bab i spl- 2013 _pdf_

Andiani /Feb’13/FTUI

1

B A B I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 1.1 Pendahuluan Sistem Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh

persamaan yang berbentuk :

byaxa 21 =+

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan y.

(karena pangkat dari x dan y masing-masing sama dengan satu)

Secara lebih umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel x1, x2,

… xn sebagai persamaan yang dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b

dimana a1, a2, … an dan b adalah konstanta-konstanta riil.

Contoh-1:

1. x + 3y = 7

2. y = ½ x + 3z + 1

3. x1 - 2x2 - 3x3 + x4 = 5

4. x1 + x2 + ..... + xn = 1

Contoh-2:

Carilah himpunan penyelesaian dari:

1. 4x – 2y = 1

2. x1 - 4x2 + 7x3 = 5

Penyelesaian-1

Untuk menyelesaikan masalah ini, tetapkan nilai sembarang ke x, misalkan x = t,

maka: y = 2t – ½


2

Penyelesaian-2

Untuk menyelesaikan masalah ini, tetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah mana

saja, misalkan x2 = s dan x3 = t, maka: x1 = 5 + 4s – 7t

Jika banyaknya persamaan linier lebih dari satu buah, maka dinamakan Sistem

Persamaan Linier (SPL).

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut

sebagai tak-konsisten, jika punya satu penyelesaian saja maka disebut konsisten.

Tinjau persamaan linier dalam peubah x dan y

a1x + b1y = c1 (a1 dan b1 ≠ 0)

a2x + b2y = c2 (a2 dan b2 ≠ 0)

Grafik persamaan-persamaan ini berbentuk garis, sebut l1 dan l2. Ada tiga

kemungkinan:

a. Garis l1 dan l2 mungkin sejajar, tidak ada perpotongan, akibatnya tidak ada

penyelesaian terhadap sistem tersebut.

b. Garis l1 dan l2 mungkin berpotongan hanya disatu titik, akibatnya sistem

tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian.

c. Garis l1 dan l2 mungkin berimpitan, ada banyak titik potong (tak

berhingga), akibatnya sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian.

2y-2x12yx1.

:Contoh

==+

24z-y2x13z-2y-2x0zyx2.

=+==++

3xxx22xx-x-1x-3x2xx3.

432

321

4321

=++=+=++


3

Secara umum SPL terbagi atas 3 jenis :

1. SPL tidak mempunyai jawab

2. SPL mempunyai satu jawab

3. SPL mempunyai banyak jawab

Contoh :

SPL tidak mempunyai jawab :

12y2x1yx

=+=+

SPL mempunyai satu jawab :

0yx1yx

=−=+

SPL mempunyai banyak jawab :

22y2x1yx

=+=+

x

y

l1

l2

(a)

y l1& l2

x

(c)

y l1

x

l2

(b)Tidak mempunyai penyelesaian

Mempunyai satu penyelesaian

Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian


4

SPL yang akan dicari jawabnya adalah :

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

M

L

L

dimana aij (i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n) dan bi (i = 1, 2, … m) adalah

konstanta-konstanta yang diketahui.

2 brs 21

mmnm2m1

22n2221

11n1211

mnm2m1

2n2221

1n1211

2 brs

27-11-3017-7-209211

27-11z-3y17-7z-2y92zyx

1 brs 3 - 3 brs 3 brs 05-6317-7-209211

05z-6y3x17-7z-2y92zyx

1 2brs - 2 brs 2 brs 05-6313-429211

05z6y3x13z4y2x92zyx

diperbesar yang Matriks SPL: Contoh

matrix) (augmented diperbesar yang matriksdisebut

baaa

baaabaaa

koefisien matriksdisebut

aaa

aaaaaa

maka atas, di SPL Dari

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===++

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+==++

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−+=−+=++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

K

M

K

K

K

M

K

K


5

YORDAN-GAUSS ELIMINASIdisebut atas di Proses

3z 2,y 1,adalah x jawabnya Jadi

310020101001

3z2y1x

3 brs 2 brs 2 brs

3 brs - 1 brs 1 brs

3100--10

01

3z-z-y

zx

2 brs - 1 brs 1 brs 3100

--109211

3z

-z-y92zyx

3 brs (-2) 3 brs

--00-10

9211

----y92zyx

2 brs 3 - 3 brs 3 brs

27-11-30--109211

27-11z-3y--y92zyx

27

211

217

27

235

211

217

27

235

211

217

27

217

27

23

21

217

27

23

z21

217

z27

217

27

217z

27

===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===

+→

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===+

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===++

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===++

→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

===++

−

1.2 Eliminasi Gauss - Jordan

Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi (Reduced Row –

Echelon Form)

Definisi :

Suatu matriks A berordo m x n disebut matriks Eselon Baris Tereduksi

jika :


6

1. Terdapat bilangan bulat k dimana 1 ≤ k ≤ m sehingga semua unsur

pada baris k+1, k+2, … m adalah nol.

2. Unsur tak nol pertama pada baris i adalah 1 untuk i = 1, 2, … k

(dinamakan 1 utama).

3. Jika unsur 1 utama pada baris i terjadi pada kolom ci maka c1 < c2 < c3

< … < ck.

4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di

tempat lain.

Sebuah matriks yang hanya mempunyai sifat-sifat 1, 2 dan 3 dikatakan berada

dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)

Contoh:

Matriks bentuk eselon baris tereduksi

3 c 3 c 4 c 2, c 2 c 1, c 2 c 1, c

2 k 3 k 3 k

0000

,

000000000031000102-10

, 100010001

, 1-10070104001

33

212121

========

===↓↓↓

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Matriks bentuk eselon baris

5 c 3 c 3 c 2, c 2 c 1, c 2 c 1, c

3 k 2 k 3 k

1000001-10006210

, 000010011

, 510026107341

33

212121

========

===↓↓↓

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛


7

Contoh : Misal bahwa matriks yang diperbesar untuk SPL telah direduksi oleh

operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi sbb:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0000002510001301002-40061

Tentukan jawab dari sistem persamaan linier yang bersesuaian, adalah:

25xx13xx2-4x6xx

54

53

521

=+=+=++

54

53

251

5x-2x3x-1x

6x-4x-2-x

: Jadi

===

Jika dipilih x5 = t (sembarang) dan x2 = s (sembarang), maka jawabnya adalah:

jawab.banyak terdapat Jadi

tx5t-2x3t-1x

sx6s-4t-2-x

5

4

3

2

1

=====

Jadi jika SPL yang dinyatakan dalam matriks yang diperbesar diubah menjadi

bentuk eselon baris tereduksi, maka jawabnya mudah dicari. Persoalannya

menjadi bagaimana mengubah matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon

baris yang tereduksi.

Contoh-1:

pat)(tukar tem 2 brs 1 brs 1-5-65-42

2812610-4212702-00

diperbesar yang Matriks

⇔⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛


8

1 brs 1 brs 1-5-65-42

12702-002812610-42

21→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 brs 1 brs 1-5-65-42

12702-002812610-42

21→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 brs - 2 brs 29-17-0500

12702-0014635-21

utama 1

21→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

↑

2 brs 5 - 3 brs 3 brs 29-17-05006--0100

14635-21 2

7 →⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 2brs 3 brs 100006--0100

14635-21

2127 →

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

a m au t 1

)( .............. 2100006--0100

14635-21 2

7

↓↓↓

∗⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Langkah-langkah di atas dinamakan ELIMINASI GAUSS (untuk mendapatkan

bentuk eselon baris). Jika proses di atas dilanjutkan untuk mendapatkan bentuk

eselon baris tereduksi, maka dinamakan ELIMINASI GAUSS-YORDAN sbb:

3 brs 6 - 1 brs 1 brs 210000100100

14635-21

: 3 brs 2 brs 2 brs : )( 27

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+→∗


9

2 brs 5 1 brs 1 brs 2100001001002035-21

+→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

. tereduksibariseselon bentuk dalamSudah 210000100100703021

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ini berarti SPL nya adalah:

2x1x73x 2xx

5

3

421

===++

Atau

2x1x

3x-2x-7x

5

3

421

===

Jika dipilih x2 = s (sembarang) dan x4 = t (sembarang), maka jawabnya adalah

Yordan.-Gauss eliminasi dari Hasil

2xtx1xsx

3t-2s-7x

5

4

3

2

1

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=====

Contoh-2:

Pecahkan dengan menggunakan Eliminasi Gauss - Yourdan

618x4x8x6x2x515x10x5x1-3x-4x2x-5x-6x2x02x2x-3xx

65421

643

654321

5321

=++++=++=++=++

Jawab:

Matriks yang diperbesar untuk SPL tersebut adalah:


10

1 brs 2-4 brs4 brs1 brs 2-2 brs2 brs

618480625150105001-3-42-5-6200202-31

→→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 brs - 2 brs

618084005150105001-3-02-1-0000202-31

→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 brs 4-4 brs4 brs2 brs 5-3 brs3 brs

61808400515010500130210000202-31

→→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 brs 3 brs

4 brs3 brs

26000000000000130210000202-31

61→

⇔

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 brs 3-2 brs2 brsbariseselon bentuk dalamSudah

0000000100000

130210000202-31

31 →

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 brs 2 1 brs 1 brs

0000000100000

000210000202-31

31

+→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

tereduksibariseselon bentuk dalamSudah

0000000100000

00021000024031

31

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Baris terakhir dari matriks ini (0 semua) berarti :

0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 0

Yang pasti dipenuhi untuk sembarang harga-harga x1, x2, x3, x4, x5, x6 sehingga

baris ini dapat dibuang (dalam matriks di atas).


11

Ini berarti bahwa SPL nya adalah

x

2x -x2x-4x-3x-x

: Sehingga

x02xx02x4x3xx

31

6

43

5421

31

6

43

5421

===

==+=+++

31

6

5

4

3

2

1

5

4

2

xtxsx2s -xrx

2t-4s-3r -x

:adalah nya SPL jawab Sehinggatxsxrx

:adalah bebassecaraditentukandapat yang variabelJadi

=

=====

===

Dari contoh di atas, hal penting yang harus dijadikan pegangan adalah tetapkanlah

nilai-nilai sembarang pada setiap variabel tak utama.

1.3 Sistem Persamaan Linier Homogen Sebuah SPL dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol:

0nmn2m21m1

0n2n222121

0n1n212111

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

M

L

L

Setiap Spl homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,

….., xn = 0 selalu merupakan solusi. Solusi tersebut dinamakan solusi trivial

(trivial Solution).


12

Ada 2 kemungkinan untuk SPL homogen :

1. Solusinya trivial.

2. Solusinya banyak (tak terhingga).

Jika sistem persamaan homogennya memiliki lebih banyak bilangan tak

diketahui dari banyaknya persamaan, maka dipastikan mempunyai solusi tak

trivial.

Contoh :

Pecahkan sistem persamaan homogen berikut dengan menggunakan

eliminasi Gauss-Jordan :

0xx-x0x-2xx

321

321

=+=+

Jawab:

Matriks yang diperbesar adalah

1 brs-2 brs2 brs011-101-21

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2 brs -2 brs023-001-21

31→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2 2brs-1 brs1 brs01001-21

32-

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0-10001

32

31

Ini berarti:

0x-x0xx

332

2

331

1

==+

solusi) hingga(tak banyak lTak trivia Solusi 0 s Jika

Trivial Solusi 0 s Jika

s - x

s x

s x

31

1

32

2

3

→≠→=

=

=

=


13

Teorema-1:

SPL homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya

persamaan selalu mempunyai tak hingga banyaknya solusi.

1.4 Matriks Dan Operasi Matriks

Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berorde m x n

Jika A adalah sebuah matriks, maka aij adalah entri yang terdapat di dalam baris i

dan kolom j dari A. Dengan demikian matriks Amxn yang umum adalah :

aaa

aaaaaa

A

mnm2m1

2n2221

1n1211

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

K

M

K

K

Jika m = n maka matriks A disebut matriks bujursangkar, dan entri-entri a11, a22,

….., ann dikatakan berada pada diagonal utama dari a.

utama diagonaldisebut )a , ,a ,(a

aa

aaaa

A

nn2211

n2n

2n2221

1n1211

L

K

M

K

K

↓

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nna

aa

1.4.1 Definisi Penjumlahan Matriks

Jika diketahui Amxn maka entri-entri :

C = A + B di definisikan sebagai :

cij = aij + bij i = 1, 2, 3, …, m

j = 1, 2, 3, …, n

Matriks-matriks yang ordenya berbeda tidak dapat ditambahkan.

Contoh:

Diketahui matriks-matriks berikut:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

072-44201-3012

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

54-231-0221534-

B , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2211

C


14

Maka:

A + B = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

530732214542-

, sedangkan A + C dan B + C tidak didefinisikan

1.4.2 Definisi Perkalian Skalar

Jika diketahui Amxn maka entri-entri B = cA adalah :

bij = caij i = 1, 2, 3, …, m

j = 1, 2, 3, …, n

Contoh-1:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

01-3124

A maka 02-6248

2A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= dan

013-1-2-4-

(-1)A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Contoh-2:

Jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

7-52-321

A dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1-4321-0

B

maka ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

14-3-2-10

) (-B

dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

6-15-131

14-3-2-10

7-52-321

(-B) A B -A

1.4.3 Definisi Perkalian Matriks

Jika diketahui Amxn dan Bnxr maka hasilkali dari A dan B yaitu C = AB

adalah matriks Cmxr yang unsur-unsurnya adalah :

r ..., 2, 1, j

m ..., 2, 1, iuntuk b a ... b a b a b a c njin2ji2n

1k1ji1kjikij

=

=+++== ∑=

Dengan demikian unsur cij diperoleh dari baris ke-i dari A dan kolom ke-j dari B.

Jadi:


15

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mrm1

1r11

nrn1

2r221

1r11

mnm2m1

21

1n1211

cc

cc

bb

bbbb

aaa

aaa

L

M

L

LL

M

LL

LL

L

M

L

M

L

ij

nj

j

ij

inii c

b

bb

aaa

Hasil kali C = AB mempunyai jumlah baris yang sama dengan A dan jumlah

kolom yang sama dengan B.

Contoh-1:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

1662-4

4x11x(-3)3x54x21x43x(-2)(-1)x12x(-3)1x5(-1)x2(2x4)1x(-2)

123-4

52-

413121

Contoh-2:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4-10-46

(-4)x2(-2)x(-2)(-4)x1(-2)x33x21x(-2)3x11x3

212-3

4-2-31

Syarat perkalian matriks AB adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B.

A B AB m x r r x n = m x n

Contoh-3

definisi tidak terAB 514321

B2211

A →⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Misal Amxn dan Bnxr sehingga AB terdefinisi.

Dalam memandang BA, terdapat beberapa kemungkinan :

a. BA tidak terdefinisi. Ini akan terjadi jika r ≠ m.

b. Jika BA terdefinisi, maka BA mempunyai orde nxn dan AB berorde mxm.

c. Jika BA dan AB mempunyai orde yang sama, belum tentu BA = AB.

di dalam = sama di luar


16

BA AB ,31-71

BA dan 22-32

AB maka1012

B ,31-21

A 3.

BAdan (AB) maka Bdan A Misal2..erdefinisiBA tidak tdan (AB) maka Bdan A Misal1.

: Contoh

3x32x23x22x3

2x43x42x3

≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→

34x-2x3x7x2x-5x4x-3x2x

: Contoh

matrix). (augmented diperbesar yang matriksdisebut

baaa

baaabaaa

: matriksdan koefisien matriksdisebut A MatriksB AX: ditulisdapat atas di (SPL)Linier Persamaan Sistem Maka

b

bb

B,

x

xx

X,

aaa

aaaaaa

A

: matriks-matriks Definisi

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

:Linier Persamaan Sistem kembali Pandang

421

31

4321

mmnm2m1

22n2221

11n1211

m

2

1

n

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

=+=+=++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=+++

=+++=+++

K

M

K

K

MM

K

M

K

K

L

M

L

L

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

375

xxxx

4-0230102-14-32

: ditulisdapat atas di SPL

4

3

2

1


17

1.4.4 Definisi Transpose

Jika A berorde mxn, maka transpose A dinyatakan oleh At dan

didefinisikan sebagai matriks nxm yang kolom pertamanya = baris pertama dari

A, kolom 2 = baris 2 dari A, dan seterusnya.

Dengan perkataan lain :

B = At ↔ bij = aji, i = 1, 2, 3, …, n

j = 1, 2, 3, …, m

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1-0533-2461

B 1-3403-6521

B

aaaaaaaaaaaa

A aaaaaaaaaaaa

A

:Contoh

t

342414

332313

322212

312111

t

34333231

24232221

14131211

1.5 Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks

(Aljabar Matriks dan Matriks Balikan)

Teorema-2:

1. A + B = B + A (komutatif penjumlahan)

2. A + (B+C) = (A+B) + C (assosiatif penjumlahan)

3. A (BC) = (AB) C (assosiatif perkalian)

4. A (B+C) = AB + AC (distributif)

5. (B+C) A = BA + CA (distributif)

6. A (B-C) = AB – AC

7. (B-C) A = BA – CA

8. a (B+C) = aB + aC (a=skalar)

9. a (B-C) = aB – aC

10. (a+b) C = aC + bC (a, b = skalar)

11. (a-b) C = aC – bC

12. (ab) C = a (bc)

13. a (BC) = (aB) C = B (aC)


18

0000

AB maka0053

B, 2010

A

: Contoh0 Batau 0 A tentu belum 0), (matriks 0 AB Jika

A A 0 0 A

0

000

000000

: nol unsurnya semua : nol Matriks

mxn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

====+=+

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

L

M

L

L

Teorema-3:

a) A + 0 = 0 + A = A (0 = matriks nol)

b) A – A = 0

c) 0 – A = -A

d) A0 = 0; 0A = 0

Teorema-4:

Setiap sistem persamaan linier tidak mempunyai jawab, tepat satu jawab,

atau tak hingga banyaknya jawab.

Bukti :

Anggap bahwa AX = B mempunyai lebih dari satu jawab dan misalnya

x1 dan x2 adalah 2 jawab yang berbeda.

0 ) x- A(x0 Ax -Ax

B AxB Ax

: Jadi21

21

2

1

==

→==

Jika dimisalkan x0 = x1 – x2 dan jika dimisalkan k skalar sembarang, maka:

A (x1 + kx0) = Ax1 + A (kx0)

= Ax1 + k (Ax0)

= B + k. 0

= B + 0

= B


19

Yang berarti bahwa x1 + kx0 adalah jawab dari AX = B. Karena tak terhingga

banyaknya pilihan untuk k, maka AX = B mempunyai tak terhingga banyaknya

jawab.

A aaaaaa

100010001

aaaaaa

AI

A aaaaaa

aaaaaa

1001

A I

: Maka

aaaaaa

A

: Contoh

A A I A AI: maka mxn, matriksadalah A Jika

... seterusnyadan ,

1000010000100001

I,100010001

I,1001

I

: matrix)(identity Satuan Matriks

232221

131211

232221

1312113

232221

131211

232221

1312112

232221

131211

m

n

432

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Definisi:

Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika dapat mencari matriks B

sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B

disebut invers dari A.

Notasi : B = A-1


20

2

2

I 1001

31-5-2

2153

BA

I 1001

2153

31-5-2

AB

A dari invers 2153

B,31-5-2

A

: Contoh

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Teorema-5:

Jika B dan C masing-masing invers dari A, maka B = C

Bukti :

Karena B invers A, maka BA = I → (BA)C = IC = C

Padahal (BA)C = B(AC) = BI = B

Maka B = C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ac-b-d

bc - ad

1 A maka 0, bc - ad Jika

dcba

A

: Contoh

1-

Teorema-6:

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dan ukurannya

sama, maka:

a). AB mempunyai invers

b). (AB)-1 = B-1 A-1

Bukti :

(AB) (B-1 A-1) = A (BB-1) A-1 = AI A-1 = AA-1 = I

(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1IB = B-1B = I

Ini berarti bahwa AB mempunyai invers, dan (AB)-1 = B-1 A-1


21

Perluasan:

(ABC)-1 = C-1 B-1 A-1

(ABCD)-1 = D-1 C-1 B-1 A-1

dan seterusnya

Definisi:

Jika A adalah matriks bujursangkar, maka di definisikan:

A0 = I, An = AA ….. A n>0 ↓ n faktor

A-n = (A-1)n = A-1 A-1 ….. A-1 ↓ n faktor

Teorema-7:

Jika A adalah matriks bujursangkar (kuadrat), dan r serta s adalah bilangan

bulat, maka:

a) Ar As = Ar+s

b) (Ar)s = Ars

Teorema-8:

Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka :

a) (A-1)-1 = A

b) (An)-1 = (A-1)n n = 0, 1, 2, …….

c) Untuk setiap k ≠ 0, maka (kA)-1 = k1 A-1

Bukti :

a) AA-1 = A-1A = I → A-1 mempunyai invers dan (A-1)-1 = A

b) (An)-1 = (AA ….. A)-1 = A-1 A-1 ….. A-1 A-1 = (A-1)n

↓ ↓

n n

c) (kA) (k1 A-1) =

k1 (kA) A-1 = (

k1 k) AA-1 = 1.I = I


22

Demikian juga (k1 A-1) (kA) = I sehingga kA mempunyai invers dan

(kA)-1 = k1 A-1

Teorema-9:

a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (kA)t = kAt, dimana k sembarang skalar

d) (AB)t = Bt At 1.5 Matriks Elementer Dan Metode Untuk Mencari A-1

Definisi:

Sebuah matriks nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat

diperoleh dari matriks satuan (identitas) nxn yakni In dengan melakukan sebuah

operasi baris elementer tunggal.

1dengan I darikesatu bariskalikan 100010001

d)

kesatu baris pada I dari ketiga baris3x tambahkan 100010301

c)

I darikeempat barisdan kedua barisn pertukarka

0010010010000001

b)

3-dengan I kedua bariskalikan 3-0

01a)

: Contoh

3

3

4

2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


23

Teorema-10:

Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris

tertentu pada Im dan jika A adalah matriks mxn, maka hasilkali EA adalah matriks

yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A

ketiga. baris keA darikesatu baris3x n ditambahka bila dihasilkan yang matriksmerupakan

91044631-23201

EA

: Makaketiga. baris ke I darikesatu baris3x penambahanoleh dihasilkan

103010001

E elementer Matriks

0441631-23201

A Misal

: Contoh

3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan urutan

terhingga dari operasi-operasi baris elementer, maka jelas bahwa dapat

memperoleh B kembali dari A dengan melakukan invers dari operasi baris

elementer ini dalam susunan yang sebaliknya. Matriks-matriks itu dapat diperoleh

yang satu dari yang lainnya dengan urutan terhingga dari operasi-operasi baris

elementer yang disebut ekivalen baris (row equivalent).

Teorema-11:

Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks

elementer.

E0E = I dan EE0 = I

Jadi matriks elementer E0 adalah invers dari E


24

Teorema-12:

Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen :

a) A mempunyai invers

b) AX = 0 hanya mempunyai jawab trivial.

c) A ekivalen baris terhadap In.

1-A dicariakan 801352321

A

: Invers mencariContoh

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Gandengkan matriks satuan I3 disebelah kanan A, kemudian terapkan operasi-

operasi baris pada kedua ruas hingga ruas kiri tereduksi pada I3. Maka matriks

terakhir akan mempunyai bentuk [I I A-1].


25

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→+→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1-2-53-5-13

91640-A

: Jadi

1-2-51003-5-1301091640-001

2brs2-brs1brs11-2-51003-5-130103614-021

3brs3-brs1brs13brs3brs2brs2

1-2-5100012-3-10001321

(-1)brs3brs3125-1-00012-3-10001321

2brs2brs3brs3101-52-0012-3-10001321

brs1-brs3brs32brs1-brs2brs2

100801010352001321

1-

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

Akan tetapi dengan cara di atas, sebelumnya tidak bisa diketahui apakah matriks

A mempunyai invers atau tidak. Seandainya dalam proses di atas muncul baris nol

atau kolom nol disebelah kiri, maka ini berarti bahwa A tidak mempunyai invers,

dan proses tidak dapat dilanjutkan.


26

[ ]

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+→→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111-012-001

0009-8-0461

brs2brs3brs3101980012-9-8-2001461

brs1brs3brs32brs1_brs2brs2

100521-0101-42001461

I A

521-1-42461

A

:berikut contoh pandang jelasnyaUntuk

nol baris

M

M

M

43421

M

M

M

M

M

M

Karena muncul baris nol disebelah kiri, maka A tidak mempunyai invers.

1.5.1 Sifat-Sifat Lainnya

Teorema-13:

Jika A adalah matriks nxn yang mempunyai invers, maka untuk setiap matriks

B yang berukuran nx1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu jawab,

yaitu X = A-1 B

Bukti :

Karena A(A-1 B) = B, maka X = A-1 B adalah jawab dari AX = B. Untuk

memperlihatkan bahwa ini adalah satu-satunya jawab, maka dimisalkan X0

adalah sembarang jawab, kemudian memperlihatkan bahwa X0 harus merupakan

jawab A-1 B.


27

Jika X0 suatu jawab, maka AX0 = B. Dengan mengalikan kedua ruas dengan

A-1, maka X0 = A-1 B.

2 x1,- x1, atau x

21-1

1735

1-2-53-5-13

91640- B A X

:adalah tersebut SPL jawab Sehingga

1-2-53-5-13

91640-A

:yaitu invers, mempunyaiA bahwakan diperlihat telah 1.5 bab Dalam

1735

B,xxx

X,801352321

A

: dimana B, AXbentuk dalam ditulisdapat ini SPL

178xx33x5x2x53x2xx

: SPL: Contoh

321

1-

1-

3

2

1

31

321

321

===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

=

=+=++=++

Metode tersebut akan bermanfaat ketika perlu memecahkan seluruh deret sistem :

AX = B1, AX = B2, AX = B3, ……., AX = Bk

Yang masing-masing mempunyai matriks koefisien A yang sama. Jika A

mempunyai invers, maka jawab :

X = A-1 B1, X = A-1 B2, X = A-1 B3, ……, X = A-1 Bk

Dapat diperoleh dengan menggunakan satu invers matriks dan k perkalian

matriks. Akan tetapi, metode tersebut lebih efisien terhadap bentuk matriks :

[ ] B B B A k21 L


28

Di sini matriks koefisien A “diperbesar” oleh semua k dari matriks B1, B2, … Bk.

Dengan mereduksi bentuk ini terhadap bentuk eselon baris tereduksi, dapat

memecahkan semua sistem k dengan eliminasi Gauss-Yordan.

6-8xx63x5x2x13x2xx

b)

98xx53x5x2x43x2xx

a): sistem kedua dari jawabTentukan

: Contoh

31

321

31

31

321

321

=+=++=++

=+=++=++

Jawab :

Kedua sistem mempunyai matriks koefisien yang sama. Jika memperbesar

matriks koefisien ini dengan kolom konstanta pada ruas kanan dari sistem-sistem

ini, maka diperoleh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6-61

954

801352321

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi akan

dihasilkan :

-13x1,2x2, 1adalah x b)

13x0,2x1, 1adalah x a) sistem jawab Jadi

1-12

101

100010001

===

===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Teorema-14:

Misalkan A adalah matriks bujursangkar .

a) Jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi BA = I, maka B=A-1

b) Jika B adalah matriks bujursangkar yang memenuhi AB = I, maka B=A-1


29

Teorema-15:

Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekivalen satu

sama lain:

a) A mempunyai invers.

b) AX = 0 hanya mempunyai jawab trivial.

c) A ekivalen baris dengan In

d) AX = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran nx1

Masalah:

Misalkan A adalah sebuah matriks mxn yang tetap. Carilah semua matriks B

yang berukuran mx1 sehingga sistem persamaan AX = B konsisten.

brs2-brs22b-b1-1-0b-b1-1-0

b211


b312b101b211

:adalah tersebut sistemuntuk diperbesar yang Matriks: Jawab

?Konsisten

b3xx2xbxxb2xxx

: SPL supaya bdan b ,boleh dipenuhi harus yang apasyarat -Syarat: Contoh

13

12

1

3

2

1

3321

231

1321

321

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=++=+=++


30

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

123

21

1

13

21

1

b-b-b000b-b110

b211

2 brs 3 brs3 brs2b-b1-1-0b-b110

b211

Jadi SPL tersebut mempunyai sebuah pemecahan jika dan hanya jika b1, b2, dan b3

memenuhi kondisi :

b3 - b2 - b1 = 0 atau b3 = b1 + b2

Dengan perkataan lain, maka AX = B konsisten jika dan hanya jika B adalah

matriks yang berbentuk:

?konsisten menjadi

b8xxb3x5x2xb3x2xx

: SPLagar bdan b ,boleh dipenuhi harus yang apaSyarat : Contoh

sembarang b ,b, b b

bb

B

331

2321

1321

321

21

21

2

1

=+=++=++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=


31

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

321

321

3

2

1

b-2b-5b1003b-5b-13b0109b16b40b-001

:an menghasilkakan tereduksibariseselon bentuk menjadi ini mereduksiDengan

b801b352b321

:adalah diperbesar yang Matriks: Jawab

Karena b1, b2, dan b3 dapat dipilih secara bebas (tidak ada pembahasan), maka

sistem yang diberikan oleh AX = B mempunyai jawab yang tunggal, yaitu :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

==

++=

3

2

1

3213

3212

3211

bbb

B semuaUntuk

b-2b-5bx3b-5b-13bx9b16b40b-x

Contoh :

Tentukan harga-harga a sehingga SPL berikut mempunyai :

a) Tidak mempunyai jawab.

b) Lebih dari satu jawab.

c) Jawab tunggal

23zayx3az3y2x1z-yx

=++=++=+


32

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

→→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

a-2a)-a)(2(30012a1011-11

a-2a-a-60012a1011-11

1)-(a-12)-1)(a-(a-40012a1011-11

brs2)1-(a-brs3brs3 111

41-a02a10

1-11


:berikut sebagai bariseselon bentuk menjadidiubah Kemudian 23a13a3211-11

: diperbesar yang Matriks: Jawab

2

- Sistem persamaan mempunyai jawab tunggal jika koefisien z dalam

persamaan ketiga ≠ 0, yaitu jika a ≠ 2 dan a ≠ -3.

- Dalam hal a = 2, persamaan ketiga adalah 0x + 0y + 0z = 0 sehingga sistem

persamaan mempunyai lebih dari satu jawab.

- Dalam hal a = -3, persamaan ketiga adalah 0x + 0y + 0z = 5 sehingga sistem

tidak mempunyai jawab.

Kesimpulan:

a) a = -3 → tidak mempunyai jawab

b) a = 2 → lebih dari satu jawab

c) a ≠ 2 dan a ≠ -3 → persis satu jawab


33

1.6 Jenis-Jenis Matriks

1.6.1 Matriks Bujursangkar

Jika m = n maka matriks A disebut matriks bujursangkar, dan entri-entri

a11, a22, ….., ann dikatakan berada pada diagonal utama dari a.

utama diagonaldisebut )a , ,a ,(a

aa

aaaa

A

nn2211

n2n

2n2221

1n1211

L

K

M

K

K

↓

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nna

aa

1.6.2 Matriks Transpose

Jika A berorde mxn, maka transpose A dinyatakan oleh At dan

didefinisikan sebagai matriks nxm yang kolom pertamanya = baris pertama dari

A, kolom 2 = baris 2 dari A, dan seterusnya.

Dengan perkataan lain :

B = At ↔ bij = aji, i = 1, 2, 3, …, n

j = 1, 2, 3, …, m

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2313

2212

2111t

232221

131211

aaaaaa

A aaaaaa

A

Jadi jika ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

596274

A 529764

A t

Teorema :

a) (At)t = A

b) (A ± B)t = At ± Bt

c) (kA)t = kAt, dimana k sembarang skalar

d) (AB)t = Bt At


34

1.6.3 Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya

sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

200050001

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000000001

1.6.4 Matriks Satuan (Identity)

Matriks satuan (identity) adalah matriks diagonal yang semua elemen

diagonal utamanya sama dengan satu. Matriks satuan dinyatakan dengan I.

Contoh :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000010000100001

I,100010001

I,1001

I 432 , …. dan seterusnya

Jika A adalah matriks m x n , maka A.In = A

Im.A = A

Contoh :

A aaaaaa

100010001

aaaaaa

AI

A aaaaaa

aaaaaa

1001

A I

: Maka

aaaaaa

A

232221

131211

232221

1312113

232221

131211

232221

1312112

232221

131211

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1.6.5 Matriks Singular

Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti

determinannya = 0)


35

1.6.6 Matriks Non Singular

Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti determinannya ≠ 0)

1.6.7 Matriks Simetris

Matriks bujur sangkar adalah matriks berorde m x m

Matriks bujur sangkar [aij] disebut simetrik jika aij = aji

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

495982521

A , matriks tersebut simetris dengan diagonal utamanya

Perhatikan A = At

1.6.8 Matriks Asimetris

Matriks bujur sangkar [aij] disebut anti-simetrik (asimetris) jika aij = -aji

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

09-5-902-520

B , dalam hal ini B = -Bt

1.6.9 Matriks Idempotent

Matriks bujur sangkar di mana berlaku A2 = A atau An = A, dengan n = 2,

3, 4, …

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3-2-1431-4-2-2

A

A2 = A.⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3-2-1431-4-2-2

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3-2-1431-4-2-2

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3-2-1431-4-2-2

= A


36

1.6.10 Matriks Nilpotent

Matriks bujur sangkar di mana A3 = 0

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3-1-2-625311

A

A3 = A.A.A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3-1-2-625311

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3-1-2-625311

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3-1-2-625311

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000000000

= 0

1.6.11 Matriks Nol

Semua unsurnya nol :

mxn0

000

000000

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

L

M

L

L

Jika AB = 0 (matriks 0), belum tentu A = 0 atau B = 0

0000

AB maka0053

B, 2010

A

: Contoh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Teorema :

e) A + 0 = 0 + A = A (0 = matriks nol)

f) A – A = 0

g) 0 – A = -A

h) A0 = 0; 0A = 0

1.6.12 Matriks Segitiga (Triangular Matriks):

Terdiri dari:


37

a. Matriks Segitiga Atas

Matriks bujursangkar, apabila elemen yang terletak di bawah diagonal

utamanya sama dengan nol.

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

33

2322

131211

3x3

a00aa0aaa

A

b. Matriks Segitiga Bawah

Matriks bujursangkar, apabila elemen yang terletak di atas diagonal

utamanya sama dengan nol.

Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

2221

11

3x3

bbb0bb00b

B


38

Soal:

1. Tentukan harga-harga a sehingga SPL berikut mempunyai :

a) Tidak mempunyai jawab.

b) Mempunyai satu jawab.

c) Mempunyai banyak jawab.

a)

1azyx1zayx1zyax

=++=++=++

b)

38zay2x1az2yx

=++=++

c)

1z-3y2xa2z4y3x2azyx

=+=++=++

d)

1az2yx2-z-ay2x3-3z-x

=++=+=

2. Carilah sebuah matriks K sehingga AKB = C, jika diberikan bahwa:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

19208-56-1-58

C ,1-10

102 B ,

4312-21

A

Selamat bekerja

bab i spl- 2013 _pdf_

Documents