bab 2 matriks

_______________________________________________________________________________________________________

Ir.E Sutarman, MT / Konsep Dan Aplikasi Matematika

Matriks

31

BAB II

MATRIKS

A. Umum

Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan hurup capital misalnya A,

serta bilangan yang terdapat di dalamnya merupakan element dari matriks itu.

Semua bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom sedangkan

element yang tersusun dalamjalur horizontal disebut baris, objek matriks dapat

berupa bilangan real, kompleks ataupun fungsi.

Element matriks dapat dinyatakan dengan notasi aij, yang mana i

menyatakan baris sedangkan j menyatakan kolom.

Bentuk umum matriks A dengan element aij sebagai berikut ;

A =

Dimana ;

m = urutan baris n = urutan kolom

i = 1, 2, 3, 4 ....m j = 1, 2, 3, 4 ....n

Matriks A dengan jumlah baris m, dan kolom n, maka matriks A itu

dikatakan berordo m x n atau Am x n

Matriks A dengan element aij dapat dinyatakan oleh ; A = aij

Contoh 1

Jika A =

Matriks A di atas, dengan m = 2 dan n = 3, maka A berordo 2 x 3 atau A2 3

a1 1 a1 2 a1 3 ... a1 n

a2 1 a2 2 a2 3 ... a2 n

. . . ...

. . .

am 1 am 2 am 3 ... am n

3 – 4 2

– 2 – 1 1

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

32

Jika kita ingin mengetahui element misalnya a2 2 , kita harus melihat baris ke -

2 dan kolom ke - 2, di sini a2 2 = – 1

Contoh 2

Tentukan ordo dari matriks A dan B, jika ;

Jika A = [ ] dan B =

Solusi ;

Matriks A di atas, dengan m = 1 dan n = 3, maka A berordo 1 x 3 atau A1 3

Matriks B, dengan m = 3 dan n = 1, maka B berordo 3 x 1 atau B3 1

Jika matriks memiliki baris dan kolom sama atau m = n, maka matriks

itu disebut matriks bujur sangkar, diantara matriks bujur sangkar yang penting

yaitu ;

1. Matriks Satuan [ I ]

Matriks satuan adalah matriks yang memiliki element aij dimana i = j

dan bernilai 1, sedangkan i ≠ j bernilai nol, seperti contoh berikut ;

A = B =

Hal ini element a1 1 dan a2 2 , menunjukan i = j dan bernilai 1, sedangkan i ≠

j bernilai 0.

Matriks B, element b1 1 , b2 2 dan b3 3 , menunjukan i = j dan bernilai 1,

sedangkan i ≠ j bernilai 0

2. Matriks Nol

Matriks nol semua elemennya bernilai nol, sifat dari matriks nol sama

seperti bilangan nol dan umumnya dituliskan [ 0 ], sebagai contoh ;

3 – 4 2

3

– 4

2

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

33

[ 0 ]

3. Matriks Transpose

Matriks transpose didapatkan dengan cara memindahkan antara baris

dengan kolom atau sebaliknya, misalnya matriks A transpose AT.

Sebagai contoh ;

A = maka AT =

4. Matriks Vector

Matriks vector yaitu matriks yang elemennya berupa komponen

vector, dan dinyatakan ke dalam matriks kolom, sebagai contoh ;

r = = [r1 r2 . . rn ]T

r1 r2 . . rn menunjukan element dari matriks yang mana vector nya vector

dalam ruang n.

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal A merupakan matriks bujur sangkar, yang mana

elemen – elemennya ai j . Jika i = j maka ai j ≠ 0 sedangkan jika i ≠ j maka

ai j = 0, lebih jelasnya ;

A =

Element a, e dan i ≠ 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

a b c

d e f

a d

b e

c f

r1

r2

.

.

rn

→

a 0 0

0 e 0

0 0 i

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

34

Dan jika sebuah matriks mempunyai semua element nya nol di atas

atau di bawah diagonal utama, maka matriks itu disebut matriks segi tiga,

sebagai contoh ;

Atau

6. Matriks Simetri

Jika matriks bujur sangkar yang matriks transpose nya matriks itu

sendiri, maka matriks itu disebut matriks simetri, AT = A

B. Aljabar Matriks

1. Dua Matriks Sama Besar

Dua matriks sama besar jika ai j = bi j, yang mana ai j element dari A

dan bi j element dari B, dikatakan A = B

Sebagai contoh, misalnya; A = [ 1 4 2 ] dan B = [ 1 4 2 ]

Di sini ;

a11 = b11 a12 = b12 dan a13 = b13

2. Penjumlahan Matriks

Dua buah matriks atau lebih dijumlahkan, pada dasarnya merupakan

penjulahan dari element – element matriks itu yang letaknya sama, dengan

syarat matriks yang akan dijumlahkan memiliki ordo yang sama satu

dengan yang lainnya, serta matriks hasil perkaliannya pun berordo sama.

Misalnya ; A = [a11 a12 a13 ] dan B = [b11 b12 b13 ]

A + B = [ (a11 + b11) (a12 + b12) (a13 + b13) ]

3. Perkaliam Matriks Terhadap Bilangan

Perkalian matriks dengan suatu bilangan k, maka akan menghsilkan

matrik yang ordonya sama dengan matriks semula serta element –

elementnya merupakan hasil perkalian element matriks semula terhadap

bilangan k itu.

a b c

0 e f

0 0 i

a 0 0

d e 0

g h i

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

35

contoh ;

Bilangan k dikalikan terhadap matriks A, misalnya ;

A = maka kA =

4. Perkalian Matriks Dengan Matriks

Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dengan syarat ;

jumlah baris A = jumlah kolom B

Hasilnya matriks baru C yang mana jumlah barisnya = jumlah baris A

serta jumlah kolomnya = jumlah kolom B. Misalnya ;

Matrik A berordo p q, dan matriks B berordo qr maka hasil perkalian

berupa matriks C berordo p r .

Atau ;

Ap q x Bq r = C p r

Dalam perkalian matriks dengan matriks perlu diingat ;

a) A x B ≠ B x A

b) A x ( B + C ) = ( A x B ) + ( A x C )

c) Matriks A x Matriks satuan = Matriks A

atau ; A x [ I ] = A

d) A x [ 0 ] = [ 0 ]

Contoh 3

Jika A = dan B = [ 1 2 5 ]

Tentukan matriks C = A x B

Solusi ;

A3 x 1 x B1 x 3 = C3 x 3

a b c

d e f

g h i

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

1

0

2

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

36

[ 1 2 5 ] = =

Contoh 4

Jika A = dan B = [ 2 0 ]


Solusi ;

A2 x 1 x B1 x 2 = C2 x 2

[ 2 0 ] = =

Contoh 5

Jika A = dan B =


Solusi ;

A3 x 2 x B2 x 2 = C3 x 2

=

=

1 • 1 1 • 2 1 • 5

0 • 1 0 • 2 0 • 5

2 • 1 2 • 2 2 • 5

1

0

2

1 2 5

0 0 0

2 4 10

1

3

1 • 2 1 • 0

3 • 2 3 • 0

1

3

2 0

6 0

1 2

4 5

6 0

(1 • 0 + 2 • 5) (1 • 3 + 2 • 1)

(4 • 0 + 5 • 5) (4 • 3 + 5 • 1)

(6 • 0 + 0 • 5) (6 • 3 + 0 • 1)

10 5

25 17

0 18

0 3

5 1

1 2

4 5

6 0

0 3

5 1

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

37

C. Determinan

Determinan merupakan nilai sebuah matriks bujur sangkar, misalnya

matriks A maka determinannya dengan notasi det A, jika ;

A = maka det A =

B = maka det B =

Determinan hanya untuk matriks berordo n x n atau matriks bujur sangkar,

sehingga disebut determinan ordo n.

1. Metoda Perkalian Diagonal

Metoda ini hanya untuk mencari determinan matriks ordo 2 dan ordo 3

a) Determinan untuk matriks berordo 2 x 2, misalnya matriks A di atas,

det A = = ad - bc

b) Determinan untuk matriks berordo 3 x 3, misalnya matriks B di atas,

det B = =

= { aei + bfg + cdh } – { bdi + afh + ceg }

2. Metoda Minor Determinan

Cara ini merupakan pengembangan Laplace, perlu diketahui bahwa ;

a) Determinan ordo n berasal dari matriks ordo n

det A = | A | = | ai j | dengan i = j = n

b) Setiap element memiliki tanda (– 1 )i + j

c) Determinan minor dari element ai j

a b

c d

a b c

d e f

g h i

a b

c d

a b c

d e f

g h i

a b

c d

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

a b

d e

g h

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

38

Untuk menentukan determinan minor ai j yaitu ;

Tarik garis vertical dan horizontal dari element ai j, jika element tidak

terletak pada kedua garis itu merupakan element dari determinan

minor.

Determinan minor ai j dinotasikan dengan Mi j

Untuk lebih jelas misalnya ;

det A =

Untuk mencari determinan a11 lakukan prosedur di atas ;

Disini yang tidak terletak yaitu ; a2 2 , a2 3 , a3 2 dan a3 3 maka determinan

dari a11 adalah ;

M11 =

Sedangkan kofaktor Mi j yaitu hasil perkalian tanda ai j dengan Mi j ;

Kopaktor Mi j = (– 1 )i + j Mi j

d) Determinan matriks ordo n merupakan hasil penjumlahan dari hasil

perkalian element ai j dengan kofaktornya.

det A = ∑ ai j (– 1 )i + j Mi j

Contoh 6

Tentukan determinan dari matriks A, seandainya ;

A =

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

a2 2 a2 3

a3 2 a3 3

1 2 3

4 5 6

7 8 9

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

39

Solusi ;

Misalnya element yang kita ambil yang terletak pada baris pertama,

maka sesuai prosedur;

det A = ∑ ai j (– 1 )i + j Mi j

= a11 (– 1)1+1 M1 1 + a1 2 (– 1)1+2 M1 2 + a1 3 (– 1)1+3 M1 3

= 1(– 1)2 M1 1 + 2(– 1)3 M1 2 + 3(– 1)4 M1 3

= 1 M1 1 – 2 M1 2 + 3 M1 3

Sekarang cari nilai dari kofaktor – kofaktornya, dengan cara menarik

garis vertical dan horizontal terhadap element - element baris

pertama ;

maka M11 = = (5 • 9 – 6 • 8 ) = – 3

maka M12 = = (4 • 9 – 6 • 7 ) = – 6

maka M13 = = (4 • 8 – 5 • 7 ) = – 3

det A = 1 M1 1 – 2 M1 2 + 3 M1 3

= 1 (– 3) – 2 (– 6) + 3 (– 3)

= 0

3. Teorema Pada Determinan

a. Perkalian Determinan Dengan Bilangan k

Jika bilangan k dikalika dengan sebuah determinan maka akan

menghasilkan determinan baru, yang mana element – element

merupakan hasil perkalian dengan element determinan semula.

Misalnya ;

1 2 3

4 5 6

7 8 9

5 6

8 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

4 6

7 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

4 5

7 8

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

40

Jika Mi j =

dan k = 2 maka kMi j = k =

b. Perubahan Tanda Pada Determinan

1. Determinan tidak berubah tanda jika baris dan kolom dipertukarkan

letaknya ;

=

2. Determinan tidak berubah jika element – element pada baris atau

kolom merupakan hasil penjumlahan element – element sebaris atau

sekolom ditambah hasil k kali element – element itu.

Misalnya ; k = 2

det A = = = = 67

3. Determinan berubah tanda jika dua baris atau kolom dipertukarkan

letaknya ;

= 67 akan berubah tanda jika ;

– atau = – 67

c. Determinan Sama Dengan Nol jika ;

1. Determinan sama dengan Nol jika semua elementnya nol pada

sebuah baris atau kolom ;

= 0

4 5

7 8

8 10

14 16

4 5

7 8

4 – 5

7 8

4 7

– 5 8

4 – 5

7 8

4 – 5 + ( 4 • 2 )

7 8 + ( 7 • 2 )

4 3

7 22

4 – 5

7 8

7 8

4 – 5

– 5 4

8 7

4 – 5

0 0

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

41

2. Determinan sama dengan Nol jika dua baris atau kolom sama besar;

= 0

3. Determinan sama dengan Nol jika sebuah baris atau kolom

merupakan kelipatan baris atau kolom lain

= 0

D. Persamaan Linier

Sebelum kita selesaikan persamaan linier dengan metoda matriks, kita tinjau

persamaan linier serempak sbb ;

a11x1 + a12x2+ a13x3 + .... + a1n xn = b1

a21x1 + a22x2+ a23x3 + .... + a2n xn = b2

am1x1 + am2x2+ am3x3 + .... + amn xn = bn

Terdapat n buah variable x yaitu x1, x2 ....... xn serta a dan b yang merupakan

konstanta.

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sbb ;

Atau ;

AX = b

Dimana ;

A = ( amn ) b = ( bi ) X = ( xi )

i = 1, 2, 3, ...... n

1 5

1 5

3 6

2 4

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a11 a12 a13 .... a1n

a21 a22 a23 .... a2n

am1 am2 am3 .... amn

b1

b2

bn

x1

x2

xn

=

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

42

Kita tinjau persamaan linier serempak di bawah ini ;

a1x + b1y = c1 pers. 1

a2x + b2y = c2 pers. 2

Yang mana a, b dan c merupakan konstanta, dari kedua persamaan linier ini

kita dapat mencari nilai x dan y yaitu dengan cara menghilangkan salah satu

variable x atau y.

Seandainya sekarang kita ingin mengetahui besarnya y, maka hilangkan

variable x.

Kalikan pers. 1 dengan a2 sedangkan pers. 2 dengan a1, sehingga ;

a1x + b1y = c1 a2

a2x + b2y = c2 a1

Maka ;

a2 a1x + a2 b1y = a2 c1

a1 a2x + a1 b2y = a1 c2

(a2 b1 – a1 b2)y = (a2 c1– a1 c2) dan y =

Sebaliknya dengan cara menghilangkan variable y, x dapat di cari.

1. Matriks Koefisien Dan Matriks Lengkap

Kita perhatikan pers. 1 dan 2, yang mana memiliki koefisien – koefisien

dari persamaan itu yang dapat kita susun dalam bentuk matriks, sehingga kita

sebut matriks itu matriks koefisien, jelasnya matriks di bawah ini merupakan

matriks koefisisen persamaan di atas ;

Dan matriks lengkap dari dua persamaan di atas ;

(a2 c1 – a1 c2)

(a2 b1 – a1 b2)

–

a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1

a2 b2 c2

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

43

2. Cara Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Kaidah Cramer

Jika matriks koefisisen persamaan di atas ;

maka determinanya yaitu ; = a1 b2 – b1 a2

Jadi D = a1 b2 – b1 a2

Jika kita ingin mencari variable x atau y, kita harus mengetahui determinan

dominator x dan y yang masing – masing dengan notasi Dx dan Dy.

Untuk mencari determinan dominator x atau Dx dengan cara ;

Pertukarkan tempat a sebagai koefisien dari variable x dengan konstanta c

Dx = = c1 b2 – b1 c2

Untuk mencari determinan dominator y atau Dy dengan cara ;

Pertukarkan tempat b sebagai koefisien dari variable y dengan konstanta c

Dy = = a1 c2 – c1 a2

Selanjutnya ; x dan y dapat dicari yang didefinisikan sbb ;

x = dan y =

Jika persamaan linier dengan n buah variable tak diketahui, x1, x2, .... xn

dengan determinan koefisien D ≠ 0, maka ;

x1 = , x2 = , ........ xn =

a1 b1

a2 b2

a1 b1

a2 b2

c1 b1

c2 b2

a1 c1

a2 c2

Dx

D

Dy

D

D1

D

D2

D

Dn

D

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

44

Contoh 7

Tentukan x dan y dari persamaan ini ;

2x + 5y = 9 serta 3x – 2y = 4

Solusi ;

2x + 5y = 9

3x – 2y = 4

Matriks koefisisen persamaan di atas ;

maka determinanya yaitu ; = 2 (– 2) – 5 • 3 = – 19

Jadi D = – 19

Dx = = 9(– 2) – 5 • 4 = – 38

Dy = = 2 • 4 – 9 • 3 = – 19

Maka ;

x = = 2

y = = 1

E. Matriks Adjoint Dan Matriks Invers

1. Matriks Adjoint

Matriks adjoint KT yaitu matriks yang element nya terdiri dari element

kofaktor yang ditransposekan, yang mana K merupakan kofaktor.

Jelasnya seperti contoh 8 ;

2 5

3 – 2

9 5

4 – 2

2 9

3 4

2 5

3 – 2

– 38

– 19

– 19

– 19

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

45

Contoh 8

Jika ;

A =

Tentukan matriks adjoint dari A.

Solusi ;

K = (– 1)i + j Mi j

K11 = (– 1)1+ 1 M11 = (– 1)2 M11 = (– 1)2 (4) = 4

K12 = (– 1)1+ 2 M12 = (– 1)3 M11 = (– 1)3 (2) = – 2

K21 = (– 1)2+ 1 M11 = (– 1)3 M11 = (– 1)3 (3) = – 3

K22 = (– 1)2+ 2 M11 = (– 1)4 M11 = (– 1)4 (1) = 1

Jadi matrik K =

Maka matriks KT atau adjoint A =

2. Matriks Invers

Matriks invers dari matriks A yaitu matriks A– 1, jika matriks A– 1 kali A

menghasilkan matriks satuan I.

Jadi ; A– 1 A = I atau A A– 1 = I

A– 1 = KT

Dimana ;

K : matriks kofaktor

KT : adjoint A

Sehingga ;

A– 1 = adjoint A

1 3

2 4

4 – 2

– 3 1

4 – 3

– 2 1

1

det A

1

det A

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

46

Contoh 9

Jika ;

A =

Tentukan matriks invers A atau A– 1 dan buktikan A A– 1 = I

Solusi ;

A A– 1 = I yang mana I =

Misalnya ;

A– 1 =

A– 1 = KT

A = det A = = 1• 4 – 3 • 2 = – 2

= = – 1/2

K = (– 1)i + j Mi j

K11 = (– 1)1+ 1 M11 = (– 1)2 M11 = (– 1)2 (4) = 4

K12 = (– 1)1+ 2 M12 = (– 1)3 M11 = (– 1)3 (2) = – 2

K21 = (– 1)2+ 1 M11 = (– 1)3 M11 = (– 1)3 (3) = – 3

K22 = (– 1)2+ 2 M11 = (– 1)4 M11 = (– 1)4 (1) = 1

Jadi matrik K =

Maka matriks KT atau adjoint A =

1 3

2 4

4 – 2

– 3 1

4 – 3

– 2 1

1

det A

1 0

0 1

a b

c d

1 3

2 4

1 3

2 4

1

det A

1

– 2

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

47

Maka A– 1 = – ½ =

Buktikan A A– 1 = I

A2 x 2 x A– 12 x 2 = I2 x 2

=

= oke terbukti

Perlu diingat ;

- Matriks A disebut matriks non singular jika det A ≠ 0 dan matriks itu

memiliki invers.

- Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0 dan matriks itu tidak

memiliki invers.

F. Rank Matriks

Rank matriks A atau AR yaitu jumlah baris yang element nya tidak nol dari

matriks itu setelah dilakukan beberapa operasi baris, untuk jelasnya perhatikan

contoh 10 berikut ini ;

Contoh 10

Tentukan rank dari matriks A berikut ini ;

A =

4 – 3

– 2 1

– 2 3/2

1 – 1/2

1 3

2 4

– 2 3/2

1 – 1/2

( 1(– 2) + 3 • 1) ( 1 • 3/2 + 3(– 1/2)

( 2(– 2) + 4 • 1) ( 2 • 3/2 + 4(– 1/2)

1 0

0 1

1 – 1 4 2

0 1 3 2

3 – 2 15 8

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

48

Solusi ;

Lakukan operasi pada baris, di contoh ini terhadap baris ke 3 oleh baris ke 1

dan ke 2, serta baris ke 1 oleh baris ke 2 ;

Pada AR ada dua baris yang element – elementnya tidak nol, maka matriks A

itu mempunyai rank = 2

G. Transformasi Linier

Transformasi linier merupakan hubungan antara variable lama dengan

variable baru dari hasil transformasi. Misalnya ;

X = ax + by

Y = cx + dy

Dimana ;

A, b, c dan d : konstanta

Hubungan itu dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks ;

=

1 – 1 4 2

0 1 3 2

3 – 2 15 8

1 – 1 4 2

0 1 3 2

0 1 3 2B3 – 3B1

1 – 1 4 2

0 1 3 2

0 1 3 2B3 – B2

1 – 1 4 2

0 1 3 2

0 0 0 0

1 – 1 4 2

0 1 3 2

0 0 0 0

1 0 7 4

0 1 3 2

0 0 0 0

B1 + B2

= AR

a b

c d

X

Y

x

y

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

49

Perhatikan Gambar 1. 2, di bawah ini ;

R merupkan vector atau garis yang menghubungkan titik (0, 0) ke titik P(X,Y)

sedangkan vector r garis yang menghubungkan titik (0, 0) ke titik Q(x, y).

r = xi + yj =

R = Xi + Yj =

Hubungan antara titik P dan Q yaitu ;

R = M r = Yang mana ; M =

M merupakan matriks transformasi yaitu matriks yang menghubungkan vector

r dan R.

Pada kasus lain seandainya sumbu xy berputar sehingga menyebabkan

berhimpitnya sebuah titik dengan titik lain, sumbu xy yang berputar itu kita

nyatakan dengan sumbu x’y’ sehingga koordinat (X, Y) menjadi (x’, y’),

seperti ditunjukan oleh Gambar 2. 2 ;

0

P(x, y)

Rr

y

x

Gambar 1. 2

Q(X, Y)

→→

x

y

X

Y

→

→

→

→ a b

c d

x

y

a b

c d

→ →

0

r = r’

y

y

x

Gambar 2. 2

P(x, y)

→

x’

y’

y’→

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

50

Dari Gambar di atas yang mana r dan r’ masing – masing vector yang

menghubungkan titik (0, 0) ke titik P(x, y)

Sehingga ;

x’ = ax + by

y’ = cx + dy

dan r = r’ maka xi + yj = x’i + y’j

Jadi fungsi dari matriks transformasi M yaitu memberikan informasi mengenai

komponen yang menyebabkan r = r’.

H. Matriks Ortogonal

Matriks A berordo n disebut ortogonal jika A dikalikan dengan matriks

transpos AT menghasilkan matriks satuan I.

Dimana AT = A– 1

sehingga ; AAT = AA– 1 = I

Contoh 11

A =

Apakah matriks A merupakan matriks orthogonal untuk semua harga θ.

Solusi ;

AT =

AAT =

=

→ →

→ →

cos θ – sin θ

sin θ cos θ

cos θ sin θ

– sin θ cos θ

cos θ – sin θ

sin θ cos θ

cos θ sin θ

– sin θ cos θ

(cos θ cos θ + (– sin θ)(– sin θ)) ( (cos θ sin θ + (– sin θ) cos θ))

(sin θ cos θ + cos θ (– sin θ)) (sin θ sin θ + cos θ cos θ)

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

51

=

= oke terbukti, matrik A orthogonal untuk semua θ

Ingat ; cos2 θ + sin 2θ = 1

Transformasi Ortogonal

Seperti halnya transformasi linier, jika sumbu xy diputar sebesar θ, sehingga

(x, y) menjadi (x’, y’) dan x’ y’

Perhatikan Gambar 3. 2 ;

Sehingga ;

x’ = x cos θ + y sin θ

y’ = – x sin θ + y cos θ

Dalam bentuk matriks ;

=

Dimana = M atau matriks transformasi

θ

1 0

0 1

( cos2 θ + sin 2θ ) ( cos θ sin θ – sin θ cos θ )

( sin θ cos θ – cos θ sin θ ) ( sin2 θ + cos2 θ )

0

yx

Gambar 3. 2

P(x, y) ≈ P’(x’, y’)

x’

y’y

θ

θ

•

cos θ sin θ

– sin θ cos θ

x’

y’

x

y

cos θ sin θ

– sin θ cos θ

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

52

Dan , MMT = I, maka matriks transformasi adalah matriks orthogonal

Kita tinjau permasalahan vector, misalnya vector x dalam bidang yang

menghubungkan (0, 0) ke P(x1, x2), dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks;

x = = [x1 x2 ]T

Panjang dari vector x = (x12 + x2

2)0,5

Jika vector x dalam ruang n, dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks;

x = = [x1 x2 ... xn ]T

Panjang dari vector x = (x12 + x2

2 + ..... xn 2 )0,5

Atau ;

| x | = ∑ x2k 0,5

Bentuk umum dari perkalian titik dalam dari dua vector x dan y ditulis ;

< x, y > = ∑ xi yi atau < x, y > = x • y

Untuk vector pada bidang ;

< x, y > = | x | | y | cos θ

θ sudut antara dua vector x dan y. Jika cos θ = 0 ini menunjukan bahwa vector

tegak lurus satu sama lainnya, yang merupakan ortagonalitas vector x dan y

dalam ruang n, jadi x y jika < x, y > = 0

atau ;

| x + y |2 = | x |2 + | y |2

x1

x2

→

→

x1

x2

.

.

.xn

→

→

→

k =1

n

i = 1

n → →

→→

→ →

┴

→ →

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

53

Contoh 12

Hitung panjang vector x dan y serta < x, y > dan buktikan kedua vector itu

tegak lurus, jika x = (1, 1, – 1, 2) dan y = (3, – 1, 0, – 1)

Solusi ;

x = dan y =

Panjang dari vector

| x | = (12 + 12 + (– 1)2 + 2 2 )0,5 = √7

| y | = (32 + (– 1)2 + (0)2 + (– 1)2 )0,5 = √11

x y jika < x, y > = 0

atau ;

| x + y |2 = | x |2 + | y |2

< x, y > = ∑ xi yi

< x, y > = ( 1 • 3 + 1 • (– 1) + (– 1) • 0 + 2 • (– 2) ) = 0

dan ;

| x |2 = (√7 )2 = 7

| y |2 = (√11 )2 = 11

| x |2 + | y |2 = 7 + 11 = 18

Cek | x + y |2 = (1 + 3 )2 + (1 + (– 1))2 + ((– 1) + 0 )2 + (2 + (– 1))2 = 18

| x + y |2 = | x |2 + | y |2 = 18

Oke, bahwa vector x dan y saling tegak lurus

1

1

– 1

2

→

→

→

┴

i = 1

n

→ →

3

– 1

0

– 1

→

→ →→

→

→

→

→ →

→

→

→ →

→ →

→ →→→

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

54

I. Nilai Dan Vector Eigen

Nilai dan vector Eigen didapatkan ketika kondisi dipertahankan dan terjaga

untuk arah R tetap sama dengan r hanya sebuah titik (x, y) pada sumbu xy

berubah ke posisi (X, Y) setelah dilakukan transformasi.

Kondisi ini didefinisikan ;

R = Mr

Dimana M, merupakan matriks deformasi yaitu matriks transformasi yang

tanpa terjadi perubahan arah sesudah deformasi.

R searah dengan r, maka :

R = λ r

Sehingga ;

Mr = λ r

Atau ; Mr = λ I r

| M – λ I | r memiliki penyelesaian jika | M – λ I | = 0

Dengan | M – λ I | = 0, merupakan persamaan karaktristik.

Secara umum | M – λ I | dapat dinyatakan sbb ;

= 0

Dimana ;

λ : konstanta eigen atau nilai karakteristik

I : matriks satuan

. . . . . . . . .

M11 M12 .... M1n

M21 M22 – λ .... M2n

Mm1 Mm2 .... Mmn – λ

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

55

Contoh 13

Carilah nilai dan vector eigen dari persamaan berikut ;

X = x + y

Y = 4x + y

Solusi ;

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks ;

=

M =

Agar dapat diselesaikan, maka persamaan karakteristik M harus ;

| M – λ I | = 0

Atau ; = (1– λ ) (1– λ ) – 4 = 0

(1– λ ) (1– λ ) – 4 = 0

λ2 – 2λ – 3 = 0 maka didapatkan λ1 = 3 dan λ1 = – 1

Substitusikan λ ke persamaan ;

= λ

Sehingga didapatkan ;

x + y = λ x atau (1– λ )x + y = 0 pers. a)

4x + y = λ y atau 4x + (1– λ )y = 0 pers. b)

Substitusikan λ1 = 3 dan λ2 = – 1 ke salah satu persamaan a dan b ;

Jika ke pers. a) maka ;

1 1

4 1

X

Y

x

y

1 1

4 1

1– λ 1

4 1– λ

1 1

4 1

x

y

x

y

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

56

(1– λ )x + y = 0

(1– 3 )x + y = 0 sehingga, y = 2x

(1– (– 1) )x + y = 0 sehingga, y = – 2x

Untuk mendapatkan x dan y dari vector eigen, misalnya kita ambil λ1 = 3 ke

persamaan a) dan b) maka didapatkan ;

x + y = λ x sehingga, x + y = 3 x atau y = 2 x pers. c)

4x + y = λ y sehingga, 4x + y = 3 y atau y = 2x pers. d)

Dari kedu persamaan c) dan d) didapatkan y = 2x dan ( x ≠ 0 ), ambil x = 1

Untuk mendapatkan vector eigen untuk λ1 = 3 dan x = 1;

r1= = =

Dan x dan y dari vector eigen dengan λ2 = – 1 ke persamaan a) dan b) maka

didapatkan ;

x + y = λ x sehingga, x + y = – x atau y = – 2x pers. e)

4x + y = λ y sehingga, 4x + y = – y atau y = – 2x pers. f)

Dari kedu persamaan e) dan f) didapatkan y = – 2x dan ( x ≠ 0 ), ambil x = 1

Untuk mendapatkan vector eigen untuk λ2 = – 1 dan x = 1;

r2= = =

X

Y

x

2x

1

2

X

Y

x

– 2x

1

– 2

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

57

Contoh 14

Carilah nilai eigen dari matriks A berikut ;

A =

Solusi ;

Agar dapat diselesaikan, maka persamaan karakteristik M harus ;

| M – λ I | = 0

= 0

Dari determinan matriks A = (1– λ )2 (– 1– λ ) = 0

Sehingga didapatkan nilai eigen λ yaitu ;

λ1 = 1, λ2 = 1 dan λ3 = – 1

1 – 1 0

0 1 1

0 0 – 1

(1– λ) – 1 0

0 (1– λ) 1

0 0 (– 1 – λ)

_______________________________________________________________________________________________________


Matriks

58

Blank

bab 2 matriks

Documents