TUGAS MANDIRI

DETERMINAN

Mata Kuliah: Aljabar Linier

Nama Mahasiswa : Parningotan Panggabean

NPM : 110210225

Kode Kelas : 112-TI005-M1

Dosen : Neni Marlina br.Purba,S.pd

UNIVERSITAS PUTERA BATAM

2012

KATA PENGANTAR

Puji Syukur penulis senantiasa panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa

yang telah melimpahkan rahmat-NYA sehingga penulis dapat menyusun makalah

ini dengan judul “Determinan”. Penulis sangat bersyukur sekali karena dapat

menyelesaikan makalah ini guna memenuhi sebagian persyaratan untuk

memperoleh nilai tugas mandiri Aljabar Linier pada Fakultas Teknik Informatika

Universitas Putera Batam.

Makalah ini membahas tentang bagaimana langkah-langkah meghitung

suatu determinan dengan menggunakan beberapa operasi hitung pada Aljabar

Linier sehingga dapat membantu para pembaca khususnya mahasiswa untuk

mengetahui cara menghitung suatu determinan dengan benar.

Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,untuk itu

kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat saya harapkan dan di harapakan

sebagai umpan balik yang positif demi perbaikan di masa mendatang.Harapan

saya semoga Makalah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan

khusunya di bidang ilmu Aljabar Linier secara khusus di dalam memberikan cara-

cara menghitung suatu determinan dengan mudah.

Akhir kata,penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pihak

yang membutuhkan.

Batam, Mei 2012

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ii

BAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1

BAB II ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

DETERMINAN

1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer . . . . . . . . . . . 6

3. Sifat-sifat determinan suatu matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8

4. Menghitung determinan dengan Expansi kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

BAB III PENUTUP

B. KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 14

A. SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan

itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat

kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti

menggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini dengan

maksud membantu pemahaman mahasiswa agar mereka tidak menilai Matematika

adalah sesuatu yang buruk.Secara khusus dalam ilmu pengetahuan Aljabar Linear.

B. Tujuan

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi Tugas Mandiri

mata kuliah Aljabar Linear, yang diberikan oleh dosen saya Ibu Neni Marlina.

Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang saya harapkan

bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

BAB II

ISI

DETERMINAN

Determinan : Produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian

hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda,kemudian hasilnya di

jumlahkan.

A = a11 a12 det (A) = a11 a22 – a12 – a21

a21 a22

A. Fungsi Determinan

Definisi

Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan

bilangan bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan.

Contoh:

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)

(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n!

permutasi.

Sub Bahasan Determinan

1. Menghitung determinan dengan perkalian elementer

2. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer

3. Sifat-sifat determinan suatu matriks

4. Menghitung determinan dengan expansi kofaktor

5. Penyelesaian SPL dengan aturan cramer

1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer

Pada bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan cara

mencarinya.Determinan merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan

matriks.Definisi-definisi maupun teorema yang penting yang berhubungan dengan

pencarian matriks.

Definisi 1.

Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1,2,3, . . . .,n} adalah

susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu “tanpa

menghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut.

Contoh 1.

Permutasi dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1).

Permutasi dari {1,2,3} adalah (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),

(1,3,2),dan (3,2,1).

Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya permutasi adalah 24

buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.

Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n = 3,maka ada 6 = 3.2.1

permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi.

Contoh 2.

Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut :

a. (6,5,3,1,4,2)

b. (2,4,1,3)

c. (1,2,3,4)

Penyelesaian :

Jumlah inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12

Jumlah inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3

Tidak ada inversi/pembalik dalam permutasi ini

Definisi 2.

Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulat

yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil.

Contoh :

Kita akan menghitung inversi dalam dalam permutasi (2,4,1,3).caranya

sebuah berikut :

Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j1 = 2 dan mengikuti (yaitu j3 =

1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4, j3

= 1, dan j4 = 3.

Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j2 = 4 dan mengikutinya,ada

dua ( yaitu j3 = 1 dan j4 = 3).

Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3 = 1 dan mengikutinya

adalah nol.

Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2 + 0 = 3

Definisi 3.

Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalam

permutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan permutasi

ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.

Contoh :

Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversi

dalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6) adalah

permutasi genap.

Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari

{1,2,3} sebagai genap atau ganjil

4. Definisi

Hasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n adalah hasil perkalian

elemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

Contoh :

Hasil perkalian elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43 a14.

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

Permutasi Jumlah Inversi klasifikasi

(1,2,3)

(1,3,2)

(2,1,3)

(2,3,1)

(3,1,2)

(3,2,1)

0

1

1

2

2

3

Genap

Ganjil

Ganjil

Genap

Genap

Ganjil

a41 a42 a43 a44

Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian elementer sebab bentuk

a11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang sama,yaitu elemen a11 dan a12

terletak pada baris yang sama.

Cara mencari seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran n

x n adalah sebagai berikut.

1. Tulislah bentuk a1.,a2.,a3.,....,an.

2. Tanda dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi

(j1,j2,j3,....jn) maka tentulah di dapat n.

Hasil perkalian elementer.

Contoh : a11 a12 a13

Dipunyai matriks a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari n = 3 adalah :

(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)

(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

Hasil perkalian elemennya adalah :

(1,2,3) a11 a22 a33

(2,1,3) a12 a21 a33

Definisi 5.

Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian

elementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1 jika permutasi nya genap dan

dikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil.

Contoh :

Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11 a23 a

32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah (1,3,2) yang

merupakan permutasi ganjil.

Definisi 6.

A = A11 A12

A21 a22

A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di simbolkan det (A)

dapat di definisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda

dari matriks A.

Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk :

Det(A) = ∑ ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn

(j1j2jn)

Contoh :

Hasil untuk pencarian determinan akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :

Untuk n = 2

permutasi invers hasil perkalian elementer

bertanda

(1,2) 0 a11 a22

(2,1) 1 -a12 a21

Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a21

2. Menghitung Determinan dengan Operasi Baris Elementer

Determinan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan operasi baris

elementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya .Perhitungan

determinan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila kita mengenal

sifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.

Teorema-teorema yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :

Teorema 1.

Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris

(kolom) yang elemenya semua nol,maka det(A) = 0.

Contoh :

1 2 1 -1

det 3 -1 2 0 = 0

0 0 0 0

-1 -1 2 1

Teorema 2.

Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom)

yang sama maka,det A = 0.

Contoh :

1 -2 3 4

det -2 2 4 4 = 0

1 1 -1 2

1 -2 3 4

Teorema 3.

Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n,maka det(A)

adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu det (A) = a11 a22 a

33 ...ann.

Contoh :

1 0 0 0 0

1 1 -1 2 -1 -1 0 0 0

0 3 2 -2 = (1)(2)(-3)(2) = - 12 det -3 2 -1 0 0

0 0 -3 1 2 3 -1 2 0

0 0 0 2 7 6 4 2 1

= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2

Teorema 4.

Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A yang sebuah

baris/kolomnya di kalikan dengan konstanta k,maka det A1) = kdet(A).

Contoh :

1 1 1

Bila A 2 -1 2 ,maka kita dapat menghitung det(B)

1 -2 2

1 1 1

Untuk B 4 -2 4

1 -2 -4

Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab matriks B di peroleh

dari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).

Teorema 5.

Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B ( bila dua baris matriks B

di pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det (B).

Contoh :

Coba tunjukkan dengan perkalian elementer bertanda

apakah benar :

1 -2 -4 1 1 1

det 2 -1 2 = -det 2 -1 2 = 15

1 1 1 1 -2 -4

Teorema 6.

Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah kelipatan suatu konstanta k ≠ 0

dari 1 baris (kolom) matriks C yang di tambahkan ke baris atau (kolom) yang

lain,maka det (C1) = det (C).

Contoh :

1 1 1 1 1 1

det 0 -3 0 = det 2 -1 2 = 15

1 -2 -4 1 -2 -4

Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan operasi baris elementer

yang ke tiga,yaitu R2 R2 + (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satu

yang di tambahkan ke baris 2.

Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita akan dapat

menghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.

3. Sifat-Sifat Determinan Suatu Matriks

Pada bagian berikut ini akan di bahas beberapa sifat determinan sebagai

lanjutan dari ke enam sifat determinan yang telah di berikan pada bagian

sebelumnya.

Teorema 1.

Bila A adalah matriks yang berukuran n x n,maka :

Det (AT) = det (A)

Contoh :

Elemen matriks ini menggunakan perkalian elementer bertanda

1 2 3 1 -1 2

det -1 0 -1 dan det 2 0 1

2 1 -2 3 -1 -2

Teorema 2.

Misalkan A,A1 dan A2 adalah matriks yang berukuran n x n yang berbeda di dalam

sebuah baris/kolom saja (katankanlah baris/kolom b) dan baris/kolom b dari A2 di

peroleh dari penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian di dalam baris/kolom

b dari matriks A dan matriks A1,maka :

Det (A2) = det (A) + det (A1)

Contoh :

2 1 3 2 1 3 2 1 3

A= 1 1 4 A1= 1 -1 -3 A2= 2 0 1

2 1 1 2 1 1 2 1 1

Teorema 3.

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran n x n,maka det(AB) =

det (A) + det (B).Contoh :

1 3 1 -1 3 1

A= -1 1 0 B = -1 0 0

0 -1 1 1 -1 2

Teorema 4.

Sebuah matriks A yang berukuran n x n merupakan matriks invertilbe jika dan

hanya jika det (A) ≠ 0.

Teorema 5.

Jika A merupakan matriks invertible,maka

det (A-1) = 1

det (A)

Teorema 6.

Diberikan E adalah matriks elementer yang berukuran n x n.

a) Jika E di hasilkan dari pertukaran 2 baris In,maka det (E) = -1.

b) Jika E di hasilkan dari mengalikan satu baris In dengan konstanta k,maka

det (E) = k.

c) Jika E di hasilkan dari penambahan k kali baris kepada baris yang lain dari

In,maka det (E) = 1.

4. Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Nilai determinan suatu matriks dapat juga di hitung dengan menggunakan

ekspansi kofaktor sebeelum kita menghitung determinan suatu

matriks.Namun sebelum itu,perhatikan terlebih dahulu beberapa definisi dan

istilah-istilah yang berhubungan dengan kosep perhitungan tersebut.

Definisi 1.

Bila A adalah sebuah matriks bujur sangkar,maka minor elemen a ij

(disimbolkan dengan Mij) di definisikan sebagai determinan dari submatriks

yang ada setelah baris ke –i dan kolom ke –j di coret dari A.

Nilai (-1)i+j di tuls sebagai Cij dan dinamakan kofaktor elemen aij.

Jadi,Cij = (-1)i+j Mij.

Contoh :

1 2 1

Diberikan A -1 3 -3 ,maka

2 -2 1

1 2 1

M32 = det -1 3 -3 = det 1 1 = (1)(-3)-(1)(-1) = -3 += -2

2 2 1 -1 -3

Dan C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2

Jadi, C32 = 2 dan M32 = -2.

Contoh lain :

Hitunglah determinan matriks A berikut ini :

1 2 1

A = 1 2 3

3 1 1

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor baris 1 ekspansi kofaktor baris 2.

Jawab :

Perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor baris 1 adalah sebagai berikut :

Det(A) = (1) 2 3 -2 1 3 +1 1 2

1 1 3 1 3 1

= (-2)(-8) + 2(-2) -1(2) = 16-4-2 =10

Definisi 2. (Matriks Kofaktor)

Jika A adalah sembarang matriks n x n dan C ik adalah kofaktor dari aij,maka

matriks dengan bentuk :

C11 C12 .... C1n

C21 C22 ....C2n

. . .

Cn1 Cn2 Cnn

Dinamakan matriks kofaktor dari matriks A.

Reduksi Baris

Determinan sebuah matriks dapat di hitung dengan mereduksi matriks

menggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselon

baris.

Defenisi 3.

Matriks adjoin A di simbolkan dengan Ajd(A) adalah transpose dari matriks

kofaktor A.

Definisi 5.

Jika A adalah matriks yang berukuran n x n dan A adalah matriks yang

invertibel,maka :

A-1 = 1 adj(A)

det(A)

Denga kata lain kita dapat mencari A-1 dengan menggunakan det (A) dan adj (A).

Contoh 1. 3 1 -4

Tentukan A-1,bila A = 6 9 -2 Dengan menggunakan Adj (A).

1 2 1

Jawab : 3 1 -4 maka

6 9 -2

1 2 1

Sedangkan apabila di hitung,maka di dapat det (A) = 43 sehingga :

Contoh 2.

A =

Ekspansi melalui baris pertama :

Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

Atau ekspansi melalui baris ketiga :

Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

Atau ekspansi melalui kolom ke dua :

13 -9 34 13/43 -9/43 34/43

A-1=1/43 -8 7 -18 = -8/43 7/43 -18/43

3 -5 21 3/43 -5/43 21/43

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32

5. Penyelesaian SPL dengan Aturan Cramer

Kita dapar menggunakan konsep determinan untuk mendapatkan penyelesaian

SPL.caranya adalah dengan menggunakan aturan Cramer.

Aturan Cramer :

Bila Ax = B adalah SPL yang terdiri dari n persaman linier dengan n variabel

yang tidak di ketahui dan det (A) ≠ 0,maka SP; tersebut mempunyai

penyelesaian tunggal dan penyelesaiaanya adalah :

x1 = det (A1) x2 = det (A2) x3 = det (An)

det (A) det(A) det(A)

Dengan matriks Aj,j = 1,2,4,. . . .,n adalah matriks yang di peroleh dengan

mengganti elemen kolom j dari matriks A dengan matriks : b1

b2

B= b3

bn

Contoh : Dipunyai SPL x + y -2z =1

SPL ini bersesuaian dengan SPL bentuk A x =B 2x – y + z = 2

x -2y – 4z = -4

1 1 -2 x1 1

Dengan A = 2 -1 1 x = x2 dan B = 2

1 -2 -4 x3 -4

1 1 -2

Det (A) = det 2 -1 1 =21 ;det(A1) = det 2 -2 1 = 26

1 -2 -4 -4 -2 -4

1 1 1 1 1 1

Det (A2)=det 2 2 1 =25 ;det(A3)=det 2 -4 2 = 15

1 -4 -4 1 -2 -4

Jadi dengan menggunakan aturan Cramer di dapat :

x = det(A1) = 26 y = det(A2) = 25 z = det(A3) = 15

det(A) 21 det(A) 21 det(A) 21

BAB III

PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang diambil dari keseluruhan isi

dari makalah ini yang telah di teliti dan di pelajari untuk di ambil kesimpulan dan

saran.

A. Kesimpulan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu

bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.Determinan memiliki

penyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi suatu determinan

matriks.Ada beberapa macam penyelesaian determinan di antaranya dengan

Ekspansi Kofaktor,Adjoin,Matirks segi tiga,metode cramer dan metode –metode

lainnya,dan yang paling sering di gunakan yaitu dengan Ekspansi Kofaktor

B. Saran

Dalam menyusun makalah ini,penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi

makalah ini belumlah sempurna dan masih kurang baik mengenai materi maupun

cara penulisannya.Oleh karena itu,penulis sangat mengharapkan kritik dan saran

yang sifatnya membangun dari pihak lain yang dapat menyempurnakan makalah

berikutnya.Dan alangkah baiknya juga apabila kita terus mengembangkan

berbagai makalah-makalah tentang Ilmu Pengetahuan Aljabar Linier di tengah-

tengah masyarakat luas secara khusus dalam mahasiswa agar lebih mengerti

bagaimana langkah-langkah yang lebih mudah dalam memecahkan suatu masalah

dalam suatu determinan pada Ilmu Aljabar Linier.

DAFTAR PUSTAKA

Buku :

Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1

Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2

Sumber Lain :

www.wikipedia.com

www.google.co.id