Bab 3 : Matriks

• Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column).

• Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

• Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut

Definisi Matriks

Ordo Matrik A : 3 X 2Ordo Matriks B : 1 X 4Ordo Matriks C : 3 X 4Ordo Matriks D : 2 X 1

1 23 01 4

A 2 3 1 6 B

2 1 3 40 1 7 63 2 1 50 1 0 4

C12

D

Contoh Ordo Matriks

• Matriks dinotasikan dengan huruf besar.• Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga

menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga A = [aij]

• Contoh

Notasi Matriks

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

A

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nm n

m m mn

a a aa a a

a a a

A

Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada entrinya.

A. Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ; 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

A B

Jenis - Jenis Matriks

B.Matriks SatuMatriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah 1.

C. Matriks BarisMatriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris.

1 1 11 1 11 1 1

C

2 1 0 3 A

Jenis - Jenis Matriks

D. Matriks KolomMatriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom.

E. Matriks PersegiMatriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama

01

2

B

2 6 6 46 3 7 36 7 0 24 3 2 8

A

Jenis - Jenis Matriks

F. Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i > j.

G. Matriks Segitiga BawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i < j.

2 1 30 5 20 0 4

B

2 0 01 5 03 2 4

B

Jenis - Jenis Matriks

H. Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat:aij = 0 untuk i ≠ j.

I. Matriks IdentitasMatriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat:aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j

2 0 00 5 00 0 4

A

1 0 00 1 00 0 1

A

Jenis - Jenis Matriks

J. Matriks TransposeMatriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya.

1 2 31 1 2 9

1 4 62 4 3 1

2 3 53 6 5 0

9 1 0

T

A A

Jenis - Jenis Matriks

1 2 1 1 22 3 4 dan 2 40 4 5 4

wx

y z

A B

DefinisiDua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :

aij = bij, 1 i m, 1 j nyaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

• Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

Kesamaan Dua Matriks

• Penjumlahan (addition)Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33

; +a a a b b b a b a b a ba a a b b b a b a b a ba a a b b b a b a b a b

A B A B

Operasi Pada Matriks

Jika

Maka:

Contoh + Penyelesaian

3 2 5 4 6 7 dan

1 6 4 0 8 2A B

7 4 121 2 6

A B

• Pengurangan (subtruction)Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33

;a a a b b b a b a b a ba a a b b b a b a b a ba a a b b b a b a b a b

A B A B

Operasi Pada Matriks

Jika

Maka:

Contoh + Penyelesaian

3 2 5 4 6 7 dan

1 6 4 0 8 2A B

1 8 21 14 2

A B

• Perkalian Skalar Pada MatriksJika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a ca ca caa a a c ca ca caa a a ca ca ca

A A

Operasi Pada Matriks

Contoh Soal + Penyelesaian

Jika

Maka:

7 4 121 2 6

A

7 4 12 14 8 242. 2.

1 2 6 2 4 12A

Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq

jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p)AmxnBnxq = Cmxq

A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka

C = [cij]mxq dengan1

n

ij ij ijj

c a b

Perkalian Dua Buah Matriks

Tentukan AB dan BA jika:

Jawab:

2 1 41 3 2

A , 1 21 3

4 1

B

1 22 1 4

1 31 3 2

4 1

2(1) 1( 1) 4(4) 2(2) 1(3) 4( 1) 17 3

1(1) 3( 1) 2(4) 1(2) 3(3) 2( 1) 4 5

AB

Contoh Soal + Penyelesaian

1 22 1 4

1 31 3 2

4 1

1(2) 2( 1) 1(1) 2(3) 1(4) 2(2) 0 7 8 1(2) 3( 1) 1(1) 3(3) 1(4) 3(2) 5 8 2

4(2) ( 1)( 1) 4(1) ( 1)(3) 4(4) ( 1)2 9 1 14

BA

Contoh Soal + Penyelesaian

Latihan Soal

1. Jika 1 2 0

3 5 11 2 0

A

dan 2 1 41 5 31 2 5

B

tentukanlah: a. 2A + B b. -3B + A c. A – 2BT

2. Diberikan matriks :

Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. AtBt e. (Bt + A)C b. BtAt d. BtC + A

2 1 23 2 5

A

2 13 41 2

B

2 1 31 2 4

3 1 0C

Latihan Soal