Geometri proyektif Page 119

BAB 6

GEOMETRI PROYEKTIF

A. Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif

Geometri proyektif mulai dipelajari pada

periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri

proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba

teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam

memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum adanya

geometri proyektif, pelukis susah menampilkan

bagaimana melukis garis sejajar di atas kanvas.

Seniman ingin menampilkan garis sejajar, seperti

pinggir jalan, karena sejajar pinggiran jalan tersebut,

terlihat berubah dalam lukisan dengan apa yang

dilihat nyata oleh orang. Usaha untuk mewujudkan

gambar yang realistik di dunia ke dalam bentuk 2D

dipelajari oleh banyak seniman selama periode

Renaissance. Salah satunya adalah Albrecht Durer.

Durer merupakan seniman yang terkenal di Jerman

yang bekerja sebagai pelukis dan pengukir kayu. Dia

bekerja keras untuk menampilkan secara nyata semua

yang ada disekitarnya. Tujuan ini membawa

Durer untuk mempelajari geometri. Dia sebagai

120

penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke

bentuk 2D.

Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana

orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam

lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara

sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat

mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam

dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans

gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari

pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil

dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata.

Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 1266-

1337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran

relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam

lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu

saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini,

sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh

(ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu

dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan,

karena semua orang sejak awal (sebelum pada

kenyataannya) pasti melihat orang-orang yang

jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan

psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini.

Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benar-

benar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar

tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau

pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar

perspektif.

Sekarang kita tahu cara menggambar perspektif,

ini benar-benar jelas bahwa itu adalah cara yang

"benar" untuk menggambar. Kita tahu bahwa jika kita

melihat sepasang rel kereta api di tanah datar terus ke

Geometri proyektif Page 121

cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah

titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul

lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di

dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang

bagaimana membuat suatu pemandangan dalam

perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan

tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan

sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi

yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan

hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya,

di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai

cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana

Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas

bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah

melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang

sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis

terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek

ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan

bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada

dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika

objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga

gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide

dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada

gambar berikut:

122

Melukis itu juga merupakan ide dasar di balik

geometri proyektif, yang mengatakan kepada kita

bagaimana gambar-gambar benda pada kaca terkait

dengan posisi benda-benda di dunia nyata, ke posisi

kaca, dan posisi mata. Nama "Proyektif" berasal dari

fakta bahwa pemandangan yang diambil dari kenyataan

menjadi "diproyeksikan" pada kaca. Kita mungkin berpikir,

dari sebuah proyektor dengan cara yang berlawanan,

tentu saja slide proyektor dari lampu bersinar terang

melalui slide (kaca) ke layar. Tetapi jika kita mengganti

lampu dengan mata dan bayangkan sinar cahaya

terbalik dan datang di objek, mereka akan

memproyeksikan citra dari objek yang ada pada slide.

Ada yang lebih dari geometri proyektif, tentu saja.

Hanya untuk mengisyaratkan masalah yang lebih sulit,

bayangkan bahwa Anda adalah seorang pelukis dari

suatu seperti di atas, tapi salah satu subjek dalam

pemandangan Anda adalah pelukis lain yang

melakukan perspektif menggambar di kanvasnya.

Ketika Anda menggambar di kanvas Anda apa yang ia

ggambar, bagaimana gambar Anda dari fotonya yang

terkait dengan dunia nyata, karena telah mengalami

dua proyeksi? Dan jika ini tampaknya terlalu jauh,

pertimbangkan ini: matahari melemparkan bayangan

di tanah, yang hanya proyeksi benda pada "kanvas"

dari tanah. Jika Anda seorang pelukis pemandangan

dengan bayangan di tanah dan Anda ingin membuat

bayangan dengan benar, Anda benar-benar melukis

proyeksi. Geometri Proyektif bukan hanya bagian dari

geometri Euclidean. Ini mungkin tampak mirip karena

tampaknya untuk menangani terutama dengan

proyeksi benda Euclidean pada bidang Euclidean. Tapi

Geometri proyektif Page 123

itu tidak semua. Pikirkan tentang contoh kita dari

sepasang rel kereta api berkumpul di cakrawala.

Dalam lukisan Anda dari lintasan, dua baris mewakili

mereka memenuhi di sebuah titik pada kanvas Anda,

tapi apa titik yang mewakili di dunia nyata?

Jawabannya adalah bahwa hal itu merupakan

titik "Jauh di kejauhan" ke arah yang akan dituju

lintasan (dengan asumsi, tentu saja, bahwa dunia

benar-benar datar dan meluas seluas-luasnya). Kita

bisa langsung tahu bahwa sesuatu yang aneh sedang

terjadi, karena geometri Euclidean tidak dilengkapi

dengan poin yang "jauh di takhingga", tetapi contoh ini

menunjukkan bahwa geometri proyektif tidak

memiliki masalah sama sekali yang mewakili titik-titik

tersebut (atau setidaknya proyeksi mereka). Saat ini

geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu

cara yang sangat praktis setiap Anda melihat gambar

tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua

perhitungan untuk menghasilkan citra realistik

dihitung dengan menggunakan rumus geometri

proyektif. Sifat geometris pertama yang bersifat

proyektif ditemukan pada abad ketiga oleh Pappus of

Alexandria. Geometri proyektif memiliki sejarah yang

sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan

dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada

abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari

geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut

berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri

ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga

hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan

para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17.

Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik,

124

dimana di abad 17 geometri ini tidak popular

dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19

geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi

sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif

didefinisikan secara sederhana sebagai sifat-sifat angka

yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam

proyeksi. Proyeksi sendiri secara sederhana dapat

dicontohkan pada pengamatan yang dilakukan pada

papan catur. Jika kita melihat dari depan maka akan

terlihat garis-garis yang ada adalah sejajar, tapi ketika

kita turunkan papan tersebut dan kita lihat dari sudut

pandang yang lain maka garis-garis tersebut terlihat

seperti tidak parallel atau tak sejajar. Dari sudut

pandang geometri kegiatan tersebut merupakan

sebuah proyeksi dari bidang pada kotak-kotak papan

catur. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat

dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17

barulah ada seorang matematikawan Perancis yang

berusaha untuk mempelajari geometri proyektif,

Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai

penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues

adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik

pada konsep proyeksi. Tidak banyak yang dapat

diketahui tentang kehidupan Deargues. Keluarga (pihak

ayah maupun pihak ibu) adalah keluarga kaya selama

beberapa generasi. Profesi keluarga adalah pengacara

atau hakim di Paris maupun di Lyon. Desargues sering

pergi ke Paris dalam hubungannya dengan proses

hukum guna pemulihan hutang. Meskipun bangkrut,

kelurganya masih memiliki beberapa rumah besar di

Lyon, puri dekat desa Vourles dan kastil kecil yang

dikelilingi oleh tanaman anggur. Pendidikan

Geometri proyektif Page 125

Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan

mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan

mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia

reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga

spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah

geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda

dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal

dengan nama “proyeksi” atau geometri “modern”.

Karya-karya Desargues terkesan praktis dengan

judul-judul seperti: Perspekctif (1636), pemotongan

batu untuk membangun gedung (1640) dan penunjuk

waktu terbuatdari batu/sundial (1640). Beberapa

salinan karya Desargues dicetak di Paris pada

tahun1639, namun hanya satu yang dapat diselamatkan, dan

ditemukan kembali pada tahun 1951. Penyebab semua itu

adalah karyanya tidak diterima oleh kalangan

matematikawan. Cara yang dipakai Desargues

untuk memasyarakatkan karya-karyanya adalah lewat

surat yang dikirim kepada teman-teman. Karya-karya

itu hampir semua hilang sampai tahun 1847, namun

salah satu salinan dibuat oleh Phillipe de Lahire, salah

seoarng pengagum Desargues ditemukan di

perpustakaan Paris. Karya-karyanya tidak untuk

konsumsi ilmuwan, yang mengikuti penjelajahan

imajinasi, tapi matematikawan “lapangan” dan ahli-

ahli mesin, yang sulit memahami makna dari karya-

karyanya. Istilah-istilah yang digunakan, karena ilmu

baru, banyak diambil dari bidang ilmu-ilmu lain yang

sudah mapan. Sekali lagi, metode proyektif tidak

sejalan dengan jaman, yang bertumpukan hanya pada

kemajuan aljabar dan analisis. Namun pada saat itu dia

tidak tertarik pada proyeksi matematika dasar.

126

Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan

seniman dan insinyur karena hal ini merupakan

pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan

matematikawan tunggal yang mempelajari geometri

proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan

lainnya yang mengabdikan hidup mereka

untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan

Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat

berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung

dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat

pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut.

Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai

geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang

sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi

sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat

membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh

Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal.

Philippe de La Hire juga sangat dipengaruhi

oleh Desargues dan sangat tertarik pada geometri

proyektif. Ia sangat dikenal karena karyanya yang

berjudul Sectiones Conicae (bagian kerucut). Konsep

ini semua ditangani dengan menggunakan geometri

proyektif. La Hire percaya bahwa metode proyektif

jauh lebih kuat dari metode Appolonios. Dengan

menggunakan geometri ini dia berusaha membuktikan

364 dari teorema Appolonios. Dan dia berhasil

membuktikan 300 teorema. Jika diamati secara

seksama maka sejarah geometri ini sangat menarik,

sejak abad 17 dimana Desargues, Pascal dan La Hire berusaha

menemukan teorema untuk geometri ini dan selama lebih

dari 100 tahun teorema itu tidak tersentuh oleh

siapapun. Berdasarkan sejarah yang ada sebenarnya

Geometri proyektif Page 127

hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak

begitu dihargai oleh teman-temannya dan

lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan

Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak

popular pada masanya. Berbeda sekali dengan

geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali

matematikawan yang berminat untuk mempelajari

geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi

alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues

tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada

kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai

suatu karya kalau karya tersebut susah untuk

dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues

tidak popular dikalangan matematikawan karena pada

waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi

hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain

tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu

membuat para matematikawan menjadi tidak antusias

pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues

memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti

oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project

Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues.

Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat

brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri

selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19

geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil

perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan

ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu

kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai

maju.

B. Tokoh-tokoh dalam Geometri Proyektif

128

1. Girard Desargues

Lahir pada tanggal 21 Februari 1591 di Lyon,

Perancis dan meninggal pada bulan September 1661 di

Lyon, Perancis. Desargues merupakan seorang

matematikawan Perancis yang dianggap sebagai salah

seorang pendiri geometri Proyektif. Pada saat di Paris,

Desargues menjadi bagian dari kumpulan matematika

Marin Mersenne (1588-1648). Dalam kumpulan ini

juga termasuk Descartes (1597– 1650), Etienne Pascal

(1588 – 1651) dan anaknya Blaise Pascal (1623 – 1662).

Pada dasarnya kumpulin ini hanya dibaca oleh

sahabat-sahabat mereka, namun Desargues telah

mempersiapkan untuk mempublikasikan hasil

kerjanya yang diterbitkan oleh Abraham Bosse (1602–

1676) yang kini dikenang sebagai pemahat terbaik

tetapi juga sebagai seorang guru perspektif. Desargues

menulis subjek “practical” seperti perspektif (1636),

pemotongan kayu untuk digunakan dalam bangunan

(1640) dan sundial (1640). Tulisannya memiliki isi dan

teori yang padat dalam pendekatan mereka terhadap

subjek yang bersangkutan. Desargues terkenal dengan

Geometri proyektif Page 129

teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa,

meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini

dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung

ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues

sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya

Apollonius dan Pappus. Dia memilih untuk

menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena

pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat

berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi

perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut).

Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya

dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait

bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error!

Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference

not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard

Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari

geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki

banyak kesamaan dengan perspektif.

2. Pappus of Alexandria

Pappus of Alexandria (Yunani c.290 – c.350)

adalah salah seorang ahli matematika Yunani yang

130

terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290

AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge

atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam

geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari

hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang

bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari

tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya

Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar

matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada

sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang

terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection

Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang

sistematis, dari hasil yang paling penting yang

diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan

dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan

elegan.

Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak

ditemukan.

Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan

tentang metode menangani bilangan-bilangan besar.

Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat,

diketahui sampai pangkat 10000.

Buku III: berisi masalah geometri, bidang dan ruang.

Buku III dapat dibagi menjadi 5 bagian yaitu: (1) Masalah

yang paling terkenal adalah menemukan

perbandingan proposional antara dua garis lurus

tertentu. Pappus memberikan beberapa solusi dari

masalah ini, termasuk metode pembuatan aproksimasi

untuk solusi tersebut, dia memberikan solusi sendiri

dalam menemukan sisi kubus yang diberikan

perbandingan tertentu telah diketahui. (2) Membahas

konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan

Geometri proyektif Page 131

harmonik antara dua garis lurus, dan masalah

mempresentasikan ketiganya ke dalam gambar yang

sama secara geometri. (3) Berisikan kumpulan

paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh

Pappus diambil dari karya Erycinus. (4) Berisikan lima

bentuk polyhedra yang digambarkan dalam bentuk

ruang. (5) Tambahan oleh penulis di kemudian hari

menjadi solusi lain dari masalah pertama dari buku ini.

Buku IV: judul dan kata pengantar telah hilang,

sehingga program itu harus dikumpulkan dari buku

itu sendiri. Pada awalnya adalah generalisasi yang

terkenal dari Euclid, kemudian diikuti berbagai

teorema lingkaran, yang mengarah pada masalah

pembangunan sebuah lingkaran yang akan membatasi tiga

lingkaran yang diberikan, menyentuh masing-masing

dua lainnya. Hal Ini dan beberapa proposisi lainnya

pada kontak, misalnya kasus lingkaran menyentuh

satu sama lain dan tertulis dalam sosok yang terbuat

dari tiga setengah lingkaran dan dikenal sebagai

arbelos ("shoemakers knife") membentuk bagian

pertama dari buku tersebut. Pappus ternyata

kemudian mempertimbangkan sifat spiral Archimedes,

para conchoid dari Nicomedes (sudah disebutkan

dalam Buku I seperti penyediaan metode penggandaan

kubus), dan kurva paling mungkin ditemukan oleh

Hippias dari Elis sekitar 420 SM, dan dikenal dengan

nama quadratrix. Proposisi 30 menjelaskan

pembangunan kurva kelengkungan ganda disebut oleh

Pappus helix pada bola, melainkan digambarkan oleh

sebuah titik yang bergerak seragam di sepanjang busur

lingkaran besar, yang itu sendiri ternyata sekitar

diameter seragam, titik menggambarkan kuadran dan

132

lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang

sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis

adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari

quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini

memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut,

dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis

yang sama dengan menggunakan quadratrix dan

spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah

penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah

kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan

direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva

termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes

dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori

problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”,

“solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai

penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola

garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang.

Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang.

Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun

sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang

hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti

yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa

bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada

persegipanjang atau segitiga. Sarang

lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu

yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan

yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak

sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin

besar) dan yang paling besar adalah lingkaran. Buku

ini juga berisikan problem tentang isoperimeter,

termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas

Geometri proyektif Page 133

lebih besar dibandingkan dengan poligon

bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya

Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat

penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra

(bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut

dengan bidang-bidang (solids) Archimedes.

Buku VI dan buku VII: merangkum buku-buku

matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus,

Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan

Eratoshenes.

Buku VI: menyinggung astronomi dan diberi sub-

judul Little Astronomy banyak mengandung

perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari

Ptolemy. Buku VI berisi aplikasi matematika dalam

astronomi, optik dan mekanika.

Buku VII: tentang sejarah matematika. Melalui

generalisasi, Pappus hampir menemukan prinsip dasar

geometri analitik. Mempelopori generalisasi problem

yang terkait dengan berbagai jenis kurva tipe baru.

Disebut dengan problem Pappus yang menyebut tiga

atau empat garis seperti halnya Euclid atau

Apollonius. Pengantar Buku VII menjelaskan analisis

persyaratan dan sintesis, dan perbedaan antara

teorema dan masalah. Pappus kemudian menyebutkan

karya-karya Euclid, Apollonius, Aristaeus dan

Eratosthenes, terdapat 33 buku, substansi yang akan ia

beri, dengan lemma yang diperlukan untuk penjelasan

mereka. Buku VII juga berisi tentang: (1) Di bawah De

Sectione Determinata, lemma yang telah ditentukan

manjadi kasus-kasus involusi dari 6 poin. (2) Lemma-

lemma penting pada Porism Euclid. (3) Sebuah lemma

Surface Loci dari Euclid yang menyatakan bahwa lokus

134

dari sebuah titik sedemikian hingga jarak dari titik

yang diketahui mempunyai jari-jari ke garis lurus yang

diketahui adalah berbentuk sebuah kerucut, dan bukti

bahwa kerucut merupakan parabola, elips, atau

hiperbola. Hal ini tergantung jari-jari sama dengan 0 (r

= 0), kurang atau lebih dari 1 (r >1atau r < 1).

Buku VIII: adalah aplikasi matematika pada bidang

astronomi, optik dan mekanika.

3. Blaise Pascal (1623– 1662)

Blaise pascal lahir pada tanggal 19 juni 1623 di

Clermont, Ferrand dan meninggal dunia pada

tanggal 19 Agustus 1662 merupakan seorang

matematikawan dari Perancis, fisikawan, penemu,

penulis, dan filsafat katolik. Ayahnya barnama

Etienne Pascal seorang hakim dan Ibunya

Antoinette Begon. Pascal merupakan anak yang luar

biasa (pintar) untuk matematika dan ilmu

pengetahuan yang diajarkan oleh ayahnya sendiri.

Ayahnya melarang untuk lebih mengejar

Geometri proyektif Page 135

matematika sampai usia 15 tahun agar tidak

merugikan pendidikan bahasa Latin dan Yunani.

Pada usia 12 tahun, ayahnya menemukan bahwa Blaise

Pascal menulis sebuah bukti bahwa jumlah sudut

segitiga sama dengan dua kali sudut siku-

siku dengan sepotong batu bara di dinding. Karena

terkesan dengan kemampuan Blaise Pascal, ayahnya

memberinya salinan Euclid’s Elements yang

memang ingin segera dibaca dan dikuasai oleh

Blaise Pascal dan diijinkan untuk duduk sebagai penonton

pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan

terbesar di Eropa Sebelum menginjak usia 13 tahun.

Blaise Pascal telah membuktikan proposisi ke 32

Euclid dan menemukan kesalahan geometri Rene

Descartes. Pada usia 14 tahun, Blaise Pascal diijinkan

untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan

beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di

Eropa. Pada usia 16 tahun, ia menyusun makalah

tentang kerucut untuk membantu menjelaskan ide

Desargues tentang kerucut, namun kertas Pascal

hilang.

Blaise Pascal menulis risalah singkat tentang apa

yang disebut “Mystic Hexagram”, “Essai pour les

coniques“, “Essay on Conics” dan mengirimnya ke

Pere Mersenne di Paris yang sampai sekarang kita

kenal sebagai teorema Pascal. Pada tahun 1642,

ketika Pascal masih remaja, dia memulai

mempelopori kalkulator, dan setelah berusaha

selama 3 tahun, dia menemukan mesin hitung

Pascaline. Pascal merupakan matematikawan urutan

pertama. Dia menciptakan dua daerah penelitian

baru. Dia menulis risalah pada subjek geometri

136

proyektif pada usia 16 tahun, dan kemudian

berhubungan dengan Pierre de Fermat pada teori

peluang, sangat mempengaruhi perkembangan

ekonomi modern dan ilmu social.

4. Philippe De La Hire

Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris,

Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21 April

1718 di paris, Perancis. Ayah Philippe De La Hire

bernama Laurent De La Sewa (27 Februari 1606–28

Desember 1656). Ia merupakan seorang pelukis

dengan cara berbeda. Ia menjadi professor di

Akademika Lukisan dan Patung. Ibu Philippe

adalah Marguerite Coquin (meninggal 1669). La

Hire dididik sebagai seorang seniman dan menjadi

terampil dalam menggambar dan melukis.

Meskipun ia tidak menerima pendidikan formal

baik di sekolah atau disebuah universitas, namun

ayahnya mengharapkan anaknya dapat mengikuti

profesinya. Pada saat La Hire berusia 16 tahun,

ayahnya meninggal dunia dan pada saat itu dia

Geometri proyektif Page 137

berkomitmen penuh untuk hidup sebagai seniman.

Tiga tahun setelah kematian ayahnya, ia membuat

rencana untuk mengunjungi Italia. Ada dua alasan

dia mengunjungi Italia yaitu: ia berharap

kehidupannya lebih baik di Italia dan ayahnya telah

memberikan cinta seni Italia walau ayahnya belum

pernah ke Italia. La Hire berangkat ke Venesia pada

tahun 1660 dan menghabiskan empat tahun untuk

mengembangkan keterampilan artistic dan belajar

geometri. La Hire menulis buku metode grafis

(1673), conic section (1685), sebuah risalah

epicycloids (1694), roulettes (1702), conchoids (1708).

Karya-karyanya conic section dan epicycloids

ditemukan pada pengajaran Desargues dimana ia

merupakan salah seorang pengagum Desargues.

5. Gaspard Monge

Lahir pada tanggal 9 mei 1746 di Beaune,

Bourgogne dan meninggal dunia pada tanggal 28

Juli 1818. Gaspard merupakan seorang ahli

138

matematika Perancis, revolusioner, dan penemu

geometri deskriptif. Ayahnya bernama Jacques Monge,

seorang pedagang yang berasal dari Haute-Savoie di

tenggara Perancis. Ibunya bernama Jeanne Rousseaux

adalah penduduk asli dari Burgundy. Karya-karya

Monge pada akhir abad 18 dan awal abad 19

penting bagi perkembangan geometri proyektif

selanjutnya. Awal abad 19 geometri proyektif

merupakan batu loncatan dari geometri analitik

ke geometri aljabar.

6. Filippo Brunelleschi

Lahir pada tahun 1377 di Florence, Italia dan

meninggal pada tanggal 15 April 1446. Filippo

adalah seorang arsitek terkemuka dan insinyur dari

Renaissance Italia. Ia paling terkenal atas penemuan

perspektif linear dan merancang kubah Katedral

Florence, selain itu juga berprestasi di bidang karya

seni perunggu, arsitektur (gereja dan kapel, benteng,

rumah sakit, dll), matematika, teknik (mesin,

hidrolik, mekanisme jarum jam, teater mesin, dll)

dan bahkan desain kapal. Ayah Filippo bernama

Geometri proyektif Page 139

Brunellesco yaitu seorang pengacara di Lippo, dan

ibunya bernama Giuliana Spini. Filippo merupakan

anak kedua dari tiga bersaudara. Filippo diberi

pendidikan sastra dan matematika pada saat ia

masih muda. Hal ini betujuan untuk mengikuti jejak

sang ayah sebagai seorang PNS. Filippo juga

terdaftar di Seta della Arte, persekutuan pedagang

sutra, emas, pengrajin logam, dan pekerja perunggu.

Ia menjadi tukang emas pada tahun 1398, pada

tahun 1401, filippo mengikuti kompetisi untuk

merancang satu set pintu perunggu untuk baptistery

di Florence. Selain itu, Filippo juga dikenal sebagai

penemu perspektif linier. Lukisan-lukisan yang

dikenal pertama dalam linier optic geometris

perspektif dibuat oleh Filippo sekitar tahun 1425.

Filippo melukis dengan dua panel, yang pertama

Florentine Baptistery yang terlihat secara frontal

dari portal barat katedral yang belum selesai dan

yang kedua Palazzo Vecchio terlihat miring dari

sudut barat lautnya. Panel Baptistery pertama

dibangun dengan lubang dibor melalui titik hilang

sentries. Filippo menginginkan perspektif barunya

“realisme” yang akan diuji tidak dengan

membandingkan lukisan baptistery ke actual tetapi

untuk refleksi di cermin sesuai dengan hukum optic

geometris Euclidean. Prestasi ini menunjukkan

untuk pertama kalinya bagaimana mereka bisa

melukis gambar mereka yang tidak lagi terlihat

dalam dua dimensi namun sudah terlihat seperti

tiga dimensi.

7. Joseph Diaz Gergonne

140

Joseph Diaz Gergonne lahir 19 Juni 1771 di

Nancy, Perancis, anak dari seorang arsitek dan juga

pelukis. Ia adalah seorang perwira artileri Perancis,

profesor matematika, dan ahli logika dan dia datang

di bawah pengaruh Gaspard Monge. Joseph Diaz

Gergonne kesulitan mempublikasikan karyanya

sehingga dia mendirikan jurnal matematika sendiri.

Gergonne adalah matematikawan pertama yang

menggunakan istilah kutub dalam geometri

tahun 1813. Prinsip dualitas tumbuh dari pekerjaan

Poncelet dan pertama kali dinyatakan Gergonne

pada tahun 1826.

8. Jean Victor Poncelet (1788– 1867)

Jean Victor Poncelet adalah seorang

matematikawanPerancis, dianggap sebagai bapak

geometri modern dan telah memiliki dampak

signifikan dalam bidang geometri proyektif. Jean

Victor Poncelet lahir di Metz, Perancis tanggal 1 Juli

1788 anak dari Claude Poncelet, seorang pengacara.

Ia dikirim untuk tinggal dengan keluarga Olierdi

Saint-Avold dan kembali ke Metz untuk pendidikan

menengahnya di Lycee. Setelah itu dia menghadiri

Ecole Polytechnique, sebuah sekolah bergengsi di

Paris (1808-1810). Setelah lulus ia bergabung dengan

Korps Militer Engineers dan mencapai pangkat

letnan di AD Perancis. Jean Victor Poncelet ditawan

saat berperang dalam kampanye Rusia Napoleon.

Selama 2 tahun penangkaran, ia bekerja pada bidang

matematika dalam geometri proyektif (bangunan

dari ide-ide Desargues dan Pascal) tetapi risalahnya

tidak dipublikasikan. Ia memisahkan sifat proyektif

Geometri proyektif Page 141

suatu obyek dan membangun hubungan antara sifat

metrik dan proyektif. Dia dianggap sebagai

pembangun kembali geometri proyektif, karyanya

“Traite des proprietes projectives des figures” dan

“Applications d’analyseet de geometrie”. Jean Victor

Poncelet mempelajari conic section dan

mengembangkan prinsip dualitas.

9. Jacob Steiner

Jacob Steiner lahir tahun 1796 anak dari Niklaus

Steiner dan Anna Barbara Weber. Jacob Steiner

adalah seorang ahli geometri Swiss yang juga

memiliki dampak signifikan terhadap geometri

proyektif. Steiner tidak belajar membaca dan

menulis sampai dia berusia 14 tahun dan tidak

disekolahkan sampai ia berusia 18 tahun. Pada

usia18 tahun ia meninggalkan rumah untuk

menghadiri sekolah Johann Heinrich Pestalozzi di

Yverdom. Sekolah Pestalozzi memberikan efek yang

baik bagi Steiner untuk matematika dan filsafat

ketika melakukan penelitian dalam matematika.

142

Karyanya melanjutkan pekerjaan Poncelet yang

dikembangkan menjadi teorema Poncelet-Steiner.

Ide-ide dan teoremanya mendorong pertumbuhan

geometri proyektif Karya Poncelet, Steiner dan lain-

lain tidak dimaksudkan untuk memperpanjang

geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik:

di ruang efek proyektif seperti sekarang dipahami

adalah diperkenalkan secara aksiomatik. Akibatnya,

perumusan karya awal dalam geometri proyektif

sehingga memenuhi standar agak sulit.

C. Gambaran Umum Geometri Proyektif

Geometri proyektif mempelajari tentang sifat-

sifat proyektif yang tidak berubah dalam

transformasi proyektif sehingga geometri ini

berbeda dalam pengaturan, ruang proyeksi dan

beberapa konsep dasar geometri. Berikut adalah

perbedaan antara geometri proyektif dan geometri

Euclid.

1. Secara intuisi, ruang proyektif memiliki titik

lebih banyak daripada ruang Euclid.

2. Dalam geometri proyektif tidak dibicarakan

tentang sudut seperti dalam geometri Euclid,

karena sudut adalah contoh dari konsep

yang berubah dalam transformasi proyektif,

seperti yang terlihat jelas dalam gambar

perspektif.

3. Geometri proyektif tidak didasarkan pada

konsep jarak.

4. Tidak terdapat penggunaan jangka dalam

geometri proyektif sehingga tidak membahas

tentang lingkaran.

Geometri proyektif Page 143

5. Geometri proyektif menggunakan prinsip

utama seni perspektif yaitu garis sejajar

berpotongan di tak hingga. Namun pada

dasarnya, geometri proyektif dapat dianggap

sebagai perluasan dari geometri Euclid.

Geometri Euclid terkandung dalam geometri

proyektif sehingga teorema terpisah namun

serupa di geometri Euclid dapat dibahas

bersama dalam kerangka kerja geometri

proyektif. Misalnya, garis sejajar dan garis

berpotongan tidak perlu diperlakukan

sebagai kasus yang terpisah karena dua garis

sejajar dalam geometri proyektif juga

memiliki titik potong. Titik potong dua garis

sejajar adalah titik di tak hingga.

D. Materi geometri.

1. Pengertian pangkal geometri proyektif

Pengertian pangkal geometri proyektif

adalah titik, garis dan relasi insidensi. Contoh:

Titik B. Garis c. Relasi Insidensi adalah relasi

antara titik dan garis seperti 'terletak di' atau

'memotong'. Sebagai contoh adalah “titik P

terletak pada garis L” atau “garis L1 memotong

garis L2”. Artinya, relasi tersebut adalah relasi

biner yang menggambarkan bagaimana obyek-

obyek geometri bertemu. Jadi suatu titik dan

suatu garis dikatakan insidensi jika titik itu

terletak pada garis tersebut dan garis tersebut

melalui titik tadi.

2. Definisi-definisi geometri proyektif

144

a. Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap

titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis

yang sama.

b. Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama

disebut concurrent

c. Complete quadrangle adalah himpunan dari empat

titik, yang tiga diantaranya tidak collinear dan

enam garis insiden dengan masing-masing

pasangan titik tersebut. empat titik tersebut

disebut vertices (titik sudut) dan enam garis

tersebut disebut sides (sisi)

d. Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan

jika titik insidennya tidak berpotongan pada

kedua garis.

e. Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah

titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan

pada quadrangle.

f. Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear

dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan

titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices

dan garis tersebutdisebut sides (sisi)

g. Pencil of points adalah himpunan dari titik-

titik yang insiden dengan sebuah garis.

h. Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden

dengan sebuah titik.

3. Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif

a. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah

garis yang tidak insiden.

b. Aksioma 2: Setiap garis insiden dengan minimal

3 titik berbeda.

Geometri proyektif Page 145

c. Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden

hanya dengan 1 garis.

d. Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda

sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD,

maka AC memotong BD.

e. Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka

terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada

bidang tersebut.

f. Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda

memiliki paling sedikit 2 titik potong.

g. Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete

quadrangle tidak pernah kolinear.

h. Aksioma 8: Jika suatu proyeksi

memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris,

maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis

tersebut adalah titik invarian.

Definisi: Titik-titik P1, P2, …… , Pn dikatakan

kolinear jika terdapat sebuah garis yang memuatnya.

Definisi : Jika A, B, C tiga titik yang berbeda dan

nonkolinear, maka bidang yang memuat A, B, C

disebut bidang yang ditentukan oleh A, B, C. Dan

dinotasikan dengan ABC.

4. Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif

Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan

tepat satu titik.

146

Bukti:

Andaikan dua garis tersebut memiliki 2

titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3,

setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut.

Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini

kontradiksi dengan yang diketahui bahwa

2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian

salah. Yang benar kedua garis hanya

perpotongan di 1 titik.

Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang

sebidang memiliki paling sedikit satu titik

potong.

Bukti:

Misal diberikan garis AC dan BD. ACE

adalah bidang yang memuat AC dan BD. Titik E

tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE

ditentukan oleh pensil garis yang melalui E

dan memotong AC, sedangkan BD menghubungkan

Geometri proyektif Page 147

2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA

maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka

BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan

aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.

Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada

garis BC maka A, B, dan C berbeda dan

nonkolinear.

Bukti :

Garis BC memuat 2 titik sebarang yang

berbeda B dan C. Andaikan A = B. Karena B pada

BC maka A juga pada BC. Hal ini kontradisi

dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah.

Yang benar adalah A tidak sama dengan B.

Dengan cara yang sama berlaku bahwa pengandaian A

= C adalah salah. Jadi A, B, C berbeda. Andaikan

A, B, C kolinear. Maka berdasarkan definisi

kolinear, terdapat garis yang memuat ketiga

titik tersebut, Misal A, B, C pada garis l, Karena l

memuat B dan C, maka l = BC …(aksioma 3)

tetapi A juga pada garis l. Akibatnya A termuat

pada garis BC. Hal ini kontradiksi dengan yang

diketahui. Jadi pengandaian salah. Yang benar

adalah A, B, C nonkolinear.

148

Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di

luar garis hanya termuat pada sebuah bidang

Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik

potong maka garis tersebut sebidang

Bukti:

Misal diberikan garis l dan k dan A pada l,

B pada k. Misal C = (l,k) dengan C pada garis AC,

Maka k = BC dan l = AC. Dari tiga titik yang

berbeda A, B dan C, dapat dibuat sebuah

bidang.

Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka

perpotongannya adalah sebuah garis

Bukti :

Misal diberikan 2 bidang berbeda U dan

V yang berpotongan. Maka terdapat 2 titik misal A

Geometri proyektif Page 149

dan B sedemikian hingga titik A dan B

merupakan 2 titik persekutuan bidang U dan

V….(aksioma 6). Dari A dan B dapat dibuat

garis AB….(aksioma 3). Jadi garis AB pada

bidang U dan juga garis AB pada bidang V.

Akibatnya AB merupakan garis persekutuan

bidang U dan V. Karena dalam aksioma 6 hanya

dikatakan bahwa minimal perpotongan 2

bidang adalah 2 titik, maka memungkinkan

terdapat titik lain C dengan C pada bidang U

dan C juga pada bidang V. Andaikan C tidak

pada garis AB. Maka AB dan C termuat pada 1

bidang ABC…(teorema 4). Padahal AB dan C

merupakan persekutuan 2 bidang U dan V. Hal

ini kontradiksi dengan yang diketahui

bahwa bidang U dan bidang V adalah 2 bidang

yang berbeda. Akibatnya pengandaian salah,

yang benar C pada garis AB. Jadi hanya

garis AB yang merupakan titik potong bidang U

dan V.

Akibat :

Jika sebuah garis termuat pada dua buah

bidang yang berbeda, maka garis tersebut

adalah perpotongan kedua bidang.

Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang

tiga diantaranya tidak collinear

150

Bukti:

Berdasarkan 3 aksioma pertama, terdapat

2 garis berbeda yang memiliki titik potong dan

masing-masing memuat paling sedikit 2 titik

selain titik potong tadi. Misal: EA memuat B, EC

memuat D. Akan dibuktikan A, B, C, D

nonkolinear. Andaikan A, B, C kolinear. Maka E

pada AB akan kolinear dengan ketiga titik

tersebut. Sehingga EA = EC. Kontradiksi dengan

permisalan bahwa EA tidak sama dengan EC.

Jadi permisalan salah, yang benar adalah A, B, C

noncolinear

Prinsip Dualitas

Salah satu sifat yang istimewa dari

geometri proyektif ialah prinsip dualitasnya

(principle of duality) yang menyatakan, bahwa

dalam bidang proyektif setiap definisi tetap

berarti dan setiap dalil tetap benar, apabila kita

tukar kata titik dengan garis (terletak pada

dengan melalui, menghubungkan dengan

memotong, segaris dengan berpotongan pada

satu titik). Dalam aksioma 1 dinyatakan bahwa

“terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang

tidak insiden”. Berdasarkan prinsip dualitas,

Geometri proyektif Page 151

dengan mengganti istilah “titik” dengan“garis”

dan istilah “garis” dengan “titik” diperoleh dual

aksioma 1 adalah aksioma 1 itu

sendiri. Dengan cara yang sama terhadap

aksioma berikutnya, diperoleh teorema- teorema

berikut.

Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden

dengan minimal 3 garis berbeda

Bukti:

Berdasarkan aksioma 1, terdapat sebuah titik

dan sebuah garis yang tidak insiden, misal titik

A dan garis BC tidak insiden. Berdasarkan

aksioma 2, garis BC memuat minimal 3 titik

berbeda yaitu B, C dan D. Berdasarkan aksioma

3, dapat dibuat garis AB, AC dan AD.

Teorema 9: (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis

berbeda insiden dengan tepat 1 titik.

Teorema 10: (dual aksioma4) Jika a, b, c, d adalah

4 garis berbeda sedemikian hingga a∩b segaris

dengan c∩d, maka a∩c segaris dengan b∩d

152

Teorema 11: (dual aksioma 7) 3 garis diagonal

pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren

Perspektif

Elementary correspondence

Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil

of lines disebut dengan Elementary

correspondence jika setiap titik pada Pencil of points

insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil

of lines

Perspektivity

Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut

perspektivitas jika garis insiden dengan titik

yang berkorespondensi dengan dua Pencil of

points concurrent. Titik dimana garis tersebut

berpotongan disebut center of the perspectivity

Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut

perspektivitas jika titik insiden dengan garis

yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines

collinear.

Garis yang memuat titik yang berpotongan

disebut axis of the perspectivity.

Proyektif

Proyektivitas adalah perluasan dari

perspektivitas. Dua bangun F dan F’ dikatakan

proyektivitas jika yang satu dapat diperoleh dari

yang lain dengan suatu transformasi proyektif,

yaitu jika ada deretan bangun berhingga F1,

F2,…,Fk sedemikian hingga F perspektif dengan

Geometri proyektif Page 153

F1, F1 perspektif dengan F2, dan seterusnya

hingga Fk perspektif dengan F’. Dapat

juga dikatakan bahwa proyektivitas adalah hasil

kali dari perspektivitas. Dua buah bangun F dan

F’ yang perspektif dari suatu titik O dinyatakan

dengan F𝑂∧

F’ dan dua bangun yang perspektif d

ari suatu garis dinyatakan dengan F∧ F’

Maka jika F∧ F1∧ F2∧ F3∧ ……∧ Fk∧ F’, dikatakan

F dan F’ proyektif dan dinyatakan dengan

F∧ F’. Antara dua bangun yang proyektif selalu

ada korespondensi satu-satu antara unsur-

unsurnya. Perspektivitas adalah keadaan

khusus dari proyektivitas.

Teorema Desargues: Dalam ruang proyektif, 2

segitiga berada pada perspektif aksial, jika dan

hanya jika keduanya berada pada perspektif

terpusat

Atau dapat dinyatakan sebagai:

𝐴𝐵 ∩ 𝑎𝑏,𝐴𝐶 ∩ 𝑎𝑐,𝐵𝐶 ∩ 𝑏𝑐 kolinear, jika dan

hanya jika Aa, Bb, Cc kongkuren

154

Bukti :

Bukti jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab,

AC∩ac, dan BC∩bc kolinear:

Garis (AB) dan (ab) berpotongan karena

keduanya terletak pada bidang yang dibentang

oleh A, B, a, b. Misal x = (AB) ∩ (ab). (A, B) terletak

pada bidang yang memuat segitiga ABC. (a.b)

terletak pada bidang yang memuat segitiga abc.

Maka x terletak di perpotongan bidang (misal

garis h). Jadi x pada garis h….(*). Dengan cara

yang sama berlaku untuk dua titik perpotongan lainnya

yaitu y = (AC) ∩ (a.c) , z = (BC) ∩ (b.c) Maka y, z

pada garis h….(**). Dari (*) dan (**) maka x, y,

z kolinear.

Dengan menggunakan dual dari

“ jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩a

c, dan BC∩bc kolinear”

Geometri proyektif Page 155

maka “jika AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear

maka Aa, Bb, Cc konkuren” terjamin

kebenarannya. Maka terbukti bahwa sifat

implikasi yang terdapat pada teorema

Desargues berlaku. Bukti di atas berlaku jika

kedua segitiga terletak pada bidang yang

berbeda, Namun jika keduanya berada pada bidang

yang sama, teorema Desargues bias dibuktikan

dengan memilih titik di luar bidang yang

memuat segitiga tersebut. Dengan titik ini, salah

satu segitiga diangkat keluar dari bidang

sehingga argumen di atas berlaku dan

kemudian memproyeksikan kembali ke bidang.

Langkah terakhir dari bukti gagal, jika ruang

proyeksi memiliki dimensi kurang dari 3,

karena tidak mungkin untuk menemukan

sebuah titik di luar bidang. Dualitas dari

teorema Desargues adalah teorema Desargues

itu sendiri. Hal inidisebabkan dalam teorema ini

terdapat biimplikasi dengan implikasi yang

pertama adalah dual dari implikasi kedua.

Teorema Pappus: Jika diberikan himpunan tiga

titik A1, A2, A3 kolinear dan himpunan tiga titik

B1, B2, B3 yang juga kolinear, maka titik X =

A1B2∩A2B1, Y = A1B3∩A3B1, dan Z =

A2B3∩A3B2 adalah kolinear.

156

Bukti:

A2A3𝐵1∧

xy𝐴1∧

B2B3 sehingga A2A3∧ B2B3 dan

A1A2A3𝐵1∧

xyz𝐴1∧

B1B2B3

sehingga A1A2A3∧ B1B2B3 dan karena A1, A2,

A3 kolinear begitu juga B1,B2,B3 kolinear

akibatnya x, y, z kolinear

Dualitas Teorema Pappus: Diberikan himpunan

garis konkuren A, B, C, dan himpunan garis

konkuren a,b, c, maka garis x, y, z yang secara

terurut didefinisikan oleh pasangan titik potong

A∩b dan a∩B, A∩c dan a∩C, B∩c dan b∩C adalah

konkuren.

Geometri proyektif Page 157

Matematikawan Jerman Gerhard Hessenberg

membuktikan bahwa teorema Pappus

menyiratkan Teorema Desargues's

Teorema Pascal :

Jika titik- titik A1, A2, A3, B1, B2, B3 terletak

pada lingkaran, maka X = A1B2∩A2B1, Y =

A1B3∩A3B1, Z = A2B3∩A3B2 kolinear.

158

E. Aplikasi Geometri Proyektif

Geometri proyektif banyak digunakan dalam

waktu sangat praktis dengan segalacara anda

melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer

Anda, semua perhitunganuntuk menghasilkan citra

realistik dihitung dengan menggunakan rumus

geometri proyektif.

Kamera lubang jarum (Pinhole)

Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi

perspektif yang sangatbagus. Sebuah kamera lubang

jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu

filmmelekat di dalam wajah dan dengan lubang

jarum pada wajah berlawanan yangtercakup sampai

kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto,

titik lubang

jarum di arahkan yang benar, menangkap sampai fil

m benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan

dan mengembangkan film di kamar gelap.

Geometri proyektif Page 159

Di sini, tentu saja, kami akan pertimbangkan kamera

lubang jarum ideal dimana lubang jarum

merupakan titik kecil tak berhingga dalam sebuah

kotak dengandinding tipis tak terhingga di alam

semesta dimana cahaya bergerak dalam garislurus

sempurna. Dalam dunia nyata, lubang jarum harus

memiliki beberapa daerah, dinding kamera dengan

beberapa ketebalan, dan ketika cahaya nyata

melewatilubang kecil, itu terdifraksi, atau tersebar

sedikit, tergantung pada ukuran dan bentuk lubang.,

titik adalah lubang jarum di depan kamera, dan film

terpasang ke sisi berlawanan kotak. Bayangkan

Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan

dengan titik ditandai di atasnya. Cahaya tersebar

dari setiap titik ke segala arah, namun hanya sinar

cahaya yang ditujukan tepat pada lubang jarumakan

mampu mencapai film. Dengan demikian citra

intinya adalah pada film, dan sebagainya.

Perhatikan bahwa ini membalikkan atas dan bawah,

jadi jika Anda terus melacak akhir film itu ketika

anda mengambil foto, hal-hal ke arah bawah akan

menciptakan gambar ke atas film. Demikian pula,

kiri dan kanan tertukar pada selembar dua dimensi

dari film.

160

Dalam dunia nyata, tentu saja, objek dalam foto

tersebut tidak perlu berbaring di garis paralel ke

bagian belakang kamera. Mereka dapat berada di

mana saja dalam ruang. Perhatikan juga bahwa kita

telah menarik sepotong satu dimensi kamera, dan

film adalah dua dimensi, dan objek kepentingan

dapat terletak di mana saja di dunia tiga dimensi. Ini

adalah pelajaran untuk berpikir tentang

keterbatasan foto kamera. Bagaimana jika kamera

mengambil foto garis dengan titik yang ditandai?

Bagaimana titik tersebut menjadi spasi pada film?

Bagaimana perubahannya jika garis tidak sejajar

dengan kamera kembali? Bagaimana jika kamera

belakang tidak sejajar dengan bagian depan kamera

dimana lubang jarum itu? Akhirnya, perhatikan

bahwa contoh sebelumnya kita melukis di atas

sepotong kaca "seperti" kamera lubang jarum di

mana film ini di depan lubang jarum (jelas kamera

fisik tidak mungkin, tapi itu menunjukkan bahwa

gagasan tentang proyeksi matematis masuk akal,

tidak peduli dimana "film" ini.