bab 4. respon gaya -...

Bab 4

Respon Gaya

4.1 PEMI5AMAN INPUTDAN HONDI51AWAL

Padabab ini kita akan berhubungan dengan sistem linear yang ditujukan untukinput deterministik. Sistem ini telah dideskripsikan di muka oleh (2.1-3) dan(2.1-4) yang kita ulangi di sini sebagai

x = Ax+ Bu(1) (4.1-1)

y(1) = Cx(1) + Du(l). (4.1-2)

Sebelum menyajikan prosedur untuk menentukan solusi respon gaya x(t) ke(4.1-1) untuk input tertentu u(t) dan kondisi awal x(O),terlebih dahulu kita akanmenunjukkan bahwa efek yang disebabkan oleh kondisi awal dan akibat yangdisebabkan oleh input tersebut dapat dipelajari secara terpisah.

Jika u(t) == 0, solusi respon gaya menjadi (4.1-1) untuk kondisi awaltertentu x(O) = Xo diberikan oleh (3.3-13), di mana matriks transisi keadaandapat dihitung dengan menggunakan (3.3-19). Karena solusi semacam itumemenuhi (4.1-1) dengan input u(t) == 0, jelas ia tidak akan memenuhi (4.1-1)dengan u(t) =I;O.

Untuk input tertentu u(t), misal x(t) menjadi solusi pada (4.1-1) denganmemenuhi kondisi awal x(O) = Xo dan misal xF<t)menunjukkan respon bebasuntuk kondisi awal yang sarna xF<O)= Xo. Kita menentukan satu lagi respon

160

Respon Gaya 161

yang disebut respon input x~t) sebagai solusi terhadap (4.1-1), untuk u(t)tertentu, dengan ~O) = o.

Dari teori persamaan diferensial biasa, kita ketahui bahwa untuk kondisiawal tertentu dan input tertentu u(t), solusix(t)ke (4.1-1) adalah unik. Kitaakanmenunjukkan bahwa solusi ini dapat ditulissebagai jumlah dari dua term; satuyang dihubungkan dengan kondisi awal x(O)dan lainnyadihubungkan denganfungsi input u(t). Hal ini memungkinkan untuk mempelajari secara terpisahefek kondisi awal dan efek input.

Karena (4.1-1) merupakan sistem linear, hubungan antara respon gaya x(t),respon bebas xF<t),dan respon input XI(t)dditentukan oleh.....

X(I) = x~t) + x,(I). (4.1-3)

Untuk membuktikan hal ini, terlebih dahulu kita perhatikan bahwa x(t) me-menuhi kondisiawal

x(O) = XAO) + x,(O) = x~O) = Xo.

Selajutnya kita perhatikan bahwa, dari definisi respon bebas dan respon input,

x, = Ax, + BU(I).

(4.1-4)

(4.1-5)

Jadi, dari (4.1-3),

i = XF+ X,

= AXF+ Ax, + BU(I)

= Ax + BU(I).

Oleh karenanya, x(t)memenuhi baik persamaan diferensial(4.1-1) dan kondisiawal.

Dari studi awal kita mengenai respon bebas, jika sistem dinamik secaraasimtot stabil, maka t~, solusike (4.1-11)akan mendekati respon input ~t).

162 Pengantar Sistem Pengaturan

Jadi, jika kita berhubungan dengan sistem yang stabil secara asimtot danbenar-benar tertarik dengan solusi seperti t ~ 00, kita hanya memerlukanrespon input x~t).

Pemisahan yang dihasilkan oleh (4.1-3) tidak digunakan untuk menarikkeuntungan dalam teknik persamaan diferensial klasikal .standar. Ada konstandalam solusi homogen (3.3-4) tidak dapat ditentukan dari kondisi awalsampai solusi tertentu [dari setiap fungsi yang memenuhi (4.1-1), namuntidak selalu hams memenuhi setiap kondisi awal tertentu] juga telah ditemukan.Dengan pendekatan seperti itu, dengan menggunakan solusi "tertentu" ar-briter, setiap perubahan pada fungsi input u(t) memerlukan keseluruhan prosesuntuk diulang, untuk menentukan solusi tertentu yang baru dan konstan barudalam solusi homogen.

4.2 SOLUSIUMUMDARIPERSAMAANKEADAAN

Untuk memberikan metode seragam untuk menentukan secara analitik respondaya dari sistem dinamik linear, kita akan menggunakan metode matrik transisikeadaan yang telah dibahas sebelumnya dalam Bagian 3.3. Karena metode inimerupakan metode ruang keadaan, sistem 10 akan terlebih dahulu harusdikonversikan ke sistem ruang keadaan sebelum solusi ditentukan. Keuntunganutama dari metode matrik transisi keadaan ini adalah bahwa suatu solusi dapatdiformulasikan untuk semua kemungkinan input. la juga memberikan solusibahkan jika teknik numerik harus digunakan untuk mendapatkan eigenvaluesdan eigenvektor, atau untuk mengevaluasi term input integral.

Untuk mengembangkan solusi umum ke (4.1-1), terlebih dahulu kita men-diagonalkan sistem tersebut. namun demikian, hasil akhimya akan diaplikasi-kan ke sistem ruang keadaan linear umum, apakah diagonal atau tidak.

Sistem ini diuraikan dengan menggunakan matriks eigenvektor M dantransformasi koordinat

(4.2-1)

Jadi, dalam bentuk z, kita dapatkan

(4.2-2)

Respon Gaya 163

Misal ~= M1B = [bij]. Kemudiandalam bentuk matrikseigenvaluediagonal A= diag[Ab...'~x], kita dapat menulis (4.2-2) sebagai berikut

t = Az + Bu. (4.2-3)

Persamaan ini menyajikan sistem persamaan tingkat pertama Nx yang diurai-kan, yang dapat ditulis dalam bentuk komponen z dan u sebagai

N.

Zi = Aizi + L b/juj,j-I

; = I,..., Nx. (4.2-4)

Faktor Integrasi untuk Sistem decoupled

Kita mengintegrasikan (4.2-4) dengan memasukkan faktor integrasi exp[-}.,t].Dengan mengurangi }.,lj dari kedua sisi (ada persamaan (4.2-4) danmengkalikan dengan faktor integrasi menghasilkan

N.e-A/'". - A,e-A/'Z ' = e-A/1 ~ boou." " ~ U J'

j-I

di mana kita mendapatkan

d ~ A

- (e-A/1Zi)= e-A/' L b/jUj.dt j-I

Dengan mengintegrasikan (4.2-5) serta mengkalikan kedua sisi hasil tersebutdengan exp[}.,t],kita dapatkan

(4.2-5)

(4.2-6)

Persamaan (4.2-6) sekarang dapat ditulis lebih padat, dalam bentuk vektor danmatriks, sebagai

(4.2-7)


Solusi dalam bentuk variabel keadaan mula-mula x didapatkan dengankembali menggunakan transformasi pada persamaan (4.2-1), menghasilkan

(4.2-8)

Dengan mengkalikan kedua sisi dengan M dan dengan menggunakan persa-maan (3.3:'19), memberikan solusi

X(/) = 4»(/)X(O) + it 4»(1 - T)Bu( T) dT.I I I 0 I

(4.2-9)

Respon bebas Respon input

Matriks transisi keadaan <1>(t)memungkinkan kita mengekspresikan solusi terse-but dalam bentuk input arbriter u(t) dan memisahkan kondisi awal arbriter x(O).Perhatikan bahwa karena

(4.2.-10)

jika sistem tersebut secara asimtot stabil, respon sistem sebagai t ~ 00 hanyaakan melibatkan bentuk integral (respon input). Jika respon input tidak habisbersama waktu, maka t ~ 00,yang tetap disebut respon residual.

Beberapa FungsiGaya Tipikal

Sekarang kita berada pada suatu keadaan untuk memeriksa respon dari be-berapa sistem linear dasar yang menjadi sasaran berbagai input. Yang sangatmenarik untuk berbagai aplikasi pengaturan, adalah hubungan antara input u(t)dan output y(t) untuk sistem SISO. Hubungan yang tepat antara input danoutput yang diinginkan merupakan fungsi aplikasi sepenuhnya. Misalnya, kitamungkin ingin sistem tersebut menelusuri input perintah, atau kita mungkiningin sistem tersebut mengabaikan input gangguan tertentu. Pada umumnya,kita menginginkan sistem pengaturan untuk memenuhi kedua ciri ini.

Untuk mengatasi semua kemungkinan persyaratan desain dihubungkandengan berbagai input tak terbatas, telah ada praktek standar untuk memeriksadua sasaran khusus dengan menggunakan dua fungsi input tertentu.

Respon Gaya 165

Sasaran yang pertama, tracking (penelusuran), dihubungkan dengan bagai-mana output menelusuri input. Fungsi input yang digunqkan dalam kasus iniadalah fungsi langkah (step function) (atau integral waktu yang me-mungkinkan dari fungsi langkah). Suatu fungsi langkah merupakan fungsi ujiyang baik untuk menyelidiki penelusuran, karena ia dapat digunakan untukmenyajikan kasus terburuk (worst case) jenis input, seperti input yang dibatasipada salah satu batasnya.

Sasaran kedua adalah kapasitas penyaringan mitering) sistem denganmempertimbangkan input periodik, seperti kebisingan frekuensi tinggi. Fungsiinput yang digunakan dalam kasus iniadalah sine wave (gelombang sinus).Ini menyajikan input uji yang baik, karena setiap fungsiperiodik dapat disusunsebagai jumlah gelombang sinus melalui penggunaan deret Fourier.

Pertimbangan sistem penting lainnya adalah dihubungkan dengan respondari sistem tersebut terhadap input tak tentu. Karena jenis input ini mungkinbervariasi dari input konstan (bias) ke input frekuensi tinggi (bising), ia tidaksecara lengkap disajikan oleh fungsi langkah maupun gelombang sinus.Sasaran dalam hal ini adalah menentukan deviasi maksimum output darikeseimbangan di bawah input tidak tentu yang besar maksimumnya diketahui.Fungsi input yang digunakan dalam kasus ini adalah fungsi konstanpiecewise, yang berhubungan dengan input tak tentu, misalnya, bertukarsecara berulang antara batas atas dan bawah.

Dalam perkembangan selanjutnya kita asumsikan bahwa sistem yang men-jadi perhatian kita adalah secara asimtot stabil. Tentu soja, tidak setiap sistemyang menjadi perhatian kita perlu menjadi stabil. Namun, kesulitan ini akanberkaitan dengan bab selanjutnya, sehingga asumsi stabilitas di sini tidakterbatas. Jika sistem tersebut secara asimtot stabil, maka setiap efek kondisiawal akan teredam keluar dengan waktu. Karena perhatian kita kita harusberfokus pada efek input, kita letakkan semua kondisi awal sarna dengan noldan hanya mempertimbangkan respon sistem terhadap input.

4.3 RESPONLANCiKAH

Di bawah input konstan u(t) == 11, suatu sistem yang secara asimtot stabil akanmendekati titik keseimbangan gaya~forced equilibrium point) sebagai t ~00. Pada ruang keadaan solusi keseimbangan untuk sistem dinamik linear pada


persamaan (4.1-1) di bawah input konstan u adalah dalam bentuk x(t) == X, dimana.

Ai + Bii = o. (4.3-1)

Suatu solusikeseimbangan ada jika

rank[A] = rank[A,- Bii]. (4.3-2)

Kondisiini dinyatakan oleh kondisiyang kuat bahwa Al ada ( IA I * 0, tingkat(A) = Nx, semua eigenvaluesA adalah bukan not. ) Jika Al ada, maka solusikeseimbangan x- -A-IOUadalah unik. Jika kondisi ini tidak dipenuhi makasolusi keseimbangan mungkinada atau tidak.

Setiap kali solusi keseimbangan ada, kita selalu dapat bergerak sehinggasolusi ke titik asal dengan translasi koordinat sederhana. Secara khusus, ang-gap zadalah keseimbangan dari sistem yang menjadi perhatian kita

t = Az + Bii.

Karena

Az+ Bii = 0,

kita dapat menerjemahkan titikasal sistem koordinat dengan menentukan

x = z - z.Kemudian

x = Az+ Bii

dan karena

z = x + z,

kita dapatkan

Respon Gaya 167

i = Ax (4.3-3).

dengan keseimbangan yang menjadi perhatian kita sekarang berada pada x- o.

Perhatikan bahwa ciri stabilitasdari titik keseimbangan gaya, seperti diten-tukan oleh eigenvaluesmatriksA, akan menjadi sarna dengan titikkeseimban-gan bebas yang sesuai dengan u = o. Jikakitamengasumsikansistemtersebutsecara asimtot stabil, semua eigenvalues dari matriks A akan mempunyaibagian nyata negatif. Secara khusus, A tidak mempunyai eigenvaluenol. Jadi,A-I ada dan keseimbangan respon bebas atau gaya adalah unik.

Pada diskusi selanjutnya, kita akan menyelidikirespon sistem SISO yangsecara asimtotstabilterhadap input langkahskalaru(t) == u= konstan. Kitaakan tertarik pada dua ciri respon. Ciri pertama dihubungkan dengan perbe-daan antara input dan output gaya tetap yang baru. Ciri kekeliruan tetap(steady error) ini penting dalam aplikasi di mana sasarannya adalah untukmendapatkan output yang menelusuri input. Ciri respon yang kedua di-hubungkan dengan cara di mana output mendekati output gaya tetap denganwaktu. Ciri kinerja kinerja transient ini berperan ketika skala waktu aplikasisedemikian rupa sehingga kinerja penelusuran awal menjadi penting, sebagai-mana ketepatan penelusuran tertinggi. Seperti halnya dengan respon bebas,kita akan memeriksa sistem tingkat pertama dan kedua umum secara mende-tail, karena mereka adalah pembentuk blok untuk sistem tingkat lebih tinggi.

Sistem Tingkat Pertama

Perhatikan sistem 10 tingkat pertama umum dari bentuk

Y + PoY = qoU + q.u (4.3-4)

di mana Po :I;0 dan qo :I; O. Suatu formulasi ruang keadaan (satu dimensi)ekuivalen (lihat Latihan 2.5-14) ditentukan oleh


sebagairnana dapat dibuktikan secara langsung dengan rnernbedakan output.Dalarn hal ini, kita rnernpunyaieigenvaluetunggal, A.= -Po,dan "eigenvektor"skalar ~ = 1. Jadi, rnatriks eigenvektor adalah skalar, M = 1, dan solusinya,denganx(O)= 0 dan u(t)== u= konstan,didapatkandari(4.2-9)sebagai

(4.3-5)

Dari persarnaan output tersebut kita dapatkan

(4.3-6)

Bila t ~ 00, solusiy(t).secaraasirntot rnendekati.respon residual gaya tetap(forcedsteady residual response)

y(/) _ Y.. = Ii qo.Po

(4.3-7)

Solusi output tetap ini dapat juga didapatkan secara langsung dari (4.3-4)derigan rnenetapkan input ke u = udan y = u= O.

Sebuah plot (4.3-6) dengan ql = 0 ditunjukkan pada Garnbar 4.3-1.Pernbaca harus rnernbandingkanhasil ini dengan Garnbar 3.2-1 untuk r~onbebas dari sisternyang sarna. Ciri kestabilanyang dihubungkandengan responbebas dan respon langkah dari setiap sistern linear adalah sarna, kecualiuntuktranslasi koordinat dan perubahan yang sesuai dengan kondisiawal.

Kekeliruan Output Keadaan Tetap

Output gaya tetap (forced steady output) pada contoh tingkat pertarna kitatidak Qkan sarna dengan input kecuali kalau tarnbahan keadaan tetap qo/Posarna dengan 1. Perbedaan antara output gaya tetap y",dan input langkah udisebut kekeliruan output keadaan tetap (steadystate output error) e",

,,-~.. = u - Y... (4.3-8)

Respon Gaya 169

YIIY.I

-------------------- ---------

o3 4 tIT

-1---------------------- ------

Gambar 4.3-1 Respon sistem 10 tingkat pertama stabil ke input langkah (dengan qi=0).

Sebagai pecahan dari input langkah, kita dapatkan

ex = Ii - Yx.Ii Ii

Untuk sistem tingkat pertama, pecahan kekeliruan output keadaan tetap diten-tukan oleh

Dua parameter Po dan qo dihubungkan dengan sistem dinamik yang harusdikontrol dan biasanya tidak bebas untuk dipilih oleh desainer sistem penga-turan. Jika memungkinkan untuk memilih Po atau qo selama desain sistemtersebut, maka memungkinkan pula untuk memperoleh tambahan sistem'Yet)-,JU = 1 dan kekeliruan output keadaan tetap nol dengan memilih Po = qo.


Namun demikian, hal ini tidak selalu merupakan cara yang diinginkan untukmendapatkan hasil semacam itu. Pertama, ini akan menentukan waktu kembaliT = 1/po pada suatu nilai yang.mungkin tidak diinginkan. Kedua, prosedursemacam itu tidak akan menampung pengetahuan yang tidak akurat dari Podan qo, atau mungkin perubahan pada POatau qo dikarenakan pemakaian danseterusnya. Pada bab berikutnya,dengan menggunakan metode feedback, kitaakan mempelajari bagaimana mencapai persyaratan waktu kembali tertentudan kekeliruan output tetap nol.

Sistem Tingkat Kedua

Perhatikan sistem 10 tingkat kedua dengan ql = q2 = 0, dari bentuk

tunduk pada input langkah u(t) == u= konstan, dengan y(O)= y(O)= 0 dandengan con> O. Untuk Xl = Y dan X2 = y, persamaan keadaannya adalah:

(4.3-9)

Dalam term eigenvaluesdan eigenvektor,

~I = [1J

~2 =[1J,

(4.3-10)

matriks transisi keadaan <1>(t)seperti yang ditentukan dari (4.2-10) dapat ditulis

(4.3-11)

atau sebagai altematif,

cJ»(t)=[

"2"."2

Respon Gaya 171

Kemudian untuk u(t} == udan x(O)= 0, solusiuntuk (4.3-9) adalah

(4.3-12)

yang menghasilkan

(4.3-13)

Solusi yang diberikan oleh (4.3-13) adalah valid untuk setiap l;, dengan OOn> 0,apakah eigenvalues real atau kompleks, dan bahkan untuk kasus eigenvaluesberulang, di mana aturan L'Hopital harus digunakan untuk mengevaluasi solusidengan limit A} ~ 1..2.Selanjutnya, kita asumsikan bahwa situasi urnurn dariOOn> 0 dan l; ~ 0, maupun lanjutannya dengan asumsi bahwa q} = q2 = O.Perhptikan bahwa jika asumsi yang belakangan ini tidak dipenuhi, maka bentukdari hasil ini bisa berbeda secara signifikan/nyata.

Pengelompokan Respon

Untuk OOn> 0 dan l; > 0, kita perhatikan bahwa sistem tersebut secara asimtotstabil, karena Re(AJ= -l;oon< o. Jadi, t ~ 00,

(4.3-14)

dan kekeliruanoutput tetap,sebagai pecahan input, ditentukan oleh

e,. Ii - y,. _-=--Ii. Ii (4.3-15)

Oleh karenanya, meskipun sistem terseQut secara asimtot stabil, outputnyatidak akan sarna dengan inputnya kecuali kalau qo = oo~.

u. _. ___ _______ ----------.-


Cara di mana respon langkah mendekati nilai output tetapnya bergantungpada sifat eigenvaluesnya.Kitaperhatikan bahwa untuk ~> 1, eigenvaluesnyaadalah nyata, berbeda, dan negatif, dan solusinyaseperti yang diberikansecaralangsung oleh persamaan (4.3-13), dikatakanteredam berlebihan (overdam-ped). Untuk ~ = 1, akamya adalah sarna dengan -ron dan solusinyadikatakansebagai teredam secara kritis (criticallydamped), berkurang menjadi

(4.3-16)

Untuk 0 ~ ~ ~ 1, eigenvaluesnyaadalahpasangankonjugasikompleksdansolusi yang sesuai, dikatakan sebagai kurang teredam (underdamped),berkurang menjadi

yang dapat dituIissebagai berikut

q[

e-C"'''t

]y(t) = u-% .1 - y' 2sin(wdt + a) ,wIt 1 - ((4.3-17)

di mana Irekuensi teredam dari osilasi rodadalah,

(4.3-18)

dan sudut lase a ditentukan oleh

Cosa = (,1ToS a < -.2

(4.3-19)

Pengukuran Kinerja

Untuk sistem "underdamped", waktu kembali, yang telah dibahas sebelum-nya dalam hubungannya dengan respon bebas, ditentukan oleh

Respon Gaya 173

I I

T = IRe(A)1 = 'w".(4.3-20)

Gambar 4.3-2 menunjukkan plot dari y(tYy dengan ffint sebagaimana

diperoleh dari (4.3-13) atau (4.3-17) untuk berbagai nilai rasio peredaman s.Perhatikan bahwa untuk peredam dalam jumlah yang besar, S ~ 1, gerakoutput tidak bergelombang. Untuk peredaman dalan jumlah yang kedl S < 1,dibutuhkan waktu lebih lama bagi sistem osilasitersebut menurun ke keadaantetap. Untuk berbagai aplikasi pengaturan, nilai dari S antara 0.5 ~ S ~ 1digunakan.

Selain waktu kembalidan kekeliruanoutput tetap, beberapa kriteria kinerjalainnya, sebagaimana digambarkan pada Gambar 4.3-3 seringkalidigunakanuntuk penentuan desain sistem pengaturan.

Gambar 4.3-2 Respon sistem 10 tingkat kedua terhadap input langkah (dengan q1 = q2 = 0).

2.0

1.8r

" 0.1

j

1.6

1.4

1.2

1: 1>-

0.8

0.6

0.4


Kekeliruan kuadrat integral (intergralsquare error) e1 ditentukanseba-gai kuadrat integral dari perbedaan antara kekeliruan dan kekeliruan keadaantetap. Ingat kembali bahwa kekeliruan di bawah input langkah ditentukan oleh

e(t) = ii - y(t)

dengan kekeliruan output keadaan tetap yang ditentukan oleh

e.. = ii - y...

Jadi, kekeliruan kuadrat integraljuga dit~ntukanoleh

e, = L" [y..- y(t>J2dt.

Persamaan tersebut memberikan ukuran yang secara keseluruhan baik menge-nai bagaimana sistem tersebut menelusuri input yang berkenaan dengan keada-an tetap yang diharapkan. Dengan menggunakan (4.3-17) dan denganmengevaluasi kekeliruan integral, kita temukan bahwa kekeliruan kuadrat inte-gral untuk sistem tingkat kedua (4.3-9) ditentukan oleh

iiqo(

I

)e,= - (+ - .w~ 4(

Jadi kekeliruan kuadrat minimum untuk kasus ini diperoleh jika l;;= 1/2.Waktu mooeu) (rise time) tr ditentukan sebagai waktu pertama melalui

respon langkah nilai tetap tertingginya; y{tr} = Yet).Waktu pertama kali bentuksinus pada persamaan (4.3-17) menjadi nol ditentukan oleh

Sehingga,

1T-a

t, = w ~."(4.3-21)

Respon Gaya 175

y

,, , , , , , , , ,

Overshoot2E

n----.iI

!

I, '" "

Gambar 4.3-3 Beberapa kriteria kinerja untuk sistem 10 tingkat kedua.

di mana a ditentukan oleh (4.3-19). Waktu munculnya meningkat ketika <Onmenurun atau S meningkat. Ini tidak terbatas untuk S ~ 1, karena respon padakasus tersebut tidak akan pemah mencapai nilai tetap tertinggi y",.

Waktu penetapan (setting time) ts adalah waktu yang dibutuhkan bagirespon langkah untuk menjadi tetap dalam lingkungan kedl dari nilai tetappuncaknya, yaitu, waktu setelah I 1 - y(t)/yoo I < E. Lingkungan ini selaludiambil di dalam 2 atau 5 % dari nilai keadaan tetap akhir (E = 0.02 atau 0.05).Untuk sistem "underdamped" dengan 0 < S < 1, karena term sinus pada(4.3-17) berkisar antara + 1 dan -1, peletakan koefisiennya sarna dengan Emenghasilkan,

In(EvT"=7>t = -.f O<{<I. (4.3-22)

Waktu penetapan menurundengan meningkatnya <On>0 atau E > O. Untuk Sked!, waktu penetapan besar (seperti pada waktu kembali), karena respon


osilasi berkurang secara perlahan. Di pihak lain, untuk l; yang mendekatidengan 1 atau lebihbesar daripada 1, waktu penetapannya menjadi besar lagi,karena respon tersebut mendekati nilai tetap tertingginya secara perlahan.Untuk nilaiyang ada Edan COn'dengan 0 < E< 1 dan (On>0, terdapat nilai l;dalam rentang 0 < l; < 1 yang akan menghasilkanwaktupenetapan minimum.Untuk kriteria penetapan 2% (E= 0.02), waktu penetapan minimum adalahconts~ 5.266, pada rasio peredaman l; ~ 0.9096.

Waktu puncak (peak time), sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar4.3-3, adalah waktu di mana respon langkah mencapai kelebihan maksimum.Ini pertama kali lebihbesar daripada nol di mana y(t)= 0 dan diberikandengan

(4.3-23)

Kelebihan (overshoot)maksimum, sebagai pecahan nilai output tetap, diberi-kan dengan:

( - (TT

)OS = Ymax- y.. = exp ~ .J..(4.3-24)

Untuk memberikan pembahasan kualitatif dari pengukuran kinerja untuksistem tingkat kedua, dalam bentuk l; dan COn,pertama kali kita catat bahwakesalahan output tetap tidak bergantung pada l;, dan kelebihan pecahan tidal{~.tergantung kepada COn.Dari semua pengukuran kinerja, hanya kekeliruanoutput tetap dan kekeliruan kuadrat integral yang bergantung pada parameterinput udan qo; sedangkan yang lainnya hanya bergantung pada l; dan COn.Secara khusus, kedua parameter ini keseluruhannya menentukan waktu kem-bali, waktu muncul, waktu penetapan (untuk E tertentu), waktu puncak, dankelebihan.

Waktu kembali, kekeliruan kuadrat integral, waktu muncul, waktu penetap-an, dan waktu puncak semuanya menurun dengan meningkatnya con' Waktumuncul dan waktu puncak meningkat dengan meningkatnya l;, sedangkanwaktu kembali, kelebihan, dan waktu penetapan (sampai nilai minimum) menu-run dengan meningkatnya l;. Secara umum, kita mungkin menyukai semuapengukuran kinerja ini sekecil mungkin. Namun demikian, sebagaimana kitapelajari, ada trade-off langsung dari waktu muncul c;lanwaktu puncak, versus

Respon Gaya 177

kelebihan dan waktu penetapan. Misalnya, perhatikan pertukaran antara waktumuncul dan waktu penetapan. Untuk kebanyakan aplikasi pengaturan otoma-tis, 0.5 ~ c:; ~ 1 merupakan rentang yang layakuntuk rasio peredaman. Dekattitik akhir menurun, kita dapatkan dekat dengan kekeliruan kuadrat integralminimum dan waktu naik lebih cepat. Namun demikian, kita juga mendapatkanosilasi dan kelebihan serta waktu penetapan lebih lama. Untuk rasio pere-daman menuju titik akhir tinggi, kita dapatkan waktu penetapan yang lebihcepat. Untuk 2% kriteria penetapan (E= 0.02), nilai dari c:;= 0.9 menghasilkanwaktu penetapan yang secara esensial minimum. Namun, pada rasio pere-daman yang lebih tinggi~kita juga mendapatkan waktu muncul lebih lambat,namun dengan osilasi dan kelebihan sedikit. Sebagai hasilnya, meskipun sistemtersebut ditempatkan lebih cepat daripada nilai output tetap tertingginya, padaawalnya respon membutuhkan waktu yang lebih sedikit pada rata-rata dekatkeadaan puncaknya. Kesepakatan yang baik mungkin merupakan rasio pere-daman kira-kira 0.7 (satu pembuat pesawat terbang komersial mempunyaikegemaran dengan angka 1/--12= 0.707). Di lain pihak, aplikasi ada di manasetiap kelebihan harus dihindari (sehingga sebuah pengatur peluncur mobilpada batas kecepatan yang ditetapkan). Pada kasus semacam itu, rasio pere-dam c:;= 1 akan menghasilkan waktu penetapan yang sekedl mungkin tanpakelebihan, dan rasio peredaman c:;= 0.09 akan berlaku lebih baikjika kelebihankedl dapat ditoleransi.

1t.1t INPUTTAKTENTU

Untuk kebanyakan aplikasi, selalu ada beberapa input tak tentu yang memasukisistem tersebut. Pada umumnya, input ini akan menggerakkan sistem tersebutjauh dari kondisi operasi yang diinginkan. Pada bab selanjutnya kita akanmendesain pengatur untuk operasi dengan input tak tentu. Secara khusus,sasaran kita adalah mempertahankan beberapa lingkungan kecil dari kondisipengoperasian yang diinginkan dari input "pengganggu" tak tentu.

Untuk sekarang, kita akan berhubungan dengan pemahaman peran be-berapa parameter desain dalam sistem penyangga (buffering) dari input taktentu. Kita akan mengambil sebagai input tak tentu suatu fungsi konstanpiecewise yang terbatas vet)yang mempunyai nilai konstan melebihi setiapinterval waktu dari panjang 0, namun dengan nilai vet) dipilih secara random


pada awal dari masing-masing interval waktu, yang diarahkan ke batas seperti-1 ~ v(t) ~ 1.

Perhatikan output dari sistem tingkat pertama

Y + PoY = qou, (4.4-1)

yang diarahkan ke input tak tentu yang dideskripsikan di atas. Di akhir intervalwaktu pertama, t = 8 dan outputnya adalah

y(c5) = e-Poa y(O) + qo (I - e-Poa) u(O),Po

(4.4-2)

di mana v(O)adalah nilai input yang digunakan melebihi periode waktu per-tama. Jika kita misalkan

t/I(c5)= qo (I - e -Poa),Po

(4.4-3)

maka output pada akhir dari setiap 8 unit waktu dapat dengan mudah din'yata-kan dengan menggunakan output sebelumnya sebagai "kondisi awal". Jadi,untuk y(O) = 0,

y( c5) = t/I(c5)u(O)

y(2c5) = t/I(c5)u(O)e-Poa + t/I(c5)u(c5)

y(3c5) = t/I(c5)u(O)e - 2poa + t/I(c5)u(c5)e -p06 + t/I(c5)u(2c5)

y[(n +. 1)c5] = e -P06y(nc5) + t/I(c5)u(nc5).

Pada akhir setiap rangkaian interval waktu, nilai terbesar (atau terkecil) dariy akan terjadi ketika v berada pada nilai maksimum (atau minimum) di sepaQ-jang rangkaian. Dengan kata lain, untuk sistem tingkat pertama, suatu input taktentu konstan akan menyebabkan deviasi terbesar pada output. Kita telahmemeriksa sistem tingkat pertama ini yang diarahkan ke input konstan padabagian 4.3. Kita perhatikan bahwa jika sistem terse but (4.4-1) adalah stabilsecara asimtot (Po> 0), maka pendekatan outputnya adalah

Respon Gaya 179

Y..= qov,Po

di mana v adalah input tak tentu konstan.Jadi, kita lihat bahwa untuk input tak tentu terbatas Iv(t) :s;V, output dari

sistem tingkat pertama yang stabil secara asimtot (4.4-1) juga terbatas, denganbatasan yang diberikan oleh Iy(t) :s;Yoo.Untuk nilai besar dari Po, batasan iniakan menjadi kecil, dan untuk nilai kedl dari Po, batasan iniakan menjadibesar. Ingat bahwa sistem ini mempunyai eigenvalue yang ditentukan oleh A.=-Po dan waktu kembali ditentukan oleh T = l/po. Jadi, batas terhadap y(t)dapat juga diperiksa dalam bentuk parameter ini. Sistem ini akan dijadikanpenyangga yang baik dari input tak tentu jika waktu kembalinya kedl, atausecara ekuivalen, jika eigenvalue sangat negatif.

Himpunan v-Terjangkau(v-Reachable Sel)

Akibat dari ketidakpastian dapat diuji dalam penetapan yang lebih umumdaripada situasi satu dimensi yang dibahas di atas. Secara khusus, marilah kitamenguji model sistem linear yang ditentukan oleh

x = Ax + Bu + Rv,

di mana input tak tentu v dibatasi. Sebagaimana pada Latihan 3.6-1, misalkaninput pengaturan telah ditentukan dalam bentuk feedback keadaan dari bentuk

u = - Kx,

sehingga sistem pengaturannya adalah dalam bentuk

x = Ax + Rv, (4.4-4)

di mana

A = A - BK.


Konstan pada matriks K telah dipilih sehingga (4.4-4) dengan v = 0 akan stabildengan beberapa eigenvalue tertentu untuk matriks A. Sekarang pertim-bangkan efek dari v pada (4.4-4) dalam bentuk gerak dari sistem dalam ruangkeadaan. Kecepatan sistem xditentukan dengan kedua komponen sistem Axdan input tak tentu Rv. Pada lingkungan yang kedl di titik asal (x ~ 0),kecepatan sistem hampir secara total ditentukan oleh input tak tentu. Jarakbesar dari titik asal (I Ix I Ix» 0), maka kecepatan sistem akan lebih banyakdipengaruhi oleh komponen sistem stabilitas, karena besamya bentuk Rvdibatasi oleh batas pada v . Yang kemudian diikuti keharusan adanya wilayahterbatas di sekitar keadaan awal di mana memungkinkan bagi input tak tentuuntuk mengendalikan keadaan sistem tersebut. Ki,tasebut wilayah ini himpun-an v-terjangkau. Jelasnya, untuk setiap pilihan desain pengatur untuk K, kitaakan mendapatkan himpunan v-terjangkau menjadi sekedl mungkin. Untukkebanyakan sistem, adalah memungkinkan untuk menemukan himpunan v-ter-jangkau. Himpunan ini kemudian dapat digunakan sebagai gambaran kualitatitdari efek dari ketidakpastian pada sistem tersebut.

Dapat ditunjukkan (Gayek and Vincent, 1985) bahwa jika semua eigenvaluedari matriks A mempunyai bagian nyata negatit dan ada input v(t) untuk sistemtersebut (4.4-4) yang akan membangkitkan lintasan lainnya pada batasanhimpunan v-terjangkau untuk sepanjang waktu t> 0, maka hukum pengaturanyang sarna akan mengendalikan sistem tersebut ke batas himpunan v-ter-jangkau dari setiap titik di dalam rangkaian v yang dapat dicapai. Selanjutnya,keberadaan hukum pengaturan semacam itu dijamin untuk sistem yang dapatdikontrol, dua dimensi, dan input tunggal dari bentuk (4.4-4) di mana batasaninputadalahdaribentuk- 00, vmi~ < 0 < vrnax < 00 (Gayekdan Vincent, 1988).Padasituasilebihlanjut,inputvet)dengan mudah ditentukan dengan mengapli-kasikan prinsip maksim~m kontrolabilitas (Grantham and Vincent.1975). Secara khusus, sistem"dua-climensional input tunggal dari bentuk (4.4-4) dapat ditulis sebagai: "

-t". = al\x1 + 1l.2X2 + 'IV

x2 = a2lx. + llnX2 + '2V.(4.4-5)

Dengan batasan pada v ditentukan oleh Iv I :::;v. Dengan menggunakanprinsip kontrolabilitas maksimum, kemudian kita dapat menunjukkan bahwa

Respon Gaya 181

asalkan (4.4-5) memenuhi kondisi yang ditunjukkan di atas, maka hukumpengaturan untuk v yang akan mengendalikansistem tersebut sepanjang batashimpunan v-terjangkauditentukan

(4.4-6)

di mana v =vatau v = -v jika argumen dari fungsisgn adalah nol.

CONTOR 4.4-1 Hlmpunan v- Ter)angkau untuk 51stem dengan EigenvaluesKompleks

Perhatikan sistem dua dimensi (4.4-5) dengan 011= 0, 012 = 1,021 = -1, 022=-1, r1 = 0, r2 = 1, dan v= 1. Ini adalah sistem yang dapat dikontrol denganeigenvalueskompleksketikav = 0. Sistemduadimensistabildenganeigenval-ues kompleks akan dikendalikan dari setiap titik di dalam himpunan v-ter-jangkau ke batas himpunan v-terjangkau di bawah hukum pengaturan lingkartertutup (4.4-6). Dalam hal ini, (4.4-6) dapat diturunkan ke

if X2 ~ 0if X2 = o. (4.4-7)

Gambar 4.4-1 menggambarkan lintasan yang diperoleh untuk sistem ini dimu-lai pada titik asal dan mengintegrasikan persamaan sistem tersebut dengan vyang tunduk pada pengaturan (4.4-6). Lintasan spiral dari titik asal dan secaraasimtot mendekati batasan dari himpunan v-terjangkau.

CONTOR 4.4-2 Hlmpunan v-Terjangkau untuk 51stem dengan

Eigenvalues Myata

Ketika eigenvalues untuk sistem stabil dua dimensi adalah nyata, solusi keseim-bangan yang sesuai untuk v(t) = vatau v(t) = -v akan se[alu terletak pada batasdari himpunan v-terjangkau. Penggunaan informasi ini memungkinkan untuk


-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0xI

Gambar 4.4-1 Rangkaian u yang dapat dicapai utnuk suatu sistem dengan eigenvalues kompleks.

penentuan yang mudah daTihimpunan v-terjangkau. Gambar 4.4-2 menggam-barkan lintasan pada batas himpunan v-terjangkau untuk sistem tersebut (4.4-5) dengan Q11 = 0, Q12 = 1, Q21 = -2, Q22 = -3, r1 = 2, r2 = -3, dan v= 1.Oalam hal ini, eigenvalues untuk matriks A adalah nyata. Suatu lintasanyang dibangkitkan dengan menggunakan v(t) = 1 akan menggerakkansecara langsung dart titik asal dan secara asimtot mendekati titik keseim-bangan sebelah kanan pada batas himpunan v-terjangkau. Sebagai altematif,seseorang dapat secara sederhana memulai dari sini. Untuk kemudian mende-finisikan batas himpunan v-terjangkau, pengaturan tersebut harus diubah dari v= + 1 menjadi v = -1 pada titik ini. Lintasan yang dihasilkan akan menelusuri

batas terbawah ke titik sisi sebelah kiri .?,ang juga merupakan titik keseim-bangan (dengan v = -1). Pad a titik ini, pet1S1.~turanharus diubah menjadi v =+ 1 untuk menghasilkan batas teratas dari rangkaian v yang dapat dicapai.

Pendekatan lainnya untuk menguji input tak tentu menggunakan persamaandiferensial "stochastic", di mana inputnya diperlakukan sebagai variabel ran-

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

N 0..

-0.4

-0.8

-1.2

-1.6

-2.0

Respon Gaya 183

v-reachable set

-3 -2 -1 2

-2

<%.-2)

-3

Gambar 4.4-2 Rangkaianyang dapat dicapai untuk sistemdengan eigenvaluesnyata.

dom yang bervariasi menurut waktu, biasanya diasumsikan mempunyai nilairata-rata nor dan distribusi probabilitas Gaussian. Suara gaduh merupakansalah satu contoh dari input random semacam itu, namun kita akan memperki-rakan suara ini dengan input sinusoidal frekuensi tinggi Gikakita ingin meng-asumsikan nilai rata-rata no!) atau, secara lebih umum, sebagai input tak tentuterbatas, dengan batas yang sesuai, misalnya, dua atau tiga deviasi standar darirata-rata. Kita tidak akan mengikuti pendekatan stochastic pada pengujianpendahuluan ini, namun ini merupakan bidang penting dari teori pengaturanmodem, dan beberapa teks mengenai pokok bahasan ini tersedia lengkap.

.12

3

I

<-%.2)"2


Tanpa mempertimbangkan apakah input tak tentu diperlakukan secarastochastic atau dengan analisis himpunan terjangkau, salah satu akibat daTiinput tak tentu adalah bahwa desainer sistem pengaturan tersebut biasanyatidak yakin bahwa keadaan itu akan konvergen secara asimtot ke titik keseim-bangan, meskipun jika matTiksA stabil secara asimtot. Biasanya, yang terbaikyang dapat dilakukan seseorang adalah meyakinkan bahwa keadaan tersebutdikendalikan dan dijaga di dalam himpunan v-terjangkau, di mana keadaantersebut mungkin menyimpang di sekitamya secara sembarang. Ada sejumlahhasil yang tersedia (Leitmann, 1981; Corless and Leitmann, 1981; Barmishand Leitmann, 1982) untuk mendesain pengaturan (nonlinear) untukmelakukan sasaran keterbatasan puncak dan untuk membuat himpunanv-terjangkaukecil.

4.5 LATIHAM

4.5-1 Untuk sistem yang ditentukan oleh (4.1-1) dengan matTiksA yangdiberikan pada Latihan 3.6-4 dan B = [0 l]T, tentukan responkeadaan x(t) jika u(t) == 1 dan x(O)= [0of

4.5-2 Jika y = X2, tentukan respon output y(t) untuk masing-masingsistempada Latihan 4.5~l.

4.5-3 Tentukan respon output y(t) untuk masing-masingsistem pada Latih-an 4.5-2 jika x(O) = [1of

4.5-4 Sebuah servomotor mempunyai respon berkaitan dengan suatu unitinput langkah sebagaimana terlihat pada Gambar 4.5-1. Tentukansistem tingkat kedua linearyang akan menjadimodel yang tepat untuksistem ini.

4.5-5 Dengan y(O) = y(Q) = 0 dan y(t) == 5 untuk sistem

y + 2(w,J +.w~ = u(t),

tentukan nilai untuk t; dan O)n untuk 25% kelebihan dan waktupenetapan 4 detik, didasarkan pada 2 % batas penetapan (settlingband) (yaitu, E = 0.92). Tentukan waktu puncak dan waktu munculyang sesuai. Berdasarkan pada hasil-hasH ini, buatlah sketsa akuratdaTi respon y(t).

Respon Gaya 185

.y(t)

0.005 see

Gambar 4.5-1 Respon waktu untuk sistemdari Latihan4.5-4.

4.5-6 Untuk sistem tingkat kedua sebagaimana pada Latihan 4.5-5, secaranumerik, tentukan waktu penetapan nondimensional minimum oontsdan rasio peredaman yang sesuai l;, untuk 5% batas penetapan (E=0.05). Gunakan algoritma pencarian akar numerik, bukan plot grafik,untuk mencari l;menjadi empat digit signifikan.

4.5-7 Untuk sistem pada Latihan 4.5-5 plotkan (pada satu grafik)kuantitasnondimensional berikut ini untuk 0<l;<1 ; waktu kembaliOOnT, waktumunculoont"waktupuncak oontp,kelebihanas, dan waktu penetapanoonts (untuk E = 0.02).

4.5-8 Tentukan eigenvaluesuntuk Contoh 4.4-1 dan 4.4-2. Dengan meng-gunakan Gambar 4.4-1 tunjukkan bahwa titik keseimbangan yangsesuai dengan input konstan v= +1 pada Contoh 4.4-1 terletak didalam himpunan v-terjangkau.Dengan menggunakan Gambar 4.4-2,perlihatkan bahwa titik keseimbangan yang sesuai dengan input kon-stan v= +1 dalam contoh 4.4-2 terletak pada perbatasan himpunanv-terjangkau.

4.5-9 Carilah himpunan v-terjangkauuntuk sistem (4.4-5) dengan 011 = 0,012 = 1,021 = -1.75, 022 = -2, r1 = 0, r2 = 1, dan v= 1. Sistem ini


lebih kuat dengan memperhatikan input tak tentu daripada Contoh4.4-1, karena ia mempunyai himpunan v-terjangkauyang lebih keeil.Dapatkan anda menjelaskanmengapa?

bab 4. respon gaya -...

Documents