SOLUSI NUMERIK MODEL MATEMATIKA PENYAKIT PNEUMONIA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT

Syafruddin Side, Alimuddin dan Yulianti Vitaria Suangga1

Jurusan matematika, FMIPA Universitas Negeri Makassar

e-mail: yulianti . vitaria@yahoo.co.id

ABSTRAK

Penelitian ini membahas mengenai solusi numerik menggunakan Runge-Kutta orde empat pada model SICR penderita penyakit pneumonia. Model SICR penderita penyakit pneumonia yang berbentuk sistem persamaan diferensial yang mencakup jumlah populasi manusia rentan ( S ), populasi manusia terinfeksi( I ), populasi manusia dengan sifat bawaan (C ), dan populasi manusia sembuh ( R ) sebagai nilai awal dan nilai

μ , v ,α ,q , n , β , ρ , φ , ε , δ , π , ω, φ ( I +εC )N

, sebagai parameter dan dilakukan sebanyak

beberapa iterasi dengan waktu interval atau h=0,01 tahun. Nilai awal yang diberikan yaitu S0=31759 , I 0=5793 , C0=2356 ,R0=6983. Simulasi dilakukan pada setiap populasi. Besar laju populasi manusia rentan ( S )=2663, populasi manusia terinfeksi ( I )=4412, populasi manusia dengan sifat bawaan (C )=2587 dan populasi manusia sembuh ¿ Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa laju populasi manusia rentan dan populasi manusia terinfeksi mengalami penurunan, sedangkan untuk populasi dengan sifat bawaan dan populasi sembuh mengalami peningkatan pada lima tahun kedepan.

Kata kunci:Pneumonia, Runge-Kutta Orde Empat,Solusi Numerik

ABSTRACK

Yulianti Vitaria Suangga.2017.”Numerical Solution Of Mathematical Model Of Pneumonia Disease With Four Order Runge-Kutta Method”. Thesis. Mathematics Department Faculty Of Math A Saince, Makassar State University. (Adrisors: Syafruddin and Alimuddin ).

This study discusses numerical solutions using fourth order Runge-Kutta m SICR model of pneumonia disease. SICR model of pneumonia disease in the from of a system of differential equations that includes the number of suspectible human populations (S), infected human populations ( I ), human populations with congenital traits and cured human population as initial value

μ , v ,α ,q , n , β , ρ , φ , ε , δ , π , ω, φ ( I +εC )N

as a parameter and performed as much

as sereral interations with interval time or h=0,01year.the intial qiren S0=31759 , I 0=5793 , C0=2356 , R0=6983. The simulations were performed on each populations. Rates of human populations were vulnerable ( S )=2663, infectes human populations ( I )=4412, human populations with congenital traits (C )=2587 and cured human populationa (R)=36676. from the result, is can be concluded

that the rate of susceptible human populations and infected human population decreased while for the population of congetical traits and the cure population have increased in the next 5 years

Key words: Pneumonia, Four Order Runge-Kutta, Numerical Solutions

STUDI LITERATUR

Sistem Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Linear

Persamaan diferensial biasa linier memiliki bentuk umum seperti pada persamaan (1) berikut:

an ( t ) dn xdt n +an−1 ( t ) dn−1 x

dt n−1 +…a1 (t ) dxdt

+a0 ( t ) x=f ( t ) (1)

denganan≠ 0 , an , an−1 ,…a0 , disebut koefisien persamaan diferensial. Fungsi f(t) disebut input atau unsur nonhomogen. Jika f(t) disebut input, maka solusi dari persamaan diferensial x(t) biasanya disebut output. Jika ruas sebelah kanan bernilai nol untuk semua nilai t dalam interval yang ditinjau, maka persamaan ini dikatakan homogen, sebaliknya dikatakan non homogen.

Contoh :d xdt

=2 x+3 t

(Waluya, 2006).

Metode Runge-KuttaMetode Runge-Kutta merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta seperti pada persamaan (2)x i+1=x i+Φ (t i , x i , h ) h (2) dengan Φ (t i , x i , h ) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval dan digunakan untuk mengekstrapolasi dari nilai lama x i ke nilai baru x i+1 sepanjang interval h. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum seperti pada persamaan (2.3)Φ=a1 k1+a2k 2+…+an kn (3)dengan a adalah konstanta dan k adalah:k1=f (t i , x i ) (4)k 2=f (t i+ p ih , x i+q11k 1h ) (5)k3=f (t i+p ih , x i+q21 k1 h+q22 k2 h ) (6)⋮k n=f (t i+ pn−1h , x i+qn−1,2 k1 h+qn−1,2 k2h+…+qn−1 ,n−1 kn−1h )dengan p dan q adalah konstanta. Nilai k menunjukkan hubungan berurutan. Nilai k1 muncul dalam persamaan (5), yang keduanya juga muncul dalam persamaan (6), dan seterusnya.

Metode Runge-Kutta Orde EmpatMetode Runge-Kutta orde empat mempunyai bentuk sebagaimana pada persamaan (7).

x i+1=x i+16 ( k1+2k2+2k 3+k4 ) h (7)

dengank1=f ( ti , x i)k 2=f ( ti+ p1 h , x i+q11k1 ,h)k3=f (ti+ p2 h , x i+q21k1 h+q22k2 h)k 4=f (t i+ p3h , x i+q31 k1h+q32 k3 h)Model Matematika Penyakit Pneumonia Dalam hal ini penyakit pneumonia yang diderita oleh balita diperoleh model SICR (Ong’ala Jacob et al ). Dibagi kedalam empat kelas yakni: kelas populasi rentan (suspected) , kelas populasi terinfeksi (infected), kelas populasi dengan sifat bawaan (carriers ) dan kelas populasi sembuh(recovered).

Gambar 1.Diagram Transfer penyebaran penyakit pneumonia dengan sifat bawaan

Parameter yang digunakan antara lain μ adalah laju kematian alami, v adalah laju kelahiran, ρ adalah peluang terjadinya kontak individu rentan ke individu pada kelas bawaan atau peluang terjadinya kontak individu yang rentan ke individu yang terinfeksi penyakit yaitu (1−ρ ) , π adalah laju sifat bawaan yang terinfeksi, n adalah laju individu terinfeksi dapat pulih kembali, q adalah peluang individu yang bersih dari bakteri ditubuhnya dan memperoleh kekebalan sementara pada (1−q) yang masih membawa bakteri, β adalah laju individu pembawa yang pulih memperoleh kekebalan sementara δ tingkat kemungkinan infeksi kembali, α adalah laju kematian yang disebabkan oleh pneumonia pada populasi terinfeksi, φadalah laju kontak penyebab infeksi, ε adalah tingkat individu rentan yang menunjukkan gejala terinfeksi, ω adalah laju kekebalan

alami, dan φ( I +ε C)

N adalah laju individu yang terinfeksi oleh kontak terhadap

pembawa atau yang terinfeksi.

Berdasarkan Gambar 1 diperoleh model matematika yang berupa sistem persamaan diferensial nonlinear yang memuat variabel S, I, C dan R menyatakan jumlah populasi pada saat t . Sehingga sistem persamaan diferensial dari Gambar 1 adalah sebagaimana pada persamaan (8) hingga (11) berikut:dSdt

=v−(μ+ω+φ( I+εCN ))S+δR (8)

dIdt

=((1−ρ ) φ( I+εCN ))S+πC−(n+α+μ ) I (9)

dCdt

=(ρφ( I+εCN ))S−( μ+π+β )C+(1−q )∋¿ (10)

dRdt

=qnI− (μ+δ ) R+βC+ωS (11)

METODOLOGI PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan pada bulan Juli sampai Agustus 2017 dan menggunakan data penderita penyakit pneumonia tahun 2016 yang diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Suawesi Selatan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Persamaan (8) sampai (11) diatas akan diselesaikan menggunakan metode runge-kutta orde empat seperti pada persamaan (7). persamaan (8) sampai (11) disubtitusikan pada persamaan runge-kutta orde empat sehingga diperoleh persamaan (12) sampai (15) berikut:

Si+ 1=S i+16

h( j1+2 j2+2 j3+ j4) (12)

I i+1=I i+16

h (k1+2 k2+2k3+k 4 ) (13)

C i+1=C i+16

h (l1+2l2+2 l3+l 4 ) (14)

Ri+1=Ri+16

h(m1+2m2+2m3+m4) (15)

Dengan

j1=v−(μ+ω+φ( I +εCN ))S+δR

k1=((1−p ) φ( I+εCN )) S+πC−(n+α+μ ) I

l1=(pφ ( I +εCN ))S− (μ+π+β ) C+ (1−q )∋¿

m1=qnI− (μ+δ ) R+βC +ωS

j2=v−(μ+ω+φ( (Ii+k1h2 )+ε (C i+l1

h2 )

N ))(Si+ j1h2 )+δ (Ri+m1

h2 )

k 2=((1−p ) φ((I i+k ih2 )+ε (Ci+l1

h2 )

N ))(S i+ j1h2 )+π (Ci+l1

h2 )−(n+α +μ )(I i+k1

h2 )

l2=( p φ((I i+k ih2 )+ε (Ci+l1

h2 )

N ))(S i+ j1h2 )−( μ+π+β )(C i+l1

h2 )+(1−q)n( I i+k1

h2)

m2=qn (Ii+k1h2 )−(μ+δ )(Ri+m1

h2 )+β (C i+ l1

h2 )+ω (Si+ j1

h2)

j3=v−(μ+ω+φ( (I i+k2h2 )+ε (C i+ l2

h2 )

N ))(Si+ j2h2 )+δ (Ri+m2

h2 )

k3=( (1−p ) φ((I i+k2h2 )+ε (Ci+l2

h2 )

N ))(S i+ j2h2 )+π (Ci+l2

h2 )−(n+α+μ )(I i+k2

h2 )

l3=( p φ((I i+k2h2 )+ε (Ci+l2

h2 )

N ))(S i+ j2h2 )−( μ+π+β )(C i+ l2

h2 )+(1−q)n( I i+k2

h2)

m3=qn (Ii+k2h2 )−( μ+δ )(Ri+m2

h2 )+β (C i+l2

h2 )+ω(Si+ j2

h2)

j 4=v−(μ+ω+φ( ( I i+k3 h )+ε (C i+ l3h )N )) ( Si+ j3 h )+δ ( Ri+m3 h )

k 4=((1−p ) φ( ( I i+k3 h )+ε (Ci+l3 h )N )) (S i+ j3 h )+π (Ci+l3 h )− (n+α+μ ) ( I i+k3 h )

l4=(p φ ( ( I i+k3 h )+ε (Ci+l3 h )N )) (S i+ j3 h )− (μ+π+ β ) (C i+ l3 h )+(1−q)n ( Ii+k 3h)

m4=qn ( Ii+k3h )−( μ+δ ) ( Ri+m3 h )+β (C i+l3h )+ω(S i+ j3 h)

Simulasi Model Secara Numerik Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat

Asumsi yang akan digunakan sebagai nilai awal variabel yang akan digunakan dalam simulasi solusi numerik model SICR penyakit pneumonia menggunakan runge-kutta orde empat dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:

Tabel 1. Nilai Awal

Variabel Nilai Keterangan

S(0) 31759 Data populasi manusia yang rentan terinfeksi penyakit

I(0) 5793 Data populasi manusia yang terinfeksi penyakit

C(0) 2356 Data populasi manusia yang memiliki bawaan

R(0) 6983 Data pupolasi manusia yang telah sembuh dari penyakit

Nilai parameter- parameter yang ada pada model penyakit pneumoia pada balita dapat dilihat pada tabel 2. berikut:

Table 2. Nilai Parameter

Parameter Nilai Keterangan

μ 0,0002 Laju kematian alamiv 0,0808 Laju rekruitmen individu perkapita pada

populasi balitaα 0,02 Laju kematian disebabkan oleh pneumonia

pada populasi yang terinfeksiq 0,625 Peluang individu yang pulih

n 0,0416 Laju individu terinfeksi dapat pulih kembali

β 0,0104 Laju individu pembawa yang pulih memperoleh kekebalan sementara

ρ 0,924 Peluang terjadinya kontak antara individu yang rentan terinfeksi

φ 0,47 Laju kontak penyebab infeksi

ε 0,00144 Tingkat individu rentan yang menunjukkan gejala terinfeksi

δ 0,0416 Tingkat kemungkinan terinfeksi kembali

π 0,0138 Laju sifat bawaan yang menunjukkan gejala terinfeksi

ω 0,74 Laju kesembuhan alami

φ( I +εC )N

0,003251123017 Laju individu yang terinfeksi oleh kontak terhadap pembawa atau juga orang yang terinfeksi

(Jacob, 2013)

Simulasi yang dilakukan yaitu dengan mensubtitusikan nilai awal dan nilai parameter-parameter yang diberikan seperti pada Tabel 1 dan 2 kedalam persamaan (8) sampai (11) yang merupakan solusi numerik model matematika penyakit pneumonia menggunakan metode Runge-Kutta orde empat yang selanjutnya akan digambarkan melalui plot grafik menggunakan plikasi maple.

Waktu interval atau jarak langkah yang digunakan adalah h=0,01. Semakin kecil jarak langkah yang diberikan maka semakin tinggi pula tingkat ketelitian hasil yang diberikan. Selanjutnya diberikan Si=S(0) , I i=I (0) ,C i=C(0) , Ri=R(0) sebagai nilai awal sehingga diperoleh hasil solusi numerik model matematika penyakit pneumonia menggunakan metode Runge-Kutta orde empat sebagaimana pada persamaan (16)sampai (19) berikut:

S0+1=S0+16

h ( j1+2 j2+2 j3+ j4) (16)

I 0+1=I 0+16

h ( k1+2k 2+2k 3+k4 ) (17)

C0+1=C0+16

h (l1+2 l2+2 l3+l4 ) (18)

R0+1=R0+16

h(m1+2m2+2 m3+m4) (19)

Dengan

j1=v−(μ+ω+φ( I +εCN ))S+δR

¿-23320,69062

k1=((1−p ) φ( I+εCN )) S+πC−(n+α+μ ) I

¿-317,6474164

l1=(pφ ( I +εCN ))S− (μ+π+β ) C+ (1−q )∋¿

¿128,2896323

m1=qnI− (μ+δ ) R+βC +ωS

¿23384,89100

j2=v−(μ+ω+φ( (Ii+k1h2 )+ε (C i+l1

h2 )

N ))(Si+ j1h2 )+δ (Ri+m1

h2 )

¿−23229,10942

k 2=((1−p ) φ((I i+k ih2 )+ε (Ci+l1

h2 )

N ))(S i+ j1h2 )+π (Ci+l1

h2 )−(n+α +μ )(I i+k1

h2 )

¿−137,5713634

l2=( p φ((I i+k ih2 )+ε (Ci+l1

h2 )

N ))(S i+ j1h2 )−( μ+π+β )(C i+l1

h2 )+(1−q)n( I i+k1

h2)

¿127,8728930

m2=qn (Ii+k1h2 )−(μ+δ )(Ri+m1

h2 )+β (C i+ l1

h2 )+ω (Si+ j1

h2)

¿23303,44385

j3=v−(μ+ω+φ( (I i+k2h2 )+ε (C i+ l2

h2 )

N ))(Si+ j2h2 )+δ (Ri+m2

h2 )

¿-23229,46679

k3=( (1−p ) φ((I i+k2h2 )+ε (Ci+l2

h2 )

N ))(S i+ j2h2 )+π (Ci+l2

h2 )−(n+α+μ )(I i+k2

h2 )

¿−317,5713020

l3=( p φ((I i+k2h2 )+ε (Ci+l2

h2 )

N ))(S i+ j2h2 )−( μ+π+β )(C i+ l2

h2 )+(1−q)n( I i+k2

h2)

¿127,8743311

m3=qn (Ii+k2h2 )−( μ+δ )(Ri+m2

h2 )+β (C i+l2

h2 )+ω(Si+ j2

h2)

¿23303,76354

j 4=v−(μ+ω+φ( ( I i+k3 h )+ε (C i+ l3h )N )) ( Si+ j3 h )+δ ( Ri+m3 h )

¿-23138,24039

k 4=((1−p ) φ( ( I i+k3 h )+ε (Ci+l3 h )N )) (S i+ j3 h )+π (Ci+l3 h )− (n+α+μ ) ( I i+k3 h )

¿-317,4951726

l4=(p φ ( ( I i+k3 h )+ε (Ci+l3 h )N )) (S i+ j3 h )− (μ+π+ β ) (C i+ l3 h )+(1+(−q))n( I i+k3 h)

¿127,4592099

m4=qn ( Ii+k3h )−( μ+δ ) ( Ri+m3 h )+β (C i+l3h )+ω(S i+ j3 h)

¿23222,63359Kemudian dengan mensubtitusikan nilai j1 sampai j 4, k1 sampai k 4, l1 sampai

l4, dan m1 sampai m4 kedalam persamaan (16) sampai (19) didapatkan solusi numerik model matematika penyakit pneumonia menggunakan metode Runge-Kutta orde empat sebagai berikut:

S0+1=S0+16

h ( j1+2 j2+2 j3+ j4)

¿31526,70653

I 0+1=I 0+16

h ( k1+2k 2+2k 3+k4 )

¿5789,824287

C0+1=C0+16

h (l1+2 l2+2 l3+l4 )

¿2357,278739

R0+1=R0+16

h(m1+2m2+2 m3+m4)

¿7216,036566

Hasil iterasi untuk kelas populasi akan ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 1 sampai Gambar 4 sebagai berikut:

Gambar 1. Populasi Manusia Yang Rentan (S) Terinfeksi Pneumonia

Gambar 2. Populasi Manusia Yang Terinfeksi ( I ) Penyakit Pneumonia

Gambar 3. Populasi Manusia Dengan Sifat Bawaan (C ) Penyakit Pneumonia

Gambar 4. Populasi Manusia Yang Sembuh ( R ) Dari Penyakit Pneumonia

Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa laju populasi manusia rentan (S)dan populasi manusia terinfeksi(I ) mengalami penurunan, sedangkan untuk populasi dengan sifat bawaan(C) dan populasi manusia sembuh (R) mengalami peningkatan pada lima tahun kedepan.

KesimpulanAdapun kesimpulan pada penelitian ini yaitu sebagai berikut:

1. Berdasarkan simulasi yang dilakukan didapatkan solusi numerik model matematika penyakit pneumonia menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan waktu interval atau h=0,01 diperoleh untuk populasi manusia rentan terinfeksi penyakit pneumonia S1=31526,70653 ; populasi manusia terinfeksi I 1=¿5789,824287; populasi manusia dengan sifat bawaan C1=2357,278739; dan populasi manusia yang sembuh R1=7216,036566.

2. Dengan menyelesaikan simulasi model matematika penyakit pneumonia di provinsi Sulawesi Selatan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat kita dapat memprediksi besarnya populasi-populasi yang ada pada model matematika penyakit pneumonia untuk lima tahun. Diantaranya, besarnya populasi manusia yang rentan terinfeksi penyakit (S) adalah 2663, besarnya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pneumonia (I )adalah 4412, besarnya populasi manusia dengan sifat bawaan penyakit pneumonia (C) adalah 2587, dan besarnya populasi yang sembuh (R) adalah 36676.

SaranPada penelitian ini,permasalah yang dibahas adalah menyelesaikan secara

numerik model matematika penyakit pneumonia menggunakan metode Runge-Kutta orde empat, sehingga untuk penelitian berikutnya disarankan untuk menggunakan metode numerik yang berorde tinggi lainnya.