bab 1 matriks spl

MIPA UBAYA

1

Bab 1

Matriks dan Sistem PersamaanLinier

MIPA UBAYA 2

Definisi Matriks

Matriks adalah sekumpulan elemenelemen yang tersusun menurut baris dankolom yang teratur dalam bentuk persegipanjang.

Elemen dapat berupa bilangan(real/komplek), fungsi dan lain-lain dengan notasi atau( ) [ ]

MIPA UBAYA 3

Matriks (m baris n kolom)

dapat ditulis

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

mxnA

MIPA UBAYA 4

Jika m = n matriks bujursangkar

Jika m = 1 matriks baris

Jika n = 1 matriks kolom

MIPA UBAYA

2

MIPA UBAYA 5

Macam-macam Matriks

1. Matriks diagonal

adalah matriks bujursangkar denganelemen = 0 untuk i j

Contoh,

aij

-1 0 00 5 00 0 1

MIPA UBAYA 6

2.Matriks skalar

adalah matriks diagonal dimanaelemen-elemen pada diagonal utamasama besarnya,

contoh,

c

c

c

000000

MIPA UBAYA 7

3.Matriks satuan

adalah matriks skalar dengan elemen-elemen pada diagonal utama adalah 1.

Contoh,

1 0 00 1 00 0 1

MIPA UBAYA 8

4. Matriks Segitiga atas/bawah

Matriks bujur sangkar yang semuaanggota di atas/bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitigabawah/atas.

Contoh,

1 2 30 5 00 0 1

6 0 01 5 00 3 1

MIPA UBAYA

3

MIPA UBAYA 9

5. Matriks Transpose

Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka , didefinisikan sebagai matriksn x m yang didapatkan denganmempertukarkan baris dan kolom dariA, yaitu kolom pertama dari adalahbaris pertama dari A, kolom keduadari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

TA

TA

TA

MIPA UBAYA 10

Contoh

:= A

1 2 3 21 5 4 -9

-2 3 1 4

1 1 -22 5 33 4 12 -9 4

=

TA

MIPA UBAYA 11

Sifat sifat transpose

Jika r adalah skalar dan A dan B matriksmaka

(A T )T = A

( A+B )T= A T + B T

( AB )T= B TA T

( rA )T = rA T

MIPA UBAYA 12

6. Matriks Simetri

Suatu matriks disebut simetri jika untuksetiap i dan j berlaku aij=aji, jadi Amatriks simetri jika AT = A,

Contoh

:= B

1 2 32 5 43 4 1

1 2 32 5 43 4 1

=BT

MIPA UBAYA

4

MIPA UBAYA 13

Operasi Matriks

1. Dua Matriks sama

Dua matrik A = (aij) dan B = (bij)

sama, jika ukurannya sama dan

elemen elemen yang bersesuaian

sama aij= bij ; njmi 1;1

MIPA UBAYA 14

Diketahui

Contoh

Jika x = 5 maka A = B , untuk nilai xyang lainnya, matriks A dan B tidaksama

Tidak ada nilai x yang membuat A = C

2 13

Ax

=

2 13 5

B

=

2 1 03 4 2

C =

MIPA UBAYA 15

Dua matriks dapat dijumlahkan jika

ukuran sama dan elemen-elemennya

sama dengan jumlah elemen yang

bersesuaian.

(cij)mn = (aij)mn + (bij)mn

2. Penjumlahan Matriks

MIPA UBAYA 16

Sifat

A + B = B + A (komutatif)

(A+B)+C=A+(B+C) (asosiatif)

A + 0 = 0 + A = A (matriks nol) disebut matriks netral terhadappenjumlahan.

Jika A + B = 0 maka B = -A, B disebutinvers thd penjumlahan dari A

MIPA UBAYA

5

MIPA UBAYA 17

Contoh :

Diketahui matriks-matriks berikut :

2 1 0 31 0 2 4

4 2 7 0A

=

4 3 5 12 2 0 13 2 4 5

B

=

1 12 2

C =

Hitung berikut ini (jika mungkin) :

1). A + B

2). B + C

3). B - A

MIPA UBAYA 18

Matriks A=(aij)dapat dikalikan dengan

matriks B=(bij) jika banyaknya kolom

dari A sama dengan banyaknya baris

dari B, C = AB

Cij= qpbBaA

baqnijmpijqp

xxjix =

=

=

=

=)()(

1

njmi 1;1

3. Perkalian Matriks

MIPA UBAYA 19

Sifat Perkalian Matriks

AB = C (Sifat tertutup)

(AB) C = A(BC) (Asosiatif)

A(B+C)=AB+AC (Distributif kiri)

(A+B)C=AC+BC (Distributif kanan)

AB BA

MIPA UBAYA 20

Tentukan (jika mungkin) :

1). AB

2). BA

Contoh :


1 2 42 6 0

A

=

4 1 4 30 1 3 12 7 5 2

B

=

MIPA UBAYA

6

MIPA UBAYA 21

Jika A = (aij)mn dan r bilangan real, maka

perkalian A dengan r, rA sama dengan

Bmxn= (bij) dimana bij = r aij

Perkalian dengan Skalar

MIPA UBAYA 22

Sifat :

Jika r dan s adalah bilangan real, A dan Badalah matriks maka :

r(sA) = rs(A)

(r+s)A = rA+sA

r(A+B) = rA+rB

A(rB) = (rA)B

MIPA UBAYA 23

Dapatkan :

1). 3A

2). -B

3). C

Contoh :


13

2 3 41 3 1

A

=

0 2 71 3 5

B

=

9 6 33 0 12

C

=

MIPA UBAYA 24

Soal Latihan

1. Diketahui matriks-matriks :

a) Hitung 2A + B

b) Jika A = C, tentukan nilai x dan y

6 10 2

A

=

2 51 4

B

=

20 2x x y

C

=

MIPA UBAYA

7

MIPA UBAYA 25

2. Diketahui matriks-matriks :

=

112103

A

=

2014

B

=

513241

C

Hitung yang berikut ini (jika mungkin)

a) BC b) CB c) CA d)3A+C T

MIPA UBAYA 26

3. Jika

a) Hitung A B T

b) Hitung AB

c) Tentukan a dan b agar AB = B T A T

( )1

, 1 32

A a B b

= =

MIPA UBAYA 27

Sistem Persamaan Linier

Definisi

Persamaan linier dalam n peubah x1, x2,xnsebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalambentuk :

a1x1+a2x2++anxn = b .(1)

dimana a1, a2,an dan b adalah konstanta real.

MIPA UBAYA 28

Solusi persamaan linier (1) adalah urutandari n bilangan s1, s2, , sn sehinggapersamaan tersebut dipenuhi jika kitamensubtitusikannya terhadap x1=s1, x2=s2, , xn=sn

MIPA UBAYA

8

MIPA UBAYA 29

Dimana x1, x2,xn adalah bilanganbilangan yang

tak diketahui dengan a, b adalah konstanta

disebut dengan sistem persamaan linier (SPL)

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

...

...

2211

22222121

11212111

Sebuah sistem yang terdiri dari m persamaanlinier dengan n bilangan yang tidak diketahui, dapat ditulis sebagai :

MIPA UBAYA 30

Macam macam solusi SPL

1. Ada satu penyelesaian (SPL konsisten)

2. Tidak ada penyelesaian (SPL takkonsisten)

3. Tak hingga banyaknya penyelesaian(solusi banyak) (SPL konsisten)

MIPA UBAYA 31

Tidak mempunyai penyelesaianx

ylm

x

yl m

x

y

l

m

Mempunyai satu penyelesaian

Mempunyai tak hingga banyakpenyelesaian

MIPA UBAYA 32

SPL

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

...

...

2211

22222121

11212111

MIPA UBAYA

9

MIPA UBAYA 33

Dapat ditulis dalam bentuk matriks

BXAb

bb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

mnmnmm

n

n

=

=

2

1

2

1

21

22221

11211

MIPA UBAYA 34

Jika matriks A digabung matriks B, akanmenjadi matriks lengkap SPL (augmented matrix)

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211

MIPA UBAYA 35

ContohDiketahui SPL :

SPL diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks

2 92 4 3 13 6 5 0

x y zx y zx y z

+ + =

+ =

+ =

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

x

yz

=

A X B=MIPA UBAYA 36

Jika ditulis dalam bentuk augmented matrix

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

MIPA UBAYA

10

MIPA UBAYA 37

Solusi Persamaan denganEliminasi

Dengan suatu aturan tertentu, elemen-

elemen suatu baris dari suatu matriks

dapat berubah, dan aturan ini dinamakan

operasi baris elementer (OBE).

MIPA UBAYA 38

Ekivalensi dua matriks

Dua matriks A dan B di sebut ekivalen

(ditulis A~B) jika matriks B diperoleh dari

matriks A dengan cara operasi elementer.

MIPA UBAYA 39

1. Kalikan sebuah baris dengan sebuahkonstanta tak nol

Tiga operasi baris elementer

1 1 22 4 33 6 5

1 1 26 12 93 6 5

3b2

MIPA UBAYA 40

2. Pertukarkan dua baris

1 1 22 4 33 6 5

b1 b22 4 31 1 23 6 5

MIPA UBAYA

11

MIPA UBAYA 41

3. Tambahkan perkalian dari suatu bariske baris lain.

1 1 22 4 33 6 5

b3 - 3b11 1 22 4 30 3 11

MIPA UBAYA 42

Matriks Eselon Baris (MEB)

Suatu matriks disebut mempunyai bentukeselon baris jika : mempunyai baris yang tidak semuaelemennya nol, dan elemen tak-nolpertama dalam baris tersebut adalah1 ( satu )

0 0 0 1 3

i i i i i

i i i i i

MIPA UBAYA 43

ada baris yang seluruhnya terdiri darinol, maka baris-baris itu dikelompokkanbersama di bagian bawah matriks.

0 0 0 00 0 0 0

i i i i

MIPA UBAYA 44

Jika dua baris yang berurutan tidakseluruhnya terdiri dari nol, angka 1 padabaris-baris tersebut berada pada kolom yang letaknya berurutan.

0 1 4 21 0 1 30 0 0 1

b1 b21 0 1 30 1 4 20 0 0 1

MEB

MIPA UBAYA

12

MIPA UBAYA 45

Jika matriks eselon baris ditambah sifat :

1 0 1 00 1 4 00 0 0 1

Angka satu adalah satu-satunya elemen tak

nol dalam kolom,Maka matriks ini disebut

mempunyai bentuk eselon baris tereduksi

(MEBT)

MIPA UBAYA 46

Contoh 1.2

Contoh contoh MEB dan MEBT

1 1 00 1 00 0 0

1 0 0 40 1 0 70 0 1 -1

1 0 00 1 00 0 1

0 00 0

0 1 -2 0 10 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0

0 1 2 6 00 0 1 -1 00 0 0 0 1

1 4 3 70 1 6 20 0 1 5

MIPA UBAYA 47

Eliminasi Gaussian

Langkah penyelesaian SPL Ax=B

1. Bentuk dalam matriks augmented [A B]

2. Transformasi matriks augmented kebentuk eselon baris denganmenggunakan OBE

3. Selesaikan dengan cara substitusi balik, atau bentuk matriks ke dalam bentukeselon baris tereduksi.

MIPA UBAYA 48

Prosedur mereduksi suatu matriksmenjadi bentuk eselon baris disebuteliminasi Gaussian.

Sedang merubah bentuk matriks kedalam bentuk eselon baris tereduksidisebut eliminasi Gauss-Jordan.

MIPA UBAYA

13

MIPA UBAYA 49

Soal LatihanTentukan solusi SPL berikut ini denganeliminasi Gauss Jordan

12 3 03 2 4

x y zx y zx y z

+ + =

=

+ + =

1.

2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 13 6 3 26 6 3 5

x x

x x x

x x x

+ =

+ =

+ + =

2 12 2 2 2

2 4 13 3 3

x y z wx y z wx y z wx w

+ =

+ =

+ + =

=

2.

3.

MIPA UBAYA 50

SPL Homogen

Suatu SPL dikatakan homogen jikakonstanta di sebelah kanan semuanya nol

0...

0...0...

2211

2222121

1212111

=+++

=+++

=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

MIPA UBAYA 51

Jika penyelesaian x1,x2,xn=0,maka

penyelesaian SPL homogen ini disebut

penyelesaian trivial.

Jika tidak semua xi=0 maka

penyelesaiannya disebut penyelesaian

nontrivialMIPA UBAYA 52

1) 2 3 02 0

0

x y zx yy z

+ + =

+ =

+ =

1 2 3 4

1 2 3 4

3 05 0

x x x x

x x x x

+ + + =

+ =

Soal Latihan

Selesaikan sistem persamaan linier homogenberikut

2)

MIPA UBAYA

14

MIPA UBAYA 53

Invers Matriks

Matriks Anxn disebut non singular jika

terdapat matriks Bnxn sedemikian hingga

AB=BA=In

Matriks B disebut invers dari A.

Teorema : jika matriks mempunyai

invers,maka inversnya tunggal. MIPA UBAYA 54

Contoh

Diketahui matriks

Tunjukkan bahwa B adalah invers dari A

2 51 3

A

=

3 51 2

B

=

MIPA UBAYA 55

Sifat sifat Invers

Jika A dan B adalah matriks non singular, maka

1. (A-1)-1= A

2. (AB)-1= B-1A-1

3. (AT)-1 =(A-1)T

MIPA UBAYA 56

Metode menentukan A-1

1. Bentuk matriks nx2n (A In) yang

diperoleh dengan menggabungkan

matriks A dan matriks identitas.

2. Transformasikan matriks A pada no 1

menjadi bentuk eselon baris tereduksi

dengan OBE.

MIPA UBAYA

15

MIPA UBAYA 57

3. Akan diperoleh matriks (C D) jika,

a) C=In , maka D = A-1 (In A

-1 )

b) C In , C mempunyai baris nol, makaA singular dan A-1 tidak ada.

MIPA UBAYA 58

Penyelesaian SPL denganInvers

Jika A matriks n x n maka SPL AX=bakan mempunyai penyelesaian

X = A-1b

Dimana A non singular, sehingga A-1 ada

MIPA UBAYA 59

Soal Latihan

1. Tentukan invers dari

2. Tentukan solusi SPL berikut denganInvers (X = A -1b)

1 0 11 1 1

0 1 0A

=

1 2 3

1 2 3

1 2

2 11

3

x x x

x x x

x x

+ + =

+ =

+ =

bab 1 matriks spl

Documents