bab ii determinan

DETERMINAN

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan

itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita

jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan

Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini dengan maksud membantu

pemahaman dan opersai perhitungan dalam bidang Matematika khususnya Determinan

yang merupakan cabang dari ilmu pengetahuan Aljabar Linear.

1.2 Tujuan

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah

Aljabar Linear, yang diberikan oleh Sibut, ST. MT.. Di samping itu adalah sebagai

sumber informasi yang saya harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para

pembaca makalah ini.

DETERMINAN

BAB II

DETERMINAN

2.1 Pengertian Determinan.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah

matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis

tegak atau . Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau

DA. Determinan dengan matriks dalam tiga hal:

1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak,

sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.

2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah

kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.

3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya

dengan matriks.

Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan

cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.

a11 a12 a11 a12Matriks A a

, det er min annya; A a a

a21 22 21 22

Nilai numeriknya: A

a11

a21

a12

a22

a11a22 a21a12

Contoh:

1 2 2 4A , B

2 3mak a

3 1

det A 1

2 1.3 2.2 1

2

2

det B 3

DETERMINAN

3

4 2.1 3.4 10

1

3 3 3

A 3 3 3 27 27 27 27 27 27 0

3 3 3

A a

1

Untuk determinan berdimensi 3.

a11 a12 a13 21

22 23

a31 a32 a33

Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A

adalah;

a11

A a21

a31

a12

a22

a32

a13 a11

a23 a21

a33 a31

a12

a22

a32

A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12

Contoh:

1 2

A 2 31 2

mak a

4

1

1

det A 2

1

2 4 1

3 1 2

2 1 1

2

3 1.3.1 2.1.1 4.2.2 1.3.4 2.1.1 1.2.2 3

2

2.2 Sifat–sifat Determinan.

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai

numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.

Contoh:

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang

unsur–unsurnya sama.

Contoh:

2 4 1

A 3 2 2 4 16 12 4 16 12 02 4 1


unsur–unsurnya sebanding.

Contoh:

2 1 3

A 2 5 2 60 8 12 60 8 12 04 2 6

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau

kolom semuanya nol.

Contoh:

2 3 5

A 2 1 4 0 0 0 0 0 0 00 0 0

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling

bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; A A' .

Contoh:

2 3 1

A 4 2 1 12 6 20 4 10 36 122 5 3

2 4 2

A' 3 2 5 12 20 6 4 10 36 121 1 3

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris

atau dua kolom bertukar letak.

Contoh:

2 4 2

A 4 2 1 12 8 40 8 10 48 62 5 3

4 2 2

B 2 4 1 48 10 8 40 8 12 65 2 3

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur

diagonalnya.

Contoh:

2 0 0

A 0 4 0 240 0 3

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu

bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

bilangan tersebut.

Contoh:

2 4

A 4 2

2 5

2

2

1 12 8 40 8 10 48 6 jik a.baris..k edua..dik ali.3

3

4 2A * 12 6

2 53 36 24 120 24 30 144 18 3 A

3

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,

determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan

atau lebih.

10. Jika elemen – elemen salah satu baris atau kolom semua dikalaikan dengan

faktor yang sama, maka determinannya pun dikalikan dengan faktor tersebut.

11. Jika elemen – elemen salah satu baris atau kolom ditambah atau dikurangi

dengan kelipatan elemen – elemen baris atau kolom lain yang bersesuaian,

maka haraga determinannya tidak berubah

12. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 ,

A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

13. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 , A

merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

14. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama

dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris

atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris

atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

2.3 Minor dan Kofaktor.

Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku

umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan

kofaktor dari determinan yang bersangkutan.

a a a

i

a a

Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,

A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12

Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:

A a11a22a33 a11a23a32 a12a23a31 a21a12a33 a13a32a21 a31a22a13 A a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a32a21 a31a22 A a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 a13 a32a21 a31a22

22 23 a21 a23 a21 a22A a1132 a33

a1231 a33

a1331 a32

A a11M11 a12 M12 a13M13

Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu,

determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan).

Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum

dilambangkan dengan notasi Mij.

M11 adalah minor dari unsur a11 , diperoleh dengan jalan menutup

baris ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan A .





Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam

penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11

dilambangkan dengan Aij.

Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij 1 Mij

1 1

1 1

Mij adalah minor dari unsur aij , diperoleh dengan jalan menutup baris

ke -i dan kolom ke-j dari determinan A .

Aij adalah kofaktor dari unsur aij.

Dengan demikian,

A11 111 M 12 M M11

A12

A13

11 2

M

11 3 M13

13 M

14 M13

M12

M13

Kofaktor Aij praktis adalah sama dengan minor Mij itu sendiri, jika i + j

menghasilkan bilangan genap, dan Aij negatif dari Mij apabila i + j menghasilkan

bilangan ganjil.

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks

berdimensi 3 adalah sebagai berikut;

A a11 A11 a12 A12 a13 A13

a21 A21 a22 A22 a23 A23

a31 A31 a32 A32 a33 A33

a11 A11 a21 A21 a31 A31

a12 A12 a22 A22 a32 A32

a13 A13 a32 A32 a33 A33

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor

n

A a11M11 a12 M12 a13 M13 aij M iji , j 1

dalam notasi kofaktor menjadi:

n

A a11 A11 a12 A12 a13 A13 aij Aiji , j 1

atau:

n

A aij M

ijj 1

untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.

n

A aij M

iji 1

untuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.

Definisi

Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka

matriks

A11 A12 A1n A A A

21 22 2 n An1 An 2 Amn

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A

dan dinyatakan dengan adj(A)

3. Diketahui matriks A sebagai berikut:

1 2 3 A 4 5 67

8 9

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.

5

4

4

2

1

1

2 3

1

1

6 6

6

3

Penyelesaian:

M 3 A 12 3 311 8 9

11

M 6 A 13 6 612 7 9

12

M 3 A 14 3 313 7 8

13

M 6 A 13 6 621 8 9

21

M 12 A 14 12 1222 7

M

9

2 6 A

22

15 6 623 7

M

8 23

3 A 14 3 331 5 6

31

M 6 A 15 6 632 4 6

32

M 3 A 16 3 333 4 5

33

Maka matriks kofaktornya adalah

3 3

6

12

6

3

3

Sedangkan matriks adjoinnya adalah

3Adj( A) 6

3

6

12

6

3

3

4. Diketahui matriks B sebagai berikut:

3 1 0 B 2 4

5 4 2

3

1

0

3

2 4

3

2

2

4

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya

Penyelesaiannya:

4M 11

4 4 A11 1

2

4 4

1 0 3M 21 4

2 A21 1 2 2 2

M 3 A 14 3 331 4

2

3 31

3 3M 12

5

11 A12 1 11 11 2

3M 22

5 6 A22 1

2

6 6

M 9 A 15 9 932 2 3 32

M 12 A 14 12 1213 5

M

4

1 7 A

13

15 7 723

5 4 22

3 1 6M 33 2 4

10 A32 1 10 10

Maka matriks kofaktornya adalah

4 3

11 12 6 7 9 10

Sedangkan matriks adjoinnya adalah

4 2 3 Adj(B) 11 6 9

12 7

5

4

4

2.4 Ekpansi Kofaktor

Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan

menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi

dengan kofaktor.

5. Diketahui matriks A sebagai berikut:

1 2 3 A 4 5 67

8 9

Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang:

a.baris pertama

b. baris kedua

c. baris ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)

1 2 3

A 4 5 6

7 8 9

M 3 A 12 3 311 8 9

11

M 6 A 13 6 612 7 9

12

M 3 A 14 3 313 7 8

13

A a11 A11 a12 A12 a13 A13 1(3) 2(6) 3(3) 0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)

2

1

1

2

1

1

3

1 2 3

A 4 5 6

7 8 9

M 6 A 13 6 621 8 9

21

M 12 A 14 12 1222 7

M

9

2 6 A

22

15 6 623 7 8

23

A a21 A21 a22 A22 a23 A23 4(6) 5(12) 6(6) 0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga)

1 2 3

A 4 5 6

7 8 9

M 3 A 14 3 331 5 6

31

M 6 A 15 6 632 4 6

32

M 3 A 16 3 333 4 5

33

A a31 A31 a32 A32 a33 A33 7(3) 8(6) 9(3) 0

6. Diketahui matriks B sebagai berikut:

3 1 0 B 2 4

5 4 2

Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang:

a. kolom pertama

b. kolom kedua

3

0

1

6

2

3

c. kolom ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama)

3 1 0

B 2 4 3

5 4 2

4M 11

4 4 A11

1 2

4 4

1M 21

4 2 A21 1

2 2 2

M 3 A 14 3 331 4 3 31

B a11 A11 a 21 A21 a31 A31 3(4) (2)(2) 5(3) 1

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)

3

B 25

2

1 0

4 3

4 2

3 3M 1 2 5

3

11 A1 2 1 2

0 4

11 11

M 2 2 5

3

6 A2 2 1 2

0 5

6 6

M 3 2 2

9 A3 2 1

3

9 9

B a1 2 A1 2 a2 2 A2 2 a2 3 A2 3 1(11) (4)(6) 4(9) 1

7. Diketahui matriks C sebagai berikut:

4 4 01 1 0

C 3 0 3

6 14 3

4 1

1

4 4 0 4

1 1 0 13 0 3 1

6 14 3 6

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor

Penyelesaian:

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,

C

Karena a13 dan a23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang

dicari hanya M33 dan M43.

Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

4 4 4

M 33 1 1 16 14 6

4 4 4 4 4 4 1.(1) 21 .

14 1.(1) 2 2

.6 6

(1).(1) 23 .6 6 14

1.((24 56)) 1.(24 24) (1).((56 24))

32 0 32

64

Sehingga diperoleh kofaktor A33 (1)3 3.64 64


ketiga

4 4 4

M 43 1 1 13 0 1

4 4 4 4 3.(1)31 .

1 (1).(1)33 .

1 1 1

3.(4 4) 1.(4 4)

24

2 5 4 1

3 2 8 1

4 1 3 2

2 6 1 3

1

Sehingga diperoleh kofaktor A43 (1)4 3.(24) 24

Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah

C (3).64 3.24 120

8. Diketahui matriks D sebagai berikut:

2 5 4 1 1

D 3 2

4 12 6

8 3 2

Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor

a. sepanjang kolom keempat.

b. Sepanjang baris pertama.

Penyelesaian:

a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,

D

Maka minor yang dicari adalah M14, M24, M34, M44


kedua

3 2 84 1 3

2 6 1

2 5 44 1 3

2 6 1

M 14

4.(1) 21 . 2

68 3

1.(1) 2 2

.1 2

8 3 2 3.(1) 23 .

1 2 6

4.((2 48)) 1.(3 16) 3.((18 4))

4.46 (13) 3.(14)

184 13 42

129



kedua

M 24

4.(1) 21 . 5

64 2

1.(1) 2 2

.1 2

4 2 5 3.(1) 23 .

1 2 6

4.((5 24)) 1.(2 8) 3.((12 10))

4.19 (6) 3.(2)

76 6 6 64


Pada minor M34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

2 5 43 2 8

2 6 1

2 5 43 2 8

4 1 3

2 5 4 1

3 2 8 1

4 1 3 2

2 6 1 3

M 34

3.(1) 21 . 5

64 2 2.(1) 2 2 .

1 2

4 2 5 8.(1) 23 .

1 2 6

3.((5 24)) 2.(2 8) 8.((12 10))

3.19 2.(6) 8.(2)

57 12 16

29



kedua

M 44

3.(1) 21 . 5

14 2 2.(1) 2 2 .

3 4

4 2 5 8.(1) 23 .

3 4 1

3.((15 4)) 2.(6 16) 8.((2 20))

3.(11) 2.(10) 8.18

33 20 144

91


D 1.(129) 1.64 2.(29) 3.91 150

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,

D

Maka minor yang dicari adalah M11, M12, M13, M14

2 8 11 3 2

6 1 3

3 8 14 3 2

2 1 3


kedua

M 11

1.(1) 21 .8

11 2 3.(1) 2 2 .

3 6

1 2 8 2.(1) 23 .

3 6 1

1.((24 1)) 3.(6 6) 2.((2 48))

(23) 92

69

Sehingga diperoleh kofaktor A11 (1)11.69 69


kedua

M 12

4.(1) 21 .8

11 3 3.(1) 2 2 .

3 2

1 3 8 2.(1) 23 .

3 2 1

4.((24 1)) 3.(9 2) 2.((3 16))

4.(23) 21 26

45

Sehingga diperoleh kofaktor A12 (1)1 2.(45) 45

Pada minor M13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

3 2 14 1 2

2 6 3

3 2 84 1 3

2 6 1

M 13

4.(1) 21 . 2

6

1 3 1.(1) 2 2

.3 2

1 3 2 2.(1) 23 .

3 2 6

4.((6 6)) 1.(9 2) 2.((18 4))

7 28

21

Sehingga diperoleh kofaktor A13 (1)

1 3.(21) 21


kedua

M 14

4.(1) 21 . 2

68 3

1.(1) 2 2

.1 2

8 3 2 3.(1) 23 .

1 2 6

4.((2 48)) 1.(3 16) 3.((18 4))

4.46 (13) 3.(14)

184 13 42

129


D 2.69 5.45 4.(21) 1.(129) 138 225 84 129 150

2.5 Reduksi Baris.

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks

tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari

perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara

langsung.

0

a

a a

Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya

dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks

tersebut.

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua

entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita

namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal

utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun

yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

a11 a12 a13 a14 22

0 0

a23

a33

24

a34

0 0

0 a 44

Maka nilai determinan det A a.11 a22 .a33 a44

Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

a11 0 0 0

21

a22 00

a31a32 a33 0

a41

a42 a43

a 44

Maka nilai determinan det A a.11 a22 .a33 a44

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali

entri –entri pada diagonal utama, yakni det A a.11 a22 .a33 a44

2 5 4 1

0 2 8 1

0 0 3 2

0 0 0 3

Contoh:

A

2.2.3.3

36

1 3 1 5 3

0 7 0 4 2

B 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

1.(7).1.1.1

7

Teorema

Misalkan A adalah sebarang matriks n x n

1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh

konstanta k, maka det(A) =k.det(A)

2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,

maka det(A’) = - det(A)

3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A

ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)

Contoh:

Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:

4 8 12

A1 0 1 4

1 2 1

4 8 120 1 4

0 0 - 2

0 4

4

2

1 2

A 11 2

4 8

A 0 1

1

3

112

4 2 1 0 1 4

A 1 2 3

1

1 2 3 A3 2 3 2

1 2 1

Penyelesaian:

1 2 3

A 0 1 4

1 2 1

1 2 30 1 4 (baris 3 dikurang pada baris

1)0 0 2

1.1.(2)

2

(baris ke - 3 dikurang 1 x baris ke - 1 )

4.1.(-2)

-8

Matriks A1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:

DETERMINAN

4 8 12

A1 0 1 4

1 2 1

1 2 34.0 1 4

1 2 1

1 2 3

4. 0 1 4

0 0 - 2

4.(1.1.(-2))

-8

0 1 4

A2 1 2 3

1 2 1

1 2 3

(faktor bersama baris ke - 1 terlebih dahulu diambil)

(baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)

01

1

00

1 4

2 1

2 3

1 4

0 2

(tukarkan baris ke - 1 dg baris ke - 2 )

(baris ke - 3 dikurang baris ke - 1 )

1.1.(2) 2

1

A3 21

1

21

1 2

0 1

0 0

2 3

3 2

2 1

2 3

3 2

2 1

3

8

2

(baris ke - 2 ditambah 2 kali baris ke - 1 , baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)

1.1.(2)

2

DETERMINAN

8

4

0

6

2

Contoh;

Hitunglah determinan A, dimana:

1 3 2 42 6

A 4

3 9 1 5 1 1

Penyelesaian:

A

1 3 22 6 43 9 1

1 1 4

1 3 20 0 0

3 9 1

1 1 4

4

8

5

8

4

0(baris ke - 2 ditambah (-2)dikali baris ke - 1 )

5

8

0 ( kita tidak memerlukan reduksiselanjutnya karena sesuaisifat determinan)

Contoh;

Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan

sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.

1 23

4 2 5 3

2 5 4 3 1 0 , 1 3 1 , 4 10 0 3 2 1

3 6 12 8 6

9. Diketahui matriks C sebagai berikut:

4 4 01 1 0

C 3 0 36 14 3

4 1

1

4 4 0 4

1 1 0 13 0 3 1

6 14 3 6

1 1 0 1

8

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris.

Penyelesaian:

C

4 4 0 4 ( tukarkanb1 dg b2 )3 0

6 14

1 1

0 0

0 30 8

1 1

0 8

3 1

3 6

0 10 8

3 2

3 12

0 1

3 12

(b2 4b1 , b3 3b1 , b4 6b1 )

0 3 30 0 0

(tuk ark an b22

8

dg b4 )

1 1

0 1 8

0 30 0

1 1

0 1

0 13 128 8

3 2

0 8

0 13 12

( f ak tor bersama baris ke - 2 dikeluarkan )

8.0 0

8 8

15 528 8

(b3 3b2 )

0 0 0 8

8.1.1. 15 .8 120

BAB III

RANGKUMAN.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks

bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau

. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau DA

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai

numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.


unsur–unsurnya sama.


unsur–unsurnya sebanding.

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau

kolom semuanya nol.

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling

bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; A A' .

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris

atau dua kolom bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur

diagonalnya.

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu

bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

bilangan tersebut.

i

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,

determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan

atau lebih.

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0

, A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 ,

A merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama

dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur

baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu

baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu

sendiri.

Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas

beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini

dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi Mij.

Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11 dilambangkan dengan

Aij. Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij 1 Mij

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut

pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan

panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

DETERMINAN

DETERMINAN

Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan

Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan

Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.

DETERMINAN

bab ii determinan

Documents