12

Bab 1. Matriks & Determinan

1. 1. Pengertian Dasar

Suatu matriks didefinisikan sebagai suatu kumpulan dari entri-entri yang disusun

secara persegi panjang (menurut baris dan kolom) yang diletakkan di dalam tanda kurung

siku atau kurung biasa.

Entri-entri dari suatu matriks dapat berupa bilangan riil atau kompleks, variabel-

variabel ataupun operator-operator dan sebagainya.

Banyaknya baris dan kolom menyatakan ukuran atau ordo dari matriks yang

bersangkutan. Pandang matriks A yang diberikan oleh :

A = .

Karena matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan

berukuran m x n. Untuk menyingkat penulisan matriks A di atas, sering juga dituliskan

dengan notasi A = (aij), i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n, dengan aij menyatakan entri dari

matriks A pada baris ke–i dan kolom ke–j.

Contoh :

Pandang matriks,

A = .

Karena matriks A di atas mempunyai 3 buah baris dan 3 buah kolom, maka dikatakan matriks

A tersebut berukuran 3 x 3, sedangkan entri-entrinya : a = 1, a = 2,

a = 3, a = 0, a = 4, a = 2, a = –1, a = 5 dan a = 0.

12

Soal Latihan:

Diberikan matriks

A = (aij) = .

Tentukanlah : a ) ukuran matriks A

b ) baris 1, baris 3, kolom 2, kolom 4 dan kolom 5

c ) a14, a21, a23, a32, dan a34.

1. 2. Beberapa Jenis Matriks Khusus

Di dalam membahas matriks ini, sebenarnya banyak sekali jenis matriks yang dapat

kita pelajari. Namun pada tulisan ini hanya akan diberikan beberapa jenis saja sesuai dengan

kebutuhan pembahasan kita. Jenis-jenis matriks khusus tersebut diantaranya :

1. Matriks bujur sangkar

yaitu suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika

matriks bujur sangkar banyaknya baris (= banyaknya kolom) = n, dikatakan matriks

tersebut berukuran n x n (berordo n). Barisan entri a11, a22, …, ann dari matriks A = ( aij )

yang berordo n disebut diagonal utama matriks A tersebut.

Contoh :

A = adalah matriks bujur sangkar berordo 2 dengan entri pada diagonal

utamanya 1 dan 0.

B = adalah matriks bujur sangkar berordo 3, dimana entri-entri pada

diagonal utamanya adalah –1, –6 dan 7.

2. Matriks Nol

12

adalah matriks dimana semua entrinya nol. Biasanya matriks nol ini dinotasikan

dengan 0.

Beberapa sifat :

a. Jika A, 0 adalah matriks-matriks yang sejenis, maka berlaku

A + 0 = 0 + A = A.

b. Misalkan A dan 0 adalah matriks-matriks dimana syarat-syarat perkalian matriks

terpenuhi, maka A0 = 0 dan 0A = 0.

Contoh :

Matriks-matriks berikut ini adalah matriks nol :

0 = , 0 = dan 0 = .

3. Matriks Diagonal

yaitu matriks bujur sangkar dimana setiap entri di luar diagonal utamanya adalah nol.

Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = (aij) adalah matriks diagonal jika aij = 0,

untuk i j.

Contoh :

A = dan B =

adalah contoh-contoh matriks diagonal.

4. Matriks Skalar

12

adalah matriks diagonal di mana setiap entri pada diagonal utamanya sama dengan

suatu skalar (bilangan) tertentu.

Contoh :

A = dan B =

adalah matriks-matriks skalar.

5. Matriks Identitas (Matriks Satuan)

adalah matriks diagonal dengan semua entri pada diagonal utamanya adalah 1.

Biasanya matriks satuan ini dinotasikan dengan I = ( ij ), dimana

ij =

notasi ij dinamakan fungsi delta Kronecker.

Kadang juga dituliskan I = In, dengan n menyatakan ukuran dari matriks yang

bersangkutan. Dengan perkataan lain, matriks identitas merupakan bentuk khusus dari

matriks skalar dengan skalar = 1.

Contoh :

I2 = dan I4 =

adalah contoh-contoh matriks identitas.

Sifat-sifat :

12

Sifat matriks identitas serupa dengan sifat bilangan 1 dalam operasi perkalian dengan

bilangan biasa, yaitu AI = A dan IA = A, dengan catatan syarat-syarat perkalian matriks

terpenuhi.

6. Matriks Segitiga Bawah

adalah matriks bujur sangkar dimana semua entri di atas diagonal utamanya sama

dengan nol. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = ( aij ) disebut matriks

segitiga bawah jika aij = 0, untuk i j.

Contoh :

Matriks A = adalah matriks segitiga bawah.

7. Matriks Segitiga Atas

yaitu matriks bujur sangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya sama

dengan nol. Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar A = (aij) disebut matriks segitiga

atas jika aij = 0, untuk i j.

Contoh :

A = merupakan matriks segitiga atas.

8. Matriks Simetris

adalah matriks yang transposnya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain,

matriks A = (aij) adalah matriks simetris jika A = AT atau aij = aji untuk setiap i dan j. Tampak

bahwa matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.

Contoh :

12

A = adalah matriks simetris, karena AT = = A.

9. Matriks Antisimetris

yaitu matriks yang transposnya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain, matriks A =

(aij) adalah matriks antisimetris jika A = - AT atau aij = - aji untuk setiap i dan j. Dapat dilihat

bahwa semua entri pada diagonal utama matriks antisimetris sama dengan nol.

Contoh :

A = adalah matriks antisimetris.

Berkaitan dengan matriks simetris dan matriks antisimetris di atas kita mempunyai sifat

berikut ini :

Sifat 1.1

Setiap matriks bujur sangkar senantiasa dapat dituliskan sebagai jumlahan matriks

simetris dan matriks antisimetris.

Bukti :

Misalkan A sebarang matriks bujur sangkar, maka A dapat dituliskan

A = A + – = + .

Tulis A1 = dan A2 = , maka A1T = = = A1 dan

A2T = = = – = –A2.

Dengan demikian A = A1 + A2, dengan A1 simetris dan A2 antisimetris.

Contoh :

12

Nyatakan matriks

A =

Sebagai jumlahan dari matriks simetris dan matriks antisimetris.

Penyelesaian :

A = maka AT = dan

A = + = + .

10. Matriks Hermit

adalah matriks yang transpos hermitnya adalah dirinya sendiri. Dengan perkataan

lain, A = (aij) matriks hermit jika AH = A. Sedangkan jika dipenuhi AH = - A, matriks A

dikatakan matriks antihermit.

Contoh :

A = adalah matriks hermit, karena AH = = A dan

B = adalah matriks antihermit, karena

BH = = – = – B.

11. Matriks Invers

12

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB =

BA = I, maka dikatakan B adalah matriks invers dari A dan dituliskan B = A -1. Dalam hal ini

dapat juga dikatakan bahwa A adalah matriks invers dari B dan ditulis A = B-1.

Contoh :

Matriks A = mempunyai invers A-1 = , karena A A-1 = A-1A = I2.

12. Matriks Involutory

adalah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri, atau dengan perkataan lain,

matriks A dikatakan matriks involutory jika berlaku AA = I.

Contoh :

Matriks A = adalah matriks involutory, karena AA = I.

13. Matriks Komutatif

adalah matriks yang memenuhi sifat komutatif pada operasi perkalian matriks.

Dengan perkataan lain, matriks bujur sangkar sejenis A dan B dikatakan saling komutatif

jika AB = BA. Tampak bahwa setiap matriks bujur sangkar senantiasa komutatif dengan

matriks satuan I (yang ukurannya sama) dan komutatif dengan inversnya (jika ada).

Sedangkan jika berlaku AB = – BA dikatakan A dan B saling antikomutatif.

Contoh :

1 ) Matriks A = dan B = adalah matriks-matriks yang saling komutatif

karena AB = = dan AB = = .

12

2 ) Matriks A = dan B = adalah matriks-matriks yang antikomutatif

karena AB = = sedangkan

BA = = .

14. Matriks Normal

adalah matriks bujur sangkar yang komutatif dengan transpos hermitnya. Dengan

perkataan lain, suatu matriks bujur sangkar A dikatakan matriks normal jika berlaku

AAH = AHA.

Dengan demikian tampak bahwa matriks hermit adalah matriks normal.

15. Matriks Idempoten dan Periodik

Matriks bujur sangkar A dikatakan idempoten jika berlaku AA = A2 = A.

Secara umum, jika p adalah bilangan asli terkecil sedemikian hingga Ap = A, maka

dikatakan A matriks periodik dengan periode p – 1.

Contoh :

1 ) Matriks A = dan B = adalah matriks-matriks idempoten.

2 ) Matriks A = adalah matriks periodik dengan periode 4.

16. Matriks Nilpoten

Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan nilpoten, jika terdapat bilangan asli r

sedemikian hingga Ar = 0. Sedangkan bilangan asli terkecil r yang memenuhi hubungan di

atas dinamakan indeks nilpoten dari A.

Contoh :

12

Matriks A = adalah matriks nilpoten dengan indeks nilpoten 2, karena A

0, sedangkan A2 = 0.

Soal Latihan:

1 ) Misalkan A suatu matriks bujur sangkar, B = A + AT dan C = A – AT.

a ) Perlihatkan bahwa B matriks simetris dan C antisimetris.

b ) Perlihatkan bahwa setiap matriks bujur sangkar senantiasa dapat dituliskan

sebagai jumlahan matriks simetris dan matriks antisimetris.

c ) Tuliskan matriks berikut ke dalam soal b :

D = .

2 ) Berikan contoh matriks-matriks yang bersifat antikomutatif.

3 ) Carilah invers dari matriks :

A = .

4 ) Perlihatkan bahwa matriks A = periodik dan tentukanlah berapa

periodenya !

5 ) Misalkan matriks A berukuran m x n.

a ) Jelaskan mengapa perkalian matriks AAT dan ATA dapat dilakukan.

b ) Perlihatkan bahwa matriks AAT dan ATA kedua-duanya simetris.

6 ) Jika A suatu matriks bujur sangkar, perlihatkan bahwa

A matriks involutory jika dan hanya jika (I – A)(I + A) = 0,

dengan I adalah matriks satuan yang sejenis dengan A.

1. 3. Pengertian Determinan

Setiap matriks bujur sangkar senantiasa dikaitkan dengan sebuah nilai numerik atau

skalar yang disebut dengan determinan. Untuk mencari atau menentukan determinan suatu

12

matriks bujur sangkar, terdapat beberapa metode baku yang digunakan, diantaranya dengan

definisi permutasi, penguraian kofaktor dan sebagainya. Di samping itu, kita dapat juga

memanfaatkan sifat-sifat determinan.

Sebelum membahas lebih jauh mengenai determinan ini, bagaimana mencarinya dan sifat-

sifat apa saja yang berlaku padanya, akan diberikan terlebih dahulu beberapa hal yang

menyangkut permutasi.

Definisi 1. 1

Diberikan sebarang himpunan bilangan asli {1, 2, …, n}. Suatu permutasi atas n bilangan

adalah suatu n-tuple = (1, 2, …, n), dimana 1, 2, …, n adalah bilangan-bilangan asli

yang berlainan di antara bilangan-bilangan 1, 2, …, n di atas, tanpa mengulangi bilangan-

bilangan tersebut dan tidak harus dalam urutan yang biasa. Notasi i menyatakan entri ke-i

dari permutasi .

Sedangkan himpunan dari semua permutasi yang mungkin dari n bilangan asli dinotasikan

dengan Sn.

Contoh :

Diberikan himpunan bilangan asli {1, 2, 3}. Dalam hal ini kita mempunyai n = 3 dan

S3 = { (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) },

yang terdiri atas 3! = 6 buah permutasi.

Untuk permutasi = (3, 2, 1) kita mempunyai 1 = 3, 2 = 2 dan 3 = 1.

Catatan : Secara umum, untuk himpunan {1, 2, …, n} kita mempunyai n! buah permutasi

yang berlainan.

Mulai sekarang dan seterusnya, untuk menyatakan permutasi secara umum dari himpunan

bilangan asli {1, 2, …, n}, kita akan menuliskan dengan (i1, i2, …, in). Dimana i1 menyatakan

bilangan asli pertama pada permutasi, i2 adalah bilangan asli kedua dan seterusnya.

12

Definisi 1. 2

Pada permutasi = (i1, i2, …, in) dikatakan terjadi inversi, jika terdapat bilangan asli yang lebih

besar yang mendahului bilangan asli yang lebih kecil. Dengan perkataan lain, terdapat ik yang

mendahului ij, padahal ik ij, dengan 1 j, k n.

Contoh :

Tentukanlah banyaknya inversi yang terjadi pada permutasi-permutasi berikut ini :

a. (6, 1, 3, 4, 5, 2) b. (2, 4, 1, 3) c. (1, 2, 3, 4, 5)

Penyelesaian :

a. Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8.

b. Banyaknya inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3.

c. Tidak ada inversi pada permutasi ini.

Definisi 1. 3

Suatu permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversi merupakan bilangan

genap dan dikatakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi merupakan bilangan ganjil.

Berkaitan dengan permutasi = (i1, i2, …, in), didefinisikan pengertian tanda ( sign )

dari , yang dinotasikan dengan sg( ), yang diberikan oleh :

sg( ) = .

Sehingga, jika sg( ) = +1, maka dinamakan permutasi genap dan jika sg( ) = –1, maka

dinamakan permutasi ganjil.

Contoh :

Pandang permutasi-permutasi pada Contoh 3. 2 di atas, maka permutasi (6, 1, 3, 4, 5, 2) dan

(1, 2, 3, 4, 5) keduanya adalah permutasi genap, karena banyaknya inversi pada kedua

12

permutasi di atas genap. Jadi sg( (6, 1, 3, 4, 5, 2) ) = +1 = sg( (1, 2, 3, 4, 5) ). Sedangkan

permutasi (2, 4, 1, 3) adalah permutasi ganjil, karena banyaknya inversi adalah ganjil,

sehingga sg((2, 4, 1, 3) ) = –1.

1. 4. Sifat-sifat Determinan

Misalkan A suatu matriks bujur sangkar berukuran n x n. Berikut ini diberikan

beberapa sifat penting dari determinan matriks bujur sangkar A di atas.

S1 ) det( A ) = det( At ).

S2 ) Nilai determinan berganti tanda jika dua baris (atau kolom) ditukar tempatnya.

Akibat 1. 1

Diberikan matriks bujur sangkar A. Jika pada matriks A terdapat dua baris (kolom) sama,

maka determinan A sama dengan nol.

Bukti :

Misalkan kedua baris (kolom) yang sama dari matriks A dipertukarkan, maka matriks A tetap

dan berdasarkan sifat S2, det( A ) = –det(A). Dengan demikian 2 det(A) = 0 dan akibatnya

det(A) = 0.

S3 ) Nilai determinan menjadi k kali jika suatu baris (kolom) dikalikan dengan suatu

skalar tak nol k.

Akibat 1. 2

Jika salah satu baris (kolom) dari suatu matriks bujur sangkar merupakan baris (kolom) nol,

maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

S4 ) Nilai determinan tidak berubah jika baris (kolom) ke-i ditambah dengan k kali baris

(kolom) ke-j.

12

Akibat 1. 3

Jika terdapat baris (kolom) berkelipatan maka nilai determinan sama dengan nol.

Soal Latihan:

1. Buktikanlah bahwa = .

2. Buktikanlah bahwa = 0.

3. Buktikanlah bahwa = = (c – a)(c – b)(b – a).

4. Buktikanlah bahwa = (d – a)(d – b)(d – c)(c – a)(c – b)(b – a).

5. Buktikanlah bahwa = 2 .

1. 5. Menghitung Determinan

Seperti telah diberikan pada Bagian 1. 3., terdapat beberapa metode yang dapat

digunakan untuk mencari atau menghitung determinan suatu matriks bujur sangkar, di

antaranya dengan definisi permutasi, penguraian kofaktor dan lain-lain.

Berikut ini akan diberikan metode-metode di atas.

a. Definisi Permutasi

Misalkan A = (aij) adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n. Determinan dari

matriks A, dinotasikan dengan det(A) atau A, diberikan oleh

12

det(A) = .

Contoh :

1. Jika A = [ a ], matriks bujur sangkar berukuran 1 x 1, maka S1 hanya memuat satu

anggota, dengan demikian det(A) = a.

2. Misalkan A = . Karena S2 hanya memuat dua buah unsur yaitu (1, 2) dan (2,

1), dimana permutasi yang pertama mempunyai tanda +1 dan permutasi yang kedua

mempunyai tanda –1, maka diperoleh

det(A) = (+1)a11a12 + (–1)a12a21.

Dengan cara yang lebih umum det( ) = a11a22 –1a12a21.

3. Misalkan A = (aij) suatu matriks bujur sangkar berukuran 3 x 3. Maka S3 mempunyai 6

buah permutasi, yaitu : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2) dan (3, 2, 1),

dimana tanda dari permutasi-permutasi di atas berturut-turut +1, –1, +1, –1, +1 dan –

1. Dengan demikian determinan suatu matriks bujur sangkar berukuran 3 x 3 adalah

= (+1)a11a22a33 + (–1)a11a23a32 + (+1)a12a23a31 + (–1)a12a21a33

+ (+1)a13a21a23 + (–1)a13a22a31.

= a11a22a33 – a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a23 – a13a22a31.

b. Metode Penguraian Kofaktor

Pandang matriks bujur sangkar A = (a ij) yang berukuran n x n. Sebelum membahas

lebih jauh penghitungan determinan matriks A di atas, akan diberikan terlebih dahulu

beberapa istilah dasar berkaitan dengan metode penguraian kofaktor ini.

Minor dari suatu unsur (entri) aij dari matriks A adalah det(Mij), dengan Mij adalah

submatriks dari A yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari

matriks A. Sedangkan kofaktor dari aij, dinotasikan dengan Cij adalah (–1)i+jdet(Mij).

12

Selanjutnya determinan dari matriks bujur sama dengan jumlahan hasil kali antara unsur-

unsur atau entri-entri dari sebarang baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktornya.

Dengan demikian, untuk matriks bujur sangkar A di atas, determinan A dapat dicari

dengan dua cara, yaitu :

1. Penguraian baris ke-i, dimana

det(A) = = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin.

2. Penguraian kolom ke-j, dimana

det(A) = = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj.

Karena penguraian baris (kolom) dapat dipilih sebarang, maka metode penghitungan

determinan akan efisien jika dipilih baris (kolom) dengan unsur nol sebanyak-banyaknya.

Contoh :

Hitunglah determinan matriks A berikut ini :

A = .

Penyelesaian :

Misalkan akan dicari determinan matriks A di atas dengan penguraian menurut baris ke-

2. Maka dari baris ke-2 ini, kita mempunyai a12 = 4, a22 = –2 dan a23 = 3. Dengan demikian

kofaktor-kofaktor dari unsur-unsur di atas adalah :

C21 = (–1)2+1M21 = – = 13, C22 = (–1)2+2M22 = + = –7

dan C23 = (–1)2+3M23 = – = –9,

sehingga diperoleh

det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 4(13) + (–2)(–7) + 3(–9) = 52 + 14 – 27 = 39.

c. Bantuan Sifat-sifat Determinan

12

Metode ini cukup efektif untuk matriks-matriks yang berukuran besar (n 4).

Adapun prosedur pencarian determinan dengan bantuan sifat-sifat determinan ini antara

lain :

1. Carilah baris (kolom) yang paling banyak unsur nol-nya. Jika baris (kolom) yang

seperti ini tidak ada, pilih baris (kolom) yang mengandung angka 1 atau –1, jika

baris (kolom) yang demikian juga tidak ada, usahakan dengan sifat S3 ataupun S4

untuk mendapatkan unsur 1 atau –1 ini.

2. Jadikan nol semua unsur yang sebaris (sekolom) dengan unsur 1 atau –1 di atas,

kemudian uraikan menurut baris (kolom) ini.

Contoh :

Hitunglah determinan berikut ini :

.

Penyelesaian :

Karena terdapat unsur –1 pada baris ke-3, pilih baris ini untuk diuraikan, namun

sebelumnya akan kita nol-kan terlebih dahulu semua unsur yang sebaris dengan unsur –1

di atas,

= –1 .

Karena tidak ada unsur 1 atau –1 pada determinan terakhir, kita usahakan untuk

memperolehnya dengan mengurangkan kolom ke-1 dengan kolom ke-2 sebagai berikut :

– – – = –(–1)

= 108 – 80 = 28.