KELOMPOK 5

1.CUT MAISARAH

2.DEVI RASMAYANI

SARAGIH

3.DEVI S SITOPU

ALJABAR

LINIER

ELEMENTER 1

Kesetaraan Baris dan Perkalian Matriks

Di pembahasan ini, kita akan berkenalan dengan algoritma untuk menghitung suatu matriks tidak singular, kita juga akan menyelidiki kaitan antara pengolahan dasar baris yang di gunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan pengolahan matriks yang telah di perkenalkan dan di pelajari di dalam pembahasan yang lalu.Jika matriks koefisien bagi sistem linier

AX=K

Dapat di balik, maka perkalian persamaan ini dengan dari sebelah kiri menghasilkan

Sekarang perhatikan persamaan matriks umum

AX=B

dengan B tidak harus berupa suatu matriks kolom. Misalkan bahwa B berukuran n x r dan lambangkan kolom – kolom B dan X masing – masing dengan Bi dan Xi (I = 1,2,. . .,r) sehingga

Dan persamaan 1.9 Pasal 1.5 kita memperoleh

Kolj (AX) = A Kolj (X) = AX

yang berarti kolom – kolom matriks AX adalah A kali kolom – kolom matriks X; dengan kata lain

Kalau sekarang kita memperhatikan persamaan matriks AX=B kolom demi kolom,kita akan melihat bahwa persamaan itu setara dengan himpunan sistem persamaan linier

Telah diketahui di dalam pasal 1.4 bahwa suatu himpunan sistem demikian ini dapat di peroleh secara efisien dengan penyedehanaan baris yang sama. Khususnya, jika ada dan

(1.12)

maka merupakan solusi tunggal bagi persamaan AX=B. Jika A tidak setara baris dengan matriks identitas, maka penyederhanaan baris itu akan terhenti pada suatu himpunan sistem linier, yang koefisiennya berada dalam bentuk eselon baris tersederhanakan, dan setiap sistem dapat di pecahkan dengan mudah. Di dalam hal demikian ,solusinya mungkin tidak ada,dan jika ada,mungkin tidak tunggal

Contoh 1Pecahkan persamaan AX=B jika

Matriks gandengan untuk sistem ini adalah

yang berukuran 3 x 7. Pengolahan (ikuti dengan ( dan ( menyederhakan matriks gandengan itu menjadi

dan kemudian menjadi

1202165403312136411321

1216636301890211506411321

1216636306231241106411321

Pengolahan ( sekarang menghasilkan

Akhirnya, ( menghasilakn

= =

Karena matriks koefisien ini secara baris dengan I, berarti sistem tersebut mempunyai solusi tunggal

23/5310383/12222743/73134

Kasus khusus B = I untuk masalah di atas ada baiknya kita perhatikan. Jika A dapat dibalik, maka solusi tunggal bagi persamaan AX = I adalah X = A-1 dan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 1.12, yaitu

Persamaan 1.13 menggambarkan metode paling efisien untuk matriks tidak singular. Metode ini sesungguhnya tidak lain adalah eliminasi Gauss-Jordan untuk memecahkan matriks AX = I. Perhatikan bahwa ini adalah metode yang di jelaskan di dalam Contoh 3 pasal 1.6

Teorema 1.7 Suatu pengolahan dasar baris terhadap sebuah matriks A dapat dicapai dengan mengalikan dari sebelah kiri suatu matriks keidentikan yang telah mengalami pengolahan dasar baris yang sama. Dalam lambang, jika E adalah suatu pengolahan dasar (elementer) baris dan E(A) adalah hasil penerapan E pada A, maka

Bukti formal untuk teorema ini terbagi atas tiga bagian, satu untuk setiap jenis pengolahan dasar baris. Di sini hanya akan diberikan rincian untuk pengolahan dasar baris Jenis III Dalam hal ini matriks berbeda dengan I hanya pada posisi (j,i), yaitu bahwa unsur pada posisi tersebut adalah k. Jika i < j maka

Dari persamaan (1.14), kita memperolehBarisj(EA) = Barisj(E)A = kBarisi(A) + Barisj(A)dan selain itu kita memperoleh juga bahwa semua baris yang lain di dalam EA dan A adalah sama. Ini membuktikan kebenaran pernyataan teorema di atas untuk pengolahan baris Jenis III.

Definisi 1.12 Matriks dasar (elementary matrix) ialah matriks identitas yangtelah mengalami satu kali pengolahan dasar baris.

Teorema 1.7 mengatakan bahwa pengolahan dasar baris dapat dicaai dengan cara mengalikannya dengan matriks dasar dari sebelah kiri.

   

   

Dibawah ini diberikan contoh beberapa matriks dasar 4x4 padanan pengolahan baris

Kenyataan paling penting tentang matriks dasar ialah bahwa matriks dasar selalu dapat dibalik dan bahwa kebalikannya juga tetap merupakan matriks dasar. Ini dapat diketahui dari pasal 1.3 bahwa setiap pengolahan dasar baris dapat dibalikoleh pengolahan dasarbaris sejenis.Kebalikan matriks dasar bagi adalah matriks dasar bagi

, misalnya =

Kebalikan matriks dasar bagi adalah dirinya sendiri, misalnya=

Kebalikan matriks dasar bagi adalah matriks dasar bagi; misalnya

=

Sekarang misalkan serangkaian pengolahan dasar baris menyederhanakan matriks A menjadi matriks B; dengan kata lain, A setara baris dengan B. Jika E1,E2, ..., Er adalah matriks dasar yang berasal dari pengolahan-pengolahan dasar baris yang digunakan untuk menyederhanakan A menjadi B, maka berdasarkan Teorema 1.7 kita memperoleh

Er Er-1... E2 E1A = B

MatriksP = Er Er-1... E2 E1 = Er Er-1... E2 E1 IAdalah tidak singular, sebab meruakan hasil kali matriks-matriks dasar yang masing-masing tidak singular, dan selain itu P dapat diperoleh melalui penerapan pada I pengolahan yang persis sama yang telah mengubah A menjadi B. Jadi, matriks P “merekam” semua pengolahan baris yang digunakan untuk menyederhanakan A menjadi B.

• Teorema 1.8Jika A dan B setara baris, maka ada suatu matriks tidak singular P sedemikian rupa sehingga PA = B. Matriks P dapat diperoleh, sejalan dengan penyederhanaan A menjadi B melalui

penyederhanaan baris[A| I] [B| P]

Jika B = I, maka PA = I sehingga P = A-1.

Contoh 3Perhatikan pengolahan baris berikut :

Informasi tentang pengolahan yang digunakan direkam di dalam tiga kolom yang terakhir, sehingga berdasarkan Teorema 1.8, kita peroleh

Teorema 1.9Untuk matriks A yang berukuran n x n, pernyataan-pernyataan berikut ini setara (equivalent) satu sama lain :

• A tidak singular.• A tidak mempunyai kebalikan kiri (ada B

sedemikian rupa sehingga BA = I).• AX = 0 hanya jika X = 0.• A setara baris dengan I.• A merupakan hasil kali sejumlahmatriks dasar.

Kita akan membuktikan teorema di atas melalui pembuktian rangkaian implikasi

• (1 2) Sudah jelas.• (2 3) Jika ada B sedemikian rupa sehingga BA = I dan AX =

0, maka X = B(AX) = B0 = 0.

• (3 4) Jika A tidak setara baris dengan I, maka proses pencarian solusi pada Pasal 1.3 akan menghasilkan suatu baris nol sehingga membuat salah satu peubah dapat diberikan sembarang nilai (arbitrary); oleh karenanya kita akan memperoleh solusi bukan nol. Ini berarti A pasti setara baris dengan I.

• (4 5) Karena A setara baris dengan I, maka ada matriks-matriks dasar E1,E2,…,Ek sedemikian rupa sehingga Ek….E2E1A = I. Dengan demikianA = (Ek…E2E1)-1I = E1

-1 E2-1…Ek

-1

dan, karena setiap matriks dasar mempunyai kebalikan yang juga merupakan matriks dasar, berarti kita telah berhasil menyatakan A sebagai hasil kali sejumlah matriks dasar.

• (5 1) Ini sudah jelas sebab setiap matriks dasar dapat dibalik dan hasil kali sejumlah matriks yang dapat juga dapat dibalik

Contoh 4 sebagai hasil kali sejumlah matriks

dasar. Perhatikan proses penyederhanaan A menjadi I berikut ini :

Matriks-matriks dasar

masing-masing merupakan padaan pengolahan dasar baris ( ),

( ) , dan ( ) yang digunakan untuk menyederhanakan matriks A di atas. Ini berarti bahwa, seperti pada pembuktian Teorema 1.9,

Sehingga

= =

= = A