KALKULUS

TPE 4201/2 SKS 2

POKOK BAHASAN

1.INTEGRAL

1.1 Integral tertentu

1.2 Aplikasi integral tertentu

1.3 Integral tak tentu

1.4 Integral rangkap

2. FUNGSI

2.1 Fungsi eksponensial dan logaritma

2.2 Fungsi hiperbolik

2.3 Fungsi trigonometri

3

Bobot Penilaian

DMM 50%

BDA 50%

Kriteria penilaian DMM

Quiz 30%

Tugas 40%

UTS 30%

4

REFERENSI ______www.mathworld.com ______http://ltcconline.net ______www.maths.soton.ac.uk Baisuni H. 1995.Kalkulus. UI Press Finney-Thomas.1993. Kalkulus & Geometri

Analitik.Erlangga Kastroud.1990. Matematika untuk Teknik Purcell E.J. 1995.Kalkulus & Geometri

Analitis.Erlangga Steward J. 2001. Kalkulus. Erlangga Tordballa.1967.Calculus.Academic Press.London

5

APLIKASI KALKULUS

1. FUNGSI DAN MODEL

Ф Kardiograf listrik detak jantung

Ф Poligraf mendeteksi kebohongan

Ф Seismograf aktivitas gempa

6

Ф PEMODELAN DLM PENELITIAN

y = 1,0239x

R = 0,95

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Laju Respirasi O2 Prediksi (mg/kg.jam)

La

ju R

esp

ira

si O

2 O

bse

rv

asi

(mg

/kg

.ja

m)

pemodelan laju respirasi, umur simpan buah, pengeringan padi

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lama Simpan (hari)

Laju

Res

pir

asi

O2 (

mg/k

g.j

am

)

30 kP a-20C

50 kP a-20C

70 kP a-20C

Ko ntro l Dalam

Ko ntro l Luar

7

2. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN

Ф Memperkirakan berapa lama kue menjadi dingin setelah

dikeluarkan dari oven

Ф Pembacaan speedometer

8

Ф Laju perubahan kecepatan darah terhadap bertambahnya jarak dari dinding (darah mengalir lebih lambat dekat dinding pembuluh darah)

Ф Mengetahui kecepatan pembalap pada suatu waktu tertentu

3. TURUNAN

9

Ф Pengukuran laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

Ф Penggunaan kecepatan pesawat ulak-alik untuk menentukan ketinggian yang dapat dicapai dalam waktu tertentu

4. INTEGRAL

Ф Dapat digunakan untuk menghitung luasan

dari kurva tidak beraturan

Ф Menghitung volume buah yang tidak

beraturan

Dengan cara membagi luasan daerah/volume menjadi bagian yang kecil

11

INTEGRAL

12

Rumus umum integral

b

a

dx (x) f

f(x) = integran

a dan b = batas pengintegralan

a = batas bawah

b = batas atas

dx = lambang yang tidak bermakna

resmi

13

Integral tentu b

a

dx f(x) bilangan

Perbedaan integral tentu dan tak tentu

Integral tak tentu fungsi dx f(x)

14

Penjumlahan Riemann

Suatu pembagian P dari selang [a,b]

menjadi n selang bagian memakai

titik-titik a = x0< x1<x2,…<xn =b

dengan mengandaikan xi = xi – xi-1

Bernhard Riemann,

matematikawan

Jerman

Pada tiap selang bagian [xi-1, xi] diambil titik

xi yang disebut titik sampel

15

Terbentuk penjumlahan

i

n

1iip x)x( fR Δ

Rp = jumlah Riemann untuk f yang

berpadanan dengan partisi P 16

Tafsiran geometri

6A5A)4A()3A()2A( 1Aix )6

1iixf(

Δ

17

Hitunglah jumlah Riemann (Rp) untuk

f(x) = x3 - 5x2 + 2x + 8 pada selang [0,5]

memakai P dengan titik partisi

0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5 dan titik sampel

x1 = 0.5 ; x2 = 1.5 ;x3 = 2.5 ; x4= 3.6 ; x5 = 5

1

18

Gambar :

19

2

Jika suatu partisi P memiliki titik

sampel berupa titik ujung kanan

dimana a = 0, b = 12 dan n = 6,

Tentukan jumlah Riemann untuk

f(x) = 2x2 + 3x +2

Hubungan differensial dan integral

21

Sifat-sifat integral tentu

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.

dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4

sembarang konstanta c dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3

dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.

sembarang konstanta c dengan a)c(bdx c 1.

22

Sifat pembandingan integral

b

a

b

a

b

a

b

a

a)-(b Mdx f(x) a)-m(b maka b,xa utk Mf(x)m Jika 8.

dx g(x)dx f(x) maka b,xa utk g(x) f(x) Jika .7

0dx f(x) maka b,xa utk 0f(x) Jika 6.

23 3

112)

3

1x5(

dx 4xdx x5dx 4xdx5x dx 4x)(5x

1

0

1

0

21

0

1

0

21

0

2

Contoh Soal

1. Hitunglah dx )x4(5x

1

0

2

Dari sifat 2 dan 3 integral

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.

dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4

sembarang konstanta c dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3

dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.

sembarang konstanta c dengan a)c(bdx c 1.

24

2.

5 12 - 17

dx)x(fdx)x(fdx)x(f sehingga

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

5; sifat menurut

f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 32dx f(x) Jika

10

0

8

0

10

8

8

0

10

0

10

8

9

6

13

9

13

6

11 12 - 23

f(x)dxf(x)dxf(x)dx sehingga

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

5; sifat menurut

f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 17dx f(x) Jika

13

6

9

6

13

9

9

6

13

6

13

9

8

0

10

8

10

0

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.

dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4

sembarang ac konstant dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3

dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.

sembarang ac konstant dengan a)c(bdxc 1.

5 12 - 17

f(x)dxf(x)dxf(x)dx sehingga

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

5; sifat menurut

f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 17dx f(x) Jika

10

0

8

0

10

8

8

0

10

0

10

8

8

0

10

8

10

0

25

3. Carilah luas total dari daerah yang

dibatasi oleh kurva y=x3-4x dan sumbu x

Ingat : Luas tidak

memiliki nilai negatif

26

4. Tentukan luas daerah yang

dibatasi oleh kurva y = x2 - 6x + 5,

sumbu x, dan absis pada x = 1

dan x = 3

27

Terima Kasih Wassalamualaikum wr.wb