aturan invers matriks-kelompok 3 mat iv c

5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 1/15

Disusun oleh : Kelompok 3

Anggota :

1. Herdiana Harnum

2.

Omi Liyana3. Reni Septiana

4. Suri Margi Rahayu

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI)

BANDAR LAMPUNG 2012

KATA PENGANTAR



Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT karena atas limpahan Rahmat Taufiq

dan Hidayah-Nya sehingga usaha penyusunan makalah tentang INVERS ; ATURAN

ARITMETIKA MATRIKS telah dapat diselesaikan.

Makalah sederhana ini disusun dalam rangka membantu dan member

kemudahan kepada mahasiswa/i dalam mengikuti mata kuliah ALJABAR LINEAR di

STKIP PGRI Bandar Lampung. Makalah ini diharapkan dapat menjadi tambahan

referensi perkuliahan. Meskipun dalam penyusunan makalah ini masih terdapat

kelemahan dan kekurangan, maka untuk itu penyusun mengharapkan saran dan

tanggapan dalam upaya perbaikan.

Akhirnya sebagai ungkapan syukur, penyusun mengucapkan terimakasih

kepada semua pihak yang telah membantu dan berpartisipasi dalam penyelesaian

penyusunan makalah ini, dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Amin.

Bandar Lampung, Maret 2012

Tim Penyusun

DAFTAR ISI



Kata Pengantar . .................................................................................... iDaftar Isi . ............................................................................................. ii

Pembahasan . ...................................................................................... iii

1. Sifat-sifat Operasi Matriks . ......................................................... 1

2. Matriks-matriks Nol .................................................................... 3

3. Matriks-matriks Identitas .......................................................... .5

4. Invers Dari Sebuah Matriks ....................................................... .6

5. Sifat-sifat Matriks ...................................................................... .7

6. Pangkat Suatu Matriks . .............................................................. 9

7. Matriks – matriks Yang Melibatkan Ungkapan Polinom . ........ 10

8. Sifat-sifat Transpos . ................................................................... 11

9. Keterbalikan Suatu Transpos . ................................................... 12

Latihan Soal . ....................................................................................... 13

Daftar Pustaka . ................................................................................... 15

SIFAT – SIFAT OPERASI MATRIKS



Untuk bilangan real dan , kita selalu mendapati , yang disebut hokum

komutatif perkalian. Akan tetapi, untuk matriks, dan tidak harus sama . Kesamaan

tidak berlaku karena tiga alasan. Misalnya bias saja terdefinisikan tetapi tidak

terdefinisi. Ini terjadi jika

adalah suatu matriks 2 × 3 dan

adalah suatu matriks 3 × 4.

Juga hal tersebut bias terjadi sehingga dan keduanya terdefinisi tetapimempunyai ukuran yang berbeda. Hal ini terjadi jika adalah suatu matriks 2 × 3 dan B

adalah suatu matriks 3 × 2.

Contoh

mungkin saja , jika dan keduanya terdefenisi dan mempunyai

ukuran yang sama

Perkalian memberikan

Jadi Dengan menganggap bahwa ukuran matriks – matriks di bawah ini adalah sedemikian

sehingga operasi yang ditunjukkan bias dilakukan, maka aturan – aturan aritmatika

berikut ini adalah sahih.

a. b. c. d. e. f. – – g. – – h. i.

– –

j. k. – – l. m.

Bukti d. kita harus menunjukkan bahwa dan mempunyai

ukuran yang sama dan bahwa anggota – anggotanya yang berpadanan sama. Untuk

membentuk matriks – matriks dan harus mempunyai ukuran yang sama,



katakanlah , dan kemudian matriks A harus mempunyai m kolom, sehingga

ukurannya haruslah . Hal ini membuat menjadi suatu matriks .

Menyusul hal tersebut, juga merupakan matriks dan, akibatnya,

dan

mempunyai ukuran yang sama.

Anggap = [] = [] = [] Kita ingin menunjukkan bahwa anggota– anggota dari dan yang berpadan adalah sama, yaitu

=

Untuk semua nilai dan . Tetapi dari definisi penjumlahan matriks dan perkalian matriks

kita dapatkan.

= ( ) ( ) ( )

= ( ) ( )

= []

Contoh

maka

= dan =

Jadi,

=

Dan



=

Jadi

), seperti yang dijamin oleh Teorema 1.4.1.c

MATRIKS – MATRIKS NOL

Sebuah matriks, yang sama anggotanya nol, seperti

Matriks disebut matriks identitas terhadap penjumlahan jika untuk sembarang matriks, berlaku

Dan itu hanya dipenuhi apabila matriks adalah matriks nol, yaitu suatu matriks

yang semua elemennya bernilai nol.

Sebuah matriks nol akan dinyatakan dengan

, jika ukurannya merupakan sesuatu

yang penting ditekankan, kita akan menuliskan untuk matriks nol .

Jika adalah sebarang matriks dan adalah matriks nol dengan ukuran yang sama, jelas

bahwa

Karena kita sudah tahu bahwa beberapa aturan aritmatika untuk bilangan real tidak

berlaku untuk aritmatika matriks.

Jika dan , maka (ini disebut hokum pembatalan)

Jika , maka paling tidak salah satu factor di ruas kiri adalah .

Sebagaimana yang ditunjukkan oleh contoh berikut ini, hasil – hasil yang berpedanan

pada umumnya tidak benar dalam aritmetika matriks.



Contoh

Di sini

Meskipun , adalah tidak benar menghilangkan dari kedua ruas persamaan dan menuliskan B = C. Jadi, hokum pembatalan gagal berlaku untuk matriks.

Juga, , walaupun Sifat – sifat yang kita kenal dari bilangan real

yang berlaku untuk matriks – matriks nol.

Beberapa yang lebih penting diringkaskan dalam teorema berikut ini.

Dengan menganggap ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi yang

ditunjukkan bias dilakukan, aturan – aturan aritmetika matriks berikut ini adalah

sahih.

a. b. – c.

–

d.

MATRIKS – MATRIKS IDENTITAS



Matriks yang diminati secara khusus adalah matriks – matriks bujur sangkar

dengan 1 pada diagonal utamanya dan 0 untuk anggota selain diagonal utamanya,

sedemikian sehingga.

dan seterusnya

Sebuah matriks berbentuk seperti ini disebut matriks identitas dan dinyatakan

dengan . Jika penting untuk menekankan ukuran, kita akan menuliskan untuk matriks

identitas Jika adalah suatu matriks , maka, sebagaimana yang diilustrasikan pada contoh

berikutnya,

= dan

Jadi, sebuah matriks identitas memainkan peran yang sama dalam arimetika matriks

seperti bilangan I berperan dalam hubungan numeric

Contoh

=

Selanjutnya

Dan

Jika adalah sebuah dari matriks berbentuk baris eselon tereduksi, maka

mempunyai sebuah baris nol atau merupakan matriks identitas



Bukti Anggap bentuk baris eselon tereduksi dari adalah

Baik baris terakhir dalam matriks ini seluruhnya terdiri dari nol atau tidak. Jika

tidak matriks tersebut tidak mempunyai baris – baris nol, dan akibatnya masing – masing

baris tersebut mempunyai sebuah anggota utama 1. Karena utama – utama 1 ini terletak

makin kekanan ketika kita nergerak turun dalam matriks tersebut, setiap 1 ini harus

terdapat pada diagonal utama. Karena anggota – anggota lainnya dalam kolom yang

sama dengan kolom tersebut adalah nol, maka pastilah Jadi, mempunyai sebuah

baris nol atau =

INVERS DARI SEBUAH MATRIKS

Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian

yang dilambangkan dengan

Jika adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks yang

berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga , dimana

adalah matriks identitas maka

disebut invers dari

dan

invers dari

Karena invers matriks dilambangkan dengan maka berlaku

Dimana adalah matrik identitas

Contoh :

Matriks adalah invers dari

Karena



= = = dan

= = =

Jadi, matriks dan matriks adalah dua matriks yang saling invers.

1. Determinan Matriks Persegi Berordo 2

= | | Nilai dari determinan matriks ditentukan oleh = | | = –

(i) Jika , matriks tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular

(ii) Jika , matriks mempunyai invers dan disebut matriks non-singular

2. Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2

Algoritma : Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2 yang Determinannya = 1

(i) Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan

(ii) Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya

SIFAT-SIFAT MATRIKS

Jika dan keduanya adalah Invers matriks , maka

Bukti : Karena adalah invers dari , maka . Mengalikan kedua ruas pada sisi

kanan dengan memberikan . Tetapi ,

sehingga Jika bisa dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan symbol . Jadi,



dan

Invers Matriks persegi berordo 2 yang determinannya

1

Jika Matriks = dengan – , maka invers dari matriks

ditentukan oleh =

Jika dan adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka :

(a)

dapat dibalik

(b) ( =

Contoh :

Matriks

Dengan menerapkan sifat matriks pada nomor 2, diperoleh

Atau,

= =

Oleh karena itu,

PANGKAT SUATU MATRIKS



Pangkat suatu matriks terdiri atas dua yaitu matriks pangkat bulat positif dan

matriks pangkat bulat negatif.

1. Matriks pangkat bulat positif

Jika A merupakan suatu matriks bujur sangkar yang berpangkat bulat positif n bentukpenuyelesaiannya,

An = AAA . . .A ; dengan n > 0,

Contoh :

maka A3 =

Perkalian dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama dan memiliki pangkat

bilangan bulat positif yang berbeda maka untuk penyelesaiannya berlaku sifat berikut

dan

2. Matriks pangkat bulat negatif

Matriks pangkat bulat negatif merupakan kebalikan dari matriks pangkat bulat positif

sehingga jika suatu matriks An dibalik akan menjadi matriks pangkat bulat negatif A-n,begitu sebaliknya matriks pangkat negatif jika dibalik akan menjadi matriks pangkat

positif.

A-n = ( A-1 )n = A-1 A-1. . . A-n ; dengan n > 0

Contoh

A-3 = ( A-1 )3 = =

Untuk pangkat negatif dari perkalian matriks( A ) dengan sebarang sklar tak nol ( k )

berlaku sifat berikut ;

( kA )-1 =



MATRIKS – MATRIKS YANG MELIBATKAN UNGKAPAN

POLINOM

Polinom adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlah perkalian

pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinom dalam satu

variabel dengan koefisien konstan memilikibentuk seperti berikut; .

Jika A merupakan suatu matriks bujur sangkar yang berukuran m x m , dan

Jika merupakan sebarang polinom,

maka dapat didefinisikan

dengan adalah matriks identitas m x m . dengan adalah matriks m x m yang

dihasilakan ketika A disubstitusikan untuk dan digantikan oleh .

Contoh :

Suatu sebarang polinom berbentuk persamaan

Maka penyelesaiannya

SIFAT-SIFAT TRANSPOS



a. =A

b. = + dan = -

c.

ᵀ =

dengan k adalah skalar

d. ᵀ =

Penjelasaan bagian

a. Menyatakan bahwa baris-baris dan kolom-kolom yang dipertukarkan dua kali

membuat suatu matriks tidak berubah.

b. Menyatakan bahwa menambahkan dan kemudian mempertukarkan baris-baris dan

kolom-kolom memberikan hasil yang sama dengan pertama-tama mempertukarkan

baris-baris dan kolom-kolom,kemudian menjumlahkan.

c. Menyatakan bahwa mengalikan dengan skalar dan kemudian menukarkan baris-baris

dan kolom-komberikan hasil yang sama dengan pertama-tama mempertukarkanbaris-baris dan kolom-kolom,kemudian mengalikannya dengan skalar.

d. Kita anggap

A= []m x r dan B= []r x n

Sehingga hasil kali AB dan keduanya bisa dibentuk. Untuk menguji bahwa dan mempunyai ukuran sama,yaitu n x m. Jadi tinggal menunjukan bahwa anggota-

anggota yang padanan dari

dan

adalah sama

( )ij = ij

Dengan menerapkan rumus 8, kita peroleh

( )ij= ji= ++...+

Menghitung ruas kanan dari(2) akan menjadi lebih mudah dengan menganggap

masing-masing menyatakan anggota keij dari dan sehingga

= dan =

Dari hubungan ini dandefinisi perkalian matriks kita peroleh



ij = ++...+

= ++...+

= ++...+

Transpos dari hasil kali beberapa matriks sama dengan hasil kali transpos-transposnyadalam urutan yang terbalik.

KETERBALIKAN SUATU TRANSPOS

Jika A sebuah matriks yang dapat dibalik,maka juga dapat dibalik dan

ˉ¹ =

ᵀ

Bukti: = = A

Tinjauan matriks

=

Menerapkan teorema 1.4.5 menghasilkan

= =

ᵀ = ˉ¹=

Seperti yang dijamin oleh teorema 1.4.10, matriks-matriks ini memenuhi.

aturan invers matriks-kelompok 3 mat iv c

Documents