kalkulus 2 persamaan differensial...

Persamaan Differensial Biasa

(Ordinary Differential Equations (ODE))

Prodi Teknik Kimia

Fakultas Teknik

Universitas Negeri Semarang

Dhoni Hartanto, S.T., M.T., M.Sc.

Kalkulus 2

Persamaan Differensial adalah Persamaan yang mengandung

beberapa turunan dari suatu fungsi


Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang

mempunyai fungsi satu variable

bebas

Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang

mempunyai fungsi dengan jumlah

variable bebas lebih dari satu

08sin 22

2

22

3

3

2

xdx

dyyx

dx

yd

dx

ydxy

xydx

dy


Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang

mempunyai fungsi satu variable

bebas


2

2

2

2

2

2

),,,(

z

u

y

u

x

u

t

tzyxu

Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang

mempunyai fungsi dengan jumlah

variable bebas lebih dari satu

Fungsi u(x,y,z,t) digunakan untuk merepresentasikan temperatur

pada waktu t pada benda secara fisik dengan koordinat

(x,y,z)

= thermal diffusivity.

Heat equation


Penggunaan :

Cabang-cabang ilmu teknik

Ekonomi

Biologi dan kedokteran

Kimia, Fisika dsb.

ODE digunakan untuk mendapatkan formulasi suatu

fenomena yang mengalami perubahan terhadap waktu

atau tempat

Cooling

This is a model of how the temperature of an object changes as it loses heat to the surrounding atmosphere:

Temperature of the object: ObjT Room Temperature: RoomT

Newton’s laws states: “The rate of change in the

temperature of an object is proportional to the difference

in temperature between the object and the room

temperature”

)( RoomObj

ObjTT

dt

dT

Form

ODE

t

RoominitRoomObj eTTTT )(Solve

ODE

Where is the initial temperature of the

object.

initT

Newton’s 2nd law for a rotating object:

q

mg

l

qq

sin2

22 mgl

dt

dml

0sin2

2

2

qq

dt

d

This equation is very difficult to solve.

rearrange and divide

through by ml 2

l

g2

where

Moment of inertia x angular acceleration = Net external torque

Order suatu persamaan differensial adalah tingkat turunan

tertinggi persamaan differensial tersebut.

02

2

dt

dy

dt

yd2nd order

3

3

dt

xdx

dt

dx 3rd order

Order (tingkat)

Derajat suatu persamaan differensial (PD) adalah pangkat

dari turunan yang tertinggi di dalam PD tsb.

08sin 22

2

22

3

3

y

dx

dyyx

dx

ydx

dx

ydxy 2nd degree

Derajat (Degree)

)()(.....)( 1

)1(

1 xkyxayxay n

nn

Persamaan diferensial (PD) Linear derajat 1

Bentuk Umum :

Artinya mencari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi PD

tersebut

Fungsi y=f(x) yang memenuhi sebuah PD banyak sekali,

kumpulan fungsi-fungsi yang memenuhi sebuah PD

disebut Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial

(PUPD)

Salah satu fungsi di dalam kumpulan fungsi-fungsi yang

memenuhi sebuah PD disebut Penyelesaian Khusus PD

tsb.

Penyelesaian khusus sebuah PD tsb. juga harus

memenuhi beberapa kondisi batas

Penyelesaian Persamaan Diferensial

Tipe-tipe PD biasa orde 1 :

• PD dengan variabel dapat dipisah

• PD homogen

• PD bentuk (ax+by+c ) dx + (px+qy+r) dy =0

• PD eksak

• PD linear

• PD Bernoulli

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Prinsip penyelesaian :

1. PD dengan variabel dapat dipisah

0),(),( dyyxQdxyxP

diubah menjadi bentuk persamaan

CdyyNdxxM

dyyNdxxM

)()(

0)()(

Contoh 1 : Cari penyelesaian umum PD berikut

1. PD dengan variabel dapat dipisah

)1)(1( yxdx

dy

Penyelesaian

Cey

Cxxy

dxxy

dy

xx

lnln)1ln(

ln2

1)1ln(

)1(1

2

2

1

2

1

1

ln)1ln(

2

2

2

2

1

2

1

2

1

xx

xx

xx

eCy

eCy

eCy

Suatu fungsi dikatakan homogen derajat n bila ada suatu

konstanta n sehingga untuk setiap parameter λ berlaku :

2. PD Homogen

),(),( yxfyxf n

Misal : xyxyxfa 2),() Homogen derajat 2

),(

)(

),(

2

22

222

yxf

xyx

xyxyxf

2. PD Homogen

Misal :

y

xyxfb tan),() Homogen derajat 0

y

xyxf

tan),(

λ saling menghilangkan

sehingga homogen

berderajat 0

PD orde satu berikut :

0),(),( dyyxQdxyxP

Dikatakan homogen bila P dan Q keduanya

homogen berderajat sama yaitu n

2. PD Homogen

Cara Penyelesaian :

PD Homogen dapat diselesaikan dengan subtitusi

dzxdxzdyzxyx

yz ;;

Contoh 2 : Cari penyelesaian umum PD berikut

0)( dyxdxyx

Penyelesaian : Substitusi dzxdxzdyzxyx

yz ;;

PD menjadi : 0)()( dzxdxzxdxzxx

0)( 2 dzxdxzxdxzxx

2. PD Homogen

(Lanjutan) Contoh 2 :

2/1

2/1

2

2

2

)21(lnln

ln)21ln(ln

ln)21ln(2

1ln

21

0)21(

0)21(

0)2(

0)(

zCx

Czx

Czx

z

dz

x

dx

dzxdxz

dzxdxzx

dzxdxzxx

dzxdxzxdxzxx

12

12

1

12

1

21

)21(

)21(

2

2

2

2

2

2

2

2

122

2/1

)21(lnln 2/1

x

Cxy

x

C

x

y

x

Cz

x

Cz

zCx

zCx

ee zCx

3. PD Bentuk 0)()( dyrqypxdxcbyax

Beberapa kemungkinan :

a) c = 0, r = 0 ; sehingga PD menjadi

0)()( dyqypxdxbyax

Cara

penyelesaian

sama dengan PD

homogenb) px + qy = k (ax + by), sehingga PD menjadi

0))(()( dyrbyaxkdxcbyax

Cara penyelesaian :

Subst. :

b

dxadzdy

dybdxadz

byaxz


Lanjutan b), PD menjadi

0)(

)(

0)()(

dzb

rzkdx

b

rzkacz

b

dxadzrzkdxcz

Cara penyelesaian sama dengan PD variabel

dapat dipisah


c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara penyelesaian :

Subst. :

dyqdxpdvrqypxv

dybdxaducbyaxu

;

;

pbqa

dvbduq

qp

ba

qdv

bdu

dx

pbqa

dupdva

qp

ba

dvp

dua

dy


(Lanjutan) c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara

penyelesaian : Substitusi ke PD semula

0)()(

0)()(

0

dvbuavdupvqu

dupdvavdvbduqu

pbqa

dupdvav

pbqa

dvbduqu

Cara penyelesaian sama dengan PD homogen


Contoh 3 : cari PUPD berikut

0)122()1( dyyxdxyx

Penyelesaian : (Berdasarkan analisis konstanta kemungkinan

persamaan tsb. Dapat diselesaikan dengan no.b)

Subst.

dxdzdydydxdz

xzyyxz

;

;


Lanjutan contoh 3 : PD menjadi

cxzz

dxdzz

dxdzz

z

dzzdxz

dzzdxzz

dxdzzdxz

ln2

12

12

0)12(

0)12()121(

0)()12()1(

Substitusi z = x + y ke persamaan ini

Sehingga PUPD :

cxyxyx )ln()(2

4. PD Eksak

Bentuk

x

N

y

M

Bisa dinyatakan dalam bentuk turunan sempurna dari suatu

fungsi F (x,y)

Syarat PD eksak :

0),(),( dyyxNdxyxM

CyxF

yxdF

dyyxNdxyxMyxdF

),(

0),(

0),(),(),(

Permasalahan yang muncul adalah bagaimana mencari F (x, y)?

4. PD Eksak

Agar terpenuhi :

Maka :

dyyxNdxyxMyxdF ),(),(),(

dyy

Fdx

x

FyxdF

),(

x

N

y

F

xyxN

y

F

y

M

x

F

yyxM

x

F

),(*

),(*

4. PD Eksak

Cara mencari F (x, y) :

),()('),()

),,(

)(),(),()

),(

),(

yxNyCxyxMy

b

makayxNy

Fkarena

yCxyxMyxFa

xyxMF

yxMx

F

2 persamaan penting

dalam penyelesaian

PD eksak

Sehingga nilai C ( y ) bisa diperoleh

4. PD Eksak

Contoh 4 : Cari penyelesaian umum PD berikut :

Penyelesaian :

0)2()3( 32 dyyxxdxyyx

0)2()3( 32 dyyxxdxyyx

M N

x

N

y

M

Syarat PD eksak

13

13

2

2

xx

N

xy

M

Sesuai syarat PD eksak

4. PD Eksak

Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a)

)(),(

)()3(

)(),(),(

3

2

yCyxyxyxF

yCxyyx

yCxyxMyxF

yxxyCyxyxy

yxNyCxyyxy

yxNyCxyxMy

2)('

),()(')3(

),()('),(

33

2

Persamaan Umum PD eksak (b)

4. PD Eksak

Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a)

sehingga

yyC

dyydC

ydy

dC

yxxdy

dCxx

2

33

)(

2

2

2

23

3

),(

)(),(

yyxyxyxF

yCyxyxyxF

5. PD Linear

Bentuk : )()( xQyxPdx

dy

dxxP

eU)(

Cara Penyelesaian :

-) Kalikan dengan suatu faktor integrasi sedemikian agar PD

Linear berubah menjadi PD dengan variabel yang dapat dipisah

-) Kemudian menyelesaikan bentuk PD variabel yang dapat

dipisah

Faktor integrasi :

PD dikalikan U sehingga menjadi:

dxxPdxxPdxxP

exQeyxPedx

dy )()()(

)()(

5. PD Linear

dxxPdxxPdxxP

exQeyxPedx

dy )()()(

)()(

dxxPdxxP

exQeydx

d )()(

)(

Pembuktian :

)(:

)(

)(

)()(

)()(

xPeedx

dnote

xPeydx

dye

dx

duy

dx

dyuuy

dx

d

dxxPdxxP

dxxPdxxP

5. PD Linear

Sehingga berdasarkan :

CdxeQey

CdxeQeyd

dxxPdxxP

dxxPdxxP

)()(

)()(

dxxPdxxP

exQeydx

d )()(

)(


xyxdx

dy

2

Penyelesaian : Bentuk tersebut merupakan bentuk PD linear,

sehingga

xxQx

xP )(,2

)(

5. PD Linear

Lanjutan Contoh 5 :

PUPD berdasarkan

2lnln2

22

xUeUeUeU xxdx

x

CdxeQeydxxPdxxP

)()(

Cxxxy

Cxxy

Cxxy

Cx

dxxy

Cdxxxxy

22

2

2

2

22

ln

)(ln

ln

6. PD Bernoulli

Bentuk : )()( xQyyxPdx

dy n

1

1

ny

z

Bila n 0, maka PD Bernoulli menjadi PD Linear

Cara penyelesaian :

Subtitusi :Sehingga menjadi PD menjadi Linear:


22yx

x

y

dx

dy

6. PD Bernoulli

Penyelesaian Contoh 6 : Substitusi

dx

dz

zdx

dy

makadx

dz

dz

dy

dx

dynberdasarka

zdz

dy

zy

yyyz

n

2

2

121

1

,*

11

111

Sehingga PD menjadi :

2

2

1121

zx

zxdx

dz

z

6. PD Bernoulli

Lanjutan Contoh 6 :2

2

1121

zx

zxdx

dz

zDikalikan dengan -z2

Sehingga PD menjadi : xzxdx

dz

2PD Linear

Penyelesaian berdasarkan PD linear :

2lnln2

22

xUeUeUeU xxdx

x

Cx

dxxz

Cdxxxxz

CdxuxQuz

2

22

)(

)ln(

1

)ln(

ln

2

2

2

xCxy

Cxxz

Cxxz

Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)

Bentuk :

)(..... 11

1

10 xfyadx

dya

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

nn aaaa ,,, 110 konstan

Bila f(x) = 0 PD Linear order n homogen

Bila f(x) ≠ 0 PD Linear order n tidak homogen

Teorema :

1. Bila y = f(x) merupakan penyelesaian PD linear

homogen, maka y = C f(x) juga merupakan

penyelesaian

2. Bila y1 = C1 f1 (x)

y2 = C2 f2 (x)

:

yn = Cn fn (x)

adalah penyelesaian-penyelesaian yang berlainan

dari PD linear homogen, maka

y = C1 f1 (x) + C2 f2 (x) +…….+ Cn fn (x) juga

merupakan penyelesaian


Cara I :

Penyelesaian Umum PD linear homogen tingkat n dapat

diperoleh dengan subtitusi Euler :mxey

0.....1

1

10

yadx

yda

dx

yda nn

n

n

n

mxn

n

n

mx

mx

emdx

yd

emdx

yd

medx

dy

:

2

2

2

Sehingga

0

0

1

10

1

10

n

nn

mx

n

mxnmxn

amama

eaemaema

Persamaan karakteristik

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1, m2, m3,….., mn


Lanjutan Cara I :

Jadi

xm

nn

xm

xm

neCy

eCy

eCy

:

2

1

22

11

Sehingga

xm

n

xmxm neCeCeCy .....21

21

PUPD linear homogen tingkat n

Merupakan penyelesaian

(berdasarkan teorema 2)


Cara II :

Menggunakan operator :

PD menjadi dx

dD

0.....

0).....(

0.....

1

10

1

10

1

10

n

nn

n

nn

n

nn

aDaDa

aDaDay

yayDayDa

Akar-akar :

Persamaan karakteristik

n ,......,, 21

0))......()(( 21 nDDD

Sehingga :

0))......()(( 21 yDDD n


Lanjutan Cara II :

Ditinjau salah satu akar :

k

x

k

kkk

k

k

k

k

Cey

Cxy

dxy

dy

ydx

dy

ydx

d

yD

k lnlnln

lnln

0

0)(

0)(

n

k

x

k

x

kk

x

kk

k

k

k

eCy

PUPD

eCy

eCy

1

lnln


Contoh 7 : Selesaikan persamaan diferensial berikut :


6,0)0('';4,5)0(';4,3)0(

0:

0''''

yyy

xnote

yy

Penyelesaian : Substitusi Eulermxey

1,1,0

0)1)(1(

0)1(

0

0

321

2

3

3

mmm

mmm

mm

mm

meem mxmx

Lanjutan Contoh 7 : Berdasarkan persamaan

maka


xm

n

xmxm neCeCeCy .....21

21

xx

xx

xx

xxx

eCeCy

eCeCy

eCeCCy

eCeCeCy

32

32

321

)1(

3

)1(

2

)0(

1

''

'

Lanjutan Contoh 7 :


321

0

3

0

21

4,3

4,3

4,3)0(*

CCC

eCeCC

y

32

32

6,0

6,0)0(''*

4,5

4,5)0('*

CC

y

CC

y

Berdasarkan substitusi diperoleh masing-masing nilai :

4,2;3;4 321 CCC

PD :

xx eey 4,234

Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus

Teknik Kimia

Pembuatan sabun disebut saponifikasi, dalam proses tersebut lemak

yang berasal dari hewan atau tumbuhan direaksikan dengan KOH atau

NaOH untuk memproduksi gilcerol dan fattyacid salt (sabun). Sabun

dipisahkan dari gliserol melalui presipitasi dengan penambahan

natrium klorida. Lapisan air bagian atas yang mengandung natrium

klorida dipisahkan dari campuran sebagai limbah.

Kementerian Lingkungan Hidup (KLH) mengharuskan konsentrasi

maksimum natrium klorida pada limbah yang dibuang ke lingkungan

tidak lebih dari 11.00 gram / liter. Natrium klorida ini merupakan

limbah utama dalam proses produksi sabun.


Teknik Kimia (lanjutan)

Sebuah pabrik sabun tersebut hanya memiliki 1 tangki dengan

kapasitas 15 liter untuk penampungan limbah. Dalam proses pengisian

tangki limbah tersebut, sebanyak 15 liter air dan 750 gram natrium

klorida dimasukkan. Untuk proses kontinuitas proses produksi pabrik

dan menjaga agar limbah yang terbuang ke lingkungan konsentrasinya

tidak melebihi aturan KLH, maka diperlukan pompa yang dioperasikan

untuk memompa air ke tangki dengan laju 2 liter setiap menit dimana

limbah garam yang mengandung 45 gram garam per liter ditambahkan

dengan laju 1,5 liter per menit.

Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan)

Untuk menjaga volume larutan dalam tangki tetap pada level 15 liter,

maka limbah yang terdapat di dalam tangki dikeluarkan (discharge)

sebanyak 3,5 liter per menit

Misalkan A merupakan aliran limbah dari proses, B merupakan aliran

air (fresh water), dan C adalah aliran keluar limbah dari tangki ke

lingkungan.

Diasumkan saat aliran A dan B masuk ke dalam tangki, maka secara

cepat terjadi perubahan konsentrasi klorida ke arah konsentrasi keluar

tangki x1 dan di dalam tangki tidak terjadi reaksi kimia

a) Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk memperoleh

konsentrasi sesuai dengan standar dari KLH untuk limbah kloride

di lingkungan, apakah pabrik tersebut bisa memenuhi standard

dari KLH?

b) Pada waktu 3 detik berapa konsentrasi limbah yang keluar dari

tangki

c) Dalam kondisi steady state, berapa konsentrasi garam yang

dikeluarkan oleh pabrik tersebut



Aliran A

1,5 Liter / menit

45 gram / liter

Aliran B

2 Liter / menit

0 gram / liter

Aliran C

3,5 Liter / menit

x1 gram / liter



Neraca massa untuk natrium klorida pada sistem tangki :

Akumulasi = input – output + generasi (pembuangan karena reaksi)

LgL

gxt

xdt

dx

LLgxLLgLLgdt

dx

/5015

750)0(,0

5.675.3

0min)/5.3()/(min)/2()/0(min)/5.1()/45(

1

11

11

5.67)(;5.3)(

5.675.3 11

xQxP

eeU

xdt

dx

tdt

t

t

t

tt

tt

dxxPdxxP

e

Cx

e

Cex

Ceex

Ceex

CdxeQey

5.67

5.67

5.67

5.67

)()(

Penyelesaian dengan menggunakan PD Linear

Penyelesaian dengan menggunakan PD Linear

LgL

gxt /50

15

750)0(,0 1

5.17

5.6750

5.6750

5.67

0

C

C

e

C

e

Cx

t

Sehingga persamaan menjadi :

tex

5.175.67

a) -1,1724 minutes, artinya

pabrik tidak bisa

memenuhi standar KLH

karena waktu yang

dibutuhkan bersifat minus

sehingga tidak dapat

memenuhi persamaan

b) 50.8535 g/L

c) Steady state berarti

Lgx

x

dt

dx

/285.19

5.675.30

0

1

1

1

Let’s play

Find the solution (PUPD) from the problems below :

0'2'')10

02'3'')9

2cos2')8

2')7

0)5410()15()6

0)43()32()5

0)4

2)()3

0)1(2)2

0)12()12()1

433422

22

2

yyy

yyy

xyy

eyy

dyyxyyxdxyyx

dyyxdxyx

dyxdxy

dyyxdxyx

dyxdxxy

dyyxdxyx

x

THANK YOU FOR YOUR

ATTENTION IN THIS

CLASS

kalkulus 2 persamaan differensial...

Documents