spl homogen

51
SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n m1 1 m2 2 mn n ax ax ......... ax 0 ax ax ......... ax 0 a x a x ........ a x 0 SPL dengan m persamaan dan n variabel. 11 12 1n 1 21 22 2n 2 m1 m2 mn n a a .......... a x 0 a a .......... a x 0 a a .......... a x 0 A mn x = 0

Upload: oakes

Post on 22-Jan-2016

512 views

Category:

Documents


56 download

DESCRIPTION

SPL HOMOGEN. Bentuk umum: Dalam bentuk matrik :. SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0. pasti ada penyelesaian trivial (sederhana). SPL HOMOGEN. atau. Selalu konsisten. penyelesaian trivial + tak berhingga banyak penyelesaian taktrivial (tidak semuanya nol ). - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

SPL HOMOGENBentuk umum:

Dalam bentuk matrik :

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n

m1 1 m2 2 mn n

a x a x ......... a x 0

a x a x ......... a x 0

a x a x ........ a x 0

SPL dengan m persamaan dan n variabel.

11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn n

a a .......... a x 0

a a .......... a x 0

a a .......... a x 0

Amn x = 0

SPL HOMOGEN

pasti ada penyelesaian trivial (sederhana)

penyelesaian trivial +tak berhingga banyakpenyelesaian taktrivial(tidak semuanya nol )

atau

1 2 nx 0, x 0, ........ x 0

Selalu konsisten

ILUSTRASI:a1x + b1y = 0 (a1, b1 keduanya tidak nol)a2x + b2y = 0 (a2, b2 keduanya tidak nol)

(a) Hanya solusi trivial (b) Solusi banyak

SPL homogen Amn x = 0

a) m > n hanya mempunyai solusi trivial

b) m = n jika

c) m < n mempunyai solusi tidak trivial

A 0 trivial

A 0 tidak trivial

(m: persamaan, n: variabel)

mempunyai kemungkinan penyelesaian :

Contoh : (Solusi trivial)1.Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : 3 a + b = 0 a – b = 0 Jawab : 4 a = 0 3 a + b = 0 3(0)+ b = 0

A 0m = n

3 a + b = 0 a – b = 0

a = 0

b = 0

2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab :

1 2 0 x 0

-1 -2 1 y 0

2 3 1 z 0

1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0

A b -1 -2 1 0 ~ 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0

2 3 1 0 0 -1 1 0 0 0 1 0

m = nA 0

Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom

matrik A memiliki satu utama (matrik identitas),

sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

x 0

y 0

z 0

Contoh :(Solusi tak trivial)

1. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 5 a – b + c = 0 Jawab :

m < n

3 1 1 0

5 -1 1 0

b1(1/3)1 13 31 0

5 -1 1 0

b21(-5)

1 13 3

2 23 3

1 0

0 -2 - 0

b2(-3/8) 1 13 3

14

1 0

0 1 0

b12(-1/3) 14

14

1 0 0

0 1 0

Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum)

Misalkan : c = 4

c = -4

c = 1

c = -1

a = - 1 dan b = - 1

a = 1 dan b = 1

a = - ¼ dan b = - ¼

a = ¼ dan b = ¼

Diperoleh solusi tak trivial

2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini:

Jawab :

Bentuk matriks:

m< n

Bentuk akhir eselon-baris tereduksi:

.tx,0x,x,sx,tsx 54321 t

dan penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s = t = 0.

solusi umum :

Terdapat 2 variabel bebas yaitu x2 dan x5

Misalkan : x2 = s dan x5 = t, maka diperoleh :

3. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x1 + 2x3 + 3 x4 = 0

2x1 + x2 + 3x3 + 3 x4 = 0

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

Jawab :

1 0 2 3 0

0 1 -1 -2 0

0 0 0 0 0

~

1 0 2 3 0

2 1 3 3 0

1 1 1 1 0

Terdapat 2 variabel bebas yaitu : x3 dan x4

Misalkan x3 = s dan x4 = t , maka diperoleh :

m< n

solusi umum :

Solusi trivialnya terjadi pada saat s = t = 0

1

2

3

4

x 2s 3t

x s 2t

x s

t x

4. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini :x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3 x – 3w = 0 Jawab :

m = nA 0

~

~

1 -1 2 -1 0

0 3 -6 0 0

0 1 -2 0 0

0 3 -6 0 0

1 0 0 -1 0

0 1 -2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 -1 2 -1 0

2 1 -2 -2 0A b

-1 2 -4 1 0

3 0 0 -3 0

Pada matrik terakhir terlihat hanya 2 kolom yang

memiliki satu utama atau terdapat 2 baris nol, ini berarti

bahwa SPL tidak trivial dengan 2 variabel bebas yaitu z

dan w. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka

diperoleh penyelesaian umum :

OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.

x t

y 2s

z s

w t

Metode Jacobi :

0.993

1.985

Metode Jacobi : x1dan x2 disebut bilangan iterasi

Ketika n = 4, maka bilangan iterasi ke 4 adalah

Hasil akhir dari metode Jacobi mendekati solusi sebenarnya yaitu : metode Jacobi menyatu

1

2

,sehingga dalam kasus ini

(konvergen)

Metode Gauss – Seidel : dengan pola perhitungan zigzag

Dapat dilihat bahwa metode Gauss-Seidel pada kasus ini juga menyatu, bahkan lebih cepat dibandingkan Jacobi

Metode Gauss – Seidel dengan jawaban menyebar (divergen)

Jawaban sebenarnya adalah : 1

2

x 2

x 1

(lihat gambar)

Diagonal matrik dominan sempurnaMatrik A dikatakan memiliki diagonal dominan sempurna jika :

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a .......... a

a a .......... a

A=

a a .......... a

11 12 13 1n

22 21 23 2n

mn n1 n2 n,n-1

a a a ......... a

a a a ......... a

a a a ......... a

Jika SPL nxn mempunyai diagonal dominan sempurna pasti memiliki solusi tunggal, sehingga iterasi metode Jacobi’s maupun Gauss – Seidel mendapatkan hasil yang menyatu (konvergen)

APLIKASI SPLSPL dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah

di bidang, biologi, kimia, fisika, ekonomi, arus lalu lintas dan lain-lain.

Aplikasi SPL dalam bidang biologi.1. Ahli biologi menempatkan 3 jenis bakteri pada tabung reaksi

yang diberi tanda Strain I, Strain II dan Strain III. Ada 3 macam makanan yang berbeda (A, B dan C) yang setiap

hari disediakan yaitu 2300 satuan A, 800 satuan B dan 1500 satuan C.

Masing-masing bakteri mengkonsumsi sejumlah satuan makanan seperti ditunjukkan dalam tabel 1.

Berapa banyak bakteri setiap Strain yang berada dalam tabung reaksi yang menghabiskan makanan?

Tabel 1. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain IIIMakanan A 2 2 4Makanan B 1 2 0Makanan C 1 3 1Jawab :Misalkan : x1, x2 dan x3 adalah jumlah bakteri dari Strain I, Strain II

dan Strain III. Bakteri Strain I mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2

satuan, sehingga jumlah total makanan A yang dikonsumsi per-hari adalah 2 x1.

Demikian pula untuk Strain II dan Strain III, mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2x2 dan 4x3

Makanan A yang disediakan berjumlah 2300 satuan, dengan demikian dapat dituliskan persamaan berikut : 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2300

Dengan cara yang sama dapat dituliskan persamaan untuk jenis makanan B dan C sebagai berikut : x1 + 2x2 = 800

x1 + 3x2 + x3 = 1500

Jadi terbentuk SPL dengan 3 variabel. Dengan OBE diperoleh :

2 2 4 2300

1 2 0 800

1 3 1 1500

1 0 0 100

0 1 0 350

0 0 1 350

Strain I : 100Strain II : 350Strain III: 350

2. Sama seperti soal 1 namun tabel 1 diubah menjadi tabel 2. Tabel 2. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III JumlahMakanan A 1 1 1 1500Makanan B 1 2 3 3000Makanan C 1 3 5 4500Jawab :

1 1 1 1500

1 2 3 3000

1 3 5 4500

1 0 -1 0

0 1 2 1500

0 0 0 0

SPL baru : x1– x3 = 0 x2– 2x3 = 0

Variabel bebas : x3

Misalkan : x3 = tMaka x1 = t x2 = 1500 – 2t

Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin

negatif. Oleh karenanya, t ≥ 0 dan 1500 – 2 t ≥ 0. Dari

kedua ketidaksamaan tersebut diperoleh : 0≤ t ≤750.

Dengan demikian terdapat 751 nilai t yang memenuhi

dan bentuk persamaannya adalah :

1

2

3

x t 0 1

x 1500 2t 1500 t 2

t 0 1x

Aplikasi SPL dalam bidang kimia.Persamaan reaksi kesetimbanganReaksi gas Hidrogen (H2) dengan Oksigen (O2)

menghasilkan air (H2O) yang ditulis dalam persamaan

reaksi kesetimbangan sebagai berikut : 2 H2 + O2

Berarti 2 molekul Hidrogen dengan 1molekul Oksigen membentuk 2 molekul air.

Terjadi kesetimbangan karena ruas kiri dan ruas kanan mengandung 4 atom Hidrogen dan 2 atom Oksigen

2 H2O

Contoh:1. Amonia (NH3) dalam Oksigen menghasilkan Nitrogen

(N2) dan air. Tentukan persamaan reaksi kesetimbangan kimianya.

Jawab : Misalkan jumlah molekul dari amonia, oksigen,

nitrogen dan air adalah : w, x, y dan z. Maka persamaan reaksi kesetimbangan dapat

ditulis dalam bentuk : wNH3 + xO2

Kemudian bandingkan jumlah atom nitrogen, hidrogen dan oksigen yang direaksikan dengan yang dihasilkan.

yN2+ zH2O

Diperoleh persamaan sebagai berikut :Nitrogen : w = 2yHidrogen : 3w = 2z Oksigen : 2x = z Jika ditulis dalam bentuk persamaan standard, maka

terlihat SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut :

w – 2 y = 03w – 2 z = 0 2 x – z = 0

m < n Tidak trivial

1 0 -2 0 0

3 0 0 -2 0

0 2 0 -1 0

23

12

13

1 0 0 - 0

0 1 0 - 0

0 0 1 - 0

Jadi : w = 2/3 z x = ½ z y = 1/3 z

w = 4

y = 2z = 6

x = 3

Persamaan kesetimbangan ditulis sebagai berikut:4NH3 + 3O2 2N2+ 6H2O

2. Selesaikan persamaan reaksi pembakaran gas Propana (C3H8) oleh Oksigen (O2) berikut ini :

(x1)C3H8 + (x2)O2

Jawab :Penulisan secara matrik setiap molekul adalah sebagai

berikut :C3H8 : , O2 : , CO2 : dan H2O :

Jumlah atom C, atom H dan atom O di ruas kiri harus sama dengan ruas kanan.

3

8

0

0

0

2

1

0

2

0

2

1

O

H

C

(x3)CO2 + (x4) H2O

Maka :

Terbentuk SPL Homogen berikut ini :

3

8

0

x1 +

0

0

2

x2 =1

0

2

x3 +0

2

1

x4

3 0 -1 0 0

8 0 0 -2 0

0 2 -2 -1 0

3 0 -1 0 0

0 2 -2 -1 0

0 0 -4 3 0

-12 0 0 3 0

0 -4 0 5 0

0 0 -4 3 0

-4 0 0 1 0

0 -4 0 5 0

0 0 -4 3 0

Hasilnya : x1 = ¼ , x2 = 5/4, x3 = ¾ dan x4 = variabel bebas

Ambil : x4 = 4,

Maka persamaan reaksi kesetimbangan menjadi :

C3H8 + 5O2

x1 = 1 x2 = 5 x3 = 3 , dan

3CO2 + 4H2O

Aplikasi SPL dalam bidang fisika.SPL dalam bidang fisika difokuskan dalam menentukan

besar arus listrik yang mengalir dalam suatu rangkaian.

Digunakan hukum Kirchhoff :Pada titik persimpangan : Jumlah arus yang masuk = jumlah arus yang keluarPada suatu loop : Perhitungan aljabar dari tegangan = perhitungan

aljabar penurunan tegangan

Berdasarkan hukum Ohm,

penurunan tegangan E pada setiap resistor adalah :

Dengan : i = kuat arus (ampere)

dan R = resistor/hambatan (Ω)

E= i R

Contoh :Tentukan i1, i2 dan i3 pada rangkaian berikut ini :

Jawab :Penyelesaian soal ini didasarkan pada hukum Kirchhoff

dan Ohm dengan menggunakan SPL berikut ini :

Persamaan ditulis dalam notasi matrik dan diselesaikan dengan OBE berikut ini :

Aplikasi SPL dalam bidang ekonomi.SPL di bidang ekonomi kebanyakan digunakan untuk

menentukan biaya ekuilibrium pengeluaran dalam suatu periode tertentu sehingga pendapatan yang ada sesuai dengan pembelanjaannya.

Contoh : Setiap tahun, sektor barang dagangan (A) menjual 80%

outputnya kepada sektor jasa dan sisanya disimpan.Sedangkan sektor jasa (B) menjual 60% outputnya kepada

sektor barang dagangan dan sisanya disimpan. Bagaimana cara penentuan biaya ekuilibrium setiap sektor

pertahun sehingga pendapatan masing-masing sektor sesuai dengan pengeluaran ?

Buat daftar pengeluaran masing-masing sektor : Sektor

Barang dagangan (A)

Sektor Jasa(B)

Dibeli oleh :

0,8 0,4

0,60,2BA

Kolom menunjukkan output, sedangkan baris

menunjukkan pengeluarannya masing-masing sektor

Maka SPL yang dihasilkan adalah :A = 0,2 A + 0,6 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (1)B = 0,8 A + 0,4 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (2)Dalam notasi matrik :

Bila B = 80, maka A = 60. Jadi, biaya ekuilibrium untuk sektor barang dagangan adalah 60, sedangkan sektor jasa adalah 80

0,8 0,6 0

0 0 0

0,8 0,6 0

0 0 0

Hasil umumnya : A = 6/8 B, dengan B adalah variabel bebas.

Aplikasi SPL dalam bidang arus lallu lintasPada suatu daerah terdapat jalan raya seperti gambar di bawah ini :

Angka-angka yang terdapat pada gambar menyatakan jumlah kendaraan yang melintasi jalan.

Dengan prinsip bahwa jumlah mobil yang masuk menuju ketitik persimpangan A, B, C dan D harus sama dengan jumlah yang, keluar, tentukan jumlah kendaraan pada x1, x2, x3 dan x4!

Dengan demikian dapat ditulis SPLnya sebagai berikut :Titik persimpangan A:x1 + 380 = x2 + 430

Titik persimpangan B:x2 + 540 = x3 + 420

Titik persimpangan C:x3 + 470 = x4 + 400

Titik persimpangan D:x1 + 590 = x4 + 450

x1 – x2 = 50 (1)

x2 – x3 = –120 (2)

x3 – x4 = –70 (3)

x1 – x4 = – 140 (4)

Dengan menggunakan OBE dari matrik, diperoleh :

Hasil akhir SPL adalah konsisten dan mempunyai

banyak himpunan penyelesaian.

Jika diambil : x4= 420, maka :

x1= 280

x2= 230

x3= 350

Aplikasi SPL dalam bidang komputer Menganalisa jaringan komputer . Prinsipnya : Aliran masuk = aliran keluar

Dengan menggunakan OBE Gauss-Jordan diperoleh :

1 0 0 1 15

1 -1 0 0 10

0 1 1 0 25

0 0 1 -1 20

1 0 0 1 15

1 1 0 1 5

0 0 1 -1 20

0 0 0 0 0

Hasil akhir menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan f4 merupakan variabel bebas.

Solusi umum : f1 = 15 – t

f2 = 5 – t

f3 = 20 + t

f4 = t

Soal latihan :1. Tentukan penyelesaian SPL Homogen berikut ini: 2x1 – x2 +3x3 – x4= 0

x1 +2x2 – x3 + 2x4= 0

3x1+ x2 – 4x3 + x4= 0

4x1–3x2 – 2x3 + 3x4= 0

2. Cari nilai x1dan x2 dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel pada persamaan berikut ini:

7x1– x2 = 6

x1– 5x2 = –4

Bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang eksak (sesungguhnya).

3. Cari persamaan reaksi dari : NaHCO3 + H3C6H5O7 Na3C6H5O7 + H2O + CO2

4. Buatlah arah arus rangkaian listrik diagram di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari masing-masing arus tersebut.