*MATEMATIKA II*MATRIKS DAN OPERASINYA

MATEMATIKA II

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang Vektor*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

REFERENSI :BAHAN KULIAH (PPT) , ALJABAR LINEAR, IT TELKOM, 2008Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York

Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung

Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore

Kreyszig E., , 1993, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto

Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta *MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Matriks dan Operasinya

Sub Pokok BahasanMatriks dan JenisnyaOperasi MatriksOperasi Baris ElementerMatriks Invers (Balikan)

*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo) mxn*MATEMATIKA II*

Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

MATEMATIKA II

KESAMAAN DUA MATRIKSMisalkan A dan B adalah matriks berukuran sama. A dan B dikatakan sama (notasi A = B) jika aij = bij untuk setiap i dan j

JENIS JENIS MATRIKSMatriks Persegi (bujur sangkar)

Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :

*MATEMATIKA II*

Unsur diagonal

MATEMATIKA II

MATRIKS SEGI TIGAAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

Matriks segi tiga atas

Matriks yang semua unsur di bawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

*MATEMATIKA II*

Matriks segi tiga bawah

Matriks yang semua unsur di atas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

MATEMATIKA II

Matriks diagonal

Matriks persegi di mana setiap unsur yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

*MATEMATIKA II*

Matriks satuan (Identitas)

Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya adalah satu.

MATEMATIKA II

Transpos Matriks

Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan matriks Simetri.Contoh : *MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :Penjumlahan MatriksPerkalian MatriksPerkalian skalar dengan matriksPerkalian matriks dengan matriksOperasi Baris Elementer (OBE)*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriksberordo sama dapat dijumlahkanContoha. +

b. + *MATEMATIKA II*

106812

MATEMATIKA II

Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

Perkalian Matriks dengan Matriks

Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m hasil perkalian AB berordo pxn B X A haruslah n = p hasil perkalian BA berordo mxqContoh :Diketahui

dan *MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Maka hasil kali A dan B adalah :

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan , merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :A + B = B + AA + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A + B ) = A + B( + ) ( A ) = A + A*MATEMATIKA II*

ap+bq+crdp+eq+fras+bt+cuds+et+fu2x2

MATEMATIKA II

*MATEMATIKA II*

Contoh :Diketahui matriks :TentukanA At At A

MATEMATIKA II

Jawab :*MATEMATIKA II*

maka sedangkan

5-2-213-2-31-34-4-4514

MATEMATIKA II

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.

Contoh : OBE 1*MATEMATIKA II*

Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2)

MATEMATIKA II

OBE ke-2 b1 ~

OBE ke-3 *MATEMATIKA II*

Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan

Perkalian (2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3)0115

MATEMATIKA II

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Sifat matriks hasil OBE :Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat*MATEMATIKA II*(Proses Eliminasi Gauss)(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

MATEMATIKA II

Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

Jawab :

*MATEMATIKA II*

0 1 1 50 1 1 5 0 2 1 7

MATEMATIKA II

*MATEMATIKA II*

0 0 -1 -3 0 0 1 3 0 2 0 1 1 0 1 0

MATEMATIKA II

Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama)*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1Cara menentukan invers suatu matriks A adalah *MATEMATIKA II*

OBE ~Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas maka A dikatakan tidak punya invers

MATEMATIKA II

Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1b2 ~*MATEMATIKA II*

-3b1+b22b1+b30-110021100-1-3

MATEMATIKA II

-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

*MATEMATIKA II*

1 1-1 3 0 0 1 0 01-1-1 1 1 1 0 0 0

MATEMATIKA II

Perhatikan bahwa :

dan

maka*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

*MATEMATIKA II*Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : (A-1)-1 = A Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers

maka (A . B)-1 = B-1 . A-1iii. Misal k Riil maka (kA)-1 = iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n

MATEMATIKA II

Latihan

Diketahui , dan

Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C (4B)C + 2C

*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)*MATEMATIKA II*

MATEMATIKA II

*MATEMATIKA II*022 700 398 31zd_zaida@yahoo.com

MATEMATIKA II

*MATEMATIKA II*Tugas/kuis 30%Uts 30%Uas 30%Kehadiran 10%

MATEMATIKA II