determinan slide

33
DETERMINAN

Upload: cahyo-swasono

Post on 23-Dec-2015

58 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

file aljabar linier elementer

TRANSCRIPT

Page 1: Determinan Slide

DETERMINAN

Page 2: Determinan Slide

FUNGSI DETERMINAN

DefinisiJika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi

determinan dari A, dinotasikan dengan det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian

elementer bertanda dari A.

det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31

a12a21a31 a11a23a32 a13a22a31

Page 3: Determinan Slide

METODE MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKSMetode SarrusMengunakan Reduksi BarisEkspansi Kofaktor

Page 4: Determinan Slide

METODE SARRUSMetode ini digunakan untuk menentukan determinan matriks berukuran 2x2 dan 3x3

Page 5: Determinan Slide

5

MATRIK ORDO 2X2

dc

baAJika bcadA )det(Maka

64

12A

Contoh :

Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8

Matrik ordo 3x3

Page 6: Determinan Slide

6

MATRIK ORDO 3X3

Langkah-langkahSalin elemen kolom 1 dan kolom 2 ke

sebelah kanan tanda garis vertical dari determinan ordo tiga

Jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan elemen yang sejajar diagonal utama dan dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen diagonal samping dan elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

Page 7: Determinan Slide

7

MATRIK ORDO 3X3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

AJika

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213

322113312312332211

......

......)det(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaA

Page 8: Determinan Slide

8

CONTOHORDO 3X3 DNG SARRUS

231

314

132

B

Det (B) = ……….

Sifat2 determinan

Page 9: Determinan Slide

REDUKSI BARIS UNTUK MENCARI DETERMINAN TeoremaMisalkan A adalah matriks bujursangkarJika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0 det(A) = det (AT)

TeoremaJika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian

entri-entri pada diagonal utamanya

det(A) = a11a22...ann

Page 10: Determinan Slide

Teorema 2.2.3Misalkan A adalah matriks bujursangkar

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A).

Page 11: Determinan Slide

CONTOH:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

a a a k a a a

a a a a a a

11 12 13 11 12 13

31 32 33 21 22 23

21 22 23 31 32 33

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 31 12 32 13 33 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a ka a ka a ka a a a

a a a a a a

a a a a a a

Page 12: Determinan Slide

Teorema

Misal E adalah matriks elementer berukuran n n, Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka

det(E) = k

Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In, maka det(E) = 1

Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1

Page 13: Determinan Slide

1 0 0

0 1 0 2

0 0 2

1 0 0

0 0 1 1

0 1 0

1 2 0

0 1 0 1

0 0 1

Contoh:

Page 14: Determinan Slide

TeoremaJika A adalah matriks bujursangkar dimana

terdapat dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan,

maka det(A) = 0

Page 15: Determinan Slide

1 3 0

2 4 1

5 2 2

A

1 3 0

2 4 1

5 2 2

2 12B B

1 3 0

0 2 1

5 2 2

1 3 0

0 2 1

0 13 2

12

1 3 0

2 0 1

0 13 2

17( 2)(1)(1) 17

2

Contoh:

=

12

172

1 3 0

2 0 1

0 0

R32(-13)

=

R31(-5)

=R21(2)

=

Page 16: Determinan Slide

1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

A

1 0 0 3

2 7 0 6

0 6 3 0

7 3 1 5

4 13C C

1 0 0 0

2 7 0 0(1)(7)(3)( 26) 546

0 6 3 0

7 3 1 26

Page 17: Determinan Slide

TeoremaSuatu matriks bujursangkar A invertible jika dan

hanya jika det (A) ≠ 0

TeoremaJika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan

ukuran sama, maka

det(AB) = det (A) det(B)

TeoremaJika A invertible, maka 1 1

det( )det( )

AA

Page 18: Determinan Slide

EKSPANSI KOFAKTOR

DefinisiJika A matriks bujursangkar, maka minor dari

entri aij,

dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks

setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

Kofaktor dari entri aij adalah bilangan , dinotasikan dengan Cij.

( 1)i j ijM

Page 19: Determinan Slide

3 1 4

2 5 6

1 4 8

A

11

3 1 45 6

2 5 6 164 8

1 4 8

M

Contoh:

C11 = (-1)1+1M11 = M11 = 16

Page 20: Determinan Slide

Tanda untuk cij dapat digambarkan dari posisinya pada matriks berikut

Page 21: Determinan Slide

Ekspansi Kofaktor

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31

a12a21a33 a11a23a32 a13a22a31

det(A) = a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31)

+ a13 (a21a32 a22a31)

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= a11c11 + a12c12 + a13c13

Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor

berdasarkan baris pertama dari A

Page 22: Determinan Slide

TeoremaDeterminan dari matriks A n n dengan cara

ekspansi kofaktor

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin :

Ekspansi berdasarkan baris i det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj

Ekspansi berdasarkan kolom j

Page 23: Determinan Slide

3 1 0

2 4 3

5 4 2

A

3 1 04 3 1 0 1 0

2 4 3 3 2 54 2 4 2 4 3

5 4 2

A

Hitung determinan

Ekspansi berdasarkan kolom 1

= 3(4) + 2(2) + 5(3) = 1

CONTOH 1

Page 24: Determinan Slide

Atau berdasarkan baris pertama

3 1 04 3 2 3

2 4 3 3 14 2 5 2

5 4 2

A

= 3(4) (11) = 1

Page 25: Determinan Slide

CONTOH 2

135

650

432

A

16465

43)1)(5()1(0

13

65)1(2)det( 13

211211

MA

Page 26: Determinan Slide

CONTOH 3

1243

3202

0113

0200

B

131314131211 220200)det( MCCCCCB

4743

13)1(3

14

01)1(2

143

302

0133212

13

M

det(B) = 2(-47) = - 94

Page 27: Determinan Slide

3 5 2 6

1 2 1 1

2 4 1 5

3 7 5 3

3 7 4 6

0 0 0 1

3 6 6 5

0 1 8 3

3 7 4

3 6 6

0 1 8

3 7 60

3 6 54

0 1 0

3 6018

3 54

CONTOH 4 (REDUKSI BARIS/KOLOM DAN EKSPANSI KOFAKTOR)

Page 28: Determinan Slide

DefinisiJika A adalah matriks nn, Cij kofaktor dari aij, maka

11 12 1

21 22

1 2

n

n n nn

C C C

C C

C C C

disebut matriks kofaktor dari A.

Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A)

MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOIN

Page 29: Determinan Slide

3 2 1

1 6 3

2 4 0

A

12 6 16

4 2 16

12 10 16

12 4 12

Adj( ) 6 2 -10

-16 16 16

A

Contoh:

Kofaktor dari AC11 = 12, C12 = 6, C13 = 16, C21= 4, C22 = 2, C23 = 16, C31 = 12, C32 = 10, C33 = 16

Maka matriks kofaktor dari A adalah

Matriks adjoin dari A adalah

Page 30: Determinan Slide

1 1Adj( )

det( )A A

A

SIFAT DETERMINAN DAN HUBUNGAN ANTARA DETERMINAN DENGAN INVERS MATRIKS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka

det(AB) = det(A) det(B). Teorema

Jika A adalah matriks invertible, maka

Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya

jika det(A) 0.

Page 31: Determinan Slide

Menggunakan matriks adjoint

801

352

321

A

139

2516

51340

)(AKJadi dan

125

3513

91640

)(Aadj

1320150640

01

52

21

801

352

321

A

125

3513

91640

125

3513

91640

1

1)(

11 AadjA

A

Page 32: Determinan Slide

Teorema (Aturan Cramer)Jika Ax = b adalah SPL dengan n peubah, det (A) ≠ 0 maka SPL mempunyai solusi tunggal , yaitu :

det( )

det( )i

i

Ax

A

dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan b

ATURAN CRAMER

i = 1,2,...,n

Page 33: Determinan Slide