunjukkan x2 = 2
Andaikan x2 ≠ 2, berdasarkan Sifat Trikotomi maka x2 < 2 atau x2 >2
Kemungkinan I : Untuk x2 < 2
Karena x2 < 2, maka 2 - x2 > 0
Perhatikan :
………………pengkuadratan suku dua
…………………….karena
…………
Berdasarkan hasil di atas diperoleh bahwa (x + 1/n)2 < 2 , yang berarti (x + 1/n) є
S.
Hal ini kontradiksi dengan x = sup S.
Oleh karena itu tidak mungkin x2 < 2
Kemungkinan II : Untuk x2 > 2
Karena x2 > 2, maka x2 – 2 > 0
Perhatikan :
………………pengkuadratan suku dua
…………………….karena
……
Berdasarkan hasil di atas diperoleh bahwa (x - 1/n)2 > 2, yang berarti (x - 1/n) S.
Hal ini kontradiksi dengan x = sup S
Oleh karena itu tidak mungkin x2 > 2
Proses (1) : Ada bilangan real x positif
Proses (2) : Pada Kemungkinan I diperoleh hasil tidak mungkin x2 < 2 dan pada
kemungkinan II diperoleh hasil tidak mungkin x2 > 2, sehingga pengandaian x2 ≠
2 salah seharusnya x2 = 2
Kesimpulan : Terbukti bahwa ada bilangan real x positif sedemikian sehingga x2
= 2
Teorema 1.4.9 Teorema Densitas (The Density Theorem)
Jika x, y є R dengan x < y, maka ada bilangan rasional q ( q є Q ) sedemikian
sehingga x < q < y
Pembuktian Teorema 1.4.9 Densitas
Diketahui x, y є R dengan x < y, berarti diambil x > 0 dan y > 0
Diketahui x < y berarti y – x > 0 (berdasarkan definisi 1.1.6)
Karena y – x > 0 maka berdasarkan Akibat Sifat Archimedes, terdapat n є N
sedemikian sehingga : 1/n < y – x ↔ 1 < n ( y – x )
↔ 1 < ny – nx
↔ nx + 1 < ny ………….(i)
Karena x > 0 dan n є N, maka n > 0. Sehingga nx > 0
Karena nx > 0 maka berdasarkan Akibat Sifat Archimedes, terdapat m є N
sedemikian sehingga :
m – 1 < nx < m
↔ m – 1 < nx ……..(ii) dan nx < m ……..(iii)
↔ m < nx + 1 < ny (berdasarkan persamaan (i))
↔ m < ny ……….(iv)
Gabungkan persamaan (iii) dan (iv) akan diperoleh :
nx < m < ny
↔ x < m/n < y
………..(terbukti), dengan bilangan rasional q = m/n, m dan n є B
Akibat 1.4.10 Jika x, y є R dengan x < y, maka ada bilangan irrasional r
sedemikian sehingga x < r < y
Bukti akibat 1.4.10
Menggunakan teorema densitas, ada bilangan real dan dengan sifat ada
bilangan rasional q sedemikian sehingga < q < . Akibatnya x < q < y
atau x < r < y, dengan r = q adalah bilangan irrasional
Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan
1. Jika y > 0, tunjukkan bahwa terdapat n є N sedemikian sehingga 1/2n < y
2. Jika u > 0 adalah sebarang bilangan real dan x < y, tunjukkan bahwa terdapat
bilangan rasional r sedemikian sehingga x < ru < y
1.5 Interval Dalam R
Interval didefinisikan sebagai himpunan dalam . Interval terbagi menjadi 2
bagian yaitu interval terbatas dan interval tidak terbatas. Interval terbatas adalah
himpunan terbatas di R berupa himpunan terbatas (bounded), himpunan terbatas
ke atas (bounded above) dan himpunan terbatas ke bawah (bounded below).
Interval tidak terbatas adalah himpunan tidak terbatas di R (unbounded)
Jenis Interval Terbatas Dalam R
1. Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval terbuka yang ditentukan oleh
a dan b adalah himpunan :
(a,b) = {x є R : a < x < b }
Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval tidak
termuat dalam interval terbuka
2. Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval tertutup yang ditentukan oleh
a dan b adalah himpunan :
[a,b] = {x є R : a ≤ x ≤ b }
Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval termuat
dalam interval tertutup
3. Jika diberikan a,b є R dengan a < b, maka Interval setengah terbuka atau
setengah tertutup yang merupakan gabungan interval terbuka dengan titik ujung
a adalah himpunan :
[a,b) = {x є R : a ≤ x < b } atau (a,b] = {x є R : a < x ≤ b }
Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Hanya salah satu titik ujung
interval yang termuat dalam interval tertutup
Jenis Interval Tidak Terbatas Dalam R
Pada interval tidak terbatas simbol +∞ atau -∞ digunakan sebagai simbol titik
ujung yang tidak berhingga.
1. Interval terbuka tidak terbatas atau sinar terbuka adalah himpunan yang
didefinisikan sebagai berikut :
(a,∞) = {x є R : x > a} atau (-∞,b) = {x є R : x < b}
Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval tidak
termuat dalam interval terbuka tidak terbatas
2. Interval tertutup tidak terbatas atau sinar tertutup adalah himpunan yang
didefinisikan sebagai berikut :
[a,∞) = {x є R : x ≥ a} atau (-∞,b] = {x є R : x ≤ b}
Titik a dan b disebut titik ujung (endpoints) interval. Titik ujung interval termuat
dalam interval tertutup tidak terbatas
3. Himpunan R dapat dituliskan sebagai (-∞,∞). Perhatikan -∞ dan ∞ bukan
elemen dari R
Teorema 1.5.1 Teorema Karakteristik Interval
Jika S adalah subset tak kosong dari R yang memuat paling sedikit dua titik dan
mempunyai sifat :
Jika x,y є S dan x < y, maka [x,y] S, maka S merupakan suatu interval
Interval susut (Nested Intervals)
Telah diketahui bahwa barisan adalah fungsi f : N → A ≠ Ø. Jika A adalah
himpunan interval – interval, maka terbentuk barisan interval {In}n≥1 . Untuk
mempersingkat penulisan, barisan {In}n≥1 cukup ditulis In
Definisi 1.5.2 (Interval Susut)
Barisan In, n є N dikatakan interval susut (Nested Intervals) jika
I1 I2 I3 I4……….. In In+1 ……
Sifat 1.5.3 Sifat Interval Susut (Nested Intervals Property)
Jika In = [an, bn], n є N interval tertutup terbatas dan In In+1, untuk setiap n є N
(interval susut), maka
Yaitu terdapat x є R sedemikian sehingga x є In, untuk setiap n є N.
Selanjutnya, jika panjang In = bn – an memenuhi inf {bn – an ; n є N} = 0, maka
elemen berserikat x tersebut tunggal
Contoh :
(1) Diberikan . Yaitu
Maka : I1 I2 I3 I4……….. In In+1 ……
Sehingga In adalah interval susut (nested intervals) dan
Jadi In mempunyai elemen berserikat yang tunggal yaitu 0 є R, karena
(2) Diberikan . Yaitu
Maka : I1 I2 I3 I4……….. In In+1 ……
Sehingga In adalah interval susut (nested intervals), tetapi
Yang berarti In tidak mempunyai elemen berserikat. Jadi interval susut belum
tentu mempunyai elemen berserikat.
Sebab, andaikan
Akan terdapat
Maka x є In, untuk setiap n є N. Atau dapat dituliskan 0 < x < . Berdasarkan
akibat sifat Archimedes (akibat 1.4.6), karena x > 0 maka terdapat n є N
sedemikian sehingga < x. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi
pengandaian salah, seharusnya
(3) Diberikan , maka
Maka : I1 I2 I3 I4……….. In In+1 ……
Sehingga In adalah interval susut (nested intervals) dan
Jadi In mempunyai elemen berserikat tetapi tidak tunggal, yaitu ada tak
berhingga banyaknya x є [0,1], x є R . Hal ini dikarenakan
Definisi 1.5.4 Persekitaran-ε ( ε-Neighborhood )
Diberikan a є R dan ε > 0. Persekitaran-ε (ε-neighborhood) dari a didefinisikan
sebagai himpunan Nε(a) = { x є R : │ x – a │ < ε } = ( a – ε , a + ε )
Jadi x є Nε(a) jika dan hanya jika a – ε < x < a + ε
Nε(a)aa - εa + ε
Contoh :
(1) Tentukan persekitaran-ε dari 2, dengan mengambil ε = ½
(2) Apakah N¼(2) N½(2) ?
(3) Apakah N¼(2) dapat dikatakan juga sebagai persekitaran-ε dari 2 ?
Jawab :
(1) Nε(a) = { x є R : │ x – a │ < ε } = ( a – ε , a + ε )
N½(2) = { x є R : │ x – 2 │ < ½ }
= ( 2 – ½ , 2 + ½ )
= ( 1½ , 2½ )
= 1½ < x < 2½
N½(2)21½
2½
Ilustrasi :
(2) Karena ε = ¼ < ε = ½, maka dapat dikatakan bahwa N¼(2) N½(2)
N½(2)21½2½Ilustrasi : 1¼2¼N¼(2)
(3) N¼(2) dapat dikatakan juga persekitaran-ε dari 2, karena N¼(2) N½(2)
Teorema 1.5.5
Diberikan a є R. Jika x berada dalam persekitaran Nε(a) untuk setiap ε > 0, maka
x = a
Definisi 1.5.6 Titik Cluster (titik kumpul / titik akumulasi / titik limit)
Diberikan S subset tak kosong dari R ( S R ). Titik a є R disebut titik cluster, jika
setiap persekitaran-ε dari a yaitu Nε(a) = ( a – ε , a + ε ) memuat paling sedikit
satu titik anggota S yang tidak sama dengan a
Dengan kata lain, a titik cluster S jika untuk setiap ε > 0 berlaku (Nε(a) ∩ S) - {a}
≠ Ø atau (Nε(a) ∩ {a}) - S ≠ Ø
Ekuivalen dengan mengatakan bahwa a titik cluster S jika untuk setiap n є N,
terdapat s є S sedemikian sehingga 0 < │ s – a │ <
Contoh :
(1) Diberikan S = ( 0,2). Apakah 0 merupakan titik cluster dari S ?
Jawab :
Diketahui S = ( 0,2 ) = { x є R : 0 < x < 2 }
Kemudian untuk setiap persekitaran-ε dari 0, yaitu :
Nε(0) = { x є R : │ x – 0 │ < ε }
= ( 0 – ε , 0 + ε )
= ( -ε , ε )
= -ε < x < ε
Memuat paling sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Hal ini
dikarenakan anggota S adalah elemen bilangan real, yaitu x є R. Menggunakan
konsep densitas bilangan real, akan selalu dapat ditemukan sebuah bilangan
real di antara dua bilangan real berbeda. Aibatnya selalu dapat ditemukan paling
sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Jadi dapat dikatakan
bahwa 0 merupakan titik cluster dari S.
Ilustrasi :
20
(2) Diberikan S = [ 1,2 ] U { 4 }. Apakah 4 merupakan titik cluster dari S ?
Jawab :
Diketahui S = [ 1,2 ] U { 4 } = { x є R : 1 ≤ x ≤ 2 } U { 4 }
4 bukan titik cluster dari S, karena untuk ε = ½ maka persekitaran-ε dari 4 yaitu :
N½(4) = { x є R : │ x – 4 │ < ½ }
= ( 4 – ½ , 4 + ½ )
= ( 3½ , 4½ )
= 3½ < x < 4½
Sehingga :
(Nε(a) ∩ S) - {x} = [ ( 3½ , 4½ ) ∩ { x є R : 1 ≤ x ≤ 2 } U { 4 } ] - { 4 } = Ø
Jadi tidak setiap persekitaran-ε dari 4 memuat paling sedikit satu titik anggota S
yang tidak sama dengan 4.
Ilustrasi :
3●4○4½ ○3½●1●2
(3) Diberikan S = { : n є N } = . Apakah 0 merupakan titik cluster dari S ?
Jawab :
Diketahui S = { : n є N } =
Kemudian untuk setiap persekitaran-ε dari 0, yaitu :
Nε(0) = { x є R : │ x – 0 │ < ε }
= ( 0 – ε , 0 + ε )
= ( -ε , ε )
= -ε < x < ε
Memuat paling sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan 0. Hal ini
dikarenakan N terbatas ke bawah, sehingga jika n → ~ maka → 0. Akibatnya
terdapat tak berhingga banyaknya bilangan real yang mendekati 0, sehingga
selalu dapat ditemukan paling sedikit satu anggota S yang tidak sama dengan 0.
Jadi dapat dikatakan bahwa 0 merupakan titik cluster dari S.
Teorema 1.5.7 Teorema Bolzano – Weierstrass
Setiap subset R yang tak berhingga (infinite) dan terbatas, mempunyai paling
sedikit satu titik cluster
Bukti Teorema Bolzano – Weiertrass :
Diberikan sebarang subset S R tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas
maka terdapat interval I1 = [ a,b ] dengan panjang interval I1 = b – a. Kemudian
bagilah I1 menjadi dua bagian, yaitu dan Karena S tak berhingga, maka salah
satu interval tersebut memuat tak berhingga banyak titik anggota S. Namakan
bagian yang memuat tak berhingga banyak titik anggota S dengan I2.
Panjangnya I2 = . Selanjutnya, I2 dibagi menjadi dua bagian seperti
langkah di atas, maka salah satu bagian yang memuat tak berhingga titik
anggotas S. Namakan bagian tersebut dengan I3, panjangnya I3 = . Apabila
proses diteruskan, maka akan diperoleh barisan interval susut (Nested Intervals),
yang memenuhi I1 I 2 I 3 I 4…. I n I n+1 ….
Menurut sifat interval susut, maka
Atau terdapat
Akan ditunjukkan bahwa x titik cluster S. Diambil sebarang ε > 0, maka terdapat
n є N sedemikian sehingga < ε dan persekitaran-ε dari x yaitu Nε(x) = ( x – ε , x
+ ε ). Karena x є In dan < ε, maka In Nε(x). Karena In memuat tak berhingga titik
anggota S, maka Nε(x) juga memuat tak berhingga titik anggota S yang tidak
sama dengan x. Jadi x adalah titik cluster S.
Countabilitas
Masalah countabilitas sebenarnya masih membicarakan tentang himpunan,
khususnya tentang hubungan antar himpunan dan banyaknya anggota himpunan
yang dikaji melalui konsep fungsi.
Definisi 1.5.8
Sebuah himpunan A dikatakan berhingga (finite) jika A himpunan kosong atau A
berkoresondensi satu-satu (fungsi bijektif) dengan In = {1,2,3,…n}, n є N. Jika
tidak demikian maka A dikatakan tak berhingga (infinite).
Contoh :
(1) Himpunan A = { a,b,c,d } adalah berhingga, karena dapat dibuat korespondensi
satu-satu dengan In = { 1,2,3,…n}, n є N
(2) Himpunan N = { 1,2,3,…n,… } adalah tak berhingga, karena tidak dapat dibuat
korespondensi satu-satu dengan In = { 1,2,3,…n}, n є N
Definisi 1.5.9
Diberikan N = himpunan bilangan asli dan A himpunan tak kosong. Jika A
berkorespondensi satu-satu (fungsi bijektif ) dengan N, maka A dikatakan
denumerable. Jika tidak demikian maka A dikatakan non denumerable.
Definisi 1.5.10
Himpunan yang berhingga (finite) atau denumerable disebut himpunan countable
(terhitung). Sebaliknya himpunan yang tak berhingga (infinite) dan non
denumerable disebut himpunan uncountable (tak terhitung)
Jadi dapat dikatakan pula bahwa himpunan denumerable dapat diukur dari
himpunan bilangan asli. Akibatnya himpunan denumerable unsur-unsurnya dapat
dinomori.
Contoh :
(1) Diberikan A = { 0,2,4,6,8,…}. Apakah A countable ?
(2) Diberikan B = { 1,3,5,7,9,…}. Apakah B countable ?
(3) Diberikan C = { x є N : 2 < x < 10 }. Apakah C countable ?
(4) Diberikan Z = himpunan bilangan bulat. Apakah Z countable ?
(5) Diberikan R = himpunan bilangan real. Apakah R countable ?
Jawab :
(1) Himpunan A = { 0,2,4,6,8,…} adalah himpunan tak kosong dan berkorespondensi
satu-satu dengan N = himpunan bilangan asli. Sehingga himpunan A
denumerable. Karena A denumerable, berdasarkan definisi maka himpunan A
adalah himpunan countable
(2) Himpunan B = { 1,3,5,7,9,…} adalah himpunan tak kosong dan berkorespondensi
satu-satu dengan N = himpunan bilangan asli. Sehingga himpunan B
denumerable. Karena B denumerable, berdasarkan definisi maka himpunan B
adalah himpunan countable
(3) Himpunan C = { x є N : 2 < x < 10 } adalah himpunan tak kosong dan
berkoresondensi satu-satu (fungsi bijektif) dengan In = {1,2,3,…n}, n є N.
Sehingga himpunan C berhingga (finite). Karena C berhingga, berdasarkan
definisi maka himpunan C adalah himpunan countable
(4) Himpunan Z = himpunan bilangan bulat, dapat dikontruksi melalui suatu fungsi .
Sehingga dapat dibuat korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari Z ke N =
himpunan bilangan asli. Jadi himpunan Z denumerable. Karena Z denumerable,
berdasarkan definisi maka Z adalah himpunan countable
(5) Himpunan R = himpunan bilangan real = (-∞,∞), tidak dapat dibuat
korespondensi satu-satu (funagsi bijektif) dari R ke In = { 1,2,3,…n}, n є N.
Sehingga himpunan R tak berhingga (infinite). Selanjutnya, tidak dapat dibuat
pula korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari R ke N = himpunan bilangan
asli. Sehingga himpunan R non denumerable. Karena R tak berhingga (infinite)
dan non denumerable, berdasarkan definisi maka R adalah himpunan
uncountable
Teorema 1.5.11
Setiap himpunan tak berhingga memiliki himpunan bagian denumerable
Teorema 1.5.12
Setiap himpunan tak berhingga ekuivalen dengan salah satu himpunan bagian
sejatinya (proper subset)
Teorema 1.5.13
Diberikan A1, A2, A3,… adalah himpunan-himpunan countable, maka :
Teorema 1.5.14
Himpunan bilangan rasional adalah countable
Teorema 1.5.15
Diberikan A dan B dua himpunan tak kosong. Jika A B dan B countable, maka A
countable
Teorema 1.5.16
Himpunan [ 0,1 ] = { 0 ≤ x ≤ 1 ; x є R } uncountable
Himpunan Terbuka dan Tertutup
Definisi 1.5.17
(a) Himpunan G R dikatakan terbuka dalam R jika untuk setiap x є G terdapat
persekitaran-ε dari x sedemikian sehingga Nε(x) G
(b) Himpunan F R dikatakan tertutup dalam R jika FC = R – F terbuka dalam R
Sifat 1.5.18 Sifat Himpunan Terbuka
(a) Jika A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan terbuka dalam R, maka
(b) Jika A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan terbuka dalam R, maka
Sifat 1.5.19 Sifat Himpunan Tertutup
(a) Jika A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan tertutup dalam R, maka
(b) Jika A1, A2, A3,… masing-masing adalah himpunan tertutup dalam R, maka
Teorema 1.5.20
Diberikan S R. S dikatakan tertutup jika memuat semua titik clusternya
Soal berikut harus dikerjakan oleh mahasiswa sebagai latihan
1. Diberikan Kn = (n, ), n є N. Buktikan bahwa
2. Buktikan A = { 1,2,3 } tertutup dalam R
3. Buktikan B = [ 0,1 ] tertutup dalam R
4. Buktikan C = { x < 1 ; x є R } terbuka dalam R
5. Buktikan D = { x > 0 ; x є R } terbuka dalam R
6. Jika S R tak kosong dan terbatas, dan Is = [ inf S, sup S ]. Tunjukkan bahwa
S Is