Pertemuan ke-4Jenis Matriks & Determinan

MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh :

3 5 4 5 6 6 7 8 9

Matriks Bujur Sangkar Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama

Matriks DiagonalMatriks bujur sangkar dimana unsur selain unsur diagonalnya adalah 0

Contoh :

3 0 0 0 2 0 0 0 1

Jenis-Jenis Matriks

Matriks IdentitasMatriks diagonal yang unsur diagonalnya adalah 1

Matriks Segitiga AtasMatriks Bujur Sangkar yang semua unsur dibawah unsur diagonalnya bernilai 0

Contoh :

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Contoh :

5 9 3 0 1 7 0 0 8

Jenis-Jenis Matriks

Matriks Segitiga BawahMatriks Bujur Sangkar yang semua unsur diatas unsur diagonalnya bernilai 0

Contoh :

2 0 0 5 1 0 3 0 2

Matriks NolMatriks yang semua unsurnya bernilai NolContoh :

0 0 0 0

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks Matrik transpose A, dengan notasi At

Matriks yang diperoleh dengan mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks pada matriks At

Contoh:

Matriks simetri Matriks yang memenuhi hubungan A = At

Contoh :

2 1 2 3 -1 A = 3 -2 maka At = 1 -2 0 -1 0

Contoh :

1 -3 2 0 -3 2 5 -1 2 5 3 -2 0 -1 -2 4

Jenis-Jenis Matriks Matrik Eselon Baris Tereduksi

Matriks yang mempunyai ciri-ciri sbb:1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama

adalah 1 (disebut 1 utama).2. Pada baris yang berturutan baris yang lebih rendah

memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),

maka ia diletakkan paling bawah.4. Pada kolom yang memuat 1 utama, unsur yang

lainnya adalah nol.Catatan : Jika poin 1, 2, dan 3 dipenuhi, matriks

dinamakan berbentuk eselon baris

Definisi: Misalkan A matriks bujursangkar, maka fungsi determinan A dinyatakan oleh det(A) dan det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A.

Jika A berukuran nxn , maka hasil kali elementer dari matriks A akan berbentuk :dimana , merupakan permutasi dari bilangan – bilangan 1,2,…,n. Tanda dari sendiri ditentukan dari banyaknya bilangan bulat besar yang mendahului bilangan yang lebih kecil ( banyaknya invers ) pada bilangan , jika banyaknya invers adalah ganjil maka tandanya negatif ( – ) dan jika sebaliknya tandanya positif ( + ).

Determinan Matriks

Contoh:Tentukan determinan dari

A =

2221

1211

aaaa

Hasil kali elementer

Permutasi Banyaknya invers

Genap/ganjil Hasil kali elementer

2211aa ( 1, 2 ) 0 Genap 2211aa

2112aa ( 2, 1 ) 1 Ganjil - 2112aa

Jawab:

2211aa 2112aaJadi det(A) = -

Definisi Determinan

Definisi Determinan

Contoh 2Tentukan determinan dari

A =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Jawab:

312213322113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa Jadi det(A)=

Hasil kali elementer

Permutasi Banyaknya invers

Genap/ganjil Hasil kali elementer

a11a22a33 ( 1, 2, 3 ) 0 Genap + a11a22a33 a11a23a32 ( 1, 3, 2 ) 1 Ganjil - a11a23a32 a12a21a33 ( 2, 1, 3 ) 1 Ganjil - a12a21a33 a12a23a31 ( 2, 3, 1 ) 2 Genap + a12a23a31 a13a21a32 ( 3, 1, 2 ) 2 Genap + a13a21a32 a13a22a31 ( 3, 2, 1 ) 3 Ganjil - a13a22a31

Metode Perhitungan DeterminanEkspansi Kofaktor

Pada metode ini dikenal beberapa istilah, antara lain: Minor elemen aij (Mij) yaitu determinan yang didapat dengan

menghilangkan baris ke-i dalam kolom ke-j matriks awalnya. Kofaktor elemen aij (Cij) = (– 1)i+j Mij

Jika A matriks bujursangkar berukuran n x n, maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu1. Ekspansi sepanjang baris i

Det(A)= ai1Ci1+ ai2Ci2+ ai3Ci3+ . . . + ainCin

2. Ekspansi sepanjang kolom j Det(A)= a1jC1j+ a2jC2j+ a3jC3j+ . . . + anjCnj

Hitung determinan berikut

162963510

A

Akan kita hitung determinan sepanjang baris 1, yaitu

15)2.91.3(11293

1 2112 C

Det(A)= 0.(-60)+ 1.15 + 5.30 = 165

Ekspansi KofaktorContoh:

Det(A)= a11C11+ a12C12+ a13C13

606.91.61696

1C 1111

302).6(6.36263

1C 3113

Reduksi baris menggunakan OBE Metode Perhitungan Determinan

Ada beberapa sifat operasi baris elementer pada suatu matriks akan mempengaruhi nilai determinannya.1. Jika B adalah matriks yang dihasilkan bila baris

tunggal A dikalikan dengan oleh konstanta k maka det (B) = k det (A).

2. Jika B adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan maka det(B) = -det(A).

3. Jika B adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris yang lain maka det(B) = det(A).

Hitunglah det(A) di manaA =

162963510

Jawab.

162963510

162510963

det(A) = = - = - 3162510321

5100510321

= - 3

= - 3 5500510321

= (-3) (-55) 100510321

= (-3) (-55) (1) = 165

Jadi det(A) = 165.

Reduksi baris menggunakan OBE

Contoh:

Gabungan Dua MetodeHitung det (A) di mana

11132274345253311

A

Jawab:

17557167

3/193/1013

17557167

19103

1755071670

1910303311

11132274345253311

)Adet(

3100.

335

3118.

31463

3/1463/353/1003/118

33/1463/350

3/1003/11803/193/101

3

Jadi det (A) = -457645763

13728

Reduksi baris menggunakan OBE

Aturan cramer adalah salah satu metode untuk mencari solusi dari sistem persamaan linier. Jika Ax = b adalah system yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)≠0, maka sistem linier tersebut mempunyai solusi yang unik, dan solusinya adalah

)det()det( 1

1 AA

x )det()det( 2

2 AA

x )det()det(

AA

x nn , , . . . ,

di mana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke –j dari A dengan entri-entri dalam matriks

b =

nb

bb

...2

1

Aturan Cramer

Contoh Diketahui

x1 + 2 x3 = 6-3 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 30

- x1 – 2 x2 + 3 x3 = 8Carilah x1, x2, dan x3 dengan menggunakan aturan cramer.

Aturan Cramer

Jawab Dari persamaan linier di atas didapat matriks

321643201

3286430206

3816303261

8213043601

A = A1=

A2 = A3=

Maka

1110

4440

)det()det( 1

1

AA

x1118

4472

)det()det( 2

2 AA

x1138

44152

)det()det( 3

3 AA

x, dan

Jadi Solusi SPL diatas adalah

11/3811/1811/10

xxx

xxx

3

2

1

3

2

1

Aturan Cramer

Diketahui SPL A x = bSPL tersebut punya

2. Solusi banyak atau tak punya solusi det(A) =0 A-1 tidak ada Jadi Solusi bisa diperoleh dengan cara:

OBE matriks diperbesar

1. Solusi tunggal det(A) ≠0 A-1 adaJadi Solusi bisa diperoleh dengan cara: OBE matriks diperbesar x = A-1 b Aturan Cramer

Hubungan solusi, invers dan Determinan

LATIHAN

1. Tentukan determinan matriks A dan B dengan menggunakan ekspansi kofaktor dan reduksi baris

2. Diketahui persamaan linier sebagai berikut: