Persamaan Differensial Parsial Solusi Eksak

Semua persamaan diferensial yang telah kita pelajari ini mempunyai penyelesaian

yang mengandung beberapa konstanta integrasi yang tidak diketahui seperti A, B, C

dan seterusnya. Nilai dari konstanta-konstanta ini selama ini diperoleh dengan

menerapkan syarat-syarat batas pada penyelesaiannya, suatu prosedur yang seringkali

sangat membosankan. Untungnya, untuk satu tipe persamaan diferensial tertentu ada

sebuah metode pencarian pemecahan di mana konstanta-konstanta integrasi yang

tidak diketahui ini dihitung selama proses penyelesaian. Selain itu, daripada

menggunakan integrasi sebgai cara menyelesaikan persamaan diferensial, kita bsa

mneggunakan perhitungan aljabar yang lebih sederhana.

Persamaan-persamaan diferensial parsial

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk

an f (n) (x) + an-1 f(n-1)

(x) + ... + a2 f“ (x) + a1 f’ (x) + a0 f (x) = g (x)

dimana an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta yang telah diketahui, g (x) adalah

pernyataan dalam x yang diketahui dan nilai dari f (x) dan turunanya diketahui pada

x=0. persamaan jenis ini disebut sebagai persamaan diferensial dan nilai-nilai dari f

(x) dan turunannya pada x = 0 disebut sebagai syarat batas.

Metodenya bergantung sari paa yang kita sebut sebagai Transformasi Laplace

(Laplace transform). Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk

x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L {f(x)}, didefinisan

sebagai :

∞

L{f(x)} = ∫ x=0 e-3x f(x) dx

Dimana s adalah suatu variabel yang nilai-nilinya dipilih sedemikian rupa agar

integaral semi infinitinya selalu konvergen. Contoh :

L {2} = 2/s asalkan s > 0

Karena :

∞

L{f(x)} = ∫ x=0 e-3x f(x) dx

∞

L{2} = ∫ x=0 e-3x 2 dx

∞ = 2 [e-3x/ -s] x=0

= 2 (0 – (-1/s))

= 2/s

Perhatikan bahwa s > 0 diisyaratkan karene jika s < 0 maka e-3x→ ∞ ketik x → ∞ dan

jika s = 0 maka L {2} tidak tedefinisi sehingga

L{2} = 2/s asalakan s > 0

Dengan alasn yang sama jika k adalah semcan konstanta yang maka,

L{k} = k/s asalkan s > 0

Contoh :

Tentukan peneyelesaian dari :

f“ (x) + 3 f’ (x) + 2f (x) = 4x dimana f (0) = f’ (0) = 0

a. Carilah transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan

L {f”(x)} + 3L {f’(x)} + 2L {f(x)} = 4L {x}

Yang menghasilkan {s2F (s) – sf (0) – f’ (0)} + 3 {s F(s) – f (0) + 2 F (s) = 4/s2

b. Cari pernyataan F (s) = L {f(x)} dalam bentuk pecahan aljabar

Substitusikan nila f (0) dan f’ (0) yang menghasilkan

(s2 + 3s + 2) F (s) = 4/s2

Sehingga

F (s) = 4

s2(s + 1)(s +2)

c. Pisahkan F (s) ke dalam pecahan – pecahan parsialnya

4 = A + B + C + D

s2(s +1)(s + 2) s s2 s + 1 s + 2

Dengan menjumlahkan semua pecahan parsial di sisi kanan kemudian menyamakan

pembilang sisi kiri dengan pembilang sisi-kanan akan didapat :

4 =As(s +1) (s+2) + B ( s+1) + Cs2 ( s + 2) + Ds2 ( s+ 1)

Jika s = 0 4 = 2B sehingga B = 2

s = -1 4 = C (-1)2(-1 + 2) = C

s = -2 4 = D(-2)2(-2 + 1) = -4D sehingga D = -1

Samakan koefisien-koefisien dari s :

0 = 2A + 3B = 2A + 6 sehingga A = -3

Sehingga didapat

F(s) = -3 + 2 + 4 + 1

s s2 s + 1 s + 2

d. gunakan tabel-tabel yang ada untuk mencari transformasi Laplace invers L-1 {F(s)}

dan juga tentukan penyelesaian f (x) dari persamaan diferensialnya

f(x) = -3 + 2 + 4e-x – e-2

Rangkuman

1. Jika F (s) adalh transformasi Laplace dari f(x) maka :

L {f”(x)} = s2F(s) – sf(0) – f’(0)

Dan L {f”’(x) = s3F(s) – s2f(0) – sf’(0) – f”(0)

2. Persamaan-persamaan dalam bentuk

an f (n) (x) + an-1 f(n-1)

(x) + ... + a2 f“ (x) + a1 f’ (x) + a0 f (x) = g (x)

dimana an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta-konstanta disebut persamaan

diferensial linier, koefisien-konstan,nonhomogen

3. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

diferensial parsiel dengan syarat an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta yang

sudah diketahui, g(x) adalah pernyataan dalam x yang sudah diketahui, dan

nilai-nilai dari f (x) dan turunanya diketahui pada x = 0.

4. Prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde ke 2 atau orde yang lebih

tinggi ini sama dengan prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde-

pertama yaitu

a. Cari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan diferensialnya

b. Cari bentuk F (s) = L {f(x)} dalam pecahan aljabar

c. PisahkanF(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya

d. Cari transformasi Laplace infers L-1{f(s)} untuk mencari penyelesaian

f(x0 dari persamaan diferensial tersebut