SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1

Nurdinintya Athari(NDT)

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sub Pokok Bahasan• Pendahuluan• Solusi SPL dengan OBE• Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer• SPL Homogen

Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear Rangkaian listrik Jaringan Komputer Model Ekonomi dan lain-lain.

PendahuluanPersamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain ataudirinya sendiri.

Contoh :Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jikamembeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar$ 10000.Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL

x + 2y = 50003x + y = 10000

Bentuk umum sistem persamaan linear

Dapat ditulis dalam bentuk :

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

11

21111

11111

11212111 ... bxaxaxa nn

22222121 ... bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa ...2211

mb

bb

2

1

nx

xx

2

1

AtauAX = B

dimana• A dinamakan matriks koefisien• X dinamakan matriks peubah• B dinamakan matriks konstanta

Contoh :Perhatikan bahwa SPL

x + 2y = 50003x + y = 10000

dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks

10000

5000 y

x 1321

Solusi SPL Himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah

suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.

Perhatikan SPL : x + 2y = 50003x + y = 10000

Maka {x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut{x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL itu

Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :• SPL mempunyai solusi tunggal• SPL tidak mempunyai solusi• SPL mempunyai solusi tak hingga banyak

Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius

Artinya : SPL 2x – y = 2x – y = 0

Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

y = xy = 2x - 2 (2, 2) merupakan titik potong

dua garis tersebut

Tidak ada titik potong yang lain selain titik tersebut

Artinya, SPL mempunyai solusi tunggal.

(2, 2)x

y

1 2

2

Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 2

Jika digambar dalam kartesius

x

y y = x y = x – 1

1

Terlihat bahwa dua garistersebut adalah sejajar.

Tak akan pernah diperolehtitik potong kedua garis itu

Artinya, SPL TIDAK mempunyai solusi

Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 0

Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½, diperolehpersamaan yang sama dengan pers. Pertama. Jika digambar dalam kartesius

y

x

x – y = 02x – 2y = 0

Terlihat bahwa dua garistersebut adalah berimpit.

Titik potong kedua garisbanyak sekali disepanjang

garis tersebut.

Artinya,SPL mempunyai

solusi tak hingga banyak

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE• Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar• Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksi

Contoh :Tentukan solusi dari SPL

3x – y = 5x + 3y = 5

Jawab :Martiks yang diperbesar dari SPL

~55

3113

~55

1331

~105

10031

~15

1031

12

1001

Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalian matriks

Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1

1 2

1 0

0 1

yx

Contoh :Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :

a. a + c = 4a – b = –12b + c = 7

b. a + c = 4a – b = –1–a + b = 1

c. a + c = 4a – b = –1–a + b = 2

a.

Terlihat bahwa solusi SPL adalaha = 1, b = 2, dan c = 3

71

4

120011101

321

100010001

b.

Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :

Ini memberikan a + c = 4 dan b + c = 5.Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.Maka solusi SPL tersebut adalah :

, dimana t adalah parameterJadi, SPL tersebut memiliki solusi banyak.

11

4

011011101 1 0 1 4

0 1 1 50 0 0 0

1 0 1 40 1 1 50 0 0 0

abc

1 41 5

1 0

ab tc

c.

Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapimatriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol)

Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa 0.a + 0.b = 1.

Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini.Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.

21

4

011011101 1 0 1 4

0 1 1 50 0 0 1

1 0 1 40 1 1 50 0 0 1

abc

ELIMINASI GAUSS JORDAN

341

143

111312201

4

3

2

1

xxxx

~...~341

|||

143

111312201

|

bA

Carilah solusi SPL berikut :

Solusi :

021

|0000|2110|3201

Matriks baris eselon tereduksi

Kolom 3,4 tidak memiliki 1 utama

X3 = s , x4 = t

132 431 xxx22 432 xxx tsx 222

ts

tsts

xxxx

22321

4

3

2

1

021

|0000|2110|3201 tsx 3211

Maka, solusinya adalah

ELIMINASI GAUSS JORDAN

LATIHANCarilah solusi SPL berikut :

321

533322534

.zyx

a

121

242

111312203

.

4

3

2

1

xxxx

b

. 2 2 2 02 5 2 1

8 4 1

c a b ca b c

a b c

. 2 12 2 2 2

2 4 13 3 3

d x y z wx y z wx y z w

x w

Contoh : Diketahui SPL :

x + 2y – 3z = 43x – y + 5z = 24x + y + (a2 – 14) z = a + 2

Tentukan a sehingga SPL : a. Mempunyai solusi tunggalb. Tidak mempunyai solusic. Solusi yang tidak terhingga

Jawab: Matriks diperbesar dari SPL adalah

a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:a2 – 16 0 sehingga a 4

~214-14

251343-21

2

aa

142-7010147043-21

2 aa

416-0010147043-21

~2 aa

b. Perhatikan baris ketiga0x + 0y + (a2 – 16a) z = a – 4

SPL tidak mempunyai solusi saata2 – 16 = 0 dan a– 4 0Sehingga a = 4 dan a 4.Jadi , a = – 4.

c. SPL mempunyai solusi tak hingga banyaka2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0 Jadi , a = 4

416-0010147043-21

2 aa

Solusi SPL dengan Matriks Invers

AtauAX = B

Kalikan setiap ruas di atas dengan A–1

A–1 A X = A–1 Bdiperoleh : X = A–1 BIngat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika dan hanya jikaDet (A) 0.

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

nx

xx

2

1

nb

bb

2

1

Contoh :Tentukan solusi dari SPL berikut :

a + c = 4a – b = –12b + c = 7

Jawab :Perhatikan bahwa

Jadi A mempunyai Invers

0 1 12001-1101

A

1-2-2111-121-

1

A

sehingga X = A–1 B berbentuk :

Jadi, Solusi SPL tersebut adalah

321

cba

71-4

1-2-2111-121-

cba

321

Solusi SPL dengan aturan CramerMisalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

Jika determinan A ≠ 0, maka solusi dapat ditentukan satu persatu(peubah ke-i, xi)

Langkah-langkah aturan cramer adalah :• Hitung determinan A• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.

Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

nx

xx

2

1

nb

bb

2

1

nnnn

n

n

aba

abaaba

A

1

2211

1111

2

• Hitung |Ai|

• Solusi SPL untuk peubah xi adalah

Contoh :Tentukan solusi b dari SPL berikut :

a + c = 4a – b = –12b + c = 7

Jawab :Perhatikan bahwa

)det()det(

AAx i

i

1 12001-1101

A

Maka

Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2

)A ( det ) A (det b 2

117001-1141

701-1

1 1001

(-4) 1701-

1

) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1

7 (-4) 1-

2

Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?

Solusi peubah c ?

1det

det

4 0 1-1 -1 07 2 1

1

-1 0 -1 -1 4 0 1

2 1 7 2 4 ( -1 -0 ) 1 ( -2 - (-7) )

-4 0 5 1

A a

A

SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

0

00

2

1

21

22221

11211

nmnmm

n

n

x

xx

aaa

aaaaaa

Sebuah SPL dikatakan homogen jika seluruh konstanta adalah nol.

Bentuk umum :

0...

0...0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Notasi :

SPL homogen adalah SPL yang konsisten selalu mempunyai solusi.

0xA

SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

Jika solusi SPL adalah tunggal, yaitu x1= 0, x2 = 0, …, xn = 0 solusi trivial

Jika ada solusi lain selain solusi nol solusi non-trivial

(biasanya ditulis dalam bentuk parameter ~ solusi tak hingga banyak)

Terdapat dua kemungkinan solusi dari SPL Homogen :

•SPL hanya memiliki solusi trivial.

•SPL memiliki solusi tak hingga banyak selain solusi nol (solusi non-trivial).

1

2

3

4

2 32

x s tx s tx sx t

Solusinya adalah

Solusi tak hingga banyak / solusi nontrivial

SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

000

143

111312201

4

3

2

1

xxxx

000

|||

143

111312201

000

|0000|2110|3201

Contoh :

Carilah solusi dari SPL homogen berikut:

Matriks yang diperbesar Baris eselon tereduksi

Contoh :Diketahui SPL

a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak hingga banyakb. Tuliskan solusi SPL tersebut

000

-1 1 0 1 -1 0

0 0 -

zyx

bb

b

Jawab :Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal jika det(A) = 0.

(–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0

(–b) (b2 – 2b + 1 – 1) = 0

(–b) (b2 – 2b) = 0

b = 0 atau b = 2

Solusi SPL tak hingga banyak saat b = 0 atau b = 2

0110

11000

bb

b

011

11

b

bb

• Saat b = 0

000

1 1 0 1 1 0 0 0 0

zyx

Dengan OBE maka

0 0 0 1 1 0 0 0 0

~1 1 0 1 1 0 0 0 0

qqp

z y

x qp

1 1- 0

0 0 1

Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka

• Saat b = 2

Dengan OBE maka

Misalkan q adalah parameter Riil, maka

000

110110002

zyx

~110

110002

~

110110001

~

110110

001

000110

001~

qqq

zyx

1100

Exercise 1. Tentukan solusi SPL berikut :

2. Tentukan solusi SPL homogen berikut :

. 2 8 12 .3 6 9

2 – 2 – 3 4 – 2 1– 2 2 – 4 24 –2

p q r sp

a a b ba q s

p qb

a b s

. 5 4 7 02 10 7 7 0

7 02 10 8 18 0

d p q r tp q r s t

r s tp q r s t

101222111

. Aa

1 1 2 2. 2 1 3 3

1 0 1 1b B

c. 2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

3. Diketahui SPL AX = B

Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan :• Operasi Baris Elementer (OBE )• Invers matrik• Aturan Cramer

4. Diketahui

Carilah matriks yang memenuhi.

,1 2 0 0 1- 1 1 0 1

A

3

2

1

xxx

X

11

1dan B

45

220241

2113

XX

4

2

3

1

xx

xx

X

5. Diketahui SPL Homogen

Tentukan nilai k sehingga SPL punya solusi tunggal

6. Diketahui

Tentukan vektor tak nol sehingga

0102

02

2

rqkpkrq

rqp

3531

B

yx

u uuB 6