bab 1-matriks

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Matriks

Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar

Pengertian

Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.

Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.

Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Lambang Matrik

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ijaA

Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

atau penulisan yang lebih singkat :

dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – [email protected]

Contoh Matriks

A=

B=

Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2a23= 1032b23= tidak adab21= sin x

13801032

0423451,022

73

13

2

sin

ln21xex

xx


Persamaan Matrik

jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B

Contoh:Jika A= dan B=

dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1.

b

a

41

32

bc

c

3

32


Jenis Matriks (1/7)

Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom

Matrik Segitiga Atas,

matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Diagonal Utama

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

1000

9400

6300

8120


Jenis Matriks (2/7)

Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

Matrik Diagonal,

matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

nnnn aaa

aa

a

21

2221

11

0

00

170

0623

0040

0000

95

nna

a

a

00

00

00

22

11

0000

0600

0040

00095


Jenis Matriks (3/7)

Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan

Matrik skalar,

matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.

I4=

1000

0100

0010

0001

I3=

100

010

001

I2=

10

01


Jenis Matriks (4/7)

Matrik Nol,

matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5

c

c

c

00

00

00

100

010

001

=c = cIn

000

000

000

000

000

000

000

O23= O53=


Jenis Matriks (5/7)

Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1

db

ca

ab

cd

bcad

1

Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:

, maka A-1 = A=

43

32

23

34

3.34.2

1

23

34A= , maka A-1 = =


Jenis Matrik (6/7)

Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin.

Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.


Contoh

Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

0000

0000

0000

0000


Jawab

Termasuk matrik segitiga atas

Termasuk matrik segitiga bawah

Termasuk matrik diagonal

Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua


Jenis Matriks (7/7)

Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

Matrik Skew-Simetri,

matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.

042

451

213


Contoh

Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c

A=

Jawab:

AT= = = -A

Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

020

01

0

c

ba

0

20

010

cb

a

0

20

010

cb

a


Operasi Matriks

Penjumlahan Matrik Perkalian Matrik dengan Skalar Transpos Matrik Perkalian Dua Matrik Trase Matrik


Penjumlahan matrik

Jika A=[aij], dan B=[bij]

Jumlah matrik A dan B ditulis:

C = A + B

Syarat: ordo A = ordo B

Aturan:

cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}


Contoh

A= , B= , C=

Hitung: A+B, B+CJawab:

A+B= + =

A+B=

B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B

1047

52

53

21

1047

52

53

21

713

423 21

22

34

713

423 21

)7(101437

45)2(23

53

21

21

3510

103

53

back


Perkalian dengan Skalar

A=[aij] dan k skalar, maka:

kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}

(-4) = =

Akibat:

-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)

713

423 21

)7).(4(1).4(3).4(

4).4()2).(4().4( 27

28412

16814

back


Transpos matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m

Jika B=AT , dan B=[bji], maka

bji = aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT}

A =

AT =

45

33

72

437

532

backAljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –

[email protected]

Perkalian dua MatrikA =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}

C=AB

cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=

vektor baris ke-i dari matrik A

vektor kolom ke-k dari matrik B

entri matrik C adalah: cik =

m

jjkijba

1

ia

kb

ia

kb


Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)

A= , B= , dan C=AB

c23=

c21=

c13=

512

413

762

141

230

512

7

1

2

512

2

1

0

413

7

1

2

= 4 – 1 – 35 = -32

= 0 – 1 + 10 = 9

= -6 + 1 + 28 = 23


Contoh Perkalian Matrik (2/2)

c21= = -9 + 4 – 24 = -29

C=AB = =

512

413

762

141

230

32329

23297

back

413

6

4

3


Trase matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n

{harus matrik bujur sangkar}

Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann

{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}

A = ,

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

114

523

302


Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)

Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian denganskalar

1. A+B=B+A {sifat komutatif}2. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}3. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}4. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}5. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}6. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}7. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}8. 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}

Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor



9. ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian}

10. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}

11. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}

12. AO=OA=O {sifat matrik nol}

13. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan}

14. Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O

15. (kA)B=k(AB)=A(kB)


Contoh ABBA

66

50

22

14

30

21AB

22

114

30

21

22

14BA

Sehingga: ABBA


Contoh AB=0

02

01A

43

00B

43

00

02

01AB

00

00= , berarti AB=O

02

01

43

00BA

05

00

Tetapi

= , berarti BAO



16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)

17. trase(AT) = trase(A)

18. trase(kA) = k trase(A)

19. trase(Inxn) = n



20. (A+B)C=AC+BC

21. C(A+B)=CA+CB

22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}

23. (kA)T=kAT

24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0

25. ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli

26.

kn

k

k

k

d

d

d

D

00

00

00

2

1

Sebanyak n


Contoh Tambahan (1/3)

31

12

27

14

T

18

06

10

86

31

12

21

74

10

86

T

525

41

54

251

31

12

21

74

131

129

Jika A = , dan B =

(A + B)T = =

AT + BT = + =

(AB)T = =

ATBT = =

21

74

31

12

54

251BTAT = =



T

1

2

27

21

1

2

21

27

21

74

1

2

21

27

62

24

20

02

31

12

62

24

(½B)T = =

½ BT = ½ =

–2 A =

–2IA = =

31

12

27

14A = , dan B =



18

06

trase(A) = 2 + 3 = 5trase(B) = 4 + (-2) = 2

trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7

31

12

31

12

85

53

85

53

31

12

1918

181

A2 = AA= =

A3 = A2A = =

31

12

27

14A = , dan B =


Tantangan 1

A. Jika

Hitunglah: 1. BA, AB2. E2, E3, E100, 3. A2 + 2A + I,(A+I)2, 4. (BC - D)T, CTBT– DT, 5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), 6. trase(A + E)

03

21A

31

20

021

B

103

54 31

C

10

431

120

21

D

30

02E


Tantangan 2

B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga berlaku persamaan matrik di bawah ini:

3086

7112

zz

xywwx

zyy

xx

2

2

= -

873

4645


Tantangan 3

C. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A dan B berordo 2x2

D. Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A dan B berordo 2x2

E. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:

zyxzx

yxyx

2

3

179

11=


Tantangan 4

F. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :

dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B]

G. Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan mengingat sifat I = AA-1 .

H. Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0

24

132

yx

yx


Tantangan 5

I. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k.

J. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri.

K. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.

L. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R.

M. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AAT berbentuk matrik simetri.


bab 1-matriks

Documents