modul 6 spl

MODUL VISISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

PRAYUDI

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel

yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn

yang dinyatakan dalam bentuk :

dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis.

Contoh Persamaan linier :(1). 2x1 + 4x2 = 10(2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5

12211 ... bxaxaxa nn

Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk :

dimana x1, x2, …, xn disebut variabel

yang tidak diketahui, aij konstanta

koefisien sistem persamaan linier dan

bj konstanta yang diketahui

mnmnmm

nn

nn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..................................................

...

...

...

...

2211

44242141

33232131

22222121

11212111

Bentuk Matrik SPL

Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi, AX=Batau,

SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :(a). SPL homogen, jika koefisien matrik

B=0(b). SPL non homogen, jika terdapat

koefisien matrik B tak nol

n

3

2

1

n

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

...

...............

...

...

...

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

633

532

2232

4432

421

431

432

321

xxx

xxx

xxx

xxx

CONTOH :SPL non homogen

Bentuk matrik SPL

6

5

2

4

3013

3201

2320

0432

4

3

2

1

x

x

x

x

KONSISTENSI SPL

Perhatikanlah contoh berikut Kasus 1. SPL berbentuk x + 2y = 10 x – y = 4Dalam bentuk grafik solusinya adalah

x+2y = 10 x – y = 4 (6,2)

SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2

Kausus 2. SPL berbentuk : x + 2y = 4 2x+ 4y = 8

x+2y = 4 ; x = 4 – 2y

2x + 4y = 8

SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t

Kasus 3. SPL benbentuk : x + 2y = 4 x + 2y = 8Dalam grafik adalah :

x+2y = 8

x+2y = 4

SPL tidak konsisten, tidak ada solusi

BAGAN KONSISTENSI SPLSISTEM PERSAMAAN LINIER

AX=B

SPL HOMOGEN AX = 0

SPL NON HOMOGENAX = B

SPL HOMOGEN KONSISTEN

SPL NH TIDAK KONSISTEN

SPL NHKONSISTEN

TRIVIALr(A)=r(A,0)=n

xi=0

NON TRIVIALr(A)=r(A,B)=r<n

xi0

SOLUSI TUNGGAL

r(A)=r(A,B)=n

SOLUSI ADAPARAMETER

r(A)=r(A,B)=r<n

Metode Solusi SPL

Metode Eliminasi Gouss Metode Eliminasi Gouss Jourdan Metode Crammer Metode Invers Matrik Metode Dekomposisi Matrik Metode Gouss Seidel Metode Jacobi Metode Numerik Solusi dengan program komputer

METODE ELIMINASI GOUSSOPERASI ELEMENTER BARIS :(1). Hi k Hi : Kalikan sembarang baris ke-I

dengan konstanta tak nol k(2). Hi Hj Tukarkanlah semua elemen

baris ke-i dengan baris ke-j(3). Hi Hi + kHj Kalikanlah baris ke-j dengan

konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I

RANK MATRIKRank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi.

MATRIK ESELON BARISMatrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :(1). Jika suatu baris yang elemenya

tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot

(2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik

(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi.

(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah

CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut ini

Iterasi-11 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H10 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H10 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1

Matrik Asal1 2 3 4 5 82 3 4 6 7 93 5 6 7 8 101 2 4 7 9 152 3 6 12 15 23

Iterasi-21 2 3 4 5 80 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H20 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2

Iterasi-31 2 3 4 5 80 1 2 2 3 70 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3

Dari matrik eselon diperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol

matrik eselon = 3(2). Rank matrik A, r(A)=3

METODE ELIMINASI GOUSS

Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu : AX = BLangkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb :(1). Bentuk matrik lengkap [A,B](2). Reduksilah matrik lengkap

[AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris

(3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya.

(4). Konsistensi SPL (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL

konsisten solusi tunggal (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka

SPL konsisten solusi memuat parameter

(c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi

(5). Solusi SPL (a). Jika SPL konsisten, susunan

SPL dari matrik eselon (b). Tentukan solusi SPL dengan

cara eliminasi berulang dari xn ke x1

CONTOH : TIDAK KONSISTEN Tentukanlah solusi SPL jika ada

JawabMatrik lengkap SPL :

Operasi elementer barisReduksi x1

1053

832

522

221

321

321

xxx

xxx

xxx

10531

8132

5221

],[ BA

`

5310

2310

5221

H2 H2 – 2H1H3 H3 – 1 H1

Reduksi x2

Jadi,

Analisis(1). Jumlah baris tak nol A = 2,

sehingga r(A) = 2(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,

sehingga, r(A,B)=3(3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL

tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi

`

3000

2310

5221

H3 H3+H2

`

3000

2310

5221

],[

BAE

CONTOH : SOLUSI PARAMETER

Tentukanlah solusi SPL jika ada


142486

7243

24274

26242

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

142486

71243

24274

26242

],[ BA

Reduksi x11 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H10 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1

Reduksi x21 2 -1 3 -10 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H20 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2

Reduksi x31 2 -1 3 -10 1 -2 8 -60 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3

SOLUSI : SPL Parameter

00000

2-6100

6-82-10

1-31-21

),( BAE

Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3,

sehingga r(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,

sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidak

diketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka

SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=1) parameter

26

682

132

43

432

4321

xx

xxx

xxxx

Solusi :x4 = t, t parameterx3 = –2 – 6x4 = –2 – 6tx2 = –6 + 2x3 – 8x4 = –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t = – 10 – 20tx1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4 =1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t = 19 + 31t

SPL dari matrik eselon

CONTOH : SOLUSI PARAMETER

Tentukanlah solusi SPL jika ada


1 2 3 4 2 x1 02 5 4 6 5 x2 03 5 6 7 6 x3 01 2 4 7 9 x4 02 3 8 10 3 x5 0

0310832

017421

087673

056452

024321

],[ BA

Reduksi x11 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H10 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H10 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1

Reduksi x21 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H20 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2

Reduksi x31 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 00 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3




diketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka

SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=2) parameter

000000

000000

01-3100

012-2-10

024321

),( BAE

SOLUSI : SPL Parameter

Solusi :x5 = s, s parameterx4 = t, t parameterx3 = –3x4 + x5 = –3t + sx2 = 2x3 + 2x4 – x5 = 2(–3t + s) + 2t – s = – 4t + sx1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5 = –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s = 13t – 7s

03

022

02432

543

5432

54321

xxx

xxxx

xxxxx


CONTOH : SOLUSI TUNGGAL

Carilah solusi SPL jika ada

JawabMatrik lengkap SPL adalah :

1342

72243

28274

46242

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

134211

72243

24274

46242

],[ BA

Reduksi x11 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H10 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1

Reduksi x21 2 -1 4 20 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2

Reduksi x31 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 13 H3=(1/a33)H30 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3

Reduksi x41 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 130 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4




diketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka

SPL konsisten dan solusi tunggal


2

136

682

242

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

Solusi :x4 = 2x3 = 13 – 6(2) = 1x2 = 6 + 2x3 – 8x4 = 6 + 2(1) – 8(2) = – 8x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4 = 2 – 2(–8) + 1 – 4(2) = 11

TUGAS : SPL Tentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:

a

ba

ba

ba

ba

x

x

x

x

x

baabb

abbaa

abbaa

baabb

baabb

2

2

2

32223

2311

112

211

1112

5

4

3

2

1

10

)(5

105

510

)(10

33121

311

121

111

121

5

4

3

2

1

ba

ba

ba

ba

x

x

x

x

x

bbbab

bbbaa

bbbaa

aaabb

aaabb

METODE CRAMMERAndaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

nnnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

......

...

...............

...

...

...

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

n ..., 3, 2, 1, i ;

; ; ; 33

22

11

D

Dx

D

Dx

D

Dx

D

Dx

ii

dimana Di = det(Ai) determinan

matrik berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B

nnnnn

i

n

n

n

i

abaa

b

abaa

abaa

abaa

A

... ...

...... .........

... ...

... ...

... ...

)det(

21

333231

222221

111211

Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :

Jawab :Bentuk matrik SPL, AX=B adalah :

Karena,

12364

12253

16342

321

321

321

xxx

xxx

xxx

12

12

16

x

x

x

364

253

342

3

2

1

4

364

253

342

)det( AD

248

x

74

28x

94

36x

Jadi,

8

1264

1253

1642

)det(

28

3124

2123

3162

)det(

36

3612

2512

3416

)det(

33

22

11

33

22

11

D

DD

DD

D

AD

AD

AD

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :

Jawab :Mengingat,

20

16

10

12

x

x

x

x

2664

5653

3442

4532

4

3

2

1

5.8-x68-

26624

56512

34410

45316

8

2664

5653

3442

4532

11

D

D

-7x56-

24664

12654

10442

16532

5.12x100

22464

51254

31042

41632

-0.5x4-

26244

56123

34102

45162

44

33

22

D

D

D

METODE INVERSAndaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

ij

2n2221

1n1211

b

...

b

b

x

...

x

x

a...aa

...a......

a...aa

a...aa

Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu :

X = A–1B

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode inveres :

Jawab :Karena,

Maka solusi SPL adalah :

12

12

16

x

x

x

364

253

342

3

2

1

0.51.0-0.50

1.25-1.50.25

1.751.5-0.75-

A 1-

2

7

9-

12

12

16

0.51.0-0.50

1.25-1.50.25

1.751.5-0.75-

x

x

x

BAX

3

2

1

1-

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :

24

12

10

16

x

x

x

x

2664

5653

3442

4532

4

3

2

1

7-

12.5

0.5

8.5-

24

12

10

16

0.251.00.5-0.5-

0.125-1.5-0.751.25

0.125-0.5-1.250.25-

0.3752.52.75-1.25-

x

x

x

x

BAX

4

3

2

1

1-

5

7

9

6

4

x

x

x

x

x

78333

89875

56764

54543

32432

5

4

3

2

1

7-

3

12

25-

23

5

7

9

6

4

12-21-1-

1-11-22-

3-43-57-

58-65-8

2-65-3-2

x

x

x

x

x

5

4

3

2

1

SPL : METODE DEKOMPOSISI

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

ij

2n2221

1n1211

b

...

b

b

x

...

x

x

a...aa

...a......

a...aa

a...aa

Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi : LUX = Batau, L Y= B UX = Y

Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah :(1). Tentukan dekomposisi matrik A,

menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky).

(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan :

LY=B, dengan eliminasi maju (y1, y2, y3, …,yn)(3). Tentukanlah nilai X yang

merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan

UX=Y dengan eliminasi mundur (xn, xn-1, …,x2,x1).

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :

Jawab :Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah :

12

12

16

x

x

x

364

253

342

3

2

1

100

5.210

5.121

22-4

01-3

002

LUA

Menghitung Y dari LY = B

Dari SPL diperoleh :2y1 = 16 y1=83y1 – y2 = 12 y2=124y1 – 2y2 + 2y2 = 12 y3 = 2

12

12

16

y

y

y

22-4

01-3

002

3

2

1

Menghitung X dari UX = Y

Dari SPL diperoleh :x3 = 2 x3=2x2 + 2.5x3 = 12 x2=7x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–9

2

12

8

x

x

x

100

5.210

5.121

3

2

1

CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :

Menghitung Y, LY=B

Dari SPL diperoleh2y1 = 16 y1=82y1 + y2=10 y2=–63y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=94y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24 y4= –7

24

12

10

16

x

x

x

x

2664

5653

3442

4532

4

3

2

1

1000

0.5100

1-1-10

22.51.51

4-4-04

01-0.53

0012

0002

A

Jawab :Mengingat, dekomposisi A

Menghitung X, dari UX=Y

Dari SPL diperoleh :x4 = –7x3 + 0.5 x4 =9 x3=12.5x2 – x3 – x4 = –6 x2 = –0.5 x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8 x1= –8.5

24

12

10

16

y

y

y

y

4-4-04

01-5.03

0012

0002

4

3

2

1

7-

9

6-

8

x

x

x

x

1000

5.0100

1-1-10

25.25.11

4

3

2

1

SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMASSPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,

n

1n

3

2

1

n

1n

3

2

1

nn

1n1n

33

222

11

c

c

...

c

c

c

x

x

...

x

x

x

fe...000

gf...000

..................

00...fe0

00...gfe

00...0gf

SPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,

n

1n

3

2

1

n

1n

3

2

1

n

1n1n

3

22

11

n

3

2

c

c

...

c

c

c

x

x

...

x

x

x

f0...000

gf...000

..................

00...f00

00...gf0

00...0gf

1e...000

01...000

..................

00...1e0

00...01e

00...001

n

1n

3

2

1

n

1n

3

2

1

n

1n1n

3

22

11

y

y

...

y

y

y

x

x

...

x

x

x

f0...000

gf...000

..................

00...f00

00...gf0

00...0gf

LANGKAH-LANGKAH SOLUSI(1). Hitung Y dari LY=C, yaitu :

(2). Hitung X dari UX=Y, dari :

n

1n

3

2

1

n

1n

3

2

1

n

3

2

c

c

...

c

c

c

y

y

...

y

y

y

1e...000

01...000

..................

00...1e0

00...01e

00...001

ALGORITMA THOMAS :(1). Dekompoisisi DO k=2, n

ek=ek/fk–1

fk= fk – ek.gk–1

END DO

(2). Forward Substitusi DO k=2,n

ck=ck – ek.ck–1

END DO

(3). Back Substitusi

xn=cn/fn DO k=n–1,1, –1

xk=(ck– uk,xk+1)/fk END DO

CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambar

Pada kondisi, R1=10, R2=25, R3=50, R4=40, R5=25, E1=12 V, E2=24V dan, E3=60V, hitunglah arus listrik dalam tahanan.

5

2

1

5

4

3

2

1

54

432

21

E

0

E

0

E

i

i

i

i

i

RR000

11100

0RRR0

00111

000RR

60

0

24

0

12

i

i

i

i

i

2540000

11100

04050250

00111

0002510

5

4

3

2

1

Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut :

R1 R2

R3

V1 V3V2

R5

R4R2

R3

E1 E2 E3

– +

Forwart Subsitusi

60

0

24

0

12

y

y

y

y

y

1529.23000

01018.000

001143.70

00011.0

00001

CLY

5

4

3

2

1

647.53

270.0

429.15

2.1

12

y

y

y

y

y

5

4

3

2

1

Back Subsitusi

647.53

270.0

429.15

2.1

12

i

i

i

i

i

529.480000

17.1000

040143.5700

0015.30

0002510

5

4

3

2

1

106.1

809.0

297.0

258.0

555.0

i

i

i

i

i

5

4

3

2

1

10

)(5

105

510

)(10

13112

31123

11234

4321

32112

5

4

3

2

1

ba

ba

ba

ba

x

x

x

x

x

aaabb

aaabb

aaabb

bbbaa

bbbaa

SOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dan dekompoisisi

Soal 1

Soal 2

24)5()1( )2(

)1(16)2()1(2)(a )4(

32)2()1()2(

)2(8)1()1( )2(

4321

4321

4321

4321

xbxbaxxa

bxbxbxxa

xbxbxaax

axbxbaxxa

SOAL-SOAL LATIHAN

1.Perhatikan statika struktur berikut

Diketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N,a). Susunlah sistem persamaan

linier dengan variabel yang tidak diketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2

b).Selesaikanlah SPL pada (a) dengan metode eliminasi Gouss Joudan dan dekomposisi

3aO 6bO 45O

45O

45O

P

P1 P2F1 F2

F3

R1 R2R6

R5R2

R4

R3R1

2. Perhatikan rangkaian berikut ini :

V5

V6

a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5 dan i6.

b). Pada kondisi R1=1a, R2=10 ,R3=2b , R4=20 , R5=3a R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.

R1

R2

R3

R3

R6

R4 R5

3. Perhatikan rangkaian berikut ini

R5

R6

R7

V6

V7

a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6 dan i7.

b). Pada kondisi R1=4a, R2=10 ,R3=2b , R4=30, R5=3a R6=40, R6=20, V6=10 volt, dan V6=2b0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.

4. Untuk membuat satu bangunan, seorang tukang batu membutuhkan bahan pasir, kerikil halus, dan kerikil kasar masing-masing sebanyak 4800, 5810, dan 5690 meter kubik. Terdapat empat sumber yang dapat digunakan, dan komposisinya sebagai berikut

Pasir Kerikil hls Kerikil ksr % % % ------------------------------------------- Sb1 52 30 18 Sb2 20 50 30 Sb3 25 20 55 ------------------------------------------

Berapa meter kubik harus diangkut dari tiap sumber agar kebutuhan terpenuhi.

modul 6 spl

Documents