3sks-teknik informatika-s1 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/16-metode_numerik.pdf ·...

3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1

Mohamad Sidiq

PERTEMUAN : 9-10

INTEGRASI NUMERIK

METODE NUMERIK• TEKNIK INFORMATIKA – S1

• 3 SKS

Mohamad Sidiq

MATERI PERKULIAHANSEBELUM-UTS SETELAH-UTS

Pengantar Metode Numerik Sistem Bilangan dan Kesalahan

Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan Nilai Signifikan Akurasi dan Presisi Pendekatan dan Kesalahan

Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi

Penyelesaian Persamaan Non Linier (Lanjutan) Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson Metode Secant

Penyelesaian Persamaan Simultan Metode Eliminasi Gauss Metode Gauss Jordan

Penyelesaian Persamaan Simultan (Lanjutan) Metode Gauss Seidel Studi Kasus

Diferensi Numerik Selisih Maju Selisih Mundur Selisih Tengah Diferensi Tingkat Tinggi

Integrasi Numerik Metode Reimann Metode Trapezoida Metode Simpson

Integrasi Numerik (Lanjutan) Metode Gauss Studi Kasus

Interpolasi Metode Linier Metode Kuadrat

Interpolasi (Lanjutan) Metode Polinomial Metode Lagrange

Regresi Linier Eksponensial Polinomial

Tugas Akhir Semester

INTEGRASI NUMERIK

Pengintegralan numerik merupakan alat atau carauntuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikansecara analitik.

Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

Digunakan untuk menghitung luas daerah danvolume benda putar

INTEGRASI NUMERIK

Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal : dxex

x x5.0

2

0

23

sin5.01

)1cos(2

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaa

dxbax

Cbaa

dxbax

Ca

edxe

Cn

axdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

i

i

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xnxn-1x

f(x)


x0 x1 xnxn-1x

f(x)

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, dan menjumlahkan bagian-bagian kecil tersebut.

Formula Newton-Cotes

dxxfdxxfIb

an

b

a )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n

n

1n

1n10n xaxaxaaxf

)(


fn (x) bisa fungsi linear, bisa fungsi kuadrat


fn (x) bisa fungsi kubik atau polinomial


Polinomial dapat didasarkan data


INTEGRASI NUMERIK

Luas daerah yang diarsir L dapat dihitungdengan:

L = b

a

dxxf

METODE INTEGRAL REIMANN

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35


Luasan yang dibatasi y = f(x) dansumbu x.

Luasan dibagi menjadi N bagian padarange x = [a,b].

Kemudian dihitung Li : luas setiappersegi panjang di mana Li=f(xi).xi


Luas keseluruhan adalah jumlah Li dandituliskan:

Di mana:

Didapat :

i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxf

LLLLL

0

3221100

210

...

..

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210

CONTOH

Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

CONTOH

Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel:

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333= 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|3

1 10

31

0

2 xdxxL

ALGORITMA METODE INTEGRAL REIMANN

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

Tentukan jumlah pembagi area N

Hitung h=(b-a)/N

Hitung

N

iixfhL

0

)(.

METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0i

i

b

a

xfxf2

h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

L(x)

ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2

h

xfxf2

hxfxf

2

hxfxf

2

h

dxxfdxxfdxxfdxxfn

1n

2

1

1

0

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

n

abh

METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.2

1

.2

1

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffff

hffhL

1210

1

01 2...22

22

1

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

ALGORITMA METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

Definisikan y=f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Tentukan jumlah pembagi n

Hitung h=(b-a)/n

Hitung

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

ATURAN SIMPSON 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0i

i

b

a

xfxf4xf3

h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

1 xx

0 xx

1 xx

h

dxd

h

xx

2

abh

2

ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xf

xxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

2

1202

10

1

2101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

ATURAN SIMPSON 1/3

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

2

1

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxf

ξξhxf

dξξξh

xfdξξ(hxf

dξξξh

xfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3

hdxxf

ATURAN SIMPSON 1/3

ATURAN KOMPOSISI SIMPSON

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

n

abh

…...

hx3x1 xn-1

METODE INTEGRASI SIMPSON

Dengan menggunakan aturan simpson, luas daridaerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

nnnn ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

L 11243322110 23

23

...23

23

23

23

n

genapii

ganjilii ffff

hL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

CARA II

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut

0

2

2000

2

2002!2

)()(

!2

)()()( f

h

hxxf

h

xfxf

h

hxxxf

h

xxfxp

CARA II

Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

0

2

00

0

2

00

0

22

2

3

0

2

0

2

00

2

2

2

2

3

0

2

0

2

0

0

2

200

2

0

2

2

0

322

3

422

4

4

6

8

2

42

|462

!2

)(

)(

fh

fhxhfL

fhh

fhxhfL

fh

h

h

hf

h

hxhfL

fh

x

h

xf

h

xxfL

dxfh

hxxf

h

xfL

xdxpdxxfL

hx

x

h

hh

Cara II

Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

33

4

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffh

L

fh

fh

fh

L

fh

fh

fh

hfhfxhfL

fffh

ffhxhfL

0120112010

2 2)()( ffffffffff

ATURAN SIMPSON 3/8

Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3

231303

2102

321202

310

1

312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxL

)()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

3

abh ;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3

abh ;f

6480

abfh

80

3E 4

545

t

)(

)()( )()(

ATURAN SIMPSON 3/8

METODE INTEGRASI GAUSS

Metode Newton Cotes (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data

diskrit. Dengan batasan :

H sama

Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkancukup besar.


Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(

1

1

h

ffffh

dxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI


Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

33

22

3

11

1

1

22

22

2

11

1

1

2211

1

1

21

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

xx

cc


Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf

TRANSFORMASI

Range [a,b] [-1,1]

X u f(x) g(u) dx du

b

a

i dxxfL )(

1

1

)( duugLi

TRANSFORMASI

duab

dx

uabbax

aububax

aabux

abuax

u

ab

ax

2

2

)()(

2

2))(1(2

))(1(22

2

1

a bx

-1 1u

TRANSFORMASI

duuabba

fabduug

1

1

1

12

)()()(

2

1)(

1

1

)( duugLi

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

ANALISIS METODE

Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

1

1

)( duug

ALGORITMA INTEGRASI KUADRATUR GAUSS DENGAN PENDEKATAN 2 TITIK

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

)(2

1

2

1abuabx

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

3

1

3

1ggL

CONTOH SOAL

METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari denganmembuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilaitepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI

543

2

)(;)(;)(

)(;)(;1)(

xxfxxfxxf

xxfxxfxf

53;0;53

9

5;

9

8;

9

5

321

321

xxx

ccc

METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK

5

3

9

50

9

8

5

3

9

5)(

1

1

gggduug

ALGORITMA METODE INTEGRASI GAUSS DENGAN PENDEKATAN 3 TITIK

METODE GAUSS N-TITIK

BEBERAPA PENERAPAN INTEGRASI NUMERIK

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandaiatau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnyaadalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam halini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR

Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160

iiyyy

hL

5.7316

0

i

iyhL

74243

160

genapi

i

ganjili

i yyyyh

L

MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR

Luas benda putar:

Volume benda putar:

b

a

p dxxfL )(2

b

a

p dxxfV2

)(

CONTOH

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perludihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I: Bagian II:

4 cm

6cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIL

3456121222IIV

CONTOH

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagianarea , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

10822

2)(4

150

iiIVII yyy

hLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyy

hVV

IVII LL IVII VV

CONTOH

Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2

Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758

560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

6024

5.118734565.1187196

IVIIIIII VVVVV

3sks-teknik informatika-s1 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/16-metode_numerik.pdf ·...

Documents