amarhadi.wordpress · amarhadi.wordpress.com 1. rumus invers matriks persegi ordo 2 x 2 misalkan...
TRANSCRIPT
Amarhadi.wordpress.com
1. Rumus Invers Matriks Persegi Ordo 2 x 2
Misalkan
dc
baA , bagaimanakah mencari invers matriks ordo 2 x 2 ini?
Misalkan
sr
qpB adalah invers matriks A maka
AB = I2
10
01
10
01
dscqdrcp
bsaqbrap
sr
qp
dc
ba
Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh
ap + br = 1 …*) aq + bs = 0 …***)
cp + dr = 0 …**) cq + ds + 1 …****)
Dari *) dan **) diperoleh
ap + br = 1 x (-d) -adp – bdr = -d
cp + dr = 0 x b bcdp + bdr = 0
______________ +
(-ad + bc)p = -d
bcad
d
bcad
dP
)(
Subtitusi nilai p ke **), maka diperoleh
cp + dr = 0 bcad
c
bcad
d
d
cp
d
cr
Dari ***) dan ****), diperoleh
aq + bs = 0 x –d -adq + bds = 0
cq + ds = 1 x b bcq + bds = b
___________ +
(-ad + bc)q = b
bcad
b
bcad
bq
Subtitusi q ke ***) sehingga diperoleh
Aq + bs = 0 bcad
a
bcad
b
b
aq
b
as
Dengan demikian
ac
bd
Aac
bd
bcadA
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
sr
qpAB
)det(
11
)()(
)()(
1
1
Jadi rumus invers matriks persegi ordo 2 didefinisikan
Jika
dc
baA , maka invers dari matriks A, ditulis A-1 adalah
ac
bd
AA
)det(
11 dengan det (A) ≠ 0
Contoh:
Diketahui
21
34Q . Tentukan Q-1
Penyelesaian:
Det (Q) = 53821
34
5
4
5
15
3
5
2
41
32
5
1
41
32
)det(
1
1
1
Q
Sifat-sifat yang Berkaitan dengan Invers Matriks
Sifat invers matriks
Jika A, B dan AB dianggap memilki matriks invers, maka berlaku sifat berikut:
(AB)-1 = B-1 A-1
(BA)-1 = A-1 B-1
A-n = (A-1)n = nfaktor
AAAA 1111
Matriks Singular dan Non Singular
Tidak semua matriks persegi mempunyai invers.
Suatu matriks A memiliki invers A-1 jika berlaku
AA-1 = A-1A = In
Matriks yang memilki invers di sebut matriks non singular. Jika matriks A tidak memilki invers
maka matriks seperti ini di sebut matriks singular
Secara umum definisi matriks singular dan matriks non singular sebagai beikut
Sebuah matriks persegi A dikatakan singular (matriks yang tidak memilki invers) jika determinan dari
matriks persegi itu sma dengan nol
Jika Det A = 0 maka matriks A matriks singular
Jika det A ≠ 0 maka matriks A matriks non singular
Contoh:
Diketahui matriks
34
21A dan
10
01I . Carilah bilangan x sehingga matriks A – xI adalah
matriks singular
Penyelesaian:
x
xxxIA
0
0
24
21
10
01
24
21
x
x
14
21 syarat A – xI matriks singular adalah det(A – xI) = 0
15
015
054
0833
083134
21
034
21det
2
2
xx
xx
xx
xxx
xxx
x
x
x
Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 5 atau x = -1
Latihan Kompetensi 6
1. Pasangan matriks-matriks manakah yang saling invers?
a.
12
25 dan
52
21 c.
57
34 dan
47
35
b.
14
27 dan
74
21 d.
24
53 dan
34
52
2. Tentukan determinan matriks-matriks berikut
a.
63
75 d.
72
48
b. e.
c.
42
31 f.
2
1
x
x
3. Manakah di antara matriks-matriks di bawah ini yang merupakan matriks singular?
a.
64
128 c.
25
410
83
42
132
22
xx
xx
b.
918
48 d.
42
168
4. Tentukan nilai a pada persamaan berikut.
a. 94
36
a d. 13
3
52
a
b. 1278
5
a e. 2
3
aa
a
c. 2343
2
a f. 15
13
22
a
a
5. Tentukan invers matriks berikut
a.
51
12 c.
65
1916
b.
3
11
3
1
2
1
d.
58
23
2. Pengertian Determinan Matriks Persegi Ordo 3
Misalkan matriks
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 ada dua cara, yaitu
(1) Aturan Sarrus
(2) Ekspansi Kofaktor
Aturan Sarrus
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
i. Salin dua kolom pertama dari determinan seperti pada gambar di bawah ini
3231
2221
1211
333231
232221
131211
)det(
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
ii. Buat diagonal utama, kalikan ketiga elemen yang dilalui diagonal utama kemudain jumlahkan
3231
2221
1211
333231
232221
131211
)det(
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
Dutama = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
iii. Buat diagonal sekunder, kalikan ketiga elemen yang dilalui diagonal sekunder kemudian
jumlahkan
3231
2221
1211
333231
232221
131211
)det(
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
Dsekunder = a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12
iv. Nilai determinan matriks ordo 3 x 3, yaitu selisi anatara Dutama dan Dsekunder
Jadi, det (A) = Dutama - Dsekunder
= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
Ekspansi Kofaktor
Selain dengan aturan Sarrus determinan matriks persegi ordo 3 dapat ditentukan dengan
EKSPANSI KOFAKTOR. Rumus berikut adalah rumus determinan matrikas dengan ekspansi
kofaktor sepanjang baris pertama.
333231
232221
131211
13
333231
232221
131211
12
333231
232221
131211
11
333231
232221
131211
)det(
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
dengan, 3332
2322
aa
aa disebut minor a11,
3331
2321
aa
aa disebut minor a12
dan 3231
2221
aa
aa disebut minor a13
Secara umum. Jika elemen-elemen pada baris ke-I dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan, maka
diperoleh submatriks beukuran 2 x 2. determinan submatriks ini disebut minor elemen aij ditulis Mij,
sedangkan (-1)i + j Mij disebut kofaktor elemen aij ditulis Kij.
Kij = (-1)i + j Mij
Dengan menggunakan pengertian tersebut, rumus determinan matriks A3 sebagai berikut
det (A) = a1jK1j + a1jK1j + a1jK1j =
3
1
11
j
jjKa dengan j = 1, 2, 3 atau
det (A) = ai1Ki1 + ai1Ki1 + ai1Ki1 =
3
1
11
i
ii Ka dengan i = 1, 2, 3
3. Rumus invers Matriks Persegi Ordo 3
Invers matriks persegi ordo 3 dapat ditentukan dengan beberapa cara, yaitu adjoin matriks dan
transformasi baris elementer. Kali ini kita gunakan hanya cara adjoin matriks saja.
Misalkan matriks
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
)(
KKK
KKK
KKK
AKof
Adjoin matriks A ditulis Adj (A) adalah tAKof )(
332313
322212
312111
332313
322212
312111
)(
MMM
MMM
MMM
KKK
KKK
KKK
AKoft
Minor Mij dari
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A adalah
3332
2322
11
11
11
3332
2322
11
1aa
aaMK
aa
aaM
3331
2321
3331
2321
12
21
12
3331
2321
12
11aa
aa
aa
aaMK
aa
aaM
3231
2221
13
31
13
3231
2221
13
1aa
aaMK
aa
aaM
,
Untuk K21, K22, K23, K31, K32 dan K33 dapat ditentukan cara yang serupa.
Jadi, adjoin matriks A3 dapat ditentukan dengan rumus berikut:
2221
1211
3231
1211
3231
2221
2321
1311
3331
1311
3331
2321
2322
1312
3332
1312
3332
2322
)(
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
AAdj
Jadi, invers matriks A yang berordo 3 x 3, yaitu A-1 ditentukan dengan rumus
AAdjA
A)det(
11
Contoh:
Diketahui matriks
495
262
331
A . Tentukan:
a. Det (A)
b. Adj (A)
c. A-1
Penyelesaian:
a. Determinan matriks A
o Dengan aturan Sarrus
12)(
12241860363024)det(
324129365923523461)det(
95
62
31
495
262
331
)det(
ADet
A
A
A
o Dengan Minor-kofaktor untuk baris ke-1
12)(
12)12(3)2(3)6(1)det(
95
623
45
223
49
26)1()det(
ADet
A
A
b. 649
2611 K 2)2(
45
2212 K 12
95
6211 K
Untuk K21, K22, K23, K31, K32 dan K33, coba kerjakan sebagai latihan!
026
666
1226
)(AKof , Karena Adj (A) = [Kof (A)]t maka
0612
262
666
)(AAdj
c. Invers matriks A
02
11
6
1
2
1
6
12
1
6
1
2
1
0612
262
666
12
1
)det(
1
1
1
A
AAdjA
A
Jadi,
02
11
6
1
2
1
6
12
1
6
1
2
1
1A
Menggunakan Teknologi
Untuk menentukan invers matriks persegi juga dapat menggunakan program microsoft Excel.
Dalam program tersebut anda dapat menggunakan fungsi MINVERSE untuk menentukan invers matriks
persegi.
Perhatikan contoh berikut.
Untuk menentukan inver matriks
104
21A . Lakukan langkah-langkah berikut.
Langkah 1: Masukan elemen-elemen matriks A ke dalam spreadsheet
Langkah 2 : Hitung invers matriks A dengan cara:
Sorot sel-sel yang mengandung matriks invers A-1, ketik “=MINVERSE(“,sorot
sel-sel yang mengandung matriks A, ketik”)”, dan tekan Ctrl+Shift+Enter.
Latihan Kompetensi 7
1. Tentukan determinan matriks dan adjoin matriks dari matriks-matriks berikut:
a.
236
134
311
A c.
131
221
341
C
b.
213
640
534
B d.
001
123
232
D
2. Manakah yang merupakan matriks non singular
a.
126
0012
2411
P c.
462
6103
1427
R
b.
1282
641
235
Q d.
213
514
112
S
3. Tentukanlah nilai a yang memenuhi persamaan berikut:
a. 6
25
430
451
a
c. 9
310
025
032
a
b. 8
112
102
42
a
d. 12
423
43
421
a
4. Tentukan invers matriks-matriks berikut
a.
610
475
253
K b.
1111
234
32
4. Penyelesaian Persamaan Matriks yang Berbentuk AX = B dan XA = B
Persamaan AX = B dan XA = B dapat diselesaikan jika A merupakan matriks non singular (det (A)
0)
Cara menyelesaikan persamaan matriks AX = B dan XA = B
i. Tentukan invers matriks A atau A-1
ii. Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan tersebut dengan A-1 dari kiri ke kanan
a. Persamaan AX = B
A-1 (AX) = A-1B masing-masing ruas dikalikan A-1 dari kiri
(A-1A) X = A-1B A-1A = I
IX = A-1B IX = X
X = A-1B
Jadi penyelesaian AX = B adalah X = A-1B
b. Persamaan XA = B
(XA) A-1 = B A-1 masing-masing ruas dikalikan A-1 dari kanan
X (A A-1) = B A-1 AA-1 = I
XI = B A-1 XI = X
X = B A-1
Jadi penyelesaian XA = B adalah X = BA-1
Contoh:
Diketahui
21
53A dan
52
73B . Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut
a. AX = B
b. XA = B
Penyelesaian:
a. AX = B X = A-1 B
223
394
52
73
31
52
52
73
31
52
56
1
52
73
31
52
)det(
1
X
X
AX
b. XA = B X = B A-1
31
52
52
73
31
52
)det(
1
52
73
X
AX
223
394X
Latihan Kompetensi 8
Tentukan persamaan matriks X jika diketahui persamaan berikut
a.
1
3
12
34X c.
62
2327
37
44X
b.
120
206
32
42X d. X 3612
120
206
B. Penggunaan Matriks Untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Varabel Dan Tiga Variabel
1. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel
a) Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel dengan Invers Matriks
Diberikan sistem persamaan linear dengan dua variabel dalam variabel x dan y sebagai berikut
22221
11211
byaxa
byaxa
Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:
BXA
b
b
y
x
aa
aa
2
1
2221
1211
Didapat: AX = B X = A-1 B, Dalam hal ini disyaratkan A matriks non singular
b) Penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua variabel dengan determinan aturan Cramer
Diberikan Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel dalam variabel x day sebagai berikut
22221
11211
byaxa
byaxa
Didefinisikan determinan utama ( ), yaitu determinan dari koefisien-koefisien x dan y, yaitu:
12212211
2221
1211aaaa
aa
aa
Didefinisikan determinan variabel x ( x ), yaitu determinan yang diperoleh dengan
menggantikan koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan-bilangan
ruas kanan
122122
222
121abba
ab
abx
Didefinisikan determinan variabel x ( x ), yaitu determinan yang diperoleh dengan
menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-bilangan
ruas kanan
121211
221
111baba
ba
bay
Nilai x dan y dengan rumus:
xx dan
yy
Contoh:
Tentukan penyelesaian Sistem persamaan linear berikut dengan matriks
423
52
yx
yx
Penyelesaian:
SPL
423
52
yx
yx dapat diulis dalam bentuk matriks
4
5
23
12
y
x
Dengan invers matriks
Misalkan
23
12A
23
12
7
1
23
12
)3(4
11A
1
2
7
14
7
1
4
5
23
12
7
1
y
x
y
x
Jadi, diperoleh x = 2 dan y = -1
Dengan determinan matriks (Aturan Cramer)
4
5
23
12
y
x
7)3(423
12
14)4(1024
15
x 7158
43
52 y
27
14
xx 1
7
7
yy
Jadi, diperoleh x = 2 dan y = -1
2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel akan diselesaikan dengan “Metode
Cramer”
Misalkan
3332313
2232212
131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
Sistem persaman linear tiga variabel dalam bentuk matriks adalah
BXA
b
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaa
3
2
1
333231
232221
131211
Determinan matriks A, yaitu determinan koefisien SPL adalah
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Didefisikan determinan matriks X, yaitu bentuk matriks X dengan cara mangganti kolom ke-1
matriks A dengan matriks kolom B (tetapan SPL)
33323
23222
13121
aab
aab
aab
X
Didefisikan determinan matriks Y, yaitu bentuk matriks Y dengan cara mangganti kolom ke-2
matriks A dengan matriks kolom B (tetapan SPL)
33331
23221
13111
aba
aba
aba
Y
Didefisikan determinan matriks Z, yaitu bentuk matriks Z dengan cara mangganti kolom ke-3
matriks A dengan matriks kolom B (tetapan SPL)
33231
22221
31211
baa
baa
baa
Z
Jika, matriks koefisien dari SPL adalah matriks non sigular ( 0 ) maka penyelesaian SPL tiga
variabel adalah
Xx
Yy
Zz
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut
222
132
4
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian:
SPL dibentuk dalam persamaan matriks
2
1
4
212
321
111
z
y
x
6)2(341)6(4
12
21
11
212
321
111
3)2(341)6(16
12
21
14
212
321
114
X
X
12)8()6(2)2()24(2
22
11
41
222
311
141
Y
Y
9)2(1164)2(4
12
21
11
212
121
411
Z
Z
26
12
Yy
2
3
6
9
Zz
Jadi, diperoleh peyelesaianSPL tersebut adalah
2
1x , y = 2 dan
2
3z
Latihan Kompetensi 9
1. Dengan menggunakan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut.
a.
432
3
yx
yx d.
5232
732
43
zyx
zyx
zyx
2
1
6
3
Xx
b.
1323
12
yx
yx e.
543
1552
5243
zyx
zyx
zyx
c.
13
434
yx
yx
2. Tentukan Penyelesaian SPL berikut
a.
1
2
yx
yx d.
2
3cossin2
2cos2sin
yx
yx
b.
5log4log
12log3log2
yx
yx e.
2123
212
yx
yx
3. Misalkan keliling suatu persegi panjnag adalah 50 cm dan 5 kali panjangnya dikurangi 3 kali lebarnya
sama dengan 45 cm. Buatlah sistem persamaan linear. Kemudian tentukan panjang dan lebar persegi
panjang itu dengan menggunakan matriks ?
4. Sepuluh tahun lalu umur seorang ayah sama dengan 4 kali umur anaknya. Misalkan jumlah 2 kali umur
ayah dan 3kali umur anaknya sekarang 140 tahun. Buatlah sistem persamaan linearnya. Kemudian
tentukan umur ayah dan anak sekarang dengan menggunakan matriks ?
5. Bila A dan B bekerja bersama dapat menyelesaiakan pekerjaan selam 4 hari, B dan C bekerja bersama
dapat menyelesaikan pekerjaan selama 3 hari dan A dan C bekerja bersama dapat menyelesaikan
pekerjaan tersebut selama 2, 4 hari. Dalam berapa harikah mereka dapat menyelesaiakan pekerjaan
apabila mereka bekerja sendiri- sendiri ?