sifat determinan

7/25/2019 SIFAT Determinan

http://slidepdf.com/reader/full/sifat-determinan 1/14

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Sifat determinan yang penting adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinan tidak berubah bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua

kolom diubah menjadi baris, dengan kata lain:

det(A) = det(AT )

Contoh:

A=[6 5

2 0] ,maka AT =[6 2

5 0 ]det(A) = 6.0 - 2. ! -10

det(AT ) ! 6.0-.2 ! -10

2. det"#$% ! det"#% det"$%

Contoh:

A=[6 5

2 0]danB=[ 0 4

15 10] , maka AB=[6 5

2 0 ][ 0 4

15 10]=[75 74

0 8 ]det"#% ! 6.0 & 2. ! -10

det"$% = 10.0 & '.1 ! & 60

det"#% det"$% ! "& 10%." & 60% ! 600

det"#$% = (.) & 0.(' ! 600

*. +ika dua bariskolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.

Contoh:

A=[

0 1 4

2 1 1

0 0 1]makaB= H

12( A )=[

2 1 1

0 1 4

0 0 1] danC = K 12

( A )=[1 0 4

1 2 1

0 0 1]

det ( A )=0.|1 4

1 1|−0.|0 4

2 1|+1.|0 1

2 1|=−2 ekspansibariske−3

det ( B )=2.|1 4

0 1|−0.|1 1

0 1|+0.|1 1

1 4|=2 ekspansi kolom ke−1

det (C )=0.|0 4

2 1|−0.|1 4

1 1|+1.|1 0

1 2|=2 ekspansi baris ke−3



'. ada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga

determinan itu ! 0.

Contoh:

A=[1 2 0

1 2 0

0 0 1]bariske−1dan ke−2 sama ,maka| A|=0

. $ila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah bariskolom

ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-elemen dari

bariskolom lain.

Contoh:

A=[0 1 4

2 1 1

0 0 1]maka,B= H

13

(−2) ( A )=[0 1 2

2 1 1

0 0 1] ,C = K 21

(3) ( A )=[0 1 4

2 7 1

0 0 1]

det ( A )=0.|1 4

1 1|−0.|0 4

2 1|+1.|0 1

2 1|=−2 ekspansibariske−3

det ( B )=0.|1 2

1 1|−0.|0 2

2 1|+1.|0 1

2 1|=−2 ekspansi baris ke−3

det (C )=0.|1 4

7 1|−0.|0 4

2 1|+1.|0 1

2 7|=−2ekspansib ariske−3

6. $esar determinan menjadi β kali, bila suatu bariskolom dikalikan dengan skalar β .

Contoh:

A=[0 1 4

2 1 1

0 0 1]maka,B= H

3

(2 ) ( A )=[0 1 4

2 1 1

0 0 2] , C = K

1

(2) ( A )=[0 1 4

4 1 1

0 0 1]

det ( A )=0.|1 4

1 1|−0.|0 4

2 1|+1.|0 1

2 1|=−2 ekspansi baris ke−3



det (B )=0.|1 4

1 1|−0.|0 4

2 1|+1.|0 1

2 1|=−4ekspansibaris ke−3

det (C

)=

0.

|1 4

7 1

|−0.

|0 4

4 1

|+1.

|0 1

4 1

|=−4

ekspansi baris ke−3

(. #pabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom ! 0, maka harga determinan

! 0.

Contoh

A=[0 0

4 5 ] det "#% ! 0. & 0.' !0 & 0 !0

). +ika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga baah, maka hasil

determinannya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang terletak pada

diagonal utamanya.

Contoh:

A=[2 0 0

1 3 0

4 1 2]maka| A|=2.3.2=12

B=[2 7 7

0 3 0

0 0 2]maka|B|=2.3 .2=12

/. +ika # adalah matriks segitiga n x n maka det"#% adalah hasil kali elemen-elemen

pada diagonal utama

Contoh:

MENGHITUNG DETERMINAN MENGGUNAKAN SIFAT- SIFAT



DETERMINAN

Contoh:

itung determinan matriks

akukan transformasi 2,1"-%, *,1

"-/%, ',1"-1*%, sehingga diperoleh matriks:

$aris ke-2,*,dan ' berkelipatan sehingga dengan transformasi *,2"-2%, ',2

"-*% diperoleh

matriks

enggunakan ekspansi baris ke- *

Contoh:

itung det"#% dimana+aab:



embentuk matriks segitiga atas, sehingga

Contoh:



APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI

#pabila diketahui beberapa titik yang terletak pada bidang datar atau pada ruang *-3,

permasalahannya adalah apa bentuk geometri dari gambar yang meleati titik-titik

tersebut4 5ntuk mengetahuinya diperlukan pengetahuan tentang penyelesaian sistem

linier dan perhitungan determinan.

Persamaan Garis Lrs !an" Me#a#i Da Titi$:

isalkan #1 ! (x1 , y1% dan #2 !(x2 , y2 ) adalah dua titik pada bidang. entukan persamaan

garis yang meleati kedua titik tersebut.

jaab:

isalkan ! "7, y) adalah titik pada , maka untuk persamaan garis lurus berlaku

ax + by + c = 0

8arena #1 dan #2 terletak pada , maka berlaku

ersamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. $ila ketiga persamaan

di atas disusun kembali diperoleh

#gar persamaan di atas punya solusi nontri9ial, maka determinan koefisien-koefisien

matriksnya harus nol:

Contoh:

+ika A1 !"-1, 2% dan #2!"0,1%, maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut

adalah



x y 1 - 1 2 1 0 1

atau

atau

7 y & 1 ! 0

Persamaan Lin"$aran !an" Me#e%ati Ti"a Titi$

3iketahui tiga titik #1 ! (x1,y1%, #2 !(x2 , y2 ), dan #* ! (x3, y3 ) terletak pada bidang datar

"dan tidak berada pada garis yang sama%, tentukan persamaan lingkaran yang melalui

ketiga titik tersebut.

+ika !"7, y% adalah titik yang terletak pada lingkaran tersebut, maka berlaku

persamaan berikut:

a(x2 + y2 ) + bx + cy + d = 0

dimana a, b, ;, dan d adalah konstanta. 5ntuk ketiga titik di atas juga harus memenuhi

naan berikut:

ersamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. #gar sistem

mempunyai nontri9ial, maka determinan koefisien-koefisien matriksnya harus nol.



Contoh:

entukan persamaan lingkaran yang meleati tiga titik #1"l, 0%, #2"-l, 2%, dan #*"*, 1%.

+aab:

3eterminan dari koefisien-koefisien matriksnya adalah

Setelah disederhanakan didapatkan persamaan berikut:

672 6y2 - 1'7 - 26y ) ! 0

#tau

( x−7

6 )2

+( y−13

6 )2

=37

18

ingkaran mempunyai pusat "(6, 1*6% dan jari-jari sebesar √37

18 satuan.

Persamaan &i'an" Datar !an" Me#e%ati Ti"a Titi$

isalkan tiga titik #1 ! "71 y1, <1%, #2 !"72,y2 ,<2% dan #* ="7*, y*,<*% terletak pada bidang

"tidak pada garis yang sama%. entukan persamaan bidang yang meleati ketiga titik

tersebut.

+aab:ersamaan bidang se;ara umum dapat ditulis sebagai berikut: ax + by + cz + d ! 0,

a,b,c ∈ R

+ika !"7, y, z) titik pada bidang tersebut dan setelah ketiga titik disubstitusi ke

persamaan bidang diperoleh sistem persamaan linier homogen berikut



Sekali lagi agar persamaan tersebut punya solusi, haruslah

Contoh:

eintukan persamaan bidang yang meleati tiga titik "1, -1, *%, "0, 1, (%, dan "',0,-1%.+aab:



Setelah dihitung dan disederhanakan diperoleh persamaan bidang berikut:

127 )y - (< '1 ! 0



8

7

6.

5.

4

3



23

22

21

20

19

18

17

sifat determinan

Documents