matriks - markusmatangela.files.wordpress.com · menentukan invers matriks persegi. ... muka atau...
TRANSCRIPT
MATRIKS
Oleh Markus Yuniarto, S.Si
SMA SANTA ANGELA
TAHUN PELAJARAN 2018/2019
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk
menentukan invers matriks persegi.
Menggunakan determinan dan invers matriks persegi
dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari unsur-unsur matriks,
ordo dan jenis matriks, kesamaan matriks, operasi penjumlahan
dan pengurangan matriks, determinan dan invers matriks, dan
penerapan matriks dalam sistem persamaan linear.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah
menguasai dasar-dasar aljabar.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi
yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah
semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal
Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah
mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda
pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan
materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda
juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
2. Menentukan determinan matriks 2x2
3. Menentukan invers dari matriks 2x2
4. Menentukan persamaan matriks dari persamaan linear
5. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan
invers matriks.
BAB II. PEMBELAJARAN
A. PENGERTIAN MATRIKS
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk
baris dan kolom.
Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen
matriks.
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum :
A =
nmmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.3.2.1.
.33.32.31.3
.23.22.21.2
.13.12.11.1
...
:...:::
...
...
...
1.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 1
2.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 2
3.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 3
. . .
nma . elemen matriks pada baris m, kolom n
Contoh :
B =
761
452
Ordo matriks B adalah B2 x 3
3.1a - 4
2.2a 6
B. JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks baris
adalah matriks yang hanya memiliki satu baris
Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]
2. Matriks kolom
adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom
Contoh : C =
7
0
1
2
3. Matriks persegi
adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh : A =
10537
6095
4681
3502
Diagonal samping Diagonal utama
4. Matriks Identitas
adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.
Contoh :
A =
10
01
B =
100
010
001
5. Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah
diagonal utamanya nol.
Contoh :
A =
500
410
132
6. Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal
utamanya nol.
Contoh :
B =
523
019
002
7. Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh :
C =
000
000
C. TRANSPOSE MATRIKS
adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris
menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.
Contoh :
A =
053
142
At = AT = A =
01
54
32
D. KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo
yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.
Contoh :
A = B
45
32 =
45
39
36
Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut
a.
59
412
52
43
b
a
3a = -12
a = -12/3
a = -4
2b = 9
b = 9/2
b = 4,5
b
32
231
354
161
a
b
a
a
4a + 5 = 2a
4a – 2a = -5
2a = -5
a = -5/2
6a – 1 = 3b + 2
6(-5/2) – 1 = 3b + 2
-15 – 1 = 3b + 2
-16 = 3b + 2
3b = -18
b = -6
LATIHAN 1
1. Diketahui matriks A =
51510411
412651
36472
20161263
a. Tentukan ordo matriks A
b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2
c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3
d. Sebutkan elemen a2.3
e. Sebutkan elemen a3.5
2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut :
a.
ba
a
a
ba
76
54
152
b.
144
107
1432
57
a
ba
c.
baa
b
b
aa
1
1210
83
22
3. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan matriks berikut :
a.
2
14
1
3
z
x
zy
x
b.
zy
xx
zy
129 2
2
c.
9
112
3
5
y
x
y
x
4. Diketahui P =
yxyx
xyx
2
32 dan Q =
12
47
y
Jika P = QT, maka tentuka x – y
E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo
sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang
seletak.
Contoh :
112
03
65
41
53
42
2. PENGURANGAN MATRIKS
Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo
sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang
seletak.
Contoh :
2105
143
742
531
563
472
LATIHAN 2
1. Selesaikan operasi matriks berikut :
a.
b
a
b
a
3
72
b.
4
1
3
2
n
m
c.
ba
ba
ba
ba
4
2
3
2
d.
yx
yx
yx
yx
22
32
2. Diketahui P =
42
35, Q =
33
72, dan R =
96
28
Tentukan :
a. P + Q
b. Q - R
c. (P + Q) - R
d. P + (Q - R)
3. Tentukan matriks X nya, jika X berordo 2x2
a. X +
12
20
10
010
b. X -
35
74
12
53
c.
13
42
72
43X
4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :
3
4
26
1
33
33
wz
yx
w
x
wz
yx
F. PERKALIAN MATRIKS
1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka
setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k.
Contoh :
2
128
106
64
53
2. PERKALIAN DUA MATRIKS
Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks
sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah
kanan.
Am x n . Bp x q = Cm x q
n = p
Contoh :
1.
2004)3(
)15(0)3(2
5.40.31.4)1.(3
5).3(0.21).3()1.(2
51
01.
43
32
=
201
155
2.
8
17
08
152
3.02.4
3.52.1
3
2.
04
51
3.
541
13113
323110
949230
331
210.
11
32
4.
126
84
42
42.
3
2
1
LATIHAN 3
1. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari :
a. 2
45
203
73
11X
b.
68
1253
34
17X
2. Diketahui A =
cb
a
32
4 dan B =
7
1232
ba
aba
Jika A = 2BT, tentukan nilai a + b + c
3. Jika 3
3
4
21
2
sr
qp
s
qp
sr
p
Tentukan nilai p, q, r, dan s.
4. Hitung perkalian matriks berikut :
a.
65
04.
11
23
b.
6
1
3
.
512
103
312
c.
52
13
40
.
040
324
212
5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :
A =
34
23, B =
23
42, C =
12
32
Tentukan :
a. A.B
b. B.A
c. B.C
d. (A.B).C
e. A.(B.C)
f. Buatlah kesimpulan untuk a dan b, serta d dan e
6. Jika P =
cb
ba1, Q =
dc
a 01, dan R =
10
01
Tentukan nilai d jika P + QT = R2
7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
11
30.
42
13.2
611
86.
23
24 x
8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :
18
8.
43
21
y
x
G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2
Jika matriks A =
dc
ba, determinan dari matriks A
dinotasikan det A atau
A = ad - bc
Invers matriks A dinyatakan dengan notasi
A-1 =
ac
bd
bcad
1
Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
Jika ad – bc 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular.
Contoh :
Diketahui A =
31
52, Tentukan determinan dan invers matriks
A. Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 = 6 – 5 = 1
A-1 =
ac
bd
bcad
1
A-1 =
21
53
1
1=
21
53
LATIHAN 4
1. Diketahui matriks A =
39
52
x
x, dan B =
x313
45
Tentukan nilai x, jika Det A = Det B 2. Tentukan nilai x nya :
a. 513
x
xx
b. 1833
55
xx
x
3. Diketahui matriks A =
53
21, dan B =
21
64
Tentukan : a. A-1 b. B-1 c. A.B d. B.A e. A-1.B-1 f. B-1.A-1 g. (AB)-1 h. (BA)-1 i. Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut
4. Diketahui B =
24
49, Tentukan :
a. A-1 b. A-1.A c. A.A-1 d. Buatlah kesimpulan H. PERSAMAAN MATRIKS 1. A.X = B A-1.A.X = A-1.B I.X = A-1.B X = A-1.B Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B
2. X.A = B X.A.A-1 = B.A-1
X.I = B.A-1 X = B.A-1 Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1
Contoh : Tentukan matriks X nya
1.
100
155.
21
13X
100
155.
21
131
X
100
155.
31
12
16
1
455
4010
5
1
91
82
2.
42
46
41
21.X
1
41
21.
42
46
X
11
24
24
1.
42
46X
11
24.
42
46.
2
1X
812
1628.
2
1X
46
814X
I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear. Contoh : Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks x + 7y = 13 2x + 5y = 8 jawab :
8
13.
52
71
y
x
8
13.
52
711
y
x
8
13.
12
75
145
1
y
x
18
9
9
1
y
x
2
1
y
x
jadi x = -1, dan y = 2 LATIHAN 5 1. Tentukan matriks X nya :
a.
31
24.
31
21X
b.
41
03
14
13.X
2. Tentukan matriks B nya :
21
12.
12
01.
12
11B
3. Tentukan matriks X nya :
10
01
01
13..
11
22X
4. Tentukan nilai x + y, jika diketahui :
4
3.
23
32
y
x
5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut :
a. 2x – 3y = -1 x + 2y = 11 b. 3x + y = 7 x – 3y = -1 Tes Kompetensi Dasar 4.1
1. Diketahui A =
74
32 B =
176
312 tentukan nilai matriks-
matriks dibawah ini! a. A + B b. B –A c. A + 2B d. -2A + 3B
2. Jika
62
94+
24
13=
d4c3
b2a7 tentukan nilai a, b.c, d
3. Tentukan elemen-elemen dari suatu matriks G2x2 !
723
826
4915
25G
4. Diketahui
26
11
12
4
3
2
.p
3
2
1
.2 tentukan nilai p !
5. Tentukan hasil dari perkalian
a.
4
5
71
04
b.
53
22
1
012
632
c.
352
631
71
02
6. Tentukan niali x + y dari perkalian matriks dibawah inin !
a.
62
39
y2
5x=
2814
5415
b.
51
3
y
x
56
32
7. Perhatikan matriks dibawah ini!
7
3
6
4
2
5R
2
0
1
10
0
3P
52
41L
24
10A
0
2Y
Tentukan nilai dari
a. PR2 c. TAL e. TPR
b. LT + A d. YAT
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat :
1. Diketahui matriks A=
96
315, B=
103
2 x
dan C=
133
41. Bila x merupakan
penyelesaian dari persaman A – B = C-1, maka
nilai x adalah...
a. 3 c. 7 e. 11
b. 5 d. 9
2. Diketahui matriks A = ,52
03
B =
1
1
y
x dan
C =
515
10, At adalah transpos dari A . Jika At . B = C
maka nilai 2x + y =…
a. – 4 b. – 1 c. 1 d. 5 e. 7
3. Matriks x berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi
43
21 x =
12
34 adalah ...
a.
45
56 b.
54
65 c.
54
56
d.
13
24 e.
810
1012
4. Diketahui matriks A =
96
315, B =
103
2 x, dan
C =
133
41 , Bila x merupakan penyelesaian persamaan
A – B = C- 1 maka x = ...
a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11
5. Diketahui matriks A =
52
13 dan A2 = Ax + Iy
x , y bilangan real , I matriks identi tas dengan ordo
2 x 2 .Nilai x + y =...
a. – 1 b. – 3 c. 5 d. 11 e. 15
6. Jika
8
7
15
32
y
x, maka nilai x2 + y2 =…
a. 5 b. 9 c. 10 d. 13 e. 29
7. Jika matriks A =
32
41 , maka nilai x yang memenuhi
persamaan | A – x I | = 0 dengan I matriks satuan adalah...
a. 1 dan – 5 b. – 1 dan – 5 c. – 1 dan 5
d. – 5 dan 0 d. 1 dan 0
8. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan
0323
142
xx
xx dan x1 > x2 maka x2
1 + x22 =...
a. 4 b. 14 c. 24 d. 34 e. 49
9. Diketahui persamaan matriks
23
71
12
41.
21
53M invers matriks
M adalah M -1 =...
a.
11
10 b.
11
10 c.
11
10
d.
01
11 d.
01
11
10. Jika 3x2 + 7x – 6 ditulis sebagai perkalian matriks
11
xAx , maka A = ...
a.
30
67 b.
60
73 c.
37
06
d.
67
03 e.
30
67
11. Jika A =
32
2
11
,1
y
xB
yx
xyx , dan B
Adalah transpos dari matriks A , maka
x2 + ( x + y ) + xy + y2 = ...
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
12. Jika A =
01
10
11
11Bdan , maka
( A + B ) ( A – B ) – ( A – B ) ( A + B ) adalah matriks …
a.
00
00 b.
10
01 c. 4
10
01
d. 8
10
01 e.
10
01
13. Jika P =
xx
xx
1
1 dan P-1 adalah invers dari P
maka ...)( 21 P
a.
xx
xx
212
221 b.
xx
xx
221
212
c.
xx
xx
212
221 d.
xx
xx
212
221
e.
xx
xx
212
221
14. Jika P =
yxxQ
12,
49
25 , dan
P.Q =
10
01, maka x – y =...
a. 2
23 b.
2
21 c.
2
19 d.
2
17 e.
2
15
15. Diketahui
1
1
xy
yx
q
p , maka p2 + q2
dinyatakan dalam x dan y adalah...
a. ( x – y )2 b. 2( x – y )2 c. 2( x + y )2
d. 2 ( x2 – y2 ) e. 2( x2 + y2)
16. Jika
34
12
43
21
dc
ba, maka bc =…
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
17. Jika A =
20
12 , maka A2 – A =
a.
20
12 b.
20
22 c.
20
32
d.
20
42 e.
40
44
18. Diketahui persamaan matriks
rs
pqM
sr
qp
p , q , r , s konstan real ps qr . M adalah…
a.
10
01 b.
01
10 c.
11
11
d.
10
11 e.
11
01
19. Jika
01
10
43
21A maka 2A =…
a.
34
42 b.
2
3
2
1
21
c.
21
42
d.
62
84 e.
31
42
20. Jika A =
43
21 B =
12
34 maka ( A + B )2 =…
a.
2410
1024 b.
1024
2410 c.
2424
1010
d.
2410
1024 e.
2410
1024
21. Jika M = A3 dan A =
23
21
21
23
, maka M
1
2 =…
a.
2
1 b.
2
1 c.
1
2
d.
1
2 e.
2
1
22. Determinan matriks K yang memenuhi persamaan
12
13
53
74K adalah...
a. 3 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 3
23. Jika ad bc dan dari sistem persamaan
x = ax’ + by’ , y = cx’ + dy’ dapat dihitung menjadi
x’ = px + qy , y’ = rx + sy maka
...
sr
qp
dc
ba
tm
hg
a.
gm
ht b.
tm
hg c.
gh
mt
d.
tm
hg e.
tm
hg
24. Untuk nilai x dan y yang memenuhi
9
3
52
34
y
x , berlaku x – y =...
a. 6 b. 3 c. 1 d. 0 e. – 3
25. Jika A =
43
32
25
13B , maka ( A B )-1 =...
a.
2129
811 b.
34
57 c.
34
57
d.
75
43 e.
75
43
26. Nilai c yang memenuhi persamaan
109
35
510
3
5
12 f
fc adalah...
a. – 4 b. – 3 c. – 2 d. 0 e. 3
27. Jika p , q , r , dan s memenuhi persamaan
11
11
2
2
2 pq
rs
sr
qp maka
p + q + r + s =...
a. – 7 b. – 3 c. – 2 d. 0 e. 1
28. Diketahui A =
2
414
322
qr
qp
B =
745
55
7
r
qp
, C =
513
241
652
Jika A + B = C , maka nilai p , q , dan r berturut turut...
a. – 2 , – 3 dan 2 b. 2 , – 3 dan – 2
c. 2 , – 4 dan 2 d. 2 , – 3 dan 2
e. – 2 , – 4 dan 2
29 Jika P = ,53
2,
32
16Q
y
xtPdanQ
Maka x – y =...
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
30 Jika A =
413
021 dan At adalah transpos matriks A,
Maka baris pertama dari At A adalah...
a. 12110 b. 12110 c. 14110
d. 12110 e. 12110
31. Jika
9
2
26
12
y
x maka 5x + 2y =...
a. – 32
1 b. – 3 c. – 2
2
1 d. 2
2
1 e. 3
2
1
32. Jika dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks
7
5
6
2
y
x
b
a adalah sejajar , maka ab =...
a. – 12 b. – 3 c. 1 d. 3 e. 12
33. Jika x : y = 5 : 4 , maka x dan y yang memenhi
Persamaan matriks
136010
5
2530
541102
yx
adalah...
a. x = 1 dan y = 5
4 b. x =
4
5 dan y = 1
c. x = 5 dan y = 4 d. x = – 10
e. x = 10 dan y = 8
34. Diketahui A =
34
12 . Nilai k yang memenuhi
Persamaan k . det At = det A-1 adalah...
a. 2 b. 14
1 c. 1 d.
2
1 e.
4
1
35. Hasil kali akar akar persamaan 021
313
xx
xadalah...
a. 3
2 b.
3
4 c.
3
5 d.
3
2 e.
3
4
36 Invers matriks
cossin
sincos adalah...
a.
cossin
sincos b.
sincos
cossin
c.
cossin
cossin d.
sincos
sincos
e.
cossin
sincos
37. Jika diketahui A =
10
01
13
42Idan
Matriks ( A – kI ) adalah matriks singular untuk nilai k = …
a. – 2 atau 5 b. – 5 atau 2 c. 2 atau 5
d. 3 atau 4 e. 1 atau 2
38. Diketahui persamaan matriks :
2
d
c
b
a
3
52
43
2
11
134
41
2
Nilai a + b + c + d = ...
a. 13 b. 15 c. 17 d. 19 e. 21
39. Diketahui A =
25
31
12
253
142Bdan jika
C = AB maka determinan matriks C =...
a. – 60 b. – 56 c. – 52 d. – 50 e. – 48
40. Diketahui persamaan
326
1310
43
12X dengan X
matriks ordo 2x2. Jumlah bilangan baris ke 1 matriks X adalah
a. 11 b. 9 c. 7 d. 5 e. 3
41. Bila matriks A =
43
21 dan f (x) = x2 + 4x
maka f ( A ) =...
a.
3221
125 b.
3212
215 c.
3827
1811
d.
3818
2711 e.
3612
187
42. Diketahui matriks A =
x
xx
4
22 dan
B =
33
46
x Bila det A = det B dan x1 dan x2
penyelesaian persamaan tersebut , maka 2
1
1
2xx
xx
=...
a. 729.
734.
739.
744.
745 edcb
43. Matriks
baa
aba tidak mempunyai invers jika...
a. a dan b sembarang b. a 0 , b 0 dan a = b
c. a 0 , b 0 dan a = - b d. a = 0 dan b sembarang
e. b = 0 dan a sembarang
44. Jika A =
32
01 dan I matriks satuan ordo 2 , maka
A2 – 2 A + I =...
a.
40
04 b.
43
00 c.
43
01
d.
44
00 e.
44
02
45. Nilai a yang memenuhi
21
00
34
12
12
21
dc
ba
adalah…
a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2
DAFTAR PUSTAKA
Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu
Pengetahuan Sosial, Semarang :
H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005.
Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit
Erlangga, Jakarta.