cnh2b4 / komputasi numerik · cnh2b4 / komputasi numerik tim dosen kk modeling and computational...
TRANSCRIPT
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
TIM DOSEN
KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR: METODE ELIMINASI GAUSS& GAUSS-JORDAN
4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem Linier (sistembanyak variabel) memiliki persamaanumum:
Dalam bentukperkalian matrikmenjadi:
nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
...
...
...
...
...
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
n n
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
A x b
2 10/7/2017
Eliminasi Gauss
3 10/7/2017
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
n n
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
1, 111 12 13 1
2, 121 22 23 2
3, 131 32 33 3
, 11 2 3
...
...
...
...
nn
nn
nn
n nn n n nn
aa a a a
aa a a a
aa a a a
aa a a a
Sistem persamaan linear:
Matriks yang diperluas:
Operasi baris elementer:
j = i+1, i+2, …, n
sampai terbentuk matriks segitiga atas.
( ( / ) ) ( )j ji ii i jE a a E E
Eliminasi Gauss
nnnnnnnnnn aaxaxa /1,1,
Solusinya menggunakan substitusi mundur:
1,1
,11,1
11,1,111,1
nn
nnnnn
nnnnnnnnna
xaaxaxaxa
2,2
,211,21,2
21,2,211,222,2
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnnnnnna
xaxaaxaxaxaxa
dst.....
OBE
4 10/7/2017
1, 1111 12 13 1
2, 1222 23 2
3, 1333 3
, 1
...
0 ...
0 0 ...
.........
0 0 0 ...
nn
nn
nn
n nnnn
axa a a a
axa a a
axa a
axa
1, 1111 12 13 1
2, 1221 22 23 2
3, 1331 32 33 3
, 11 2 3
...
...
...
.........
...
nn
nn
nn
n nnn n n nn
axa a a a
axa a a a
axa a a a
axa a a a
5
Sekali xn, xn-1, xn-2, …, xi+1 diketahui , maka nilai xi
dapat dihitung dengan:
ii
n
ij
jijni
ia
xaa
x
1
1, ) (dengan i = n-1, n-2, …, 1 dan aii ≠ 0
6 10/7/2017 IKG2E3 KOMPUTASI NUMERIK
Burd
en,
Ric
hard
L., a
nd J
. D
ougla
s F
aires.
Num
erical Analy
sis
. Bro
oks/C
ole
, U
SA,
2001.
Contoh :
Subsitusi Mundur :
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
42 12 6
3 2223 12
2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5
4 4 3 3 0 2 1 7 0 2 1 7
2 3 1 1 0 6 2 6 0 0 5 15
E EE E
E E
3
32
2 31
153
5
7 ( 1) 7 ( 1)(3)2
2 2
5 [3 ( 1) ] 5 [3(2) ( 1)(3)]1
2 2
x
xx
x xx
Eliminasi Gauss(Cont.)
7 10/7/2017
pivot bernilai nol diatasi dengan Strategi Pivoting:
jika app = 0, cari baris k yang ak,p ≠ 0 dan k>p, kemudian
pertukarkan baris p dengan baris k.
Eliminasi Gauss(Cont.)
8 10/7/2017
KemungkinanSolusi SPL
3
1
0
300
110
111lim
1
1
0
213
132
111
Gauss
inasiE
0
6
4
000
330
211lim
6
2
4
321
112
211
Gauss
inasiE
y
x
1
-1Solusi banyak
y
x
1
-1
Tidak ada solusi
y
x
1
-1
Solusi tunggal
1
6
4
000
330
211lim
7
2
4
321
112
211
Gauss
inasiE
9 10/7/2017
EliminasiGauss-Jordan
Format matrik mengalami perubahan :
Ax = b I x =b’
Matrik A bersamaan dengan vektor b dieliminasi sampaimatrik A menjadi matrik Identitas
solusinya :
x1 = b1’, x2 = b2’, …..xn = bn’
'
...
'
'
'
1...000
...
0...100
0...010
0...001
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
10 10/7/2017
Contoh
Jawab menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
11
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
42 12 6
3 2223 12
1121
2 35 3 11 2 22 21
1 35 135
2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5
4 4 3 3 0 2 1 7 0 2 1 7
2 3 1 1 0 6 2 6 0 0 5 15
2 3 0 8 2 0 0 2 1
0 2 0 4 0 2 0 4
0 0 5 15 0 0 5 15
E EE E
E E
EE E
E E EE E
E
1 2 3
0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
1, 2, 3x x x
10/7/2017
THANK YOU