sistem persamaan homogen penulisan dalam bentuk matriks ruang vektor metoda gauss-jordan

Sistem Persamaan HomogenPenulisan Dalam Bentuk Matriks

Ruang VektorMetoda Gauss-Jordan

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0

. . . . . . . . . . .

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

0|

|

0|

0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A


Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

0|000

|

0|0

0|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aa

aaa

A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan

berbentuk

0

0

0

2222

1212111

nmn

nn

nn

xa

xaxa

xaxaxa

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0nx

nr

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial


0234

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

0|2341

0|2531

0|0241

0|0011

0|16000

0|61100

0|0230

0|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

016

0611

023

0

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr

Contoh:

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial


06134

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:

0|61341

0|2531

0|0241

0|0011

0|0000

0|61100

0|0230

0|0011

eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

00

0611

023

0

DC

CB

BA

xx

xx

xx

1Dx

33

12 ;

33

12 ;

11

6 ABC xxx

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.


Solusi ini membentuk vektor solusi

1

11/6

33/12

3312

1

/

x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

0

0

0

0

1

6/11

12/33

12/33

0000

61100

0230

0011

1Ax


Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33Dx

12 33

33

18

12

12

xx

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc

dengan c adalah skalar sembarang


Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33

18

12

12

1

11/6

33/12

33/12

xxxxxx

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

cj xx


Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya

unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak

diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh

melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.

Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .


Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

04107

0254

0254

0

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxx

xxxx

xxxx

xxContoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

0|41071

0|2541

0|2541

0|0011

0|0000

0|0000

0|2530

0|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

00

00

0253

0

DCB

BA

xxx

xx


0dan 1 DC xx

5/3 ; 3/5 AB xx

Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

0

1

3/5

3/5

1x adalah salah satu vektor solusi

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b

0

0

0

0

0

0

0550

3/53/5

0

1

3/5

3/5

0000

0000

2530

0011

1Ax


Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0xA 11k 0xA 12k

,

dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk

Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka

)( , , 12111211 xxxx kkkk

adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai . 0dan 1 DC xx


1dan 0 DC xx 3/2Bx

3/2Ax

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

1

0

3/2

3/2

2x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

)( , , 22212221 xxxx llll

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.


Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen

dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).


Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian

pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks

identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan relasi

11 AAIAA

Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.


Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks

adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi

jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP )()(

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan

jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.


Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien

A ada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari

kebalikan matriks A jika ia tak singular.

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak

homogen, yaitu

bAx

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

bAxIxbAAxA 111


Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa

vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan lain

matriks A yang berukuran n n tak singular jika rank A = n

dan akan singular jika rank A < n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.

IAX

Jika X adalah kebalikan matriks A maka


IAA ~

HU

HU

XI

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~

Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada

matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.

Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan


Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

142

223

221

A

Kita bentuk matriks gandengan IA

100|142

010|223

001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2

1 baris3

pivot

102|580

013|480

001|221


2 baris

pivot

111|100

013|480

001|221

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1(

111|100

08/18/3|2/110

001|221

baris35.0

3 baris2

111|100

2/18/58/7|010

223|021

2 baris2

111|100

2/18/58/7|010

18/68/10|001


Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

111

2/18/58/7

18/68/101A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

0

0

8

142

223

221

3

2

1

x

x

x

vektor solusinya adalah

8

7

10

0

0

8

111

2/18/58/7

18/68/10

0

0

8

142

223

221

1

3

2

1

x

x

x


Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

nnnn a

a

a

a

/100

00

00/1

00

00

00 111

11

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

AA 11


Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

111 ABAB

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

1 ABABI

111111

11

111111

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA

Course Ware

Sistem Persamaan Linier Homogen

Sudaryatno Sudirham

sistem persamaan homogen penulisan dalam bentuk matriks ruang vektor metoda gauss-jordan

Documents