matriks - · pdf fileukuran atau ordo dari suatu matriks ... contoh (determinan matriks ukuran...

MATRIKS

Departemen MatematikaFMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66

Topik Bahasan

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Determinan matriks

4 Matriks Invers

5 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks

6 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)

7 Solusi


Matriks

Definisi matriks

Definisi (Matriks)Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentukpersegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriksditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya.

Notasi: huruf kapital A, B, C, D, . . .Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb.

Am×n =[aij]

m×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j.i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.m× n = ukuran atau ordo matriks A.


Matriks

Mendefinisikan matriks

Cara mendefinisikan matriks:

dituliskan seluruh elemennyadidefinisikan elemennya

Soal

Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut:

1 A =(aij)

3×3 , aij =

{1, i = ji, i 6= j

2 A =(aij)

4×5 , aij =

{1+ i, i < ji− j, i ≥ j

SOLUSI


Matriks

Submatriks

Definisi (Submatriks)Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperolehdari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya.

Catatan: A adalah submatriks A sendiri.

Soal

Tentukan submatriks dari matriks

A =

(1 0 12 1 23 1 5

)

a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1.b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2.

SOLUSI


Matriks

Matriks khusus

1 Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama denganbanyaknya kolom.Catatan:

1 Khusus untuk matriks segi, ordo n× n, biasa ditulis ordo n.2 Jika A = (aij)n×n maka elemen a11, a22, . . . , ann disebut elemen

diagonal utama matriks A.

2 Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawahdiagonal utamanya nol.

3 Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atasdiagonal utamanya nol.

4 Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonalutamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In.


Operasi Matriks

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar

Definisi (Penjumlahan dan pengurangan)

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m× n dan

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

, B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

.

Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A± Bdidefinisikan sebagai berikut:

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1na21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n

......

. . ....

am1 ± bm1 am2 ± bm2 . . . amn ± bmn

.


Operasi Matriks

Definisi (Perkalian skalar)Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, didefinisikan sebagaiberikut:

kA =

ka11 ka12 . . . ka1nka21 ka22 . . . ka2n

......

. . ....

kam1 kam2 . . . kamn

.

Catatan:−A = (−1)A


Operasi Matriks

Hukum penjumlahan dan perkalian skalar

Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuransama dan k adalah skalar, maka

1 (A+ B) + C = A+ (B+ C)2 A+ (−A) = A−A = O3 A+ B = B+A4 k(A+ B) = kA+ kB5 0A = O

dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennyanol.


Operasi Matriks

Definisi (Perkalian matriks)

Misalkan A =(aij)

m×p dan B =(bij)

p×n adalah dua matriks yangberturut-turut berukuran m× p dan p× n. Perkalian matriks A dan B,ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut:

dengan cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =p

∑k=1

aikbkj. i = 1, 2, ..., m,

j = 1, 2, ..., n.


Operasi Matriks

Hukum perkalian matriks

Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuaisehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalahskalar, maka

1 Hukum asosiatif(AB)C = A(BC)

2 Hukum distributif kiriA(B+ C) = AB+AC

3 Hukum distributif kanan(B+ C)A = BA+ CA

4 k(AB) = (kA)B = A (kB)

Catatan: secara umum AB 6= BA.


Operasi Matriks

Putaran (transpos) matriks

Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks)

Misalkan A = (aij) adalah matriks berukuran m× n. Putaran atautranspos dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n×myang didefinisikan sebagai berikut:


Operasi Matriks

Sifat matriks putaran

1 (A± B)T = AT ± BT

2 (AT)T = A3 (kA)T = k

(AT) ,dengan k skalar

4 (AB)T = BTAT


Operasi Matriks

Soal operasi matriks

Soal

Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut:

A =

(1 −1 20 3 4

)B =

(4 0 −3−1 −2 3

)C =

(2 −35 1−1 0

)D =

(2−13

)

Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya.

a. 2A+ Bb. (2A+ B)Cc. CTD

d. (AC)T

e. AAT

f. 3A+ BDSOLUSI


Determinan matriks

Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1)Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu

A = (a11) .

Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(A) = |A| = a11.

Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulis |A|


Determinan matriks

Definisi (Determinan matriks berukuran n x n)

Misalkan A = (aij)n×n dan Aij adalah submatriks A yang diperolehdengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen aij,notasi Mij, didefinisikan sebagai

Mij = det(Aij),

dan kofaktor elemen aij, notasi αij didefinisikan

αij = (−1)i+jMij.

Maka

1 det (A) =n

∑j=1

aijαij, untuk sebarang i, i = 1, 2, . . . , n

2 det (A) =n

∑i=1

aijαij, untuk sebarang j, j = 1, 2, . . . , n .


Determinan matriks

Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor.


Determinan matriks

Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2)Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2x 2

A =(

a bc d

),

maka tunjukkan det(A) = ad− bc.


Determinan matriks

Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3)Jika matriks A berukuran 3 x 3

A =

( a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

),

maka det(A) =(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)− (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) .

Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus.


Determinan matriks

Soal determinan matriks

Soal

Tentukan determinan matriks berikut:

1 A =(

1 23 −1

)2 B =

(3 −2 11 3 20 −3 1

)

3 C =

0 0 1 11 0 0 −10 1 1 1−1 1 −1 1

SOLUSI


Determinan matriks

Sifat-sifat Determinan

1 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol,maka det(A) = 0.

2 Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitigabawah, maka determinan matriks A adalah perkalianelemen-elemen diagonal utamanya.

3 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatandari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0.

Soal

Tentukan determinan matriks-matriks berikut:

A =

(3 0 04 2 05 1 0

), B =

(2 5 30 3 70 0 −1

), dan C =

3 −2 4 80 3 3 60 2 2 40 −5 −5 −10

.

SOLUSI


Matriks Invers

Matriks invers

Definisi (Matriks invers)Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memilikiinvers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = In .Matriks B disebut invers matriks A.Notasi: B = A−1 (dibaca: invers matriks A)

Sifat matriks invers:

1 Invers suatu matriks bersifat tunggal.2 Jika matriks A dan B memiliki invers, maka

(A−1)−1 = A(AB)−1 = B−1A−1

(AT)−1 = (A−1)T


Matriks Invers

Metode matriks adjoin

Teorema (Metode matriks adjoin)

Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n. Jika det(A) 6= 0 danmatriks C = (αij), dengan αij adalah kofaktor elemen aij, maka invers matriksA adalah

A−1 =1

det (A)CT

CT disebut matriks adjoin dari matriks A.

Catatan:Jika det (A) = 0, A tidak memiliki invers dan disebut singular.


Matriks Invers

ContohDengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jikamatriks A berukuran 2 x 2

A =(

a bc d

), det (A) 6= 0, ad− bc 6= 0

maka

A−1 =1

ad− bc

(d −b−c a

).


Matriks Invers

Soal

Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan inversmatriks-matriks berikut

A =(

3 1−2 −1

), B =

(2 1 30 2 11 1 2

)

SOLUSI


Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks

Operasi baris dasar (OBD)

1 Tukarkan baris ke-i dan ke-jNotasi: Eij

2 Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 6= 0Notasi: Ei(k)

3 Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k 6= 0, i 6= jNotasi: Eij(k)

Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E1, E2, . . . , Enyang dikenakan pada matriks A ditulis

En . . . E2E1(A).



Soal operasi baris dasar

Soal

Jika diketahui

A =

(1 2 32 1 21 1 4

).

Tentukan matriks B = E2(−1)E13(2)E12(A).SOLUSI



Ekuivalen baris

DefinisiMatriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A ∼ B,apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E1, E2, . . . , En,sehingga

B = En . . . E2E1(A).A˜E1˜A1˜E2˜...˜En˜B



Soal

Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A,

A =

(1 2 −32 6 −101 −2 9

)

sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukandeterminan dari matriks segitiga atas tersebut.

SOLUSI



Pangkat matriks

Definisi (Pangkat matriks)

Misalkan A matriks berordo m× n. Pangkat atau rank matriks A,notasi: p (A) (dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordoterbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol.



Soal

Tentukan pangkat matriks berikut.

1 A =(

1 0 1 21 1 0 0

)2 B =

(1 −1 00 1 10 2 2

)

3 C =

(5 −1 00 2 10 0 −1

)SOLUSI



Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD

Teorema (Menentukan pangkat matriks)

Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkatmatriks asal.

Catatan: Jika A ∼ B, maka p (A) = p (B).Prosedur:

1 Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehinggaberbentuk matriks mirip segitiga atas

(aij = 0, i > j

).

2 Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yangtidak semua elemennya nol.



Soal

Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut.

1 A =

(1 −1 23 −1 04 −2 2

)

2 B =

(1 −1 2 13 −1 0 14 −2 2 1

)SOLUSI


Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)

Persamaan Linear

Definisi (Persamaan linear)Suatu persamaan dalam n variabel x1, x2, . . . , xn dikatakan linear biladapat dituliskan dalam bentuk

c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn = k

di mana c1, c2, . . . , cn dan k adalah konstanta real.

Contoh:

1 2x = 5 adalah persamaan linear.2 3x+ 6y+ 2z = 10 adalah persamaan linear.3 4xy+ 6z = 7 bukan persamaan linear.



Sistem Persamaan Linear

Definisi (Sistem persamaan linear)

Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan nvariabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalambentuk

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm.



SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks

AX = B

di mana

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

X =

x1x2...

xn

B =

b1b2...

bn

Catatan:

1 A disebut matriks koefisien2 (A|B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng3 Jika B = O, SPL disebut SPL homogen4 Jika B 6= O, SPL disebut SPL takhomogen



Soal

1 Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak.1 2x1 + x2 − x3 = 02 x1 + x2x3 + x4 = 03 sin x1 + x2 + 3x3 = 24 x1 + x2 − 2x3 = x4 + 1

2 Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B danmatriks yang diperbesar A|B.

2x− 3y+ 2z = 02x− y− z = 1

3x− 2y+ z = 1

SOLUSI



Soal

Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut. −1 1 25 4 92 0 −30 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣12−17

SOLUSI



Penyelesaian SPL

Definisi (Penyelesaian SPL)

Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaandan n variabel adalah pasangan n bilangan (s1, s2, . . . , sn) yangmemenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s1, s2, . . . , sn)berkorespondensi secara berurutan dengan (x1, x2, . . . , xn).

Penyelesaian SPL:

tidak adatunggalbanyaknya takhingga



Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut

l1 : a1x+ b1y = c1

l2 : a2x+ b2y = c2

ada tiga, yaitu:

Tidak ada Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian



Kekonsistenan SPL

Definisi (Kekonsistenan SPL)Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memilikisatu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memilikipenyelesaian.

Teorema (Kekonsistenan SPL)Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m× n,konsisten jika dan hanya jika p(A) = p(A|B). Jika SPL konsisten dan

1 p(A) = n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.2 p(A) < n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian.



Soal

1 Tentukan kekonsistenan SPL berikut.

2x+ y− 2z+ 3w = 13x+ 2y− z+ 2w = 4

3x+ 2y+ 3z− 3w = 5

2 Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten

x− 3y+ 2z = 42x+ y− z = 1

3x− 2y+ z = α

SOLUSI



Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordom× n.Konsep dasar:

1 Jika (A|B) ∼ (C|D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yangdiperbesar (A|B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yangdiperbesar (C|D) adalah sama.

2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitigaatas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar:

(1) (2)

C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atasmaka SPL AX = B konsisten.

3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks(C|D) seperti pada gambar:

(3)

maka SPL AX = B takkonsisten.

Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol.(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 42 / 66


Prosedur Penyelesaian SPL

Prosedur:

1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (A|B).2 Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga(A|B) ∼ (C|D), dengan (C|D) merupakan matriks seperti padagambar (1),(2), atau (3).

3 Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (3), maka SPLtakkonsisten.

4 Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukansubstitusi mundur pada SPL CX = D.

5 Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPLAX = B.



Soal

Tentukan penyelesaian SPL berikut.

1 x1 + 2x2 + x3 = 52x1 + 2x2 + x3 = 6x1 + 2x2 + 3x3 = 9

2 x1 + x2 + 2x3 = 15x1 + x3 = 10

2x1 + x2 + 3x3 = 25SOLUSI



Penerapan SPL



Soal

Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C,yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebunA diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untukmemanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orangkuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luasmasing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebuttermanfaatkan seluruhnya.

SOLUSI



Soal

Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkangudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang.Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yangmasing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkospengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kotaD sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan darikota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutanbarang-barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barangyang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutanminimum terpenuhi.

SOLUSI



Tentang Slide

Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPBVersi: 2012 (sejak 2009)Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Solusi

Solusi Matriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut:

1 A =

(1 1 12 1 23 3 1

)

2 A =

0 2 2 2 21 0 3 3 32 1 0 4 43 2 1 0 5

Soal


Solusi

Solusi Submatriks dari matriks A adalah:

a. Aa =

(0 11 5

)b. Ab = ( 2 2 )

Soal


Solusi

Solusi Operasi matriks

a.(

6 −2 1−1 4 11

)b.(

1 −207 7

)c.(−4−7

)d.(

6 55 25

)e.(−5 11−4 3

)f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuranBD adalah 2 x 1.

Soal


Solusi

Solusi

|C| = 0− 0+ 1×∣∣∣∣∣ 1 0 −1

0 1 1−1 1 1

∣∣∣∣∣− 1×∣∣∣∣∣ 1 0 0

0 1 1−1 1 −1

∣∣∣∣∣= ((1+ 0+ 0)− (1+ 1+ 0))− ((−1+ 0+ 0)− (0+ 1+ 0))= −1+ 2 = 1

, determinant

1 Soal


Solusi

Solusi |A| = 0|B| = −6|C| = 0

Soal


Solusi

Solusi

A−1 =

(1 1−2 −3

)B−1 =

(3 1 −51 1 −2−2 −1 4

)

Soal


Solusi

Solusi

B =

(4 3 10−1 −2 −31 1 4

)

Soal


Solusi

Solusi

A =

(1 2 −32 6 −101 −2 9

)∼(

1 2 −30 2 −40 −4 12

)∼(

1 2 −30 2 −40 0 4

)= B

dan determinan matriks B adalah 8.Soal


Solusi

Solusi1 Pangkat = 22 Pangkat = 23 Pangkat = 3

Soal


Solusi

Solusi Penentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar.

1 A =

(1 −1 23 −1 04 −2 2

)∼(

1 −1 20 2 −60 0 0

). Pangkat = 2

2 B =

(1 −1 2 13 −1 0 14 −2 2 1

)∼(

1 −1 2 10 2 −6 −20 0 0 −1

). Pangkat = 3

Soal


Solusi

Solusi1 Persamaan sebelumnya adalah:

1 Linear.2 Tidak linear, karena terdapat perkalian x2x3.3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri.4 Linear.

2 SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar:(2 −3 22 −1 −13 −2 1

∣∣∣∣∣ 011

)

Soal


Solusi

Solusi SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebutadalah:

−x+ y+ 2z = 15x+ 4y+ 9z = 2

2x− 3z = −1y− 4z = 7

Soal


Solusi

Solusi

1

2 1 −2 30 1

2 2 − 52

0 0 4 −5

∣∣∣∣∣∣1521

. Konsisten dan memiliki banyak

penyelesaian.2 Penentuan nilai α (

1 −3 20 7 −50 0 0

∣∣∣∣∣ 4−7

α− 5

)

Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α = 5. Jika α 6= 5, makaSPL tersebut tak konsisten.

Soal


Solusi

Solusi1 Penyelesaian SPL (

1 2 10 −2 −10 0 2

∣∣∣∣∣ 5−44

)

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaiantunggal dengan nilai x3 = 2, x2 = 1, x1 = 1.

2 Penyelesaian SPL (1 1 20 −1 −10 0 0

∣∣∣∣∣ 15−50

)

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyakpenyelesaian. Misal x3 = s, maka x2 = 5− s dan x1 = 10− s

Soal


Solusi

Solusi Misal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap barismerepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut.

x y z KetersediaanKuli 8 5 10 74

Mandor 2 3 - 18Mobil 1 2 3 20

8x+ 5y+ 10z = 742x+ 3y = 18

x+ 2y+ 3z = 20x, y, z ≥ 0

Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah:(8 5 102 3 01 2 3

∣∣∣∣∣ 741820

)E13

˜

(1 2 32 3 08 5 10

∣∣∣∣∣ 201874

)E21(−2)E31(−8)

˜

(1 2 30 −1 −60 −11 −14

∣∣∣∣∣ 20−22−86

)E32(−11)

˜

(1 2 30 −1 −60 0 52

∣∣∣∣∣ 20−22156

)


Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan

52z = 156 =⇒ z = 3−y− 6z = −22 =⇒ −y− 18 = −22 =⇒ y = 4

x+ 2y+ 3z = 20 =⇒ x+ 8+ 9 = 20 =⇒ x = 3

solusi z = 3, y = 4, x = 3.Solusi Jadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya,luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luaskebun C adalah 3 hektar. Soal


Solusi

Solusi Misal diberikan variabel sebagai berikut:

w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C.x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D.y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C.z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D.

1 1 0 01 0 1 00 0 1 10 1 0 1

2000 1000 3000 1000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣40203050

90000


Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agarbiaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut:Solusi

Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang.Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang.Tidak ada barang dari gudang B ke C.Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang.

Soal


matriks - · pdf fileukuran atau ordo dari suatu matriks ... contoh (determinan matriks ukuran...

Documents