103

H. SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN ATURAN CARMERSeperti sudah dibicarakan dalam bab II, jika A adalah sebarang matriks m x n, dan

apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol At. Dari definsi determinan kita peroleh bahwa determinan suatu matriks adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda. Karena hasil kali elementer tersebut mempunyai satu faktor dari setiap baris, dan satu faktor dari setiap kolom, maka meskipun matriks tersebut diubah menjadi matriks transpos, hasil kali elementernya akan tetap sama. Akibatnya determinannya pun akan sama seperti diberikan dalam teorema berikut,

Teorema III.5Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar, maka det A = det At.

Contoh III.33Tinjaulah matriks A berikut,

A

6 1 5

3 2 7

8 4 1

Transpos matriks A adalah,

A t

6 3 8

1 2 4

5 7 1

det A

6 1 5

3 2 7

8 4 1

( ) ( ) (5)

6

2 7

4 11

3 7

8 1

3 2

8 4

( )( ) ( )( ) (5)( )6 2 28 1 3 56 12 16 83 (i)

det At

6 3 8

1 2 4

5 7 1

( ) ( ) ( )

6

2 4

7 13

1 4

5 18

1 2

5 7

( )( ) ( )( ) ( )( )6 2 28 3 1 20 8 7 10 83 (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa det A = det At

Jika A dan B adalah dua matriks berukuran n x n, dan k adalah sebarang skalar, maka(i) det (A + B) det A + det B(ii) det (kA) = kn det A

Contoh III.34Tinjaulah matriks-matriks berikut,

A

1 2 1

2 4 3

3 5 0

B

2 0 5

3 1 3

4 6 7

DND

104

A B

1 2 1

2 4 3

3 5 0

2 0 5

3 1 3

4 6 7

1 2 6

5 5 0

7 11 7

det A

1 2 1

2 4 3

3 5 0

( ) ( ) ( )14 3

5 02

2 3

3 01

2 4

3 5

( )( ) ( )( ) ( )( )1 0 15 2 0 9 1 10 12 1 (i)

det B

2 0 5

3 1 3

4 6 7

( ) ( ) (5)

21 3

6 70

3 3

4 7

3 1

4 6

( )( ) ( )( ) (5)( )2 7 18 0 21 12 18 4 20 (ii)det A + det B = 1 20 = 21 (iii)

det( )A B

1 2 6

5 5 0

7 11 7

( ) ( ) ( )

15 0

11 72

5 0

7 76

5 5

7 11

= )( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 35 0 2 35 0 6 55 35 15 (iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa det (A + B) de A + det B

Sekarang ambil k = 5 dan kalikan k dengan matriks A, maka akan diperoleh,

kA

5

5 10 5

10 20 15

15 25 0

1 2 1

-2 -4 -3

3 5 0

det(5 )A

5 10 5

10 20 15

15 25 0

(5) ( ) (5)

20 15

25 010

10 15

15 0

10 20

15 25

(5)( ) ( )( ) (5)( )0 375 10 0 225 250 300 125 (v)Karena matriks A adalah matriks berukuran 3 x 3, maka

kn det A = 53 (1) = 125 (vi)

Dari (v) dan (vi) diperoleh bahwa det (5A) = 53 det A = 125 det A.

Teorema III.6Jika A dan B adalah matriks bujursangkar yang ukurannya sama, maka

det (AB) = det A det B.

Contoh III.35Tinjau matriks-matriks berikut,

A

1 3 0

4 6 1

5 0 2

B

3 1 4

2 0 6

1 5 3

DND

105

AB

1 3 0

4 6 1

5 0 2

3 1 4

2 0 6

1 5 3

1 3 3 2 0 1 1 1 3 0 0 5 1 4 3 6 0 3

4 3 6 2 1 1 4 1 6 0 1 5 4 4 6 6 1 3

5 3 0 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 5 1 0 0 2 5 5 4 0 6 2 3

3 1 22

1 9 55

13 15 26

det A

1 3 0

4 6 1

5 0 2

= (1) 6 1

0 2

(3)

4 1

5 2

+ (0)

4 6

5 0

= ( )( ) ( )(8 ) ( )( )1 12 0 3 5 0 0 30 3 (i)

det B

3 1 4

2 0 6

1 5 3

= (3) 0 6

5 3 (1)

2 6

1 3 (4)

2 0

1 5

( )( ) ( )( ) ( )( )3 0 30 1 6 6 4 10 0 130 (ii)

det( )AB

3 1 22

1 9 55

13 15 26

= (3)

9 55

15 26 (1)

1 55

13 26 + (22)

1 9

13 15

( )( ) ( )( ) ( )( )3 234 825 1 26 715 22 15 117 390 (iii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh,

(det A)(det B) = 3(130) = 390 (iv)

sedangkan dari (iii) dan (iv) diperoleh,

det (AB) = (det A)(det B)

Dalam bab II telah dibicarakan bahwa matrik bujur sangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya 1 dan komponen lainnya nol dinamakan matriks satuan yang diberi simbol I. Berdasarkan teorema III.3 matriks semacam ini determinannya adalah hasil kali semua komponen pada diagonal utamanya, jadi det I = 1.

Contoh III.36 Matriks-matriks satuan berikut, determinannya sama dengan satu.

I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, det ( )( )( )I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1 1

I

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, det ( )( )( )( )I

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 1 1

DND

106

Teorema III.7Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik (mempunyai invers) jika det A 0

Bukti :Jika A dapat dibalik maka AA1 = I . Jika kita ambil determinannya, maka

det (AA1 ) = det I = 1 (i)

Menurut teorema III.6, det (AA1 ) = (det A)(det A1 ) (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh, (det A)(det A1 ) = 1, dengan demikian det A 0.

Akibat dari teorema III.7, jika A dapat dibalik, maka detdet

AA

1 1

Bukti :Dari bukti teorema III.7 diperoleh (det A)(det A1 ) = 1. Karena det A 0, maka

detdet

AA

1 1

Contoh III.37Tinjaulah matriksmatris berikut,

A

4 7 2

2 5 1

6 0 3

B

6 4 3

4 3 4

3 2 2

det A = 0 karena kolom pertama dan ketiga matriks A sebanding (kolom pertama dua kali kolom ketiga), jadi menurut teorema III.7, matriks A tidak dapat dibalik (tidak mempunyai invers).

det ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

B

6 4 3

4 3 4

3 2 2

63 4

2 24

4 4

3 23

4 3

3 2

6 6 8 4 8 12 3 8 9 1

Karena det B = 1 0, maka menurut teorema III.7, matriks B dapat dibalik (mempunyai inver).

Berdasarkan hubungan detdet

BB

1 1, maka det

detB

B 1 1 1

11 . Untuk mengetahui

apakah harga determinan B1 ini benar, akan kita hitung B1 dengan cara OBE, kemudian kita tentukan det B1 dengan cara ekspansi kofaktor.

6 4 3

4 3 4

3 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

O13

3 2 2

4 3 4

6 4 3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

O12(-1)

1 1 2

4 3 4

6 4 3

0 1 1

0 1 0

1 0 0

O21(4)

1 1 2

0 1 4

0 2 9

0 1 1

0 3 4

1 6 6

O12(-1)

DND

107

O31(6) O32(-2)

1 0 2

0 1 4

0 0 1

0 2 3

0 3 4

1 0 2

O13(2)

O23(-4)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 2 7

4 3 12

1 0 2

O1(-1)

O2(-1)O3(-1)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 2 7

4 3 12

1 0 2

Jadi didapatkan

B

1

2 2 7

4 3 12

1 0 2

det ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

B

1

2 2 7

4 3 12

1 0 2

23 12

0 22

4 12

1 27

4 3

1 0

2 6 2 8 12 7 0 3 1

Jadi benar bahwa detdet

.BB

1 11

Contoh III.38Hitunglah determinan invers matriks-matris berikut tanpa harus menghitung inversnya dahulu.

A

2 4 1

1 2 1

3 4 2

B

1 2 3 1

4 3 4 2

0 5 1 6

0 6 1 4

Jawab :

Untuk menjawab soal ini akan kita gunakan hubungan detdet

AA

1 1, karena itu akan

kita cari dulu determinan matriks A dan B dengan menggunakan reduksi baris.

det A

2 4 1

1 2 1

3 4 2R12

=

1 2 1

1 4 1

3 4 2R21(-1)

=R31(-3)

1 2 1

0 2 0

0 2 1R32(1)

=

1 2 1

0 2 0

0 0 1 = (1)(2)(1) = 2

det B

1 2 3 1

4 3 4 2

0 5 1 6

0 6 1 4

R21(-4)=

1 2 3 1

0 5 8 6

0 5 1 6

0 6 1 4

R32(-1)=

R42(1)

1 2 3 1

0 5 8 6

0 0 9 0

0 1 7 2

R24

=

DND

108

1 2 3 1

0 1 7 2

0 0 9 0

0 5 8 6

R3(1/9)=

(9)

1 2 3 1

0 1 7 2

0 0 1 0

0 5 8 6

R42(5)=

(9)

1 2 3 1

0 1 7 2

0 0 1 0

0 0 43 16

R43(43)=

(9)

1 2 3 1

0 1 7 2

0 0 1 0

0 0 0 16= (9)(1)(1)(1)(16) = 144

Karena det A = 2 dan det B = 144, maka

detdet

AA

1 1 12

detdet

.BB

1 1 1144

Dalam bagian C bab ini telah dibicarakan bahwa kofaktor-kofaktor sebuah matriks dapat dibuat matriks lain yang disebut dengan matriks kofaktor dan transpos matriks kofaktor ini disebut matriks adjoin. Jadi apabila matriksnya adalah A maka adjointnya dinyatakan oleh adj A. Dari matriks adjoin ini dapat ditentukan matriks inversnya seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema III.8

Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka AA

A 1 1det

adj

Bukti :

Tinjau matriks A yang dapat dibalik, A

a a aa a a

a a a

a a a

n

i i in

n n nn

11 12

21 22 2

1 2

1 2

.

...

.

...

.

...

.

..

. . . .

. . .

. .

1n

Adjoin dari matriks A ini adalah, adj A

C CC C

C C C C

n

j n

n n jn nn

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

. . . C . . . C

. . . C . . C...

.

.

.

.

.

. . . . . .

j

....

.

Jika kita kalikan matriks A dengan adj A maka diperoleh,

DND

109

A

a a

a

a a a

a a a

C C

C C

C C C C

n

i i in

n n nn

n

j n

n n jn nn

( )

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

.

..

adj A

. . a

a a . .

. . .

. .

. . . C . . . C

. . . C . . C.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . .

1nj

11 12

21 22 2

1 2

1 2

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

Komponen baris pertama kolom pertama dari hasil kali ini adalah,a C a C a Cn n11 11 12 12 1 1 . . .

Komponen baris pertama kolom kedua dari hasil kali ini adalah,a C a C a Cn n11 21 12 22 1 2 . . .

dan seterusnya. Secara umum komponen matriks hasil kali ini, yaitu komponen baris ke i kolom ke j adalah,

a C a C a Ci j i j in jn1 1 2 2 . . . ()Jika i = j, maka () merupakan ekspansi kofaktor dari det A sepanjang baris ke i dari matriks A. Sebaliknya jika i j maka koefisien-koefisien a dan kofaktor-kofaktornya berasal dari baris-baris matriks A yang berbeda, sehingga nilai dari () sama dengan nol. Karena itu hasil kali matriks A dengan adj A adalah,

A A

A

A

A

. .

. . ...

. . .

(adj )

det .

det..

.

.det

0 0

0 0

0 0

det

.

.

...

det ( )A A I

. .

. . ...

. . .

1 0 0

0 1 0

0 0 1

()

Karena matriks A dapat dibalik, maka det A 0. Jadi persamaan () dapat dituliskan sebagai,

1det

(adj )A

A I A

atau

A A

I1

detadj A

Jika persamaan terakhir ini dikalikan dengan A1 akan diperoleh,

A A A

A I

1 11

detadj A

Karena A1A = I dan A1 I = A1, maka didapatkan,

DND

110

1 1

detadj

AA A

atau

AA

1 1det

adj A

Untuk memperjelas pembuktiaan di atas, kita ambil matriks 3 x 3 seperti dalam contoh berikut,

Contoh III.39Tinjau matriks 3 x 3 berikut,

A

1 2 1

2 4 1

3 0 2

Kofaktor-kofaktor matriks A ini adalah,C11

4 1

0 28 = = C12

2 1

3 27 = =

C13

2

312 =

4

0 =

C212 1

0 25 = =

C22

1 1

3 25 = =

C23

1 2

3 06 = =

C312 1

4 16 = =

C32

1 1

2 11 = = C33

28 =

1

2 4 =

Determinan matriks A adalah (dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama),

det ( )(8) ( )( ) ( )( )A a C a C a C 11 11 12 12 13 13 1 2 7 1 12 34

Matriks kofaktornya adalah,8 7 12

4 5 6

6 1 8

Matriks adjoin A adalah,

adj A

8 4 6

7 5 1

12 6 8

Sekarang kalikan matriks A dengan adj A,

DND

111

A (adj )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

A

1 2 1

2 4 1

3 0 2

8 4 6

7 5 1

12 6 8

1 8 2 7 1 12 1 4 2 5 1 6 1 6 2 1 1 8

2 8 4 7 1 12 2 4 4 5 1 6 2 6 4 1 1 8

3 8 0 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

det ( )

2 12 3 4 0 5 2 6 3 6 0 1 2 8

34 0 0

0 34 0

0 0 34

34

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A I

Dari hasil perkalian ini diperoleh bahwa A (adj A) = det A (I). Jika ruas kanan dan kiri dikalikan dengan A1 maka diperoleh hasil seperti bukti di atas yaitu,

AA

1 1det

adj A

Contoh III.40Tentukanlah invers matriks A dalam contoh III.39 dengan menggunakan teorema III.8.

Jawab :Matriks pada contoh III.39 adalah,

A

1 2 1

2 4 1

3 0 2

Dari contoh III.39 tersebut diperoleh,

det A = 34 , dan adj A

8 4 6

7 5 1

12 6 8

Dengan menggunakan hubungan,

AA

1 1det

adj A

diperoleh,

A

1

8

34

4

34

6

347

34

5

34

1

3412

34

6

34

8

34

134

8 4 6

7 5 1

12 6 8

Untuk mengetahui kebenaran harga A1 ini, ujilah sendiri dengan menunjukkan bahwa AA1 = I seperti yang telah diterangkan dalam bab II.

Contoh III.41Diketahui matrik A sebagai berikut,

DND

det A I

112

A

1 3 0

2 6 4

1 0 2

a) Tentukanlah kofaktor-kofaktor matriks tersebutb) Hitunglah det A dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom keduac) Tentukanlah adj Ad) Tentukanlah A1 dengan menggunakan hasil dari (b) dan (c)

Jawab :a) Kofaktor-kofaktor matriks A adalah,

C11

6 4

0 212 C12

2 4

1 28

C13

2 6

1 06

C21

3 0

0 26 C22

1 0

1 22

C23

1 3

1 03

C31

3 0

6 412 C32

1 0

2 44 C32

1 3

2 60

b) Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua diperoleh,

det ( )( ) ( )( ) ( )( )A a C a C a C 12 12 22 22 32 32 3 8 6 2 0 4 12

c) Matriks kofaktornya adalah,12 8 6

6 2 3

12 4 0

Adjoin matriks A adalah, adj A

12 6 12

8 2 4

6 3 0

d) Invers matriks A adalah,

AA

1 1 112

12 6 12

8 2 4

6 3 0

1 112

12

6

12

12

128

12

2

12

4

126

12

3

120

1

22

3

1

6

1

31

2

1

40

detadj

( ) A

Ujilah sendiri kebenaran hasil penentuan A1 ini dengan menunjukkan bahwa A A1 = I.

Dari pembicaraan di atas dapat dilihat bahwa penentuan invers matriks dengan menggunakan metoda yang dinyatakan dalam teorema III.8, agak sulit untuk matriks berukuran lebih besar dari 3 x 3. Karena untuk metriks berukuran lebih besar dari 3 x 3 kita harus menentukan lebih banyak lagi kofaktornya sebelum invers matriksnya dapat ditentukan. Sebagai contoh, untuk matriks 4 x 4 kita harus menentukan 16 buah kofaktornya sebelum dapat menentukan inversnya. Karena itu cara reduksi baris atau kolom lebih mudah untuk digunakan mencari invers matriks yang berukuran lebih besar dari 3 x 3. Walaupun demikian metoda mencari invers matriks seperti dinyatakan dalam teorema III.8 itu sangat berguna untuk menelaah sifat-sifat invers matriks tanpa harus menghitung inversnya.

DND

113

Selain dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks, determinan juga dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan n bilangan tidak diketahui dan n persamaan linier. Rumus untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan determinan ini dinamakan aturan Cramer seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema III.9 (Aturan Cramer)Jika AX = B adalah sistem persamaan linier yang terdiri dari n bilangan yang tidak diketahui dan n persamaan linier dan juga det A 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik yaitu,

xAA1

1detdet

, xAA22

detdet

, . . . , xAAn

ndetdet

di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti komponen-komponen dalam kolom ke-j dari matriks A dengan komponen-komponen dalam matriks B.

Bukti :Misalkan,

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

.

..

.

.

.

.

..

. .

. ..

.

. . .

X

x

x

xn

1

2.

.

.

B

b

b

bn

1

2.

.

.

Karena det A 0, maka menurut teorema III.7, matriks A mempunyai invers. Dari teorema II.10 diperoleh bahwa sistem persamaan AX = B mempunyai pemecahan unik yaitu

X A B 1 ()

Sedangkan dari teorema III.7 kita peroleh,

AA

1 1det

adj A ()

Jika kita masukan harga A 1 ini ke dalam persamaan () dan jika

adj

.

..

.

. .

A

. .

. ..

.

.

.

.

.

.

.

. . .

C C C

C C C

C C C

n

n n n

n n nn

11 21 1

1 2 2

1 2

maka

DND

114

X A BA A

C C C

C C C

C C C

b

b

b

n

n

n n nn n

1

11 21 1

12 22 2

1 2

1

21 1

detadj

det

.

..

.

.

A B

. .

. ..

.

.

.

.

.

.

.

.. . .

1

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

det.

.

.

det

det.

.

.

det

A

C b C b C b

C b C b C b

C b C b C b

C b C b C bA

C b C b C bA

C b C b C bA

n n

n n

n n nn n

n n

n n

n n nn n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Jadi

x

x

x

b C b C b CA

b C b C b CA

b C b C b CA

n

n n

n n

n n n nn

1

2

1 11 2 21 1

1 12 2 22 2

1 1 2 2

.

.

.

det

det...

det

. . . +

. . .

. . .

()

Misalkan A

b a a

b a a

b a a

n

n

n n nn

1

1 12 1

2 22 2

2

.

..

.

.

.

.

..

. .

. ..

.

. . .

,

maka det A b C b C b Cn n1 1 11 2 21 1 . . . +(ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama)

A

a b a

a b a

a b a

n

n

n n nn

2

11 1 1

12 2 2

1

.

....

.

.

..

. .

. ....

. .

, maka det A b C b C b Cn n2 1 21 2 22 2 . . . +(ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua)

dan seterusnya sampai,

DND

115

A

a a b

a a b

a a b

n

n n n

11 12 1

21 22 2

1 2

.

..

.

.

.

.

..

. .

. ..

.

. . .

, maka det A b C b C b Cn n n n nn 1 1 2 2 . . . +(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-n)

Selanjutnya masukan detA1, det A2, . . . , det An ke dalam persamaan (), akan diperoleh,

x

x

x

AAAA

AA

n n

1

2

1

2

.

.

.

detdetdetdet

.

.

.detdet

atau x AA1

1detdet

, x AA22

detdet

, . . . , x AAn

ndetdet

Contoh III.42Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.

2 2 210 3 5

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x xx x xx x x

Jawab :Dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linier ini dapat dituliskan sebagai AX = B di mana,

A

2 1 2

1 10 3

1 1 1

X

x

x

x

1

2

3

B

2

5

3

Ganti komponen-komponen kolom pertama matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,

A1

2 1 2

5 10 3

3 1 1

Ganti komponen-komponen kolom kedua matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,

A2

2 2 2

1 5 3

1 3 1

DND

Komponen-komponen matriks B

116

Ganti komponen-komponen kolom ketiga matrik A dengan komponen-komponen matriks B, maka akan diperoleh matriks baru yaitu,

A3

2 1 2

1 10 5

1 1 3

Tentukan determinan matriks-matriks A, A1, A2, dan A3 (akan ditentukan dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama)

det A

2 1 2

1 10 3

1 1 1

210 3

1 11

1 3

1 12

1 10

1 1

( )

2 10 3 1 1 3 2 1 10 26 2 22 46( ) ( )( ) ( )

det A1

2 1 2

5 10 3

3 1 1

210 3

1 11 2

5 3

3 1

5 10

3 1

( )

= ( + ) ( )(52 10 3 1 9 2 30 26 4 70 92 ) (5 )

det A2

2 2 2

1 5 3

1 3 1

2

5 3

3 12

1 3

1 12

1 5

1 3

= 2 9 2 1 3 2 3 5 8 4 4 0(5 ) ( ) ( )

det A3

2 1 2

1 10 5

1 1 3

210 5

1 31

1 5

1 32

1 10

1 1

( )

= 2 30 5 1 3 5 2 1 11 70 2 22 46( ) ( )( ) ( )

Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas adalah,

xAA1

1 9246

2 detdet

xAA2

2 046

0 detdet

xAA3

3 4646

1

detdet

Contoh III.43Pecahkanlah sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer.

x x xx x x

x x x xx x x

1 2 4

2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 42 2

12 1

Jawab :Sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B di mana,

DND

Komponen-komponen matriks B

Komponen-komponen matriks B

117

A

1 2 0 1

0 2 1 1

1 1 1 1

0 1 2 1

X

x

x

x

x

1

2

3

4

B

4

2

1

1

Ganti komponen-komponen kolom pertama matriks A dengan komponen-komponen matriks B. Selanjutnya ganti komponen-komponen kolom kedua dengan komponen-komponen matriks B dan seterusnya sampai kolom keempat. Matriks-matriks baru yang diperoleh dengan penggantian komponen-komponen kolom A ini adalah,

A1

4 2 0 1

2 2 1 1

1 1 1 1

1 1 2 1

A2

1 4 0 1

0 2 1 1

1 1 1 1

0 1 2 1

A3

1 2 4 1

0 2 2 1

1 1 1 1

0 1 1 1

A4

1 2 0 4

0 2 1 2

1 1 1 1

0 1 2 1

Selanjutnya, hitunglah determinan-determinan matriks A, A1, A2, A3, dan A4 maka akan diperoleh, (hitung sendiri determinan-determinan ini dengan memakai cara apa saja yang saudara anggap paling mudah)

det A

1 2 0 1

0 2 1 1

1 1 1 1

0 1 2 1

192

det A1

4 2 0 1

2 2 1 1

1 1 1 1

1 1 2 1

384

det A2

1 4 0 1

0 2 1 1

1 1 1 1

0 1 2 1

192

det A3

1 2 4 1

0 2 2 1

1 1 1 1

0 1 1 1

0

det A4

1 2 0 4

0 2 1 2

1 1 1 1

0 1 2 1

0

Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas adalah,

xAA1

1 384192

2

detdet

, xAA2

2 192192

1

detdet

x AA3

3 0192

0

detdet

, x AA4

3 0192

0

detdet

I. LATIHAN III.41. Buktikanlah bahwa det A = det At untuk matriks-matriks berikut,

DND

118

(i) A

5 1 8

15 3 6

10 4 2

(ii) A

3 1 2 4

2 0 3 1

1 6 2 0

2 5 4 5

2. Hitunglah det(3A) dan det (5A) untuk matriks-matriks pada soal nomor 1.3. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks berikut,

A

2 1 0

3 4 0

0 0 2

B

1 1 3

7 1 2

5 0 1

4. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks berikut,

A

2 4 0 0

1 1 0 1

3 0 3 0

1 2 2 1

B

4 1 4 2

1 3 1 1

2 4 5 3

6 7 8 0

5. Tentukanlah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers atau tidak, tanpa harus menghitung inversnya terlebih dahulu. Jika mempunyai invers hitunglah determinan inversnya.

(a) 1 7 0

3 6 7

0 8 1

(b)

2 1 4

1 1 2

3 1 6

(c) 7 2 1

7 2 1

3 6 6

(d)

3 4 7 2

2 6 1 3

1 0 0 0

2 8 3 4

(e)

2 1 1 3

4 6 2 3

1 0 5 0

5 0 0 5

(f)

4 1 0 2

3 6 1 2

1 7 5 0

8 3 0 4

6. Misalkan det A = 5, di mana

A

a b c

d e f

g h i

Carilah,

(a). det (3A), (b) det (2A1), (c) det[(2A)1], (d) det

a g d

b h e

c i f

7. Untuk matriks-matriks di bawah ini, tentukanlaha) Determinannya,b) Adjoinnyac) Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.

(i)14 5

25 9

(ii)

7 10

15 22

(iii)

cos sin

sin cos

8. Untuk matriks-matriks di bawah ini, tentukanlah

DND

119

a) Determinannya,b) Adjoinnyac) Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.

(i)

0 1 0

1 0 0

0 0 1

(ii)

5 1 5

0 2 0

5 3 15

(iii)

3 1 1

15 6 5

5 2 2

9. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.

(i)

x y zx zx y z

3 2 73 3 32 2 1

(ii) 2 5 3 1

2 20

x y zx y zx y z

(iii) 3 32 2 3 1

2 2

x y zx y zx y z

10. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer dan eliminasi Gauss-Jordan. Metoda manakah yang paling singkat perhitungannya ?.

(i) x y zx y z

y z

2 3 82 4 7

1

(ii) x y zx y zx y z

2 03 32 5 3 4

(iii) 4 5 2

11 2 35 2 1

x yx y zx y z

11. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer.

(i) 3 7 9 4

4 4 72 3 0

2 4 6 6

x y z wx y z wx z wx y z w

(ii) 4 63 7 17 3 5 8 3

2 3

x y z wx y z wx y z wx y z w

12. Pecahkanlah sistem-sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan aturan Cramer dan eliminasi Gauss-Jordan. Metoda manakah yang paling singkat perhitungannya ?.

(i) x x x xx x xx x xx x x x

1 2 3 4

1 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 2 23 5 3

2 3 12 4 6 5

(ii) 2 4 327 2 9 143 11

4 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x xx x x xx x x xx x x x

DND