bab iv · web viewpersamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat dikelompokkan ke dalam...

BAB VPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR TINGKAT TINGGI

5.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai

persamaan differensial linear tingkat-n. Secara umum dinyatakan dalam

bentuk:

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi atau konstanta.

karena dxdy = Dy, = D y, ..., = D y, = D y

maka persamaan

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

dapat dinyatakan dengan

P D y + P D y + P 2 D 2n y + P 3 D y + ... + P Dy + P y = Q(x)

(P D + P D + P 2 D 2n + P 3 D + ... + P D + P ) y = Q(x)

F(D) y = Q(x)

Jika bentuk F(D)y = Q(x) dan Q(x) = 0, maka bentuk umumnya menjadi

P D y + P D y + P 2 D 2n y + P 3 D y + ... + P Dy + P y = 0.

Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan differensial

linear homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x) 0 maka F(D)y =

Q(x) disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat tinggi.

Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 102

Contoh

1. + 2 - 15y = 0

(D + 2D – 15)y = 0

y’’ + 2y’ -15y = 0

2. ( -y)( -2y) = e

(D-1)(D-2) y = e

(y’-y)(y’-2y) = e

3. (D + 9) y = x Cos x

y’’ + 9y = x Cos x

+ 9y = x Cos x

4. (x+2) - (x+2) + y = (3x+4)

(x+2) y’’ - (x+2) y’ + y = (3x+4)

(x+2) D y - (x+2) Dy + y = (3x+4)

5. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 0

x y’’’ + 3x y’’ - 2xy’ + 2y = 0

x + 3x - 2x + 2y = 0

6. (x D + 2xD - 2) y = x Ln x + 3x

x + 2x - 2y = x Ln x + 3x

x y’’’ + 2x y’ - 2y = x Ln x + 3x


Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat

dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen.

Persamaan pada contoh 1 disebut persamaan differensial linear

homogen tingkat dua dengan koefisien konstan, persamaan pada

contoh 2 disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat

tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3 disebut

persamaan differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan

koefisien konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan

differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien variabel,

persamaan pada contoh 5 adalah persamaan differensial linear

homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel, sedangkan persamaan

pada contoh 6 adalah persamaan differensial linear tidak homogen

tingkat 3 dengan koefisien variabel.

5.2 Selesaian Umum Persamaan Differensial Linear Tingkat

Tinggi

Misal y = y (x) adalah selesaian persamaan

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Maka y = C y (x) adalah selesaian juga, dimana C adalah sebarang

konstanta.

Selanjutnya jika y = y (x), y = y (x) , y = y (x) , ... merupakan selesaian

umum


P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x),

maka

y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... juga selesaian persamaan.

Himpunan selesaian y = y (x), y = y (x) , y = y (x) , ... y= y (x)

disebut bebas liner jika persamaan C y + C y + C y

+ ... C y = 0 dimana C adalah konstanta dan terjadi hanya apabila C

= C = C = ... = C = 0.

Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas

linear yaitu jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing

sukunya adalah selesaian dimaksud sampai turunan ke (n-1) 0.

Dengan kata lain y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... + C y (x) adalah

primitif. Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya

persamaan differensial linear tingkat tinggi adalah

y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... + C y (x) + R(x).

Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan

differensial linear tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut

dikelompok menjadi 1) persamaan differensial linear homogen tingkat

tinggi koefisien konstan, 2) persamaan tidak homogen dengan koefisien

konstan, 3) persamaan homogen dengan koefisien variabel, dan 4)

persamaan tidak homogen dengan koefisien variabel.

a. PD Homogen dengan Koefisien Konstan


Sebagaimana telah disebutkan pada awal bab V, bahwa

persamaan differensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien

konstan dinyatakan dalam bentuk umum:

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = 0

Atau

(P D + P D + P 2 D 2n + P 3 D + ... + P D + P ) y = 0

atau

F(D) y = 0, dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstan.

F(D) disebut fungsi operator differensial.

Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat

dinyatakan dalam bentuk (D-m )(D-m )(D-m ) ... (D-m ) = 0. sebaliknya

jika tidak dapat difakktorkan maka ditulis sebagai F(D) = 0.

Bentuk (D-m )(D-m )(D- ) ... (D-m ) = 0 dinamakan persamaan

karakteristik dengan m , m , m , ... m disebut akar-akar persaman

karakteristik. Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan

karakteristik, karena akar-akarnya dapat dibaca secara langsung dari

fungsi operator differensial.

Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akar-

akarnya, untuk menentukan selesaian umum persaamaan

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = 0

ditentukan dengan y = Ce dimana m akar persamaan karakteristik

yang telah diketahui. Karena m , m , m , ... m adalah akar-akar


persamaan karakteristik, maka jenis bilangan real dan tidak real. Untuk

lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:

1. Andaikan m m m ... m bilangan real maka primitinya

y = C e + C e + C e + ... + C e

sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta

sebarang.

Jika y = C e + C e + C e + ... + C e adalah selesaian

maka

y = C e , y = C e , y = C e , ... , dan y = C e juga selesaian.

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan differensial linear berikut.

a. + 5 + 6y = 0

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

(D + 5D + 6)y = 0

Sehingga persamaan karakteristik m + 5m + 6 = 0

(m+2)(m+3) = 0

akar-akarnya m = -2 dan m = -3, keduanya berberda.

Primitif persamaan di atas adalah

y = C e + C e .

Karena Y = C e + C e adalah selesaian maka Y = C e dan Y

= C e


Juga selesaian.

b. - 4 + + 6 = 0

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

(D - 4D + D + 6D) y = 0

Persamaan karakteristik m - 4m + m + 6m = 0

m(m - 4m + m + 6) = 0

m(m+1)(m-2)(m-3) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik

m = 0, m = 1, m = 2, dan m = 3

Sehingga selesaian persamaan (D - 4D + D + 6D) y = 0 adalah

y = C e + C e + C e + C e

= C + C e + C e + C e

Karena y = C + C e + C e + C e selesaian umum, maka

y = C , y = C e , y = C e , dan y = C e juga selesaian.

2. Andaikan m = m = m = ... = m = m Real maka primitinya

y = (C1 + C2x + C x + ... + C x ) e

dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang

dan m kali hubungan diantaranya.

Contoh


Selesaikan persamaan differensial linear berikut

a. - 4 + 4y = 0

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk

(D - 4D + 4)y = 0

(D-2)(D-2)y = 0

Sehingga akar persamaan karakteristiknya (m-2)(m-2) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = 2 (sama)

Selesaian persamaan di atas adalah

y = (C + C x) e

Karena y = (C + C x) e maka y = C e dan y = C e juga

selesaian

b . + 6 + 9y = 0

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk

(D 2 + 6D + 9)y = 0

(D+3)(D+3)y = 0

Sehingga persamaan karakteristik (m+3)(m+3) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = -3 (sama)

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

y = (C + C x) e


Karena y = (C + C x) e selesaian maka y = C e dan y = C xe

juga selesaian.

c. - 6 + 12 - 8 = 0

Jawab

Bentuk lain persamaan di atas adalah

D ( D - 6D + 12D – 8)y = 0

D ( D – 2) y = 0

Sehingga persamaan karakteristiknya

m ( m – 2) = 0,

Akar-akar persamaan karakteristiknya m = m = 0, dan m = m = m

= 2

Akibatnya selesaian umum persamaan differensial di atas adalah

y = (C + C x) e + (C + C x + C x ) e x2

= (C + C x) + (C + C x + C x ) e x2

Karena Y = (C + C x) + (C + C x + C x ) e selesaian, maka

y = C , y = C x , y = C e , y = C xe , dan y = C x e juga selesaian

persamaan.

3. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan

karakteristik dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:

m m = m = m ... m Real maka primitifnya


y = C e + (C + C x + C X )e + ... + C e .

Contoh

Tentukan selesaian persamaan

a. (D - D - 9D 2 - 11D – 4)y = 0

Jawab

Persamaan di atas mempunyai persamaan karakteristik

m - m - 9m 2 - 11m – 4 = 0

(m+1)(m+1)(m+1)(m-4) = 0

Akar persamaan karakteristik m = m = m = -1 dan m = 4

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah

Y = (C 1 + C 2 x + C x ) e + C e

Karena Y = (C 1 + C 2 x + C x ) e + C e selesaian maka

Y = C1 e , y = C 2 xe , y = C x 2 e , dan y = C e juga selesaian.

b. - 6 + 12 - 8 = 0

Jawab

Bentuk lain persamaan di atas adalah

(D - 6 + 12D - 8D) y = 0

D(D-2)(D-2)(D-2)y = 0

Persamaan karakteristiknya m(m-2)(m-2)(m-2) = 0

Akar-akar persamaan karakteristik m = 0 dan m = m = m = 2

Sehingga selesaian umum diperoleh y = C 1 + (C 2 + C x +C x ) e


Karena y = C 1 + (C 2 + C x +C x ) e x2 maka

y = C1 , y = C 2 e x2 , y = C xe x2 , dan y = C x e x2 juga selesaian.

4. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real , misal

m12 = a bi, maka diperoleh

y = C e C Ae

= e ( C e bix + C e )

Karena e = 1 + x + + ..., maka:

e

= 1 + (bix) + dan

e

sehingga

y = C e C Ae

= e

Contoh

a. (D - 2D + 5)y = 0

Jawab

Persamaan karakteristiknya m - 2m + 5 = 0

Akarnya =


= 1 2i

m = 1 + 2i dan m = 1 – 2i

Selesaian umum persamaan y = e (C Cos 2x + C Sin 2x)

b. (D + 1)(D + D +1)(D+3)y = 0

Jawab

Persamaan karakteristik persamaan di atas adalah

(m + 1)(m + m +1)(m+3) = 0

Akar-akarnya m = i, m = , m = 3

Selesaian umum persamaan

Y = (C Cos x + C Sin x) + e (C Cos + C Sin ) + C e

5. Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real,

maka selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3,

dan 4 di atas.

Contoh

Tentukan selesaian umum perasamaan differensial

a. (D + 4D )y = 0

Jawab

Persamaan karakteristik PD di atas adalah (m + 4m ) = 0.

m (m + 4) = 0

akar-akarnya adalah m = m = 0, dan m =

2i,


Diperoleh selesaian umum (D + 4D )y = 0 adalah

y = (C + C x) + (C Cos 2x + Sin 2x)

b. (D - 16)y = 0.

Persamaan karakteristiknya m - 16 = 0

(m-2)(m+2)(m + 4) = 0

Sehingga akar-akar persamaan karakteristik m = 2, m = -2 dan m

= 2i,

Primitif persamaannya adalah

y = (C + C x)e + (C Cos 2x + Sin 2x)

5.3 Soal-soal

Tentukan selesaian umum persamaan differensial linear di bawah ini

1. (y’’’ + y’’ – 2y) = 0

2. (D – 6D + 12D 2 – 8D) y = 0

3. (D 4 + D )y = 0

4. (D – 6D + 13D – 12D + 4)y = 0

5. (D + 9D + 24D + 16) y = 0

6. (D + D )y = 0

7. (y’’’ + 64y) = 0

8. (y - 15y + 85y’’’ – 225y’’ + 274y’ – 120) = 0

9. (y’’’ + y’’ + 4y’ + 4y) = 0

10. (D - 16) y = 0


11. (D - 2D + 5) y = 0

12. (D + 5D - 36)Y = 0

13. y - 5y + 7y’’’ + y’’ – 8y’ + 4y = 0

14. y’’’ – 3y’’ + 3y’ – y = 0

15. (y’’ – 4y’ + 4y)(y’ + 3y) = 0

b. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan differensial linear tidak homogen

dengan koefisien konstan adalah

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstanta, dan Q(x) 0

Contoh

1. - 3 + 2y = 10e (PDLtH tingkat-2 derajat-1 koefisien konstan)

2. (D - 4D +4)(D+3) y = 5e (PDLtH tingkat-3 derajat-1, koefisiean

konstan)

3. (D + 2D)y = Cos 3x (PDLtH tingkat-2 derajat-1, koefisien konstan)

Selesaian persamaan differensial linear tidak homogen dinyatakan

dengan

Y = y(C) + y(p)

y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0,

y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).

Dengan demikian untuk menentukan selesaian


P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstanta, dan Q(x) 0

Tinggal mencari y(c).

Untuk mencari y(p) dibedakan menjadi beberapa jenis yaitu

1) Menggunakan metode invers fungsi operator,

2) Metode sebagai jumlah n pecahan parsial,

3) Metode variasi paramater,

4) Metode koefisien tak tentu, dan

5) Metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat

spesifik.

a) Metode invers fungsi operator

Misal F(D)y = Q(x) adalah persamaan differensial linear tidak homogen

dengan koefisien konstan, maka selesaiannya Y = y(C) + y(p).

Setelah ditentukan y(c), maka

F(D)y = Q(x)

y = Q(x)

misal F(D) = (D-m )(D-m )(D-m ) ... (D-m ), maka

y = Q(x)

misal u = ------(PDL tingkat-1)


v = --------(PD Linear tingkat-1)

.......................

Z = ----------(PD Linear tingkat-1) yang

selesaiannya telah dijelaskan pada bab III

(D-m )u = Q(x)

untuk m m m ... m

y(p) = e ... (dx)

Jika m = m = m = ... = m maka

y(p) = e ... (dx)

b) Metode penjumlahan n pecahan parsial.

y = Q(x)

dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu

y = ( + + + ... + ) Q(x)

y = Q(x) + Q(x) + Q(x) + ... + Q(x)

dan merupakan persamaan differensial linear tingkat 1 yang

selesaiannya sudah dibahas pada bab III.

c. PD Homogen dengan Koefisien Variabel


Bentuk umum persamaan differensial lineat homogen dengan koefisien

konstan adalah

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi, dan Q(x) = 0

Contoh

1. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 0

2. (x+2) - (x+2) + y = 0

d. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umunya dinyatakan dengan

P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)

Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi, dan Q(x) 0.

Contoh

1. (x+2) - (x+2) + y = (3x+4)

2. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 1-x

3. (x D + 2xD - 2) y = x Ln x + 3x

5.3 Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan di bawah ini:

1. (D2 – 4D + 3) y = 1

2. (D + D – 2)y = 2(1 + x –x )


3. (D – 3D +2) y = sin e

4. (D – 1) y = sin x = ½ ( 1 – cos 2x)

5. (D2 – 1) y = (1 + e )

6. x y’’’ + xy’ – y = 3x

7. xy’’ – (x+2)y’ + 2y = 0

8. (1+x )y’’ – 2xy’ + 2y = 2

9. (2x+1) y’ – 2(2x+1)y’ – 12y = 6x

10. [(x+1) D + (x+1)D – 1]y = ln (x+1) + (x-1)


bab iv · web viewpersamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat dikelompokkan ke dalam...

Documents