3. matriks dan determinan

Matriks dan Determinan 1

3. MATRIKS dan DETERMINAN Matriks

Determinan Invers Matriks

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Terapan

3.1. Matriks

Definisi 1:

Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-

elemen.

Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa

bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.

Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks

dengan elemen bilangan real.

Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan

elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.

Definisi 2:

Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah

matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,

ditulis :

( ) Ra,

aaa

aaaaaa

aA ij

mn2m1m

n22221

n11211

nmijnm ∈

==××

L

MMM

L

L

Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan

kolom ke-j.


Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.

Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,

k=1,2, ... ,n.

Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujur-

sangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan elemen-

elemen selain diagonal utama 0.

Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua

elemennya 0.

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks

kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris

disebut matriks baris

Kesamaan Dua Matriks

Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka

A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.

Operasi-Operasi Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n

Contoh :

=

232221

131211aaaaaa

A dan

=

232221

131211bbbbbb

B

++++++

=+232322222121

131312121111babababababa

BA

2. Pergandaan Skalar Matriks

Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n

Contoh :


=

232221

131211aaaaaa

A maka

=

232221

131211kakakakakaka

kA

3. Perkalian Matriks

Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian

matriks A dan B adalah ( ) ∑=

×=αα=

p

1kkjikijnmij ba,AB

Contoh :

=

232221

131211aaaaaa

A dan

=

3231

2221

1211

bbbbbb

B maka

++++++++

=

=

∑∑∑∑

==

==

322322221221312321221121

321322121211311321121111

31k 2kk2

31k 1kk2

31k 2kk1

31k 1kk1

babababababababababababa

baba

babaAB

Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif,

artinya AB≠BA

4. Transpose Matriks

Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m

Contoh :

=

232221

131211aaaaaa

A maka

=

3213

2212

2111T

baaaaa

A

Berikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasi-

operasi matriks di atas.


Teorema 1

Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka

berlakulah :

1. Sifat Komutatif : A+B=B+A

2. Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C

3. Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB

4. (AT)T=A

5. (A+B)T=AT+BT

6. (kA)T=kAT

Teorema 2

Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :

1. (AB)T=BTAT

2. (AB)C=A(BC)

3.2. Determinan

Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi

dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain

bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka

Det(A)=|A| adalah suatu bilangan real. Matriks yang

determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.

Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan

suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks

bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.

Definisi 3:

Diketahui matriks bujur-sangkar A=(a11), maka Det(A)=a11.


Definisi 4:

Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.

(a). Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan

sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan

menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks

A.

Contoh:

⇒

(b). Kofaktor (Cofaktor) elemen aij disimbolkan Cij

didefinisikan oleh Cij=(-1)i+j Mij

(c). Determinan matriks An×n didefinisikan sebagai berikut:

det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…+ainCin untuk 1≤i≤n

atau

det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj untuk 1≤j≤n.

Sifat 1

Jika A matriks ukuran 2×2, maka determinan dapat dihitung

dengan aturan berikut :

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

444341

242321

141311

32aaaaaaaaa

M =

( ) 211222112221

1211 aaaaaaaa

Adet −==

− +


Sifat 2 : (Aturan Sarrus)

Jika A matriks ukuran 3×3, maka determinan A dapat

dihitung dengan aturan berikut :

Teorema 3 (Teorema-Teorema Determinan)

1. Jika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu

baris elemen nol, maka det(A)=0.

2. Jika AT adalah transpose matriks A, maka det(AT)=det(A).

3. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila suatu baris elemen

matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka :

det(A∗)=k det(A)

4. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen

matriks A dipertukarkan, maka :

det(A∗)=−det(A)

5. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari

suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris

elemen yang lain, maka :

det(A∗)=det(A).

Catatan

Operasi-operasi terhadap suatu matriks berikut :

1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k≠0

2. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya

3. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,

( )

332112322311312213

322113312312332211

3231

21

1211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aa

aaaaaaaaa

Adet

−−−

++=

=

− +


disebut Operasi Baris Elementer (elementary row operations).

Operasi serupa jika dikerjakan pada kolom-kolom suatu

matriks disebut Operasi Kolom Elementer.

3.3. Invers Matriks

Definisi 5:

Diketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. Jika dapat

ditemukan matriks A-1 sedemikian hingga AA-1=A-1A=I,

dengan I matriks identitas, maka A dikatakan invertible dan

matriks A-1 disebut invers matriks A.

Teorema 4

1. Jika B dan C masing-masing invers matriks A, maka B=C.

2. Matriks A invertible jika hanya jika det(A)≠0.

3. Jika A invertible, maka det(A-1)=1/det(A).

4. Jika Anxn dan Bnxn invertible maka (AB)-1=B-1A-1

5. Jika A invertible, maka A-1 juga invertible dan (A-1)-1=A.

Definisi 6:

Diketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran n×n.

1. Matriks

=

nn2n1n

n22221

n11211

CCC

CCCCCC

)A(C

L

MMM

L

L

, Cij kofaktor elemen aij

disebut Matriks Kofaktor A.

2. Adjoin matriks A disimbolkan Adj(A), didefinisikan :

Adj(A)=(C(A))T


Teorema 5 :

Jika A invertible, maka ( ) ( )AAdjAdet

1A 1 =−

Dengan teorema 5 tersebut, maka invers suatu matriks dapat

dicari dengan determinan dan adjoinnya.

Contoh

−

−=

042361123

A , diperoleh :

det(A)=64

−−=

−

−=

1616161026

12412)A(Adj,

161012162416612

)A(C

−−=

−−=−

414141325321323

163161163

1616161026

12412

641A 1

Invers suatu matriks (jika ada) juga dapat dicari melalui

serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema

berikut ini.

Teorema 6

Jika matriks An×n dapat ditransformasi menjadi matriks

Identitas I melalui serangkaian operasi baris elementer, maka

matriks A nonsingular. Rangkaian operasi baris yang

mentransformasi A menjadi I tersebut akan mentransformasi

I menjadi A-1.


Ilustrasi teorema : ( )

→ − 1elementerbarisoperasi AIIA

Contoh :

Akan dicari kembali invers matriks

−

−=

042361123

A

( )

−−

−

− →

−

− →

−

−=

+−+−

103201310031

323160310316031321

1000100031

042361

31321

100010001

042361123

IA

3B1B22B1B

1B31

=

−− →

−−

−− →

−−

−− →

−−

−

− →

−+−+

++−

12B3B851B3B43

3B41

3B2B3161B2B32

2B163

AI414141325321323

163161163

100010001

414141016316108183

10085104301

111016316108183

40085104301

103201631610031

323160851031321

Keterangan : -5/8 B3+B2 artinya, -5/8 kali baris ke-3

ditambahkan ke baris ke-2.

Jadi diperoleh

−−=−

414141325321323

163161163A 1 .


♦ Dua matriks A dan B dikatakan Ekuivalen Baris (row

equivalent) jika salah satu dari matriks tersebut dapat diperoleh

dari serangkaian operasi baris pada matriks lainnya.

♦ Suatu matriks dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris

Tereduksi (reduced row-echelon form) jika memenuhi :

(i). Pada suatu baris tak nol (tidak semua elemennya nol),

elemen pertama (dari kiri) tak nol adalah 1 (satu).

Elemen tersebut disebut 1 utama.

(ii). Di dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen

1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih jauh

ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang lebih

tinggi.

(iii). Baris-baris dengan elemen-elemen semuanya 0 (nol)

terkelompokkan bersama-sama di bagian bawah

matriks.

(iv). Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka

elemen lainnya 0.

Catatan : Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan (i),

(ii) dan (iii) saja dikatakan berada pada Bentuk

Eselon Baris.

Contoh: - Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris

tereduksi

−110030105001

,

100010001

,

0000

,

−

00000000004100010310

- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris


− 410035105851

,

100010011

,

−

−

110000001100065210

♦ Eliminasi Gauss-Jordan adalah serangkaian operasi baris

elementer yang dikerjakan pada suatu matriks sedemikian

hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks

tersebut.

Contoh :

−

− →

−

− →

−

− +−

760211

342211

211342 2B1B212B

−−

→

−−

→ +−−

67106501

6710211 1B2B2B61

Pada bagian terapan, akan ditunjukkan penggunaan

eliminasi Gauss-Jordan tersebut untuk menyelesaikan suatu SPL.

Selanjutnya akan ditinjau pengertian rank suatu matriks

dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor baris dan vektor

kolom suatu matriks.

Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn. Vektor-vektor

u1=(a11, a12, ..., a1n),

u2=(a21, a22, ..., a2n),

∂ um=(am1, am2, ..., amn)

disebut Vektor-vektor Baris matriks A, sedangkan vektor-vektor

=

m1

21

11

1

a

aa

Mv ,

=

m2

22

12

2

a

aa

Mv , ... ,

=

mn

2n

1n

n

a

aa

Mv

disebut Vektor-vektor kolom matriks A.


Definisi 7

Rank matriks Amxn disimbolkan Rank(A) adalah bilangan yang

menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris (vektor-

vektor kolom) matriks A yang independen linear.

Sifat 3: Diketahui Amxn. Rank(A)=0 hanya bila A=O.

Teorema 7

Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn dan A≠O.

Rank(A)=r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat

terbesar sedemikian hingga Det( A )≠0, dengan A rxr

submatriks A.

Keterangan : Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu

matriks yang diperoleh dengan menghilangkan satu

atau beberapa baris atau kolom matriks A.

Teorema 8

Diketahui matriks bujursangkar Anxn. Pernyataan-pernyata-

an berikut ini ekuivalen :

(a). A invertible

(b). Rank(A)=n

(c). A ekuivalen baris dengan matriks Identitas In

3.4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 8

Diketahui matriks bujursangkar An×n. Bilangan λ disebut nilai

eigen matriks A, jika terdapat vektor v≠0 sedemikian hingga

Av=λv

Selanjutnya v disebut vektor eigen terhadap nilai eigen λ.


Diperhatikan bahwa

Av=λv ⇔ (A-λI)v=0 ,

dengan I dan O masing-masing matriks identitas dan matriks nol.

Untuk mendapatkan penyelesaian v≠0, maka harus dipenuhi

det(A-λI)=0.

Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. Dari

persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian

terhadap λ dan selanjutnya untuk setiap nilai λ akan menentukan

suatu vektor v.

Contoh:

Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks

−−−−=

121016121

A

Dari persamaan karakterisitik

det(A-λI)=0

⇔ 0121016121

=λ−−−−

λ−−λ−

⇔ λ3+λ2-12λ=0

⇔ λ(λ+4)(λ-3)=0

⇔ λ1=0, λ2=-4 atau λ3=3

untuk λ1=0, diperoleh

(A-λI)v=0

⇔ (A-0⋅I)v=0

⇔

=

−−−−−−

−

000

vvv

012100161201

3

2

1

⇔ v1=-1/13 v3 dan v2=-6/13 v3


diperoleh vektor eigen v= Rt,t

13/t613/t

∈

−−

agar sederhana, dipilih t =-13, sehingga diperoleh vektor eigen

v=

−1361

Dengan cara serupa, untuk λ2=-4 dan λ3=3 dapat diperoleh

vektor eigen masing-masing

v=

−−

12

1 dan v=

−−

232

Teorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung

matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk

meghitung invers suatu matriks (jika ada).

Teorema 9 (Cayley-Hamilton)

Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan

karakteristiknya.

Jadi, jika diketahui matriks bujursangkar An×n dengan

persamaan karakteristik :

(-1)nλn+cn-1λn-1+ cn-2λn-2+…+ c1λ+c0=0

maka menurut teorema Cayley-Hamilton berlakulah :

(-1)nAn+cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I=0

⇔ An=(-1)1-n(cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I)

Terlihat bahwa teorema Cayley-Hamilton dapat digunakan untuk

menghitung matriks berpangkat.

Teorema Cayley-Hamilton juga dapat digunakan untuk

menghitung invers suatu matriks, yaitu :


( )( ){ }( ){ }IcAcAcAcA1

c1A

AAcAcAcAcA1IAc

AcAcAcAcA1Ic

123n

2n2n

1n1n1n

0

1

11

22

2n2n

1n1n

n1n10

12

22n

2n1n

1nn1n

0

−−−−−−=⇔

−−−−−−=⇔

−−−−−−=

−−

−−

−+−

−−−

−−

+−

−−

−−

+

L

L

L

Contoh

Diketahui matriks

−−

=3142

A

Akan digunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung A-1

dan Am.

Dari persamaan karakteristik : det(A-λI)=0, yaitu

( )( ) 0432031

42=+−λ+λ⇔=

λ−−λ−−

⇔ λ2−λ−2=0

⇔ λ1=−1 atau λ2=2

Berdasarkan teorema, diperoleh

A2−A−2I=0 ⇔ A-1=(A−I)/2 ⇔

−−

=−121223

A 1

Selanjutnya,

λ2−λ−2=0 ⇔ λ2=λ+2

⇔ λ3=λ2+2λ=(λ+2)+2λ=3λ+2

⇔ λ4=3λ2+2λ=3(λ+2)+2λ=5λ+6

⇔ ...

⇔ λm=k1λ+k2

Konstanta k1 dan k2 diperoleh dari substitusi λ1=−1 dan λ2=2

yaitu : k1=(2m−(-1)m)/3 , k2=(2m+(-1)m⋅2)/3 dan . Dengan

demikian :

λm=k1λ+k2 ⇔ Am =k1A+k2I

={(2m−(-1)m)/3}A+{(2m+(-1)m⋅2)/3}I

untuk m=6 (misalnya) diperoleh

−−

=85218420

A6 .


3.5. Terapan

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear adalah suatu sistem persamaan

linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah :

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

∂ am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

SPL tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik :

AX=B

dengan

=

=

=

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

bb

Bdan

x

xx

X,

aaa

aaaaaa

AMM

L

MMM

L

L

Teorema 10

Diketahui SPL dalam bentuk matriks AX=B, dengan matriks

=

=

=

m

2

1

1mx

n

2

1

1nx

mn2m1m

n22221

n11211

mxn

b

bb

Bdan

x

xx

X,

aaa

aaaaaa

AMM

L

MMM

L

L

.

Diketahui pula A~ , matriks imbuhan (augmented matriks).

=

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

bb

aaa

aaaaaa

A~M

L

MMM

L

L

(a). Jika Rank(A)=Rank( A~ ), maka SPL tersebut paling

sedikit mempunyai satu penyelesaian. Dalam hal ini

dikatakan SPL tersebut konsisten.


(b). Jika Rank(A)=Rank( A~ )=n, maka SPL tersebut

mempunyai penyelesaian tunggal.

(c). Jika Rank(A)<n, maka SPL tersebut mempunyai

penyelesaian yang banyaknya takhingga.

Secara umum dapat dinyatakan bahwa suatu SPL konsisten,

dapat diselesaikan melalui Eliminasi Gauss-Jordan.

Berikut ditinjau SPL pada teorema 10 untuk kasus m=n,

yaitu matriks Anxn, Xnx1 dan Bnx1 dengan A invertible.

Penyelesaian SPL Menggunakan Invers

Melalui operasi matriks, sistem persamaan AX=B, dapat

diselesaikan, dengan syarat A suatu matriks invertible

(berdasarkan teorema 8 maka Rank(A)=n) yaitu

AX=B ⇔ A-1AX=A-1B ⇔ IX=A-1B ⇔ X=A-1B.

Penyelesaian SPL Menggunakan Determinan

Selain invers, determinan matriks pun dapat digunakan

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, seperti dinyatakan

oleh teorema berikut.

Teorema 11 (Aturan Cramer)

Jika AX=B adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n

persamaan dan n peubah, dan diketahui det(A)≠0 maka

sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian

tunggal

( )( )

( )( )

( )( )AdetAdet

x,,Adet

Adetx,

AdetAdet

x nn

22

11 === L


dengan Ak , k=1,2,...,n adalah matriks yang diperoleh dengan

menggantikan elemen-elemen kolom ke-k dari matriks A

dengan elemen-elemen matriks B.

Contoh: Akan dicari penyelesaian SPL berikut :

3x1+2x2-x3=0

x1+6x2+3x3=-48 ⇔ AX=B , dengan

2x1-4x2=32

−

−=

042361123

A ,

−=

=

32480

Bdanxxx

X

3

2

1

♦ Dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Penyelesaian dengan cara ini adalah melalui eliminasi

gauss-jordan pada matriks imbuhan A~ . Elemen-elemen

pada kolom terakhir A~ setelah proses eliminasi selesai

meyatakan penyelesaian SPL.

Diperhatikan

−

−=

042361123

A dan

−=32480

B , maka

−−

−− →

−

−−−− →

−

−− →

−

−

−=

−

+−+−

128948

61608510

361

128144

48

616010160361

32048

042123

361

32480

042361123

A~

2B161

3B1B22B1B3

12B


−− →

−−

− →

−−

− →

+−+

++−

4213

3

100010001

49

6

10085104301

169

6

40085104301

2B3B851B3B43

3B41

3B2B161B2B6

Jadi diperoleh : X=

−−=

4213

3

xxx

3

2

1.

♦ Dengan Invers

Karena

−−=−

414141325321323

163161163A 1 , maka diperoleh

−−=

−

−−== −

4213

3

32480

414141325321323

163161163BAX 1

♦ Dengan Determinan (Teorema 11)

Dari SPL di atas diperoleh :

−

−=

042361123

A , det(A)=64

−−

−=

04323648120

A1 , det(A1)=192

−

−=

03223481103

A2 , det(A2)=-416


−−=32424861023

A3 , det(A3)=-256

Maka berdasarkan teorema 11 diperoleh

x1=192/64=3, x2=-416/64=-6,5 dan x3=-256/64=-4.

Jadi X=

−−=

4213

3

xxx

3

2

1.


SOAL-SOAL LATIHAN

1. Tentukan rank matriks-matriks berikut :

−−

−

875386223111

dan213030112

2. Hitung invers matriks-matriks berikut :

−−

655432102

,

2212221103222220

3. Diketahui Det(A)=5 dan A suatu matriks ukuran 4×4. Hitunglah :

Det(3A), Det(2A-1) dan Det((2A)-1)

4. Diketahui matriks-matriks

=

243412321

A dan

=

243k12321

B

Jika Det(B)=2 Det(A), hitunglah nilai konstanta k

5. Carilah nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen masing-masing

matriks-matriks berikut

2145

,

−−−−

121016121

dan

−−

20004200831011731

6. Buktikan titik-titik (x1,x1), (x2,y2) dan (x3,y3) segaris bila hanya bila :

01yx1yx1yx

33

22

11=

7. Suatu matriks Anxn dikatakan simetris (symetric) jika AT=A dan

dikatakan anti-simetris (skew-symetric) jika AT=-A. Jika diketahui

matriks Bnxn tunjukkan matriks BBT dan B+BT masing-masing

simetris, sedangkan B-BT anti-simetris.


8. Selesaikan masing-masing SPL berikut :

(a). x1+2x2+2x3=2 (b). x1+x2+x3=3

x1+x2+x3=0 x1-x2-x3=-1

x1-3x2-x3=0 3x1+2x2+x3=5

9. Tentukan Ak , k bilangan bulat positif, jika

=

222254245

A

10. Diperhatikan sebuah pelat bujursangkar dengan temperatur pada

masing-masing sisi seperti gambar. Pada beberapa keadaan

tertentu, hampiran temperatur pada titik P1, P2, P3 dan P4 dapat

dihitung masing-masing dengan rumus:

4100100uu

u

4200100uu

u

4200100uu

u

4100100uu

u

314

423

312

421

+++=

+++=

+++=

+++=

a. Tunjukkan Sistem Persamaan Linear di atas equivalen

dengan persamaan matriks

−−−−

=

−−

−−

200300300200

uuuu

4101141001411014

4

3

2

1

b. Selesaikan persamaan matriks pada bagian a dengan

mencari invers matriks koefisiennya.

100oC

100oC

100oC

200oC

P1

P2 P3

P4

3. matriks dan determinan

Documents