matriks mat 2.doc

Matriks adalah himpunan bilangan (lambang bilangan) yang

teratur, disusun atas baris-baris dan kolom-kolom yang

berbentuk persegi panjang serta dihubungkan dengan tanda

kurung ( ) atau siku [ ].

Secara umum matriks dapat dituliskan sebagai:

A = Matriks A 4X4

Dimana: Banyaknya elemen dari matriks dinyatakan

dengan m x n

Matriks A mempunyai m baris dan n kolom dan

ditulis mxn.

MATRIKS – MATRIKS KHUSUS :

1. MATRIKS BARIS, MATRIKS KOLOM

- Matriks baris: A= dan Matriks kolom: B=

2. MATRIKS NOL : yaitu matriks yang semua elemennya nol. A=

3. MATRIKS SEGITIGA ATAS- yaitu elemen yang berada diatas diagonal pokok.

4. MATRIKS SEGITIGA BAWAH

Matriks

- yaitu elemen yang berada dibawah diagonal pokok.

5. MATRIKS BUJUR SANGKARyaitu ukuran baris = ukuran kolom. Matriks bujur sangkar ordo n.

6. MATRIKS DIAGONAL- matriks bujur sangkar yg semua elemennya sama dengan nol

kecuali diagonal pokok.

disebut juga matriks

skalar

7. MATRIKS IDENTITAS elemen selain diagonal utama = nol dan diagonal utama adalah satu.

8. MATRIKS TRANSPOSE- diperoleh dengan menukar elemen baris jadi kolom dan sebaliknya kolom jadi baris.- bila matriks Amxn maka matriks transpose (At )nxm.

maka

9. MATRIKS SIMETRIS- matriks bujur sangkar yang matriks transpose sama dengan matriks semula. (aij=aji).

Matriks Simetris

10. MATRIKS SKEW SIMETRIS (ANTI SIMETRIS)

- matriks bujur sangkar bila matriks transpose sama dengan (-) matriks awal (aij=- aji)

Matriks Simetris (-)

Matematika II (Dian Savitri, S.Si, M.Si)

49

Matriks

OPERASI PADA MATRIKS

1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Syarat : ORDO SAMA jika A berordo mxn, maka B juga harus

berordo mxn

Sehingga: A + B = C juga berordo mxn.

Sifat Penjumlahan :a. Komutatif : A + B = B + Ab. Asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)c. A + 0 = 0 + A = A dimana 0 adalah matriks nol.d. A + B = 0 dimana B disebut lawan dari A.

Contoh: dan maka :

Dengan demikian terbukti bahwa A + B = B + A

2. PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS

- Perkalian matriks A berukuran mxn dengan skalar k 0 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan k.

Contoh: Maka 3

dengan k = 3

3. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Syarat : Dua matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Jika Amxn dan Bnxp maka Ax B = CmxpJika: A3x2 dan B2x4 maka A x B = C3x4 ; A2x3 dan B3x1 maka A x

B = C2x1

A2x2 dan B2x1 maka A x B = C2x1

Misal: dan A2x2 B2x2 maka:

Ax B = C2x2

A X B =


50

Matriks

B X A = =

Kesimpulan bahwa A X B B X A

SIFAT SIFAT PERKALIAN MATRIKS:

A X B B X A A (B C) = AB + AC (AB) C = A (BC) AI = IA = A dimana I adalah matriks identitas.

Jika k suatu bilangan real maka: k (AB) = (kA) B = A (kB)

DETERMINAN

Determinan suatu matriks adalah Suatu skalar yang

diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan menggunakan

operasi khusus. Determinan hanya didefinisikan bagi matriks

bujursangkar.

Determinan matriks Anxn ditulis dengan lambang A atau det

(A), D, A, dll.

Nilai determinan ordo n kita definisikan sebagai berikut:

1. Jika n = 1 (ordo 1)

Maka det (A) = a11 dan nilai det (A) didefinisikan sebagai

bilangan a11.

Contoh: 11

2. Jika n = 2 (ordo 2)

Maka det (A) didefinisikan sebagai .

Misal pada ordo 2 :

Maka det (A) = ad – bc


51

Matriks

Contoh:

3. Jika n 2

Khusus untuk n=3, maka det (A) hanya dapat ditentukan

dengan menggunakan ATURAN SARRUS.

Misal pada ordo 3 :

Maka:


52

Matriks

Contoh:

Maka:

Jadi

Jika n > 3, Misal n=4 disebut matriks

derajat 4 (ordo 4)

maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks ordo 4

dapat menggunakan Expansi Laplace. Sehingga perlu

didefinisikan dahulu pengertian dari Minor dan Kofaktor.

MINOR DAN KOFAKTOR

Definisi Kofaktor

Kofaktor elemen aij dari determinan derajat n adalah hasil

kali dari minor elemen aij dengan (-1)I+j. Kofaktor elemen aij

ditulis Kij , maka:

Definisi Minor

Minor elemen aij dari determinan derajat n adalah suatu

determinan berderajat n-1 yang diperoleh dari

determinan derajat n dengan cara menghapus baris ke i

dan lajur ke j ditulis Mij.


53

Matriks


54

Matriks

Contoh:Diketahui matriks ordo 4. Tentukan M11 , M32 , M44

a. M11 Pada M11 : baris ke 1 dan kolom ke 1 dihapus.

M11 Sehingga menjadi M11 =

b. M32 Pada M32 : baris ke 3 dan kolom ke 2 dihapus


c. M44 Pada M44 : baris ke 4 dan kolom ke 4 dihapus


PENYELESAIAN DETERMINAN DENGAN EXPANSI

LAPLACE

Expansi Laplace:


55

Matriks

- Nilai Matriks Anxn yang didefinisikan sebagai jumlahan hasil ganda elemen untuk baris(kolom) tertentu dgn kofaktor-kofaktor yang bersesuaian

- Rumus dengan i tertentu disebut determinan

yang dikembangkan (diexpansikan) menurut baris ke – i atas kofaktornya

- Rumus dengan j tertentu (2) disebut juga

determinan yang dikembangkan(diexpansikan) menurut baris ke– j atas kofaktornya

Rumus Expansi Laplace:Yaitu determinan yg dikembangkan (diexpansikan) atas

minor-minornya.

Contoh:

Hitung determinan matriks ordo 3 dg expansi laplace menurut

baris ke 3 atas minor-minornya. A=

Maka A3 = (-1)3+1. a31. M31 + (-1)3+2. a32. M32 + (-1)3+3. a33. M33

= a31. - a32. + a33.

=

Contoh:

1. Hitung determinan dari matriks ordo 3 dengan expansi

laplace menurut baris ke 3 atas minor-minornya.

Jawab: A3 = (-1)4. a31. M31 + (-1)5. a32. M32 + (-1)6. a33. M33


56

Matriks

=

=

= (-2){3-0} + (3){2+4} + (5){0+3}

= (-2)(3)+(3)(6)+(5)(3) = -6 + 18 + 15 = 27

Jadi det = 27


57

Matriks

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Nilai determinan matriks A tidak berubah jika baris-barisnya dan kolom-

kolomnya ditukarkan (Nilai determinan A sama dengan nilai determinan

transpos..Dimana A=At )

A= At = B= Maka

Contoh: A= At = B= Maka

2. Nilai suatu determinan sama dengan nol bila dua buah baris / kolom sama.

3. Nilai suatu determinan berlainan tanda bila elemen sebuah bais (kolom)

saling ditukarkan.

=

=

4. Nilai suatu determinan akan menjadi k kali nilai determinan semula bila

elemen suatu baris/ kolom digandakan dengan bilangan tetap k.

= = 2.

5. Nilai suatu determinan akan sama dengan nol bila terdapat dua baris /

kolom sebanding.

= 0 = 0

dimana baris 1 sebanding baris 3


58

Matriks

6. Nilai suatu determinan tidak akan berubah jika elemen suatu baris

setelah digandakan dg bilangan tetap (k) ditambahkan pada elemen

yang bersesuaian dari baris/kolom lain.

= =

dimana elemen-elemen kolom ke 2 ditambah (k) kali elemen-elemen

kolom ke 1.


59

Matriks

INVERS MATRIKS

Jika maka Invers Matriks A ditulis A-1, yaitu:

Dimana: det (A) = determinan dari matriks A

Adj (A) = Transpos dari matriks kofaktor (CT)

Matriks kofaktor (Aij) adalah Aij = (-1)I+j. Mij

Mij matriks tidak sebaris dan tidak sekolom dg

unsur Aij

Syarat: hanya untuk matriks bujusangkar (ukuran harus sama)

Untuk matriks ordo 2 dimana , maka:

Untuk matriks ordo 3 dimana , maka:

=

dimana Adj (A) = CT Kofaktor ( C ) = A+ =

Contoh:

1. Diket: Tentukan (a) det (A) dan (b) Invers (A) =

A-1

a. Det (A) dengan Sarrus det

Jadi Determinan Matriks = -1


60

Matriks

b. Invers Matriks A = A-1

dimana Adj (A) = CT

Kofaktor (C)?

Kofaktor (C) dari adalah:

Tanda Kofaktor (C) = Maka Kofaktor (C) =

Sehingga = Adj (A)

Jadi INVERS MATRIKS A =

SOAL:

A. Hitung determinan dari matriks dibawah ini:dengan Expansi Laplace

1. 2. 3.

B. Tentukan Det (A) dengan Sarrus dan Exp. Laplace serta Invers A


61

Matriks

1. Diket: 2. Diket:


62

Matriks

Dalam bentuk Matriks:

=

Cara menyelesaikan sistem persamaan Linier ada 4 cara,

yaitu:

1. Dengan Kaidah / Metode CRAMMER

2. Dengan Matriks Invers

3. Dengan Metode Eliminasi Gauss

4. Dengan Metode Eliminasi Gauss – Jordan

Kaidah/Metode Crammer :

Jika AX = B adalah sebuah sistem yang terdiri dari n persamaan

linier didalam n bilangan yang tak diketahui sehingga det(A) #

0 maka sistem tersebut mempunyai sebuah pemecahan yang

unik, yaitu:

Dimana:

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Matriks

Invers

A . X = B


63

A . X = B

X = A-1 . B

Matriks

dimana:

Contoh :

1. Selesaikan Sistem Persamaan Linier dengan kaidah crammer: x + 3y –2z = 11 Dalam bentuk Matriks:

4x –2y + z = -15 A . X = B

3x + 4y – z = 3

Dengan kaidah crammer:

Maka: ; ;

Jadi x = -2 ; y = 1 ; dan z = -5

2. Selesaikan sistem persamaan linier dengan Matriks Invers.

3x – 2y = -7-x + 3y – 7z = 0 Dalam bentuk matriks:

2x + y – 3z = -3jawab: A . X = B

Matriks Invers: X = A-1 . B

Dimana: maka:

=

Sehingga Matriks Invers: X = A-1 . B


64

Matriks

Jadi: x = -1 ; y = 2 ; dan z = 1

Sistem Persamaan Linier

Untuk Memecahkan sistem-sistem persamaan linier digunakan

prosedur atau pemikiran untuk mereduksi matriks yang

diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga

sistem persamaan linier dapat dipecahkan dengan memeriksa

matriks yang diperbesar.

Eliminasi Gauss :

Metode untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linier

dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk

eselon baris.

Syarat Eselon baris :

Jika sebuah baris tidak seluruhnya terdiri dari nol maka

bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1

(satu)

Jika ada suatu baris yang seluruh elemennya terdiri dari nol

maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama

dibawah matriks.

Didalam sembarang baris yang berturutan yang seluruh

elemennya tidak terdiri dari nol maka ada elemen utama 1

didalam baris yang lebih rendah lebih jauh kekanan daripada

elemen utama 1 didalam baris yang lebih tinggi.

Transformasi Elementer:

Trasformasi / operasi terhadap suatu matriks A berukuran

mxn antara lain:


65

Matriks

1. Menggandakan sebuah baris / kolom dengan sebuah

konstanta yang tidak sama dengan nol. Bi (k) atau

Ki (k)

Baris pertama matriks kedua diperoleh dari kelipatan

10 dari elemen baris pertama matriks pertama. B1

(10)

2. Menukar dua baris / kolom ini berarti menukar baris ke i

dan kolom ke j yang ditunjukkan Bij atau saling menukar

dua kolom i dan j yang ditunjukkan Kij.

(B12) baris pertama ditukar

baris kedua

3. Menambahkan kelipatan suatu baris / kolom kepada baris

/ kolom yang lain, ditunjukkan dengan Bij (k) atau kolom

pada kolom Kij (k).

dimana [1+0] [0+0] [3+

(1x (-3)]

B13(-3) elemen baris pertama ditambah (-3)kali elemen

dr baris ke 3

Contoh :

1. Dengan Eliminasi Gauss selesaikan sistem persamaan linier

berikut:

x + y + z = 6

2x – 3y + 2z = 2

x – y = 1


66

Matriks

Dalam bentuk matriks menjadi:

Matriks lengkapnya adalah sebagai berikut:

Maka ini berarti bahwa: x + y + z = 6 y = 2 z = 1

Jadi x = 3 ; y = 2 ; dan z = 1

CONTOH PENERAPAN MATRIKS

1. Perhatikan batang logam terisolasi pada gambar dibawah ini. Angka-

angka menyatakan suhu dititik yang ditunjukkan. Tentukan suhu-suhu

t1, t2 dan t3 , jika diasumsikan bahwa suhu disetiap titik dibagian dalam

adalah rataan suhu di dua titik didekatnya.

t0=50oC t1 t2 t3 t4=1000C

Jawab:

- Asumsi suhu tersebut menghasilkan tiga persamaan linier berikut:

; ;

- Ketiga persamaan tsb ditulis dalam bentuk biasa, maka diperoleh sistem linier :

- Persamaan diubah dalam bentuk Matriks:

A . T = B

Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan: Kaidah Crammer &

Eliminasi Gauss

Penyelesaian dengan Kaidah Crammer:


67

Matriks

Maka: dan

Jadi suhu-suhu pada t1 = 62,5 , t2 = 75 dan t3 = 87.5

Penyelesaian dg Eliminasi Gauss

- Dalam bentuk Matriks lengkap

Menjadi:

Sehingga: t1 – 2t2 + t3 = 0 t2 – 2t3 = -100

4t3 = 350

maka: dan

Jadi suhu-suhu pada t1 = 62,5 , t2 = 75 dan t3 = 87.52. Seorang karyawan sebuah perusahaan memilih tiga jenis alat

transportasi untuk sampai ke kantor. Ketiga jenis alat transportasi yaitu

bemo, kereta komuter dan bus. Berikut ini karakteristik yang dimiliki

setiap jenis alat transportasi:

bemo Kereta

komuter

bus

Waktu

Pemberhentian

Biaya

1/3

0

4

1/2

2

1

1

7

1/2

Jika dalam seminggu karyawan menghabiskan waktu 14 jam di

perjalanan, 76 kali pemberhentian dan biaya $ 26. Berapa kalikah dia

harus menggunakan tiap jenis transportasi.

Penyelesaian:

Misal x1, x2, x3, berturut-turut adalah jumlah penggunaan

transportasi bemo, kereta komuter dan bus oleh karyawan. Dari data

yang ada dapat disusun tiga buah persamaan berikut:

1/3x1 + 1/2x2 + x3 = 14


68

Matriks

2x2 + 7x3 = 76

4 x1 + x2 + 1/2 x3 = 26

Persamaan diubah dalam bentuk Matriks:

A . X = B

Persamaan tsb dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss atau

metode yang lain

Penyelesaian dg Eliminasi Gauss- Dalam bentuk Matriks lengkap

Menjadi: Sehingga: 0,3x1 +0,5x2 + x3 = 14

2x2 + 7x3 = 76

6x3 = 48

maka: dan x1=3

Jadi tiap jenis: bemo (x1) = 3 kali, komuter (x2)=10 kali dan bus (x3)= 8 kaliSoal:

A. Hitung matriks dan Sistem Persamaan Linier dibawah ini:

1. Jika dan

Hitung a. 2A + 3B b. 5B – 3A + 2(2A + 3B) c. (3A – 4B)t dan d.

A x B

2. Jika dan Hitung AxB dan BxA

3. Jika dan

Hitung a. 3P – 2Q b. (3P – 2Q)t c. 4Q – 3 (2P + 5Q) d.

2(P – 4Q) + 6P

4. Jika dan maka hitung AxB dan BxA


69

Matriks

5. Jika dan maka hitung AxB dan (2)A x (-3)B

6. Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan Kaidah Cremer:

x + 2z = 6

-3x + 4y + 6z = 30

-x – 2y + 3z = 8

7. Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan Matriks Invers:

x + y + z = 2

x – y – z = 0

2x – y = 1

8. Dengan eliminasi Gauss selesaikan sistem persamaan linier berikut:

3x – 2y = -7

-x + 3y – 7z = 0

2x + y – 3z = -3


70

Matriks

B. Selesaikan soal berikut:

1. Dengan Matriks Invers selesaikan sistem persamaan linier berikut:

4x + 5y = 2

11x + y + 2z = 3

x + 5y + 2z = 1

2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan Eliminasi Gauss:

x + 2y + 2z = -1

x + 3y + 1z = 4

x + 3y + 2z = 3

3. Diketahui batang logam terisolasi dimana suhu di awal dan di akhir

adalah t0=140C dan t4 = 94 0C. Angka-angka menyatakan suhu dititik

yang ditunjukkan. Tentukan suhu-suhu t1, t2 dan t3 , jika diasumsikan

bahwa suhu disetiap titik dibagian dalam adalah rataan suhu di dua titik

didekatnya.

4. Berikut ini ada vitamin yang masing-masing terbentuk dari substansi K1,

K2, K3, K4. Dengan 3.85 gram vitamin A, 2.3 gram vitamin B, 0.8 gram

vitamin C dan 5.95 gram vitamin D. Susunan komposisinya sebagai

berikut:

VITAMIN K1 (%) K2 (%) K3 (%) K4 (%)ABCD

252825

1914431

202125

314016

Berapa gram tiap substansi harus didapatkan untuk memenuhi

kebutuhan tsb?

5. Dalam proyek pembangunan, kontraktor perlu bahan bangunan 4800

batu halus, 5810 krikil dan 5690 pasir. Terdapat 3 sumber bahan dengan material:

Batu halus krikil pasir

Sumber 1

Sumber 2

Sumber 3

0,52

0,20

0,25

0,30

0,50

0,20

0,18

0,30

0,55

Berapa yang harus digali dari ketiga sumber untuk memenuhi kebutuhan

tsb?


71

matriks mat 2.doc

Documents