interpolasi, definisi, dan macam-macamnya
DESCRIPTION
Interpolasi, macam-macam interpolasi, linier, kuadratik, splineTRANSCRIPT
I PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASI
A Pengertian
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang
grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan Titik-titik tersebut mungkin merupakan
hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui
B Tujuan
adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah untuk menaksir harga-harga tengah
antara titik data yang sudah tepat Interpolasi mempunyai orde atau derajat
Y
X
(x0y0)
(x1y1)
Y
X
(x0y0)
(x1y1)
II MACAM-MACAM INTERPOLASI
PEMBAHASAN
A Interpolasi Linier
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus Misal diberikan dua buah titik (x0y0) dan (x1y1) Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk
P ( x )=a0+a1 x
Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0y0) dan
(x1y1)
Gambar 11 Interpolasi Linier
Gambar 12 Interpolasi Linier
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi Dengan
mensubstitusikan (x0 y0) dan (x1 y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh dua
persamaan linear
y0=a0+a1 x0 (1)
y1=a0+a1 x1 (2)
Dari dua persamaan diatas dengan eliminasi diperoleh
y0minus y1=(a0+a1 x0 )minus(aiquestiquest0+a1 x1)iquest
y0minus y1=a1 x0minusa1 x1 hArr y0minus y1=a1(xiquestiquest0minusx1)iquest
hArr a1=y0minus y1
x0minusx1
Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1) diperoleh
y0=a0+a1 x0
hArr y0=a0+( y0minus y1
x0minusx1) x0
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr a0= y0minusx0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArra0=y0(x0minusx1)minusx0 y0+ x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y0minusx1 y0minusx0 y0+x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y1minusx1 y0
x0minusx1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan sebagai
berikut
p1 (x )=a0+a1 x
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1
x1minusx0
+y1 ndash y0
x1minusx0
x
Y
X
P1(x0y0)
P2 (x1y1)
(xy)
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+(x0 y0minusx0 y0)
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y 0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+x0 y0
x1minusx0
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+ y1iquestiquest
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui
cara berikut
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus
Gambar 13 Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0y0) dan P2 (x1y1) dapat dituliskan dengan
yminus y0
y1minus y0
=xminusx0
x1minusx0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut
y=y1minus y0
x1minusx0( xminusx0 )+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1
2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak
terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang
lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0
x1minusx0
6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0
7 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187900 205700
Penyelesaian
Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700
Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Misalkan x=1995
p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest
p1 (2005 )=196800
Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang
2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192
Penyelesaian
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Y
X
(x0y0)
(x1y1)
Y
X
(x0y0)
(x1y1)
II MACAM-MACAM INTERPOLASI
PEMBAHASAN
A Interpolasi Linier
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus Misal diberikan dua buah titik (x0y0) dan (x1y1) Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk
P ( x )=a0+a1 x
Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0y0) dan
(x1y1)
Gambar 11 Interpolasi Linier
Gambar 12 Interpolasi Linier
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi Dengan
mensubstitusikan (x0 y0) dan (x1 y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh dua
persamaan linear
y0=a0+a1 x0 (1)
y1=a0+a1 x1 (2)
Dari dua persamaan diatas dengan eliminasi diperoleh
y0minus y1=(a0+a1 x0 )minus(aiquestiquest0+a1 x1)iquest
y0minus y1=a1 x0minusa1 x1 hArr y0minus y1=a1(xiquestiquest0minusx1)iquest
hArr a1=y0minus y1
x0minusx1
Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1) diperoleh
y0=a0+a1 x0
hArr y0=a0+( y0minus y1
x0minusx1) x0
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr a0= y0minusx0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArra0=y0(x0minusx1)minusx0 y0+ x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y0minusx1 y0minusx0 y0+x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y1minusx1 y0
x0minusx1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan sebagai
berikut
p1 (x )=a0+a1 x
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1
x1minusx0
+y1 ndash y0
x1minusx0
x
Y
X
P1(x0y0)
P2 (x1y1)
(xy)
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+(x0 y0minusx0 y0)
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y 0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+x0 y0
x1minusx0
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+ y1iquestiquest
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui
cara berikut
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus
Gambar 13 Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0y0) dan P2 (x1y1) dapat dituliskan dengan
yminus y0
y1minus y0
=xminusx0
x1minusx0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut
y=y1minus y0
x1minusx0( xminusx0 )+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1
2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak
terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang
lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0
x1minusx0
6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0
7 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187900 205700
Penyelesaian
Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700
Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Misalkan x=1995
p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest
p1 (2005 )=196800
Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang
2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192
Penyelesaian
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi Dengan
mensubstitusikan (x0 y0) dan (x1 y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh dua
persamaan linear
y0=a0+a1 x0 (1)
y1=a0+a1 x1 (2)
Dari dua persamaan diatas dengan eliminasi diperoleh
y0minus y1=(a0+a1 x0 )minus(aiquestiquest0+a1 x1)iquest
y0minus y1=a1 x0minusa1 x1 hArr y0minus y1=a1(xiquestiquest0minusx1)iquest
hArr a1=y0minus y1
x0minusx1
Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1) diperoleh
y0=a0+a1 x0
hArr y0=a0+( y0minus y1
x0minusx1) x0
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArr a0= y0minusx0 y0minusx0 y1
x0minusx1
hArra0=y0(x0minusx1)minusx0 y0+ x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y0minusx1 y0minusx0 y0+x0 y1
x0minusx1
hArr a0=x0 y1minusx1 y0
x0minusx1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan sebagai
berikut
p1 (x )=a0+a1 x
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1
x1minusx0
+y1 ndash y0
x1minusx0
x
Y
X
P1(x0y0)
P2 (x1y1)
(xy)
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+(x0 y0minusx0 y0)
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y 0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+x0 y0
x1minusx0
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+ y1iquestiquest
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui
cara berikut
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus
Gambar 13 Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0y0) dan P2 (x1y1) dapat dituliskan dengan
yminus y0
y1minus y0
=xminusx0
x1minusx0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut
y=y1minus y0
x1minusx0( xminusx0 )+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1
2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak
terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang
lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0
x1minusx0
6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0
7 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187900 205700
Penyelesaian
Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700
Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Misalkan x=1995
p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest
p1 (2005 )=196800
Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang
2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192
Penyelesaian
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Y
X
P1(x0y0)
P2 (x1y1)
(xy)
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+(x0 y0minusx0 y0)
x1minusx0
p1 (x )=x1 y0minusx0 y 0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+x0 y0
x1minusx0
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+ y1iquestiquest
p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui
cara berikut
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus
Gambar 13 Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0y0) dan P2 (x1y1) dapat dituliskan dengan
yminus y0
y1minus y0
=xminusx0
x1minusx0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut
y=y1minus y0
x1minusx0( xminusx0 )+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1
2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak
terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang
lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0
x1minusx0
6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0
7 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187900 205700
Penyelesaian
Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700
Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Misalkan x=1995
p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest
p1 (2005 )=196800
Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang
2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192
Penyelesaian
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
y=y1minus y0
x1minusx0( xminusx0 )+ y0
Algoritma Interpolasi Linear
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1
2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak
terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang
lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0
x1minusx0
6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0
7 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187900 205700
Penyelesaian
Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700
Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
Misalkan x=1995
p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest
p1 (2005 )=196800
Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang
2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192
Penyelesaian
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Dipunyai
x0=90 y0=21972
x1=95 y1=22513
Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(92) = 22192
Ingat
p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest
p1 (92 )=21972+(22513minus21972)iquestiquest
p1 (92 )=221884
Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4
B Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar
24 dan Gambar 25
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Y
X
x0y0
x1y1
x2y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 21 Interpolasi Kuadratik
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada
Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di
bawah ini atau semacamnya
Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut
1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2
Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu
a0 a1 dan a2
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
a) Hitung F01=y i+1minus y i
x i+1minusx i
F12=y i+2minus y i+1
y i+2minus y i+1
dan F012=F12minusF01
x i+2minusx i
b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012
Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut
1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2
2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3
3 Masukkan nilai x
4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x
yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5
5 Hitung F01=y1minus y0
x1minusx0
F12=y2minus y1
x2minusx1
dan F012=F12minusF01
x2minusx0
6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012
7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak
maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat
8 Tulis hasil y=P
Contoh
1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai
ln(92) dengan interpolasi kuadratik
Penyelesaian
Diketahui x0=80 y0=20794
x1=90 y1=21972
x2=95 y2=22513
Ditanya Tentukan nilai ln (92)
Sistem persamaan yang terbentuk adalah
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+80 a1+6400 a2=20794
a0+90 a1+8100 a2=21972
a0+95 a1+9025 a2=22513
adalah
[11189
95
6481
9025
207942197222513] R 21(minus1)
R 31(minus1)[10081
15
6417
2625
207940117801719]
R 12(minus8)R 32(minus15)[100
010
minus7217
075
113701178
minus00048] R 31( 1075
)[100010
minus72171
113701178
minus00064 ]R 13(72)
R 23(minus17)[100010
001
0676202266
minus00064 ]
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=06762 a1=02266 a2=minus00064
Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2
p2 (92 )=22192
2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola
Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik
Penyelesaian
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat
t (detik) Y (m)
5 201
65 2443
8 2897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah
a0+50 a1+2500 a2=201
a0+65 a1+4225 a2=2443
a0+80 a1+6400 a2=2897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 65 42251 8 64
20124432897]R 2 R1 (minus1 )
R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39
20104430887 ]R 2( 1
15 )iquest
[1 5 250 1 1150 3 39
2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )
R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45
056667028867
0021 ]iquestR 3 ( 145 )
[1 0 minus3250 1 1151 0 1
056667028867000467 ]R 1 R 3(325)
R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1
0717330235
000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah
p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2588
Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m
C Interpolasi Spline
Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]
2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]
3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]
Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-
turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-
makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3
spline dinamakan spline kubik
C1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)
untuk 0 le ile n Diambil
Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]
⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]
Dengan setiap Si ( x ) adalah linier
Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-
hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu
mi=y i+1minus yi
x i+1minusx i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga
mi=S i (x )minus y i
xminusx i
yang memberikan
Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i
x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut
x 00 01 04 05 075 10
y 13 45 20 21 50 30
Penyelesaian
[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0
( xminus0 )=13+32 x
[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01
( xminus01 )=163
minus253
x
[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04
( xminus04 )=16+x
[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05
( xminus05 )=minus37minus116 x
[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075
( xminus075 )=11minus8 x
Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data
Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai
Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1
dengan
a i=yi+1minus y i
xi+1minusx i
dan b i= y iminusai x i
kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu
kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi
C2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh
Si(x )=ai x2+bi x+ci
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )
Diperhatikan titik-titik data
x0 x1 x2 ⋯ xn
y y y1 y2 ⋯ yn
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini
1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan
berkaitan dengan Si(x ) yaitu
Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1
jadi disini didapatkan 2 n persamaan
2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap
titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu
Siminus1 ( x i )=S
i(x i)
Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan
tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan
3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=
Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S
i ( x i )=z i dan
Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan
Si ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )
2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21
Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi
2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )
2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )+z i ( xminusxi )
y i+1minus y i=zi+1minuszi
2( xminusx i )
Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi
z i+1=2y i+1minus y i
x i+1minusx i
minuszi
Contoh C2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
x 00 01 04 05
y 13 45 20 21
dengan ketetapan zo=0
Penyelesaian
pertama-tama hitung nilai z i
z1=2y1minus y0
x1minusx0
minusz0=245minus1301minus0
minus0=64z2=2y2minus y1
x2minus x1
minusz1=22minus45
04minus01minus64=minus242
3
z3=2y3minus y2
x3minusx2
minusz2=221minus2
05minus04+ 242
3=248
3
jadi fungsi spline kuadratik S(x )
S0 ( x )=z1minusz0
2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01
S1 ( x )=z2minusz1
2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170
9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45
iquestminus21709
x2+ 10109
x+ 19445
untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2
2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2
iquest 24503
( xminus04 )2minus2423
( xminus04 )+2iquest 24503
x2minus22023
x+ 494830
untuk 04 le x le05
persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai
Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1
dengan
a i=zi+1minusz i
2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i
2minuszi xi+ y i
C3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah
titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah
suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1
Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )
2+c i ( xminusxi )+d i
(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n
S ( x i )=f (x i)
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam
Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama
S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama
S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus
dipenuhi
S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)
S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)
d i= yi c i=d i+1minusd i
hi
minushi
3( 2b i+bi ) ai=
13hi
( bi+1minusbi ) C 3 1
Contoh C3
Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini
x 0 1 2 3
y 0 1 4 5
terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2
Penyelesaian
Lebar subinterval pada sumbu x
h1=h2=h3=h4=1
dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu
d1minusd0
h0
=1 d2minusd1
h1
=3 d3minusd2
h2
=1
Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai
[2 11 4
0 01 0
0 10 0
4 11 2
][b0
b1
b2
b3]=3 [131 minus2
minus1minus3
2 minus1] [minus3
6minus6
3]
yang mempunyai penyelesaian
b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3
Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-
koefisien lain dari spline kubik
d0=0 d1=1 d2=4
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
c0=1minus13
(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13
(minus3+2 (3 ) )=2
a0=3minus(minus3)
3=2 a1=
minus3minus33
=minus2 a2=3minus(minus3)
3=2
Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti
S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest
D Interpolasi Newton
Persamaan Polinom Linier
p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )
(xminusx0)
Bentuk pers ini dapat ditulis
p1 (x )=a0+a1(xminusx0)
Yang dalam hal ini
a0= y0=f ( x0 ) D 1 1
a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )
=f iquestiquest
Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1=f [x1 x0]
Polinom kuadratik
p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
atau
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya
p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan
a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )
( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3
jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka
akan didapatkan
a2=f iquestiquestiquest
jadi tahapan pembentukan polinom newton
p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)
p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )
p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )
Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai
a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]
yang dalam hal ini
f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]
x iminusxk
f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]
xnminusx0
Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan
polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan
menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai
Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]
Basisp0 ( x )=f ( x0 )
Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri
f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan
x=25 dengan Polinom Newton derajat 3
x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0 1 -04597 -02484 01466 -0147
1 05403 -09654 01913 0088
2 -04161 -05739 04551
3 -099 03363
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
4 -06536
Penyelesaian
E Interpolasi Kubik
Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam
1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3= y2
a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data
percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan
Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan
kecepatan 45 miljam