SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPLMempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

ILUSTRASI GRAFIK• SPL 2 persamaan 2 variabel:

• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPL BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL

SPL1. Mengalikan suatu

persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

CONTOH

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (iii)dengan (-2).

kalikan brs (iii) dengan (-2).

LANJUTAN CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).

kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.

KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

BENTUK ECHELON-BARISMisalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian

bawah.3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada

leading 1 baris berikut.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebutbentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk umum echelon-baris

dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Bentuk umum echelon-baris tereduksi

dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris

Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

METODA GAUSS-JORDAN

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah

matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.

CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2

5B2+B3 B3

6 18 0 8 4 0 00 0 0 0 0 0 01- 3- 0 2- 1- 0 00 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2

B3 ⇄ B4 B3 B3/3

-3B3+B2B2

2B2+B1B1

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperolehpenyelesaian:

dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai takberhingga banyak penyelesaian.

METODA SUBSTITUSI MUNDURMisalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Eliminasi GaussianMengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:

• Kerjakan Exercise set 1.2 No. 1 – 11.

SPL HOMOGEN• Bentuk umum:

• Penyelesaian trivial (sederhana):

• Bila ada penyelesaian lain yang tidak semuanya nol maka disebut penyelesaian taktrivial.

SPL HOMOGEN

pasti ada penyelesaian trivial

penyelesaian trivial +takberhingga banyakpenyelesaian taktrivial

atau

ILUSTRASI:

Syarat cukup SPL homogen mempunyai penyelesaian taktrivial

• Bila banyak variabel n lebih dari banyak persamaan m maka SPL homogen mempaunyai penyelesaian taktrivial.

• CONTOH:

• Bentuk matriks:

# variabel = 5# persamaan = 4.

Bentuk akhir echelon-baris tereduksi:

PENYELESAIAN UMUMNYA :

.,0,,, 54321 txxtxsxtsx dimana penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s=t=0.

• Proses OBE dalam untuk menghasilkan bentuk echeleon-baris tereduksi tidak mempengaruhi kolom akhir matrik.• Bila banyak persamaan awal n maka banyak pers. akhir r tidak melebihi n, yaitu r ≤ n.

PENYELESAIAN SPL PADA KOMPUTER

• Software komputasi yg dilengkapi alat (tool) untuk menyelesaikan SPL:– MATLAB, - MAPLE, – MATHCAD, -MATHEMATICA, DLL.

• Umumnya menggunakan algoritma:– Eliminasi Gauss, atau eliminasi Gauss-Jordan

• Prinsip penulisan program:– menekan kesalahan pembulatan, minimalisasi

memori komputer, memaksimumkan speed.

SPL PADA MATLAB

• Diperhatikan SPL AX = b, mis A bujur sangkar, i.e. #pers = #var.

• LANGKAH-LANGKAH:– didefinisikan matriks A:

>>A=[a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]– didefinisikan vektor ruas kanan b:

>>b=[b1;b2;b3]– panggil penyelesaiannya:

>>X=A\b

• CONTOH: diperhatikan SPL• Telah diketahui SPL ini mempunyai

penyelesaian• Menggunakan MATLAB:

>> A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5];>> b=[9;1;0];>>X=A\b>>X = 1.0000 2.0000 3.0000

• Penyelsaian yang diperoleh sama dengan hasil manual kita.

• Bila A invertibel, yaitu A-1 ada maka berlaku AX = b X = A-1b.

• Perintah pada MATLAB sbb:>>X = inv(A)*b

X = 1.0000 2.0000 3.0000• Bila A tidak mempunyai invers, SPL AX=b masih

memungkinkan penyelesaian. Akan dibahas kelak.

Membentuk echelon-baris tereduksi dengan MATLAB

>>A=[1 3 -2 0 2 0;2 6 -5 -2 4 -3;...0 0 5 10 0 15;2 6 0 8 4 18];

>>b=[0;-1;5;6];>>rref([A b])ans = 1.0000 3.0000 0 4.0000 2.0000 0 0 0 0 1.0000 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 0 0

Bandingkan dengan hasil yang sudah kita peroleh.

SPL tidak bujur sangkar

• Ubah menjadi bentuk echelon-baris tereduksi dengan fungsi rref.

• Selesaikan dengan cara manual.• CONTOH: diberikan SPL

• Dengan menggunakan rref pada MATLAB diperoleh bentuk echelon-baris sbb:

1 0 0 -4 0 1 0 2 0 0 1 7 0 0 0 0• Diperoleh x3 = 7, x2 = 2 dan x1 = -4.• Bandingkan dengan hasil manual

yang sudah anda peroleh.• SPL Homogen dilakukan dengan cara

yang sejalan.TUGAS: Kerjakan Exercise 1.2 No. 12 s.d. 28

MATRIKS

• MATRIKS adalah array bilangan dalam bentuk persegi panjang.

• CONTOH:

• Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolomnya. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dikatakan berukuran m x n.

• Elemen pada baris ke i dan kolom ke j matriks A ditulis aij. Bentuk umum:

• Notasi lain elemen aij adalah

atau

Matriks mempunyai

Bentuk-bentuk matriks khusus:1. Vektor baris: matriks dengan 1 baris, Vektor kolom: matriks dengan 1 kolom.

2. Matriks bujursangkar: banyak baris = kolom atau m=n.

Diagonal utama d=[a11, a22, . . . ,ann]

OPERASI MATRIKS• Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A=B jika atau • Jumlahan A+B matriks yang diperoleh dengan menjum-

lahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada A dan B. Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama. DKL,

• Perkalian AB didefinisikan sbb:

Agar matriks A dan B dapat dikalikan maka haruslah banyak kolom A sama dengan banyak baris B.