persamaan differensial
DESCRIPTION
PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Tim Kalkulus 2. DEFINISI PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui . Bentuk persamaan differensial ( persamaan differensial biasa berorde n) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFFERENSIALDIFFERENSIAL
Tim Kalkulus 2
DEFINISI DEFINISI PERSAMAAN DIFFERENSIALPERSAMAAN DIFFERENSIAL
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui.Bentuk persamaan differensial (persamaan differensial biasa berorde n)
F(x, y, y´, y(2), … , y(n)) = 0
dimana y(k) adalah turunan y terhadap x yang ke k, dan persamaan differensial di atas disebut persamaan differensial biasa orde / berorde n.
Contoh:
Pada orde 1: y´+2 sin x = 0Pada orde 2:
Pada orde 3:
0y2dx
dyx3
dx
yd2
2
0edx
dy
dx
yd x2
3
3
f(x) dikatakan penyelesaian atau solusi persamaan differensial apabila f(x) disubstitusikan untuk y dalam persamaan differensial, persamaan yang dihasilkan merupakan suatu kesamaan untuk semua x dalam suatu interval.
Contoh: f(x) = 2 cos x + 10 adalah suatu penyelesaian dari persamaan differensial y´+2 sin x = 0 karena
f ´(x) + 2 sin x = -2 sin x+ 2 sin x = 0 (terpenuhi)
2 cos x + C disebut penyelesaian atau solusi umum,
2 cos x + 10 disebut penyelesaian khusus (dengan mengganti C suatu nilai tertentu yang memenuhi syarat awal).
ContohTentukan solusi umum dari y´ = 2xTentukan solusi khusus dari y´ = 2x
yang memenuhi syarat awal y=3 untuk x=0.
ContohTunjukan bahwa
untuk setiap C1,C2R merupakan solusi umum dari persamaan differensial
y´´ - 25 y = 0
x52
x51 eCeC)x(f
Catatan: Dari contoh diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk persamaan differensial yang berorde 1 mengandung 1 parameter C, dan untuk persamaan differensial yang berorde 2 mengandung 2 parameter C, maka untuk persamaan differensial yang berorde n terdiri dari n parameter C1, C2 ,…,Cn.
Menyelesaikan PD Menyelesaikan PD dengan metode dengan metode pemisahan variabelpemisahan variabel
Bentuk PD yang sederhana adalahM(x) + N(y) y´ = 0
M(x) + N(y) dy/dx = 0untuk M, N fungsi kontinu.
Apabila f(x) solusi dari PD diatas maka, M(x) + N(f(x)) f´(x) = 0
apabila f ´(x) kontinu,
Contoh: Selesaikan PD1.
2.
Cdy)y(Ndx)x(M
Cdx)x(f))x(f(Ndx)x(M '
0dx
dyey x24
0x,0dx
dy)x3xy(y2
Persamaan Differensial Persamaan Differensial Linier berorde 1Linier berorde 1
Definisi
Persamaan Differensial Linier berorde
1 adalah suatu persamaan yang
mempunyai bentuk
y´ + P(x) y = Q(x),
untuk P dan Q suatu fungsi kontinu.
Dari definisi diatas saat Q(x)=0 untuk setiap x, maka
y´+ P(x) y = 0 sehingga dapat ditulis
dengan mengintegralkan kedua ruasnya diperoleh
0ydengandx)x(Pdyy
1
atau)x(Pdx
dy
y
1
Selanjutnya,
Cye
eC
y
dx)x(PC
yln
dx)x(PClnyln
Clndx)x(Pyln
dx)x(P
dx)x(P
Jika pada ruas kanan y
´+P(x)y=Q(x) maka persamaan
menjadi
y)x(P'ye
ey)x(Pe'yeyD
dx)x(P
dx)x(Pdx)x(Pdx)x(P
x
dx)x(Pdx)x(P
x e)x(QeyD
dengan mengintegralkan kedua
ruasnya maka solusi implisit dari
persamaan differensial linier orde 1
dari definisi diatas adalah:
Kdxe)x(Qeydx)x(Pdx)x(P
TheoremaTheorema
Persamaan Differensial Linier berorde 1 y´+P(x)y=Q(x) dapat ditransformasi ke dalam persamaan differensial terpisah dengan mengalikan kedua sisinya dengan faktor integral
ContohSelesaikan persamaan differensial 22 xyx3
dx
dy
dx)x(Pe
Contoh
Sebuah tangki mula-mula berisi 120 galon air asin, larutan tersebut mengandung 75 pon garam laut. Air garam yang berisi 1,2 pon garam/galon memasuki tangki dengan laju 2 galon/menit dan air asin keluar mengalir dengan laju yang sama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki setelah 1 jam.
DefinisiPersamaan differensial linier orde n
adalah persamaan dalam bentuk
untuk fungsi f1, f2, … , fn dan k adalah fungsi satu variabel yang mempunyai domain yang sama. Jika k(x)=0 untuk setiap x, maka persamaan homogen. Jika k(x)≠0 untuk sebarang x, persamaan nonhomogen.
)x(ky)x(f'y)x(f...y)x(fy n1n)1n(
1)n(