sistem persamaan linear - share...

Sistem Persamaan Linear

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

Teori Contoh Simpulan Latihan

Mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan definisi sistem linear

2. Membangun matriks augmentasi

3. Menyelesaikan sistem linear melalui operasi bariselementer

Tujuan Pembelajaran

OBJEKTIF

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Materi sistem persamaan linear dan caramendapatkan solusi sistem tersebut merupakansalah satu topik utama dalam aljabar linear. Hal

ini disebabkan kegunaannya dalam banyakbidang ilmu. Sebagai contoh, mencari arus yang mengalir dalam rangkaian listrik, solusi mkasimal

atau minimal dalam masalah pemrogramanlinear (optimasi sistem).

Pendahuluan

TEORIObjektif Contoh Simpulan Latihan

Sistem Linear Homogen

Operasi Baris Elementer

Bentuk Reduksi Eselon Baris

Sistem Linear

Persamaan NonLinear

MenuPersamaan Linear

Persamaan Linear

Garis dalam bidang-xy:byaxa =+ 21

Persamaan linear: n variabel x1, x2, …, xn

a1, a2, …, an dan b konstan

Contoh:

121 ++= zxy

952 =+ yx 532 321 =−+ xxx

121 =+++ nxxx

bxaxaxa nn =+++ 2211

x

y

Objektif Contoh Simpulan LatihanTEORI

Persamaan Nonlinear

x

y 12 2 =+− yx

x

y0sin =− xy

Contoh lain:

32 =+− xyyx

1321 =++ xxx


Sistem Linear

• Sistem linear:

m persamaan

n variabel x1, x2, …, xn

• Matriks augmentasi:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211


Sistem Linear Homogen

Sistem linear homogen: n variabel x1, x2, …, xn

m persamaan

Matriks augmentasi:

0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

0

00

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

Solusi: Trivial: x1=0, x2=0, …, xn=0 Nontrivial


1 2 4 3

Operasi Baris Elementer

Kalikan baris dengankonstanta tak nol

Tukarkan dua baris

Tambahkan perkalianbaris pada baris lain

1

2

3

1 3 5 7

2 4 8 6

1 0 1 2

0.5×b2

1 3 5 7

1 0 1 2

1 2 4 3b1 ⇔ b3

1 3 5 7

1 0 1 2

1 2 4 3-b1 + b2 0 2 3 1


Bentuk Eselon Baris Tereduksi

1) Baris tak-nol, bilangan tak-nol

pertama dalam baris adalah satu

(leading 1)

2) Baris nol diletakkan di bagian bawahmatriks

3) Dua baris tak nol berturut-turut, leading 1 (pivot) pada barisdibawahnya terjadi pada kolomsebelah kanannya

4) Tiap kolom berisi pivot, entri lainnya adalah nol

1 3 5 7

0 0 0 0

0 1 4 3

0


Contoh 1 Contoh 2

Dapatkan solusi sistem persamaan linear berikut:

1047313282

321

321

321

=+−=+−−=++

xxxxxxxxx

Solusi:

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Solusi Contoh 1 (1)

Bentuk matriks augmentasi:

1. b1+b2: tambahkan baris 1 pada baris 2

−−−

1047313218211

−−

1047395108211

2. -3b1+b3: tambahkan -3 kali baris 1 pada baris 3

−−−−

14210095108211

Objektif Teori Simpulan LatihanCONTOH

3. -1×b2: baris 2 dikalikan -1

Solusi Contoh 1 (2) eliminasi Gauss

4. 10b2+b3: tambahkan 10 kali baris 2 pada baris 3

−−−−−142100

95108211

−−−−

104520095108211

5. -1/52×b3: kalikan baris 3dengan -1/52

−−

210095108211

eselonbaris


Solusi Contoh 1 (3) eliminasi Gauss - Jordan

6. -b2+b1: tambahkan -1 kali baris 2 pada baris 1


5b3+b2: tambahkan 5 kali baris 3 pada baris 2

−−

21009510

17701

210010103001

Solusi: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2 eselon baris

tereduksi


Dapatkan solusi sistem linear berikut:

Solusi:

027315212

321

321

321

=+−−=+−

=+−

xxxxxxxxx

Objektif Teori Simpulan Latihan

Contoh 1 Contoh 2

CONTOH

Solusi Contoh 2 (1)


1. -2b1+b2: tambahkan -2 kali baris 1 ke baris 2

-3b1+b3: tambahkan -3 kali baris 1ke baris 3

2. -1×b2: baris 2 kalikan dengan -1

−−−

−

027311521121

−−−−−−

−

311031101121

−−−

−

311031101121


3. b2+b3: tambahkan baris 2 ke baris 3

Solusi Contoh 2 (2) eliminasi Gauss - Jordan

4. 2b2+b1: tambahkan 2 kali baris 2 pada baris 1

−

000031101121

000031107301

variabelbebas

variabelleading


x3 = t x2 = 3 – t x1 = 7 – 3t

Sistem Persamaan Linear

• Sistem linear: kumpulan dari persamaan linear m persamaan

n variabel

• Matriks dalam bentuk reduksi eselon baris diperolehdari eliminasi Gauss-Jordan

• Matriks dalam bentuk eselon baris diperoleh darieliminasi Gauss

Objektif Teori SIMPULAN LatihanContoh

Soal:

1) Dapatkan solusi sistem linear berikut:

2) Dapatkan solusi sistem linear homogen berikut:

522334235

32

321

321

=+=++=++

xxxxxxxx

0232032030422

=−++−=+++=−−=++

zyxwzyxwzywzyx

Objektif Teori LATIHANContoh Simpulan

Solusi Latihan 1

511022334235



1. (1/5)b1: kalikan baris 1 dengan 1/5


51102233

1 54

52

53

−5110

01

52

54

56

54

52

53

Solusi Latihan 1


3. (5/6)b2: kalikan baris 2 dengan 5/6

4. -b2+b1: tambahkan -1 kali baris 2 pada baris 1

−5110

101

31

32

54

52

53

−

316

31

31

32

54

52

53

0010

1

5. 3b3: kalikan baris 3 dengan 3

−16100

101

31

32

54

52

53

Solusi Latihan 1


6. (-3/5)b2+b1: tambahkan -3/5 kalibaris 2 pada baris 1

7. (-2/3)b3+b2: tambahkan -2/3 kalibaris 3 pada baris 2

−16100

101001

31

32

−

1610011010

1001

Solusi: x1 = 1; x2 = -11; x3 = 16

Solusi Latihan 2

−−

−−

02312011320310104220



1. b1 b2: tukarkan baris 1 dengan b2

−−

−−

02312011320422003101

Solusi Latihan 2


2. -2b1+b3;

2b1+b4

−

−−

08110073300422003101

3. (1/2)b1

−

−−

08110073300211003101

Solusi Latihan 2


4. -3b2+b3;

-b1+b4

5. 10b3+b4

−−

00000010000211003101

−

−−

010000010000211003101

Solusi Latihan 2


6. 3b3+b1;

-2b3+b2

−

00000010000011000101

Solusi: w = y w = t

x = -y x = -t

y = t

z = 0

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

sistem persamaan linear - share...

Documents