diktat mata kuliah aljabar linear elementer · pdf file1.2.3 transpose matriks ... 2.5...

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER

(BAGIAN I)

DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN

MARET 2013

Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Halii

MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalawat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman. Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya. Penyusun juga menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan.

Banjarmasin, Maret 2013 Penyusun, TTD Abdul Jabar, M.Pd

Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Haliii

DAFTAR ISI

Halaman

BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS ……………………………………… 1

1.1 Sistem Persamaan Linear …………………………………………………………………………. 1

1.2 Matriks …………………………………………………………………………………………………….. 2

1.2.1 Macam-macam matriks …………………………………………………………………………….. 2

1.2.2 Kesamaan matriks ………………………………………………………………………………………. 4

1.2.3 Transpose matriks …………………………………………………………………………………….. 5

1.2.4 Operasi aljabar matriks …………………………………………………………………………….. 5

1.3 Hubungan SPL dengan Matriks …………………………………………………………………….. 7

1.4 Eliminasi Gauss-Jordan …………………………………………………………………………………. 8

1.5 Menentukan invers matriks …………………………………………………………………………….. 10

1.6 SPL Homogen ………………………………………………………………………………………………… 11

BAB II DETERMINAN …………………………………………………………………………………………. 13

2.1 Pendahuluan …………………………………………………………………………………………………. 13

2.2 Ekspansi Kofaktor …………………………………………………………………………………………. 14

2.3 Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer ……………………………………… 14

2.4 Metode Cramer …………………………………………………………………………………………….. 15

2.5 Hubungan Determinan, Invers Matriks dan Penyelesaian SPL ………………………….. 17

BAN III VEKTOR DI R2 DAN R3 ……………………………………………………………………………… 18

3.1 Pendahuluan …………………………………………………………………………………………………. 18

3.2 Operasi-operasi pada Vektor ………………………………………………………………………….. 18

3.3 Hasil kali titi, panjang vektor, dan jarak ………………………………………………………….. 19

3.4 Proyeksi orthogonal ………………………………………………………………………………………. 20

3.5 Hasil Kali Silang ………………………………………………………………………………………… 21

Diktat Aljabar Linear Bagian I oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal1

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

1.1 Sistem Persamaan Linear Definisi 1.1 : Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan yang peubahnya berpangkat satu. Suatu persamaan linear dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b (1.1) dimana a1, a2 , … , an dan b adalah konstanta-konstanta real. Definisi 1.2 : Penyelesaian Persamaan Linear Penyelesaian dari persamaan linear (1.1) adalah urutan dari n bilangan s1, s2, … , sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila x1= s1, x2 =s2, … , xn = sn (1.2) disubstitusikan terhadapnya. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian. Definisi 1.3 : Sistem Persamaan Linear Suatu himpunan berhingga dari persamaan- persamaan linear dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Suatu urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut jika (1.2) adalah pemecahan dari masing-masing persamaan pada sistem tersebut. Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan yangtidak diketahui : a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 : (1.3) . am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm Definisi 1.4 : Konsistensi 1. Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan tidak konsisten.

Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dikatakan konsisten.

2. Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki persis satu penyelesaian, atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

Dalam 2 dimensi dapat digambarkan sebagai berikut :

Tidak ada penyelesaian Tepat satu penyelesaian Banyak penyelesaian

i k

i k i = k


1.2 Matriks Defenisi 1.5: Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun menjadi suatu jajaran persegi panjang yang terdiri atas baris dan kolom dan dibatasi tanda kurung. Sebuah matriks dapat diberi nama dan nama itu biasanya dinyatakan dengan memakai huruf besar (kapital), seperti A, B, C, …. dan seterusnya. Contoh 1.1: (i) Dengan menandai kurung biasa

A =

4352

dan B =

39

01187

(ii) Dengan menandai kurung siku

A =

4352

dan B =

39

01187

Suatu matriks A seperti pada pembahasan terdahulu, yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A berordo m x n dan ditulis dengan lambang Am x n. Sedangkan banyaknya elemen (unsur) matriks A sama dengan m x n buah. Dengan demikian matriks A yang berordo m x n dapat disajikan sebagai berikut :

Am x n =

mn

n

n

n

mmm a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.........

...

...3

2

1

3

33

23

13

2

32

22

12

1

31

21

11

Contoh 1.2

A 2 x 2 =

51

72 adalah matriks berordo 2 x 2

B2 x 3 =

012

3643

adalah matriks berordo 2 x 3

1.2.1 Macam-macam Matriks Jika diperhatikan dari banyaknya baris dan banyaknya kolom serta jenis elemen-elemennya, maka matriks dibedakan menjadi beberapa macam yaitu: 1. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo (1 x n) dengan n > 1 Contoh 1.3 : A1 x 3 = (3 5 1)

B1 x 4 = (2 3 7 -6) 2. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolaom atau matriks yang berordo (m x 1) dengan m > 1

Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-m

Kolom ke-1 Kolom ke-n


Contoh 1.4 :

A3 x 1 =

93

7 B4 x 1 =

12

20

C5 x 1 =

11539

8

3. Matriks persegi/kuadrat Matriks persegi adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Matriks Am x n disebut matriks persegi jika m = n, sehingga sering ditulis Am x n = An. Pada matriks persegi elemen-elemena11, a22, a33, …, ann disebut elemen-elemen diagonal utama, dan an1, …, a1n disebut elemen-elemen diagonal samping. Defenisi: Trace Trace Aadalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada diagonal utama dari matriks persergi A. Trace A = a11 + a22 + … + ann Contoh 1.5:

A3x3 = A3 =

847

01

5

362

Elemen diagonal utamanya adalah 2, -1, 8 Elemen diagonal samping adaaalah 3, -1, 7 Trace A = (2) + (-1) + (8) = 9

4. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama. Contoh 1.6:

A2 =

1002

B3 =

000030001

C3 =

100010001

5. Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya adalah nol. Contoh 1.7:

D2 =

2015

E3 =

300820451

6. Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya adalah nol.


Contoh 1.8:

F2 =

3108

G3 =

785012007

7. Matriks identitas Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemen-elemen pada diagonal utamanya sama dengan satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas disebut juga matriks satuan yang dilambangkan dengan “I”. Contoh 1.9:

I2x2 =

1001

I3x3 =

100010001

8. Matriks nol Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya bernilai nol. Matriks nol dinyatakan dengan lambang “O” Contoh 1.10:

O2x3 =

000000

O2x2 =

0000

O3x2 =

000000

1.2.2 Kesamaan Matriks Defenisi 1.6: Kesamaan Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A=B apabila keduanya berordo sama dan semua unsur-unsur yang bersesuaian sama. Contoh 1.11:

A=

15

68

42

B=

1642

10824

C=

1563412

Maka A=B, tetapi AC dan BC Contoh 1.12:

Jika A=

yx

yx6

9 dan B=

1695

Tentukan nilai x dan y apabila A=B! Jawab : A=B maka x + y = 5

x – y = 1 + 2x = 6 x = 3 y = 2


1.2.3 Transpose Matriks Defenisi 1.7: Transpose Matriks Transpose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matriks transposenya, atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan At atau AT. Contoh 1.13:

A =

4531

maka AT = At =

43

51

B =

389524

maka BT = Bt =

358294

1.2.4 Operasi Aljabar Matriks Pada pembahasan di atas, kita telah mempelajari pengertian matriks, notasi, ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks dan transpose matriks, maka pada sub bahasan ini kita akan membahas operasi (pengerjaan) antar matriks, diantaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks dengan bilangan real (scalar) dan perkalian matriks dengan matriks. a. Penjumlahan Matriks

Defenisi 1.8: Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan matriks B (ditulis A+B) adalah sebuah matriks baru yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak. Contoh 1.14:

Jika diketahui :A(2x3) =

232221

131211

aaaaaa

dan B(2x3) =

232221

131211

bbbbbb

Maka : (A + B)(2x3) =

232322222121

131312121111

babababababa

Contoh 1.15:

Jika : A =

253

413 ; B =

342

621 ; C =

7101198

Tentukan : a). A + B b). B + C

Jawab :

a) A + B =

253

413 +

342

621

=

)3()2(45)2(3

642)1()1(3 =

5911012

b) B + C =

342

621 +

7101198


=

4143777

Sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:

b. Perkalian Matriks dengan Bilangan Defenisi 1.9: Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A. Misalnya :

A =

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

............

...

...

321

2232221

1131211

Maka kA =

mnmmm

n

n

kakakaka

kakakakakakakaka

............

...

...

321

2232221

1131211

c. Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi 1.10: Perkalian Matriks dengan Matriks Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks Amxn dengan Bnxp adalah sebuah matriks baru Cmxp. Cara mendapatkan unsur pada baris ke-i kolom ke-j matriks C adalah dengan mengalikan dan menjumlahkan unsur-unsur baris ke – i matriks A dengan kolom ke-j matriks B.

Missal A =

dcba

; B =

srqp

maka:

AB =

dcba

srqp

=

dscqdrcpbsaqbrap

Contoh 1.16: Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:

A =

323

451 ; B =

622410

Jawab : A(2x3) . B(3x2) = C(2x2)

1. Sifat Komutatif : A + B = B + A

2. Sifat Assosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)

Amxn x Bnxp = Cmxp


A.B =

323

451

622410

=

)6)(3()2)(2()1)(3()2)(3()4)(2()0)(3()6)(4()2)(5()1)(1()2)(4()4)(5()0)(1(

=

1114

3312

d. Matriks Invers

Definisi 1.11: Matriks Invers

Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka A dapat dibalik, dan B merupakan invers dari matriks A.

e. Sifat-sifat Operasi Matriks Dari uraian diatas diperoleh sifat-sifat matriks. Untuk setiap matriks A, B dan C (yang dapat

dijumlah/dikalikan) dipenuhi:

1. (AB) C = A (BC) ........................................ Sifat Asosiatif

2. A (B + C) = AB + AC ................................ Sifat Distributif Kiri

3. (B + C) A = BA + CA ................................ Sifat Distributif Kanan

4. k (AB) = (kA) B = A (kB) ....................... Perkalian Skalar

5. AI = IA = A ................................................. Sifat Identitas

6. A0 = 0A = 0 ............................................... Sifat Matriks Nol

7. AB BA ...................................................... Tidak Berlaku Sifat Kumulatif

8. (AB)T = BTAT........................................... Sifat perkalian matriks

9. (AB)-1 = B-1A-1

1.3 Hubungan SPL dengan Matriks Proposisi 1.5 : Augmented Matrix Persamaan (1.3) dapat dituliskan dalam bentuk augmented matrix (matriks yangdiperbesar) sebagai berikut :

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

...

.........

...

...

21

222221

111211

(1.4) Proposisi 1.6 : Operasi Baris Elementer Penyelesaian sistem persamaan (1.4) dapat dilakukan dengan operasi baris elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya.


Operasi Baris Elementer : 1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol 2. Pertukarkanlah dua baris pada matriks 3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lain. 1.4 Eliminasi Gauss-Jordan Langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss:

1. SPL diubah dulu menjadi menjadi matriks yang diperbesar (MD) 2. Lakukan OBE pada MD sehingga matriks berbentuk eselon baris (MEB) 3. Kembalikan MBEB menjadi SPL biasa 4. Selesaikan SPL dengan substitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss-Jordan: 1. SPL diubah dulu menjadi menjadi matriks yang diperbesar (MD) 2. Lakukan OBE pada MD sehingga matriks berbentuk eselon baris tereduksi (MEBT) 3. Kembalikan MBEBT menjadi SPL biasa

Proposisi 1.7: Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT) MEBT adalah matriks yang memenuhi syarat berikut:

a. Bila terdapat baris tak nol, maka bilangan tak nol pertama adalah 1. 1 ini disebut 1 utama

b. Dua baris tak nol yang berurutan, maka 1 utama baris bawah lebih ke kanan dari 1 utama di atasnya.

c. Baris nol berada di bawah d. Setiap kolom yang memuat 1 utama bernilai nol di tempat lainnya.

Jika matriks hanya memenuhi syarat a, b, dan c maka matriks tersebut dinamakan MEB. Contoh 1.17 : Diketahui: x + y = 7 2x – y = 2 Selesaikan SPL di atas menggunakan:

a. Eliminasi Gauss b. Eliminasi Gauss-Jordan

Penyelesaian a. Eliminasi Gauss

Langkah 1: Ubah SPL MD

212

711

Langkah 2: Lakukan OBE pada MD sehingga terbentuk MEB

212

711-2b1 + b2

1230

711b2/(-3)

410711

Keterangan: -2b1 + b2 artinya (-2) kali baris 1 tambahkan pada baris ke-2, jika diuraikan: (-2).1 + 2 = 0 (-2).1 + (-1) = -3 (-2).7 + 2 = -12


b2/(-3) artinya baris ke-2 dikali –(1/3), jika diuraikan 0/(-3) = 0 -3/(-3) = 1 12/(-3) = 4 Langkah 3: Ubah MEB SPL x + y = 7 0x + y = 4 y =4, nilai y = 4 disubstitusikan ke persamaan x + y = 7 didapatkan x = 3 Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 4.

b. Eliminasi Gauss-Jordan Langkah 1: idem Langkah 2: Lakukan OBE pada MD sehingga terbentuk MEBT

Lanjutan dari atas

410711

-b2 + b1

410301

Langkah 3: Ubah MEBT SPL

410301

x + 0y = 3 x = 3, 0x + y = 4 y = 4

Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 4. Contoh tambahan eleminasi Gauss Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

-B1+B2 -2B1+B3 3B2+B3

B3/3 (Matriks menjadi Eselon-baris) Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6 y + z = 3 z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y + z = 3 y + 3 = 3 y = 0 x + 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3


Contoh tambahan eliminasi Gauss-Jordan Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

-2B1 + B2 -2B1 + B3 -3B2+B3

-1B2 dan B3/8 -4B3 + B2 -3B3+B1

-2B2 + B1 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi) Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1 1.5 Menentukan invers matriks Invers suatu matriks (misalkan invers A) dapat dihitung dengan menggunakan eliminasi Gauss–Jordanterhadap matriks diperbesar [A: I] dimana ukuran I sama dengan ukuran A. Cara perhitungan seperti ini didasarkan dari sifat A A–1 = I. Untuk menentukan solusi dari SPL tersebut maka berdasarkan prosedur yang telah dipelajari sebelumnya , maka dapat dilakukan eliminasi Gauss – Jordan terhadap matriks [A :I] . Jika A memang memiliki invers maka matriks eselon baris tereduksinya akan berbentuk [I:A-1] . Jika setelah melakukan eliminasi Gauss–Jordan tidak diperoleh bentuk [ I :A-1] maka disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers. Contoh 1.18:

Diketahui A =

342011552

, tentukan A-1 jika ada!

Jawab:

[A :I] =

322543553

|||

100010001

120021010

|||

320530011

100010001

|||

342011552

= [I : A-1]

(langkah detailnya sebagai latihan)

Jadi A-1 =

322543553


1.6 SPL Homogen Definisi 1.12: Sistem Persamaan Linear Homogen Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika pada persamaan (1.3) nilai bi= 0 untuk setiap i = 1,2,...,m Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1=x2= ... = xn= 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini dinamakan penyelesaiantrivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogen tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial. Penyelesaian trivial terjadi jika satu – satunya penyelesaian untuk SPL adalah x = 0 hal ini terjadi jika semua kolom pada matriks diperbesar [A : B] (setelah dilakukan eliminasi Gauss– Jordan ) memiliki satu utama kecuali untuk kolom yang terakhir atau dengan kata lain semua kolom pada matriks A memiliki satu utama . Jika hal yang sebaliknya terjadi yaitu tidak semua kolom pada matriks A ( setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan ) memilki satu utama atau jika terdapat baris nol maka penyelesaian untuk SPL adalah penyelesaian tak trivial yaitu penyelesaian tak hingga banyak. TEOREMA 1.1: Sistem persamaan linear homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui(peubahnya) daripada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak hingga banyakpenyelesaian. Contoh 1.19 Diketahui sistem persamaan linear homogen x + 2y = 0 -x - 2y + z = 0 2x + 3y + z = 0 Jawab: Penyelesaian SPL homogen di atas adalah

000

|||

100010001

000

|||

132121021

]:[ BA (langkah detailnya sebagai latihan)

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu x = 0, y = 0, dan z = 0. Contoh 1.20

Diketahui sistem persamaan linear homogen

0000

3003142122121211

wzyx

Penyelesaian SPL homogen di atas:

0000

||||

0000000002101001

0000

||||

3003142122121211

(langkah detail sebagai latihan)


Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa hanya dua kolom dari matriks A yang memiliki satu utama atau terdapat dua baris nol , ini berarti bahwa penyelesaian SPL adalah tak trivial yaitu penyelesaian banyak dengan dua parameter, yaitu x = w dan y = 2z sehingga kalau z = s dan w = t, maka x = t, y = 2s, z = s, dan w = t.


BAB II DETERMINAN

2.1 Pendahuluan Defenisi 2.1 Misalkan A matriks kuadrat , fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan matriks A ( disingkat det(A) atau |A| ) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Hasil kali elementer dari matriks A akan berbentuk : a1p1. a2p2… . anpn dimana p1,p2, …, pn merupakan permutasi dari bilangan – bilangan 1,2,…,n. Tanda dari a1p1. a2p2… . anpnsendiri ditentukan dari banyaknya bilangan bulat besaryang mendahului bilangan yang lebih kecil ( banyaknya invers ) pada bilanganp1,p2, …, pn, jika banyaknya invers adalah ganjil maka tandanya negatif ( – ) dan jikasebaliknya tandanya positif ( + ). Contoh 2.1:

Tentukan determinan dari matriks

2221

1211

aaaa

!

Jawab Karena matriks di atas berukuran 2 x 2 maka kita perlu mencari permutasi dari 1 dan 2 Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Hasil Kali Elementer Bertanda (1 2) a11a22 0 + a11a22 (2 1) a12a21 1 - a11a22

Determinan matriks a11a22 - a11a22 Contoh 2.2:

Tentukan determinan dari matriks

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

!

Jawab Karena matriks di atas berukuran 3 x 3 maka kita perlu mencari permutasi dari 1, 2, 3 Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Hasil Kali Elementer Bertanda (1 2 3) a11a22a33 0 + a11a22a33 (1 3 2) a11a23a32 1 - a11a23a32 (2 1 3) a12a21a33 1 - a12a21a33 (2 3 1) a12a23a31 2 + a12a23a31 (3 1 2) a13a21a32 2 + a13a21a32 (3 2 1) a13a22a31 3 - a13a22a31

Determinan matriks a11a22a33- a11a23a32- a12a21a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31

Mencari determinan juga bisa menggunakan aturan panah, tapi cara ini terbatas hanya untuk ukuran 2 x 2 dan 3 x 3, yakni: (garis ke kanan bawah positif, garis ke kiri bawah negatif) a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32


2.2 Ekspansi Kofaktor Salah satu metode yang digunakan untuk menghitung determinan adalah ekspansi kofaktor. Defenisi Minor Minor elemen aij ( Mij ) yaitu determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris i dan kolom j matriks awalnya. Defenisi Kofaktor Kofaktor elemen aij ( Cij ) = (−1 )i+j Mij Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn , maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama yaitu : – ekspansi sepanjang baris i det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin – ekspansi sepanjang kolom j det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj Contoh 2.3

Diketahui A =

230120321

, Tentukan det (A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor !

Jawab Cara 1 Akan dicoba menggunakan ekspansi kolom 1 untuk menghitung det (A) Det (A) = a11C11 + a21C21 + a31C31

C11 = (−1 )1+1 M11 = M11= 2312

= 4 – 3 = 1

C21 = (−1 )2+1 M21 = − M21 = − 2332

= -(4 – 9) = 5

C31 = (−1 )3+1 M31 = M31 = 1232

= 2 – 6 = -4

Jadi det (A) = (1 . 1) + (0 . 5) + (0 . -4) = 1 Cara 2 Akan dicoba menggunakan ekspansi baris 1 untuk menghitung det (A) Det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

C11 = (−1 )1+1 M11 = M11= 2312

= 4 – 3 = 1

C12 = (−1 )1+2 M12 = − M12 = − 2010

= -(0 – 0) = 0

C13 = (−1 )1+3 M13 = M13 = 3020

= 0 – 0 = 0

Jadi det (A) = (1 . 1) + (2 . 0) + (3 . 0) = 1 2.3 Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer Penggunaan metode ini sebenarnya tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0. Berdasarkan sifat ini maka matriks yang berbentuk eselon baris atau matriks segitiga akan lebih mudah untuk dihitung


nilai determinannya karena hanya merupakan perkalian dari elemen diagonalnya. Reduksi baris dilakukan dengan mengubah kolom – kolom sehingga banyak memuat elemen 0. Biasanya bentuk metriks akhir yang ingin dicapai adalah bentuk eselon baris atau bentuk segitiga tetapi ini tidak mutlak. Jika bentuk eselon atau segitiga belum tercapai tetapi dianggap perhitungannya sudah cukup sederhana maka determinan bisa langsung dihitung. Dalam melakukan reduksi baris operasi yang digunakan adalah operasi baris elementer. Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilai determinan awal , yaitu : Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A maka det

(B) = − det (A) Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu baris matriks A

maka det (B) = k det (A) Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris

lainnya, maka det (B) = det (A) Contoh 2.4 Diketahui:

ihgfedcba

A , dimana det (A) = s

Tentukan determinan dari matriks berikut

ihgifhegdfcebda

Dihgcbafed

Cihgcbafed

B ,222, .

Jawab; Matrik B diperoleh dari mempertukarkan baris 1 dan baris 2 sehingga det(B) = -det(A) = -s Matrik C diperoleh dari mempertukarkan baris 1 dan baris 2, baris kedua dikali 2 dan baris ketiga dikali (-1) sehingga det(C) = -2.(-1)det(A) = 2s Matriks D diperoleh dengan menambahkan baris yang satu dengan yang lainnya sehingga det(D) = det (A) = s.

2.4 Metode Cramer

jika AX = B adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik B

Contoh 2.5 Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x1 + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab: Bentuk matrik A dan B


A =

321643201

dan B =

8306

kemudian ganti kolom j dengan matrik b

A1 =

3286430206

, A2 =

3816303261

A3 =

8213043601

dengan metode panah kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka,

Menentukan invers suatu matriks dapat juga menggunakan rumus berikut :

)()det(

11 AadjA

A , dimana adj(A) = CT, C = {cij}, cij = kofaktor elemen aij

Contoh 2.6

Cari A-1 dari matriks pada contoh 1.18 dengan menggunakan rumus )()det(

11 AadjA

A .

Jawab Diketahui:

A =

342011552

Sehingga det(A) = -1

C11 = (-1)1+1M11 = 3401

=-3 C12 = -3201

=3 C13 = 4211

=-2

Dengan cara yang sama diperoleh C21 = 5, C22 = -4, C23 = 2, C31 = 5, C32 = -5, C33 = 3

Sehingga diperoleh C =

355245233

322543

553)( TCAAdj

Sehingga

111

A

322543

553=

322543553


2.5 Hubungan Determinan, Invers Matriks dan Penyelesaian untuk Sistem Persamaan Linier Jika suatu SPL berbentuk AX = B dan A matriks bujur sangkar , maka sifat dari penyelesaian SPL dapat diketahui dari nilai determinan A atau invers matriks A. Berikutini adalah hubungan yang berlaku : Det (A) ≠ 0 A–1 terdefinisi (ada) penyelesaian tunggal untuk SPL Det (A) = 0 A tidak memilikiinvers Det (A) = 0 => banyak penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian Pada kasus det (A) ≠ 0 untuk menentukan penyelesaiannya dapat digunakan invers matriks untuk menghitungnya, yaitu X = A–1B . Sedangkan pada kasus det (A) = 0 , untuk menentukan penyelesaian SPL harus digunakan eliminasi Gauss–Jordan pada matriks diperbesar [A : B] . Contoh 2.7 Diketahui SPL berikut

342011552

121

zyx

Penyelesaian Karena det(A)= -1, maka

X = A–1B=

322543553

121

=

51012

(A-1 diambil dari contoh 2.6)

Dari sini diperoleh x = -12, y = 10, dan z = -5.


BAB III VEKTOR DI R2 DAN R3

3.1 Pendahuluan Definisi 3.1 Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn ) jika vektor tersebut mengandung nkomponen. Jika vektor bearada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garisberarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis. Contoh 3.1 A B v atau v Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti AB dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B disebut titik akhir. Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O. 3.2 Operasi–operasi pada Vektor Definisi penjumlahan dua vektor Jikau dan vadalah dua vektor sebarang berada di ruang yang sama, maka vektor (u + v) adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Tempatkan vektor v sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan titik akhiru. Vektor u + vdiwakili oleh anak panah dari titik awaluhingga titik akhir v. Contoh 3.2 Definisi Selisih Jikau dan vadalah dua vektor sebarang berada di ruang yang sama,v dari u didefinisikan sebagai u – v = u + (-v) Perkalian vektor dengan skalar Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan u vektor tak nol dan k adalah skalar, k ∈ R . Perkalian vektor udengan skalark , k udidefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang u dengan arah : Jika k > 0 ku searah dengan u Jika k < 0 ku berlawanan arah dengan u Contoh 3.3

u -u 2u Perhitungan vektor Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen–komponennya adalah a= (a1,a2,a3) dan b = ( b1,b2,b3 ) Maka a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )

u v

u + v


a − b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 ) k .a= ( ka1, ka2, ka3 ) Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 ) maka c= (b1 − a1 , b2 − a2, b3 − a3 ) 3.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor Panjang Vektor (Norma) Panjang dari suatu vektor u sering disebut norma (norm) u dan dinyatkan dengan u . Jika u

R2 dengan u = (u1, u2) maka 22

21 uuu . Jika u R3 dengan u = (u1, u2, u3) maka

23

22

21 uuuu .

Suatu vektor dengan norma satu disebut vektor satuan (unit vector) Jarak Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik pada ruang berdimensi 3, maka jarak (distance) d diantara keduanya adalah norma dari vektor 21PP . Karena 21PP =(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), maka:

212

212

212 zzyyxxd

Hal yang sama jika P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) adalah dua titik pada ruang berdimensi 2, maka jarak (distance) d diantara keduanya adalah

212

212 yyxxd

Hasil kali titik Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor pada pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan α adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Eucledian (Eucledian inner product) u.v didefinisikan oleh

0cos

.vu

vu

Jika a=(a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3), maka hasil kali titik vektor a dan b didefinisikan sebagai : a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3) Jika a=(a1, a2) dan b = (b1, b2), maka hasil kali titik vektor a dan b didefinisikan sebagai : a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar. Dengan mengetahui besarnya α , akan diketahui apakah hasil kali titik akan bernilai positif atau negatif atau sebaliknya. a . b> 0 α lancip , 0 ≤ α< 90o a . b = 0 α = 90o, a dan b saling tegak lurus a . b< 0 α tumpul, 90o<α ≤ 180o Contoh Diketahui u = ( 2, –1,1 ) dan v = ( 1,1,2 ). Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan v! Jawab u . v = 2 –1 + 2 = 3

jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 jika u = 0 atau v = 0


6112 222 u

6211 222 v

21

663cos =>α = cos-1( ½ ) = 60o

Jadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60o 3.4 Proyeksi orthogonal Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini : w2 a w1 b Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2 ,jadi dapat dituliskan a = w1+ w2. Dari proses pembentukannya w1 juga disebut sebagai vektor proyeksi orthogonalaterhadapbkarena merupakanhasil proyeksi secara orthogonal vektora terhadapb,sedangkan w2disebut sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadap b.Karena w1 merupakan hasil proyeksi di bmaka dapat dituliskan w1 = k b ,nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1 . Jika sudut antara a dan b adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah b . Menghitung w1 Untuk menghitung w1 , harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh : a . b = (w1 + w2) . b = w1 . b (karena w2 dan b saling tegak lurus makaw2 . b = 0) = cos1 bw = cosbbk (α adalah 0 atau 180)

= k 2b

Jadi 2

.b

bak

Sehingga w1 = kb = bb

ba2

.

w2 = a – w1

Panjang w1 =bba.

Contoh Diketahui a = (4, 1, 3) dan b = ( 4, 2,–2). Tentukan a. Vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b! b. Panjang dari vektor proyeksi tersebut ! c. Komponen dari a yang tegak lurus terhadap b ! Jawab:


a. Misalkan w1 adalah vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b, maka w1 = k b

sedangkan k =21

2412

)2(24)2.(32.14.4

222 sehingga w1 = ½ ( 4, 2,–2) = (2, 1, -1)

b. Panjang w1 = bba. =

66

2412

)2(24)2.(32.14.4222

c. Misalkan w2 merupakan komponen dari a yang tegak lurus terhadap b, maka w2 = a – w1 = (4, 1, 3) - (2, 1, -1) = (2, 0, 4)

3.5 Hasil Kali Silang Definisi Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) u x v adalah vektor yang disefinisikan sebagai ((u2.v3 – u3.v2), – (u1.v3 – u3.v1), ( u1.v2 – u2.v1)) Atau dalam notasi determinan

21

21

31

31

32

32 ,,vvuu

vvuu

vvuu

Hubungan antara hasil kali titik dengan hasil kali silang Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka 1. u . (u x v) = 0 2. v . (u x v) = 0 3. 2222 .vuvuvxu (disebut identitas Lagrange 4. u x (u x w) =(u . w)v – (u . v)w 5. (u x u) x w =(u . w)v – (v . w)u Sifat – sifat hasil kali silang 1. a x b = – ( b x a ) 2. a x ( b + c) = a x b + a x c 3. ( a + b) x c = a x c + b x c 4. k ( a x b ) = ( k a ) x b = a x k b 5. a x a = 0 Penerapan Hasil Kali Silang Hasil kali silang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah segitiga yang dibentuk oleh tiga titik misalnya A, B, dan C. Menggunakan rumus berikut:

Luas daerah segitiga ABC = ACxAB21

Contoh Tentukan luas daerah segitiga yang dibentuk oleh A(2, 1, 1), B(1, 2, 1), dan C(2, 0, 1). Jawab:

)0,1,1()11,12,21( AB )0,1,0()11,10,22( AC

)1,0,0(10

11,

0001

,0101

ACxAB


Luas daerah segitiga = ACxAB21 =

211

21100

21 222

diktat mata kuliah aljabar linear elementer · pdf file1.2.3 transpose matriks ... 2.5...

Documents