determinan -...
TRANSCRIPT
DEFINISI
• Untuk setiap matriks persegi (bujur sangkar), ada satu bilangan tertentu yang disebut determinan
• Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.
Disimbolkan dengan:
AA det
• Metode untuk menghitung determinan matriks:
1. Metode Sarrus
2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace)
3. Eliminasi Gauss
Jika |A| 0 disebut matriks non singular
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a₁₁
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
2322
11aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
Minor
Kofaktor Matriks
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan
Contoh : Kofaktor dari elemen a11
Kofaktor dari elemen a23
1111
11
11 )1( MMc
2323
32
23 )1( MMc
Kofaktor Matrik
• Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan
tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda
yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris
ke – i dan kolom ke – j dari susunan :
............
...
..
..
..
..
Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor
• Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung
dari jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang
baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Baris
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
)()()( 312232211331233321123223332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Baris
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga
|A|
)()()( 311232111331133311223213331221
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
232322222121
232322222121
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
)()()( 211222113321132311322213231231
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31
333332323131
333332323131
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Kolom
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor kolom pertama |A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
)()()( 221223123132133312213223332211
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Kolom
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua
|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga
|A|
)()()( 211313113231133311223123332112
2321
1311
32
3331
1311
22
3331
2321
12
323222221212
323222221212
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
)()()( 211222113331123211233122322113
2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
333323231313
333323231313
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Contoh 1
• Misalkan kita punya matriks A =
– Tentukan minor entri a11, a12, dan a13
– Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !
• Penyelesaian :
– minor entri a11 adalah M11
– kofaktor a11 adalah C11
841
652
413
166*48*584
65
1616*184
65)1( 11
Contoh 1
• A =
– minor entri a12 adalah M12
– kofaktor a12 adalah C12
– minor entri a13 adalah M13
– kofaktor a13 adalah C13
841
652
413
101*68*281
62
1010*)1(81
62)1( 21
31*54*241
52
33*141
52)1( 31
245
342
013
24
34
25
32
45
42
Hitung Det(A) bila A =
= 3 + 0
= (3)(-4) – (1)(-11)
= -12 + 11
= -1
Contoh:
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
- 1
Contoh 2
SOAL LATIHAN
Hitung determinan matriks diatas dengan metoda Sarrus
Minor & Kofactor dan eliminasi gauss
1154
932
1021
A
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
• Apabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka harga determinan matriks = 0
• Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.
TAA
Contoh:
953
732
321
B 1
953
732
321
det B
• Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi elementer matriks
D2=A2-( 2x A1)
Jadi, determinan D = determinan A
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
• Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya atau kolomnya, maka:
AC Contoh:
Baris 1 ditukar dengan baris 3
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
• Jika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :
• Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.
0A
Contoh: B2=3 x A2
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1A 3B
Jadi, determinan B = 3 x determinan A
• Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah, maka determinan dari matriks A adalah hasil kali dari elemen–elemen diagonalnya.
Contoh:
Contoh:
• Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka:
8
• Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar, maka:
BAAB
• Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu baris atau kolomnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B maka:
Contoh:
Adjoint
• Definisi:
– Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor
aij, maka matriks
dinamakan matriks kofaktor A
– Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint
(sering ditulis adj(nama_matriks)
– Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A
(adj(A))
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
...
............
...
...
21
22221
11211
Adjoint
• Contoh:
– Cari nilai kofaktor • C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12
• C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6
• C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16
• C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4
• C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2
• C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16
• C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12
• C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10
• C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16
• Matriks Kofaktor A
• Transpose matriks
kofaktor A adalah Adjoint
A (adj(A))
042
361
123
A
161012
1624
16612
161616
1026
12412
)(AAdj