pertemuan 1ilmiyati.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/57178/spl+...matriks & ruang vektor...
TRANSCRIPT
Matriks & Ruang Vektor
Pertemuan 1
Sistem Persamaan Linier dan
Matriks
Start
Matriks & Ruang Vektor
Outline Materi
• Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL)
• SPL & Matriks
2
Matriks & Ruang Vektor
Persamaan Linear
• Persamaan dimana variabel atau peubahnya tidak memuat
eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain
atau dirinya sendiri
• N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b
dengan b, a1, a2, ...., an adalah konstanta-konstanta riil
• Sekumpulan nilai sebanyak n yang disubtitusikan ke n variabel :
x1=k1, x2=k2 … xn=kn
sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan
nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut Himpunan Penyelesaian (solusi
set).
3
Matriks & Ruang Vektor
Persamaan Linear
• Contoh
2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi
x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi
x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
Suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1
4
Matriks & Ruang Vektor
Sistem Persamaan Linear
• Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier
didalam n variable: x1, x2,…..,xn disebut Sistem Persamaan Linier
(SPL)
• Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x1,
x2,…..,xn :
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2
…………………………...........………
……………………………...........……
am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm
5
Matriks & Ruang Vektor
SPL
• SPL dengan satu variabel
• SPL dengan dua variabel
• SPL dengan banyak variabel
Matriks & Ruang Vektor
Contoh SPL dengan Satu Variabel
• 5x + 12 =34
• 4t -33 = 21
• 7y + 56 = 105
• Harga kamera canon ditambah pajak pembelian 10%
adalah Rp. 450000
x + 0,1 x = 1,1x = Rp. 450000
Matriks & Ruang Vektor
Contoh SPL dengan 2 variabel
Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y)
maka ia harus membayar $5.000, sedangkan jika
membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar
$10.000.
Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
x + 2y = 5000
3x + y = 10000
Matriks & Ruang Vektor
SPL & Matriks
• Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran
berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris
dan kolom-kolom. Detil disini.
9
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2
:
am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm
x = b =
Matriks Koefisien
SPL Umum:
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
:
am1 am2 am3 amn
x1
x2
:
xm
A =
Ax = b
b1
b2
:
bm
Contoh:
1. Kelompok bilangan
merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi
dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.
2. Kelompok bilangan
bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi
maupun persegi panjang, tetapi berbentuk segitiga.
BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS
1. Baris
2. Kolom
3. Elemen/unsur
4. Ordo
Baris, Kolom, dan Elemen
Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan
yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.
Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak
atau vertikal dalam matriks.
Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan
(real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.
Contoh:
Ordo dan Banyak Elemen Matriks
Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak
baris dan banyak kolom dari matriks itu.
Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks
ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom
dari matriks itu.
Contoh:
Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3
Notasi :
Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 × 3 = 6
• Matriks Baris
• Matriks Kolom atau Matriks Lajur
• Matriks Persegi
• Matriks Segitiga
• Matriks Diagonal
• Matriks Identitas
• Matriks Datar
• Matriks Tegak
• Matriks Skalar
Jenis Matriks
Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks berordo 1 × n terdiri atas satu baris dan memuat n
elemen disebut matriks baris.
Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m
elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur.
Contoh:
Matriks Persegi dan Matriks Segitiga
Misalkan suatu matriks berordo m × n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n × n disingkat matriks
berordo n disebut matriks persegi berordo n.
Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal
utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga (triangular).
Contoh:
• Matriks Persegi
• Matriks Segitiga (triangular)
Matriks Diagonal dan Matriks Identitas
Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks
yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya
bernilai nol disebut matriks diagonal.
Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada
diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks
identitas atau matriks satuan.
Contoh:
• Matriks Diagonal
• Matriks Identitas
Matriks Datar dan Matriks Tegak
Matriks berordo m × n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut
matriks datar.
Matriks berordo m × n dengan m > n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang
tegak disebut matriks tegak.
Contoh:
Matriks Skalar
• Matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan
nol atau satu.
• Contoh :
Penyajian SPL sebagai Matriks Augmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
Matriks Augmented Matriks Koefesien dengan satu
kolom tambahan, matrik B yang
unsur-unsurnya adalah konstanta-
konstanta dari ruas kanan SPL
a11 a12 a13 … a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2
:
.
am1 am2 am3 … amn bm
Matriks Augmented
atau AX = B dengan A=(aij) matriks koefisien,
X=(x1,x2,…..,xn)* dan B=(b1,b2,…,bn)
*.
Matriks lengkap sistem tersebut adalah :
mm2m1
22n2221
11n1211
b.........aa
.....................
ba.....aa
ba.....aa
(AB)
Contoh
2x1 – x2 + 2x3 = 7
x1 + 3x2 – 5x3 = 0
- x1 + x3 = 4
Dng notasi matriks
101
531
212
3
2
1
x
x
x
=
4
0
7
A X = B
3x1 – 7x2 + x3 = 0
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0
Dng notasi matriks
432
173
3
2
1
x
x
x
=
0
0
A X = B
A, matriks koefisien
X, matriks variabel /peubah
B, matriks konstanta
Pembagian SPL
1. SPL Homogen
a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + …….. + a2nxn = 0
…………………………………….
…………………………………….
am1x1 + am2x2 + …….. + amnxn = 0
Contoh:
x1 – 2x2 + 3x3 = 0
x1 + x2 + 2x3 = 0
2. SPL Non Homogen
a11x1 + a12x2 + ….+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b2
…………………………………
…………………………………
am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm
CONTOH
x1 – 2x2 + 3x3 = 4
X1 + x2 + 2x3 = 5
SPL Konsisten dan Inkonsisten
• Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka
disebut sistem persamaan linear yang konsisten,
sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian
disebut sistem persamaan linear yang inkonsisten.
• Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian
tunggal atau penyelesaian sebanyak tak berhingga.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut INKONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
P2
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:
U2
X1
U2
X1
U2
X1
P1
P2
Inkonsisten
P1 P2
Konsisten
x + y = 7 x + y = 5
Var => sama Konst => tidak
berpotongan di 1 titik berimpit berpotongan di 1 titik
P1
P2
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGEN
AX=0
NON HOMOGEN
AX=B, B≠0
SELALU ADA JAWAB
TAK PUNYA JAWAB
R(a) ≠ r(A,B)
MEMPUNYAI JAWAB
Hanya
Jawab Trivial
(x1, x2, …xn =0); r=n
Selain Jawab Trivial, Ada Juga
Jawab Nontrivial r<n
JAWAB UNIK
(TUNGGAL)
r = n
BANYAK
JAWAB
r < n
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :
Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab:
-3x+6y=-9
x-2y=3
Dalam bentuk matriks=
0:00
3:21B
9:63
3:21B
3:21
9:63-B)|(A
BxA 3
9
21
63
~
(3)
21~12
atauy
x
r(A)=r(A|B)=1 r<n Jumlah variabel=2 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen
Di bawah ini :
Jawab :
4 2x 4x 2x
3 x 3x 4x
1 2x x 3x
2 x 2x x
321
321
321
321
B xA
4
3
1
2
x
x
x
242
134
213
121
3
2
1
4242
3134
1213
2121~
)3(
21B
~
)4(
31B
~
)2(
41B
0000
55110
5550
2121
~
)5/1(
2B
0000
55110
1110
2121
0000
55110
1110
2121~
)2(
12B
)11(
32B
0000
6600
1110
0101~
)6/1(
3B
0000
1100
1110
0101~
)1(
13B
)1(
23B
0000
1100
0010
1001
Rank (A) = R (A|B) = 3 = banyaknya variabel
Jadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:
Sehingga sebagai penyelesaiannya :
1 x 1 x 0x 0x
0 xatau 0 0x x 0x
1 x 1 0x 0x x
3321
2321
1321
1
0
1
x
x
x
x
3
2
1
Sistem Persamaan Linier Homogen
Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:
a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0
a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0
am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau=
0
0
0
2
1
2
22221
11211
nmnmmn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
Jawab :
Sehingga solusinya :
Yaitu solusi trivial atau
0 x 2x x
0 2x x x
0 x x x
321
321
321
0
0
0
x
x
x
121
211
111
atau
3
2
1
0121
0211
0111
0)|(A~
)1(
21B
)1(
31B
0010
0100
0111~23B
0100
0010
0111~
)1(
12B
)1(
13B
0100
0010
0001
0 x 0x 0x
0 0x x 0x
0 0x 0x x
321
321
321
0 x, 0 x, 0 x 321
0 x
2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :
Jawab :
0 x x2x
0 4x 2x 3x x
0 x x x x
431
4321
4321
0
0
0
x
x
x
x
1102
4231
1111
atau
4
3
2
1
01102
04231
01111
0)|A(~
)1(
21B
)2(
31B
03120
03120
01111~
)1(
32B
Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4
jadi solusinya tidak tunggal
(banyak)
00000
03120
01111~
)2/1(
2B
00000
02/32/110
01111~
)1(
12B
00000
02/32/110
02/12/101
0 x2
3 x
2
1 x 0x
0 x2
1 x
2
1 0x x
4321
4321
432
431
x2
3 x
2
1 x
x2
1 x
2
1x
Dimana : x3 dan x4 bebas.
Sehingga :
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
b 2
3 a
2
1- x
b 2
1 a
2
1- didapat x
b dan x a untuk x
2
1
43
1
0
3/2-
1/2
b
0
1
1/2-
1/2-
a
b0a
0ba
3/2b-1/2a-
1/2b1/2a-
x
x
x
x
x
4
3
2
1
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
1. Yang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan
linier dalam x1, x2, dan x3?
a. x1 + 2x1x2 + x3=2
b. x1 + x2 + x3= sin k (k adalah sebuah konstanta)
c. x1 - 3x2 + 2x31/2=4
d. x1 = 2x3 - x2 + 7
e. x1 + x2-1 -3x3=5
f. x1 = x3
2. Carilah himpunan penyelesaian untuk:
a. 6x-7y=3
b. 2x1 + 4x2 - 7x3=8
3. Carilah matriks augmented untuk tiap SPL berikut:
a. x1 - 2x2 = 0 b. x1 + x3 =1
3x1 + 4x2= -1 2x2 – x3 + x5 =2
2x1 - x2 = 3 2x3 +x4 =3
41
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
4. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks
augmented berikut!
a.12
01
−11
23
0 −1 2 4 b.
100
010
001
000
123
0 0 0 1 4
5. Definisikan SPL berikut sebagai ‘Konsisten’ atau ‘inkonsisten’
dengan menggambarkan garis persamaannya.
a. x + y =4 b. x + y = 4
2x – 2y = 8 2x + 2y = 6
42