determinan dan invers
TRANSCRIPT
SMK BINTANG NUSANTARA SCHOOLKab.Tangerang
Ridho Hadi Saputro
MATRIKS
DAFTAR SLIDEDAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Determinan Matriks
2222
Inverse Matriks
DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS
3333
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
4444
Nama matriks menggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf
kecil maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.
675
231A
ihg
fed
cba
H
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
5555
Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A = (aij)
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
MATRIKSMATRIKS
6666
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
16
12
13
41
A
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
7777
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
7
Baris
KolomUnsur Matriks
Matriks berukuran m x n atau berorde m x n
MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM
8888
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
4121C
4
3
1
E
MATRIKS A = BMATRIKS A = B
9999
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A = Bdan
A ≠ B
dan
10
42A
10
42B
510
242A
13
41B
PENJUMLAHAN MATRIKS
10101010
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENJUMLAHAN MATRIKS
11111111
Contoh Soal
22
31
24
A
21
12
43
B
2212
1321
4234
BA
43
41
27
BA
PENGURANGAN MATRIKS
12121212
A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENGURANGAN MATRIKS
13131313
Contoh :
043
322
101
A
243
421
111
B
204433
432212
111011
BA
200
703
210
BA
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
14141414
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
15
83A
1*45*4
8*43*44A
420
32124A
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
15151515
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
16161616
Contoh :
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
12
10A
11
43B
06
106
03
53*2)
11
43
12
10(*2)(2 BA
06
106
22
86
24
20
11
43*2
12
10*222 BA
TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
17171717
Contoh :
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
12
11C
510
55
12
11*5
12
11*)32(*)( 21 Ckk
TERBUKTI
510
55
36
33
24
22
12
11*)3(
12
11*)2()**( 21 CkCk
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
18181818
Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
19191919
Contoh :
0
1
3
B
11)0*1()1*2()3*3(
0
1
3
*123*
BA
123A
000
123
369
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
* AB
PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS
20202020
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya
Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)
Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
21212121
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku :
A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
22222222
Tentukan hasil A² dan A³
02
11A
22
13
02
11
02
112 AxAA
26
35
22
13
02
1123 AxAA
PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS
23232323
Tentukan hasil 2A² + 3A³
02
11A
44
26
22
1322 2A
66
915
22
3533 3A
1010
79
66
915
44
2632 32 AA
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
24242424
Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
13
41A
00
00
00
23xO
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
25252525
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama
500
020
001
33xD
500
050
005
33xD
JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS
26262626
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol
100
010
001
D
600
210
542
A
152
043
001
B
DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS
27272727
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan
Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
28282828
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar
Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
29292929
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :
Contoh :
2221
1211
aa
aaA 21122211)det( aaaaA
31
52A 156)det( A
2221
1211)det(aa
aaA
31
52)det( A
METODE SARRUSMETODE SARRUS
30303030
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
METODE SARRUSMETODE SARRUS
31313131
Contoh :
Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2= 18
102
311
322
A
MINORMINOR
32323232
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij
adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a₁₁
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
232211 aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
MINORMINOR
33333333
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS
34343434
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan
Contoh :Kofaktor dari elemen a11
232332
23 )1( MMc
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
35353535
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
36363636
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222113
3331
232112
3332
232211
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
37373737
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|
3231
121123
3331
131122
3332
131221
232322222121
232322222121
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
2221
121133
2321
131132
2322
131231
333332323131
333332323131
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
38383838
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama|A|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
131231
3332
131221
3332
232211
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE
39393939
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga|A|
2321
131132
3331
131122
3331
232112
323222221212
323222221212
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
2221
121133
3231
121123
3231
222113
333323231313
333323231313
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA
40404040
Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
dstaaaA 332211)det(
1296496)3(2)det( A
TRANSPOSE MATRIKS
41414141
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A; dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
Contoh : matriks A : berordo 2 x 3
transposenya : berordo 3 x 2
314
131A
31
13
41tA
TRANSPOSE MATRIKS
42424242
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA
).(4
).(3
).(2
).(1
TRANSPOSE MATRIKS
43434343
Pembuktian aturan no1 :
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaaBA
232221
131211
bbb
bbbB
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
2313
2212
2111
bb
bb
bb
BT
23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA TT
TERBUKTI
23231313
22221212
21211111
)(
baba
baba
baba
BA T
TRANSPOSE MATRIKS
44444444
Pembuktian aturan no 2 :
232221
131211
aaa
aaaA
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
232221
131211
2313
2212
2111
)(aaa
aaa
aa
aa
aa
A
T
TT
TERBUKTI
MATRIKS SIMETRI
45454545
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
Contoh :1. 2.
002
003
231
002
003
231
TA
A
21
12
21
12
TB
B
AAT
INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS
46464646
1A
IAA 1
dc
baA
ac
bd
bcadA
11
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
47474747
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus
TM
))(()det(
11 MadjoinM
M
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
48484848
Contoh Soal :
- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M
065
410
321
M
043
612
501TM
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
49494949
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya :
==> ==>
145
41520
51824
145
41520
51824
INVERS MATRIXINVERS MATRIX
50505050
Hasil Adjoinnya :
Hasil akhir
145
41520
51824
145
41520
51824
1
11M
145
41520
51824
REFERENSIREFERENSI
51515151
1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007
2. http://p4tkmatematika.org/3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php