MATRIKS Arum Handini Primandari

DEFINISI

Matriks adalah deretan bilangan dengan dimensi 𝑚 baris dan 𝑛 kolom.

Contoh:

𝑀 =−2 12 01 3 9

, 𝑀 merupakan matriks dengan dimensi 2 × 3 (banyak baris

adalah 2, banyak kolom adalah 3)

ELEMEN MATRIKS

Indeks elemen matriks:

𝐴 =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32

TIPE MATRIKS

Matriks Identitas (I)

Contoh:

1 00 1

, 1 0 00 1 00 0 1

Matriks Diagonal

−1 00 1

, 2 0 00 11 00 0 −5

Matriks Simetris

𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓

,

Matriks yang elemennya berlaku𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

Contoh:

1 −5 10−5 2 2110 21 0

TIPE MATRIKS

Matriks segitiga atas

Contoh:

𝐷 =1 2 40 −1 −40 0 11

Matriks segitiga bawah

Contoh:

𝐷 =1 0 010 13 0−2 10 −1

OPERASI MATRIKS

Penjumlahan/Pengurangan Matriks harus memiliki ukuran yang sama

Melakukan operasi penjumlahan/pengurangan pada elemen yang seletak

Transpose Diketahui

𝐴 =

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

, maka 𝐴𝑇 =

𝑎11 ⋯ 𝑎𝑚1

⋮ ⋱ ⋮𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

Sifat 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇

OPERASI MATRIKS

Perkalian Matriks A dengan dimensi 𝑚 × 𝑛 dapat dikalikan dengan matriks B dimensi 𝑝 × 𝑞, dengan syarat𝑛 = 𝑝. Akan menghasilkan matriks C dengan dimensi 𝑚 × 𝑞 dengan 𝑐𝑖𝑗 = σ𝑘=1

𝑛 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗

𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (tidak bersifat komutatif). Walaupun 𝐴𝐵 dapat dikalikan, belum tentu 𝐵𝐴 juga dapatdikalikan.

Contoh:

1 2 4−3 0 0 2×3

2 14 05 −2 3×2

=30 −7−6 −3 2×2

Pada matriks identitas berlaku 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴

DETERMINAN

Determinan matriks 𝟐 × 𝟐:

Diketahui: matriks A

𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

, maka determinan matriks A adalah det 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

= 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12

Determinan matriks 3× 𝟑:

DETERMINAN

Determinan matriks 𝑛 × 𝑛

ATURAN SARRUS

Determinan matriks 3 × 3 dengan aturan sarrus:

INVERSE MATRIKS

Inverse matriks 𝐴 adalah 𝐴−1, dimana akan memenuhi 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼

Matriks 𝐴 akan memiliki invers apabila, det 𝐴 ≠ 0

Sifat inverse:

Bagaimana menentukan determinan dan invers untuk matriks dengandimensi lebih dari 3x3?

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): DETERMINAN

Teorema

Jika 𝐴 adalah matriks segitiga atas, maka determinan matriks 𝐴 adalah hasilperkalian pada diagonal 𝐴

Terdapat beberapa aturan dalam determinan menggunakan OBE

Tipe OBE Efek terhadap Determinan

1 Menambahkan perkalian baris terhadap baris lain Tidak mempengaruhi determinan

2 Mengalikan baris dengan suatu konstanta 𝑐 Determinan dikalikan dengan 𝑐

3 Menukar antara dua baris Determinan berganti tanda

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Contoh: tentukan determinan matriks A

Jadikan matriks A,

menjadi matriks segitiga

atas

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): DETERMINAN

Tentukan determinan matriks 𝐴

𝐴 =1 −1 −12 1 03 −2 1

LATIHAN: TENTUKAN DETERMINAN

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): INVERSE

Tentukan determinan matriks 𝐴

𝐴 =1 2 32 5 31 0 8

OBE:

อ1 2 32 5 31 0 8

1 0 00 1 00 0 1

Jadikan matriks di sebelah

kiri menjadi matriks

identitas dengan OBE

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Contoh SPL:

ቊ2𝑥 + 3𝑦 = 1𝑥 − 5𝑦 = 20

Jadikan dalam bentuk matriks menjadi:

2 31 −5

𝑥𝑦 =

120

𝑥𝑦 =

2 31 −5

−1 120

ATURAN CRAMER UNTUK SPL

SPL:

Dalam bentuk matriks

Aturan cramer

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Contoh sistem persamaan linier:

ቐ

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1

Persamaan tersebut dalam bentuk matriks:

2 −1 11 −1 13 2 −1

𝑥𝑦𝑧

=86−1

ATURAN CRAMERS UNTUK SPLSPL:

Dalam bentuk ma

Aturan Cramers