bab 3(3) spl

26
Bab 3 : Sistem Persamaan Linear

Upload: daud-sulaeman

Post on 10-Jun-2015

227 views

Category:

Education


18 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab 3(3) spl

Bab 3 : Sistem Persamaan Linear

Page 2: Bab 3(3) spl

• Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.

• Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.

1 1 2 2 ... n na x a x a x b

Persamaan Linear

Page 3: Bab 3(3) spl

Contoh

Persamaan Linear• x + 2y = 5000• 3x + y = 10000• 2x - 3y + 5z = 30• x1 + x2 + x3 + x4 = 0

Bukan Persamaan Linear• x2 – 2y = 3• sinx + 2 cos y = 0• 3e2x – sin (x+y) = 10

Page 4: Bab 3(3) spl

• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan liniear

• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

Sistem Persamaan Linear

Page 5: Bab 3(3) spl

• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

• atau AX = Bdimana: A dinamakan matriks koefisien

X dinamakan matriks peubahB dinamakan matriks konstanta

11 11 1

11 11 2

1 1

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

1

2

m

bb

b

1

2

n

xx

x

Contoh

Page 6: Bab 3(3) spl

• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:

• Contoh

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

Augmented Matrix

Page 7: Bab 3(3) spl

• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.

• Contoh: x – 2y = 72x + 3y = 7

{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut

Solusi SPL

Page 8: Bab 3(3) spl

• Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah:– SPL mempunyai solusi tunggal– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL tidak mempunyai solusi

Solusi SPL

Page 9: Bab 3(3) spl

Artinya : SPL 2x – y = 2 x – y = 0

Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

y = x

y = 2x - 2(2, 2) merupakan titik potong dua garis tersebut

Tidak titik potong yang lain selain titik tersebut

(2, 2)x

y

1 2

2

Ilustrasi Solusi SPL Tunggal

Page 10: Bab 3(3) spl

Perhatikan SPL x – y = 02x – 2y = 0

Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya:

SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

x

x – y = 0

2x – 2y = 0 y

Ilustrasi Solusi SPL Tak Hingga Banyak

Page 11: Bab 3(3) spl

Perhatikan SPL x – y = 02x – 2y = 2

Jika digambar dalam kartesius

Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

x

y y = x y = x – 1

1

Ilustrasi SPL Tidak Punya Solusi

Page 12: Bab 3(3) spl

• Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear.

• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana

Eliminasi Gauss-Jordan

Page 13: Bab 3(3) spl

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.

Langkah-Langkah

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

1 1 2 92 4 3 10 0 0 0

Page 14: Bab 3(3) spl

3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di bawah satu utamanya.

Langkah-Langkah

1 1 2 92 1 3 13 6 5 0

1 4 3 70 1 6 20 0 1 5

Page 15: Bab 3(3) spl

5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di atas satu utamanya

Langkah-Langkah

• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss).

• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

Page 16: Bab 3(3) spl

• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gaus-Jordan

2 82 3 1

3 7 4 10

x y zx y zx y z

Contoh

Page 17: Bab 3(3) spl

2 1 3 13

2 3 3 2

1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371

0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 110 552

0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2

b b b bb

b b b b

Solusi

Jadi solusi dari SPL x = 3y = 1z = 2

1 2

2

1 3

1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8

1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93

3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14

b bb

b b

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

Page 18: Bab 3(3) spl

Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1 x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3

2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1

3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1 -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1

x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1

Latihan Soal

Page 19: Bab 3(3) spl

Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah

ke-i, xi)

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

11

21111

11111

nx

x

x

2

1

nb

b

b

2

1

Solusi SPL dengan Aturan Cramer

Page 20: Bab 3(3) spl

• Hitung determinan A (|A|)• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i

diganti oleh Matriks B. Contoh :

• Hitung |Ai|

• Solusi SPL untuk peubah xi adalah

1 12 1

2 21 21

2

n

n

n n nn

b a a

b a aA

b a a

11 1 1

11 2 22

1

n

n

n n nn

a b a

a b aA

a b a

det( )det( )

ii

Ax

A

Langkah-Langkah

Page 21: Bab 3(3) spl

• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer

• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

x

y

z

Contoh

Page 22: Bab 3(3) spl

• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)

8

1

10

B

1 1 2

1 2 3

3 7 4

Ax

X y

z

2 3 1 3 1 21 1 2

7 4 3 4 3 7

1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)

13 13 26 52

A

Solusi

Page 23: Bab 3(3) spl

1

8 1 2

1 2 3

10 7 4

A 1

2 3 1 3 1 28 1 2

7 4 10 4 10 7

8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)

8(13) 26 26 156

A

2

1 8 2

1 1 3

3 10 4

A2

1 3 1 3 1 11 8 2

10 4 3 4 3 10

1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)

26) 104 26 52

A

3

2 1 1 1 1 21 1 8

7 10 3 10 3 7

1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)

13 13 104 104

A3

1 1 8

1 2 1

3 7 10

A

Page 24: Bab 3(3) spl

Solusi

1

2

3

det( ) 1563

det( ) 52det( ) 52

1det( ) 52det( ) 104

2det( ) 52

Ax

AA

yAA

zA

Solusi dari SPLx = 3y = 1z = 2

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

Page 25: Bab 3(3) spl

Bentuk umum:

• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten, selalu mempunyai solusi.

• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah• Jika tidak demikian,

SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter)

SPL Homogen

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

Page 26: Bab 3(3) spl

Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!

1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1 x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3

2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1

3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1 -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1

x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1

Latihan Soal